Порядковый определяемый набор - Ordinal definable set

В математический теория множеств, а набор S как говорят порядковый определимый если неформально его можно определить в терминах конечного числа порядковые по формула первого порядка. Порядковые определимые множества были введены Гёдель (1965).

Недостатком этого неформального определения является то, что требуется количественная оценка по всем формулам первого порядка, которые не могут быть формализованы на языке теории множеств. Однако есть другой способ сформулировать определение, которое можно формализовать. В этом подходе набор S формально определен как порядковый определимый, если есть некоторый набор порядковых α₁, ..., α_п такой, что ${displaystyle Sin V_ {alpha _ {1}}}$ и ${displaystyle S}$ можно определить как элемент ${displaystyle V_ {alpha _ {1}}}$ формулой первого порядка φ, считая α₂, ..., α_п как параметры. Здесь ${displaystyle V_ {alpha _ {1}}}$ обозначает набор, индексированный порядковым номером α₁ в иерархия фон Неймана. Другими словами, S - единственный объект такой, что φ (S, α₂... α_п) выполняется с кванторами в пределах ${displaystyle V_ {alpha _ {1}}}$ .

В учебный класс всех порядковых определимых множеств обозначается OD; это не обязательно переходный, и не обязательно должна быть моделью ZFC, потому что она может не удовлетворять аксиома протяженности. Набор есть наследственно порядковый определимый если он является порядковым определимым и все элементы его переходное закрытие являются порядковыми определимыми. Класс наследственно порядковых определимых множеств обозначается HOD и представляет собой транзитивную модель ZFC с определимым хорошим порядком. Это согласуется с аксиомами теории множеств, что все множества ординально определимы, а значит, наследственно ординально определимы. Утверждение, что эта ситуация имеет место, обозначается как V = OD или V = HOD. Это следует из V = L, и эквивалентно существованию (определимого) хороший порядок Вселенной. Однако обратите внимание, что формула, выражающая V = HOD, не обязательно должна выполняться в пределах HOD, поскольку это не так. абсолютный для моделей теории множеств: в рамках HOD интерпретация формулы для HOD может привести к еще меньшей внутренней модели.

HOD оказался полезным в том смысле, что это внутренняя модель который может вместить практически все известные большие кардиналы. Это контрастирует с ситуацией для основные модели, поскольку еще не построены базовые модели, способные вместить суперкомпактные кардиналы, Например.

Порядковый определяемый набор - Ordinal definable set

Рекомендации