Сверхкомпактный кардинал - Supercompact cardinal

В теория множеств, а сверхкомпактный кардинал это тип большой кардинал. Они обладают множеством отражающих свойств.

Формальное определение

Если λ любое порядковый, κ является λ-суперкомпакт означает, что существует элементарное вложение j из вселенной V в переходный внутренняя модель M с критическая точка κ, j(κ)> λ и

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

То есть, M содержит все свои λ-последовательности. Тогда κ является сверхкомпактный означает, что он λ-суперкомпактен для всех ординалов λ.

В качестве альтернативы несчетный кардинал κ равен сверхкомпактный если для каждого А такой, что |А| ≥ κ существует нормальная мера над [А]^<κ, в следующем смысле.

[А]^<κ определяется следующим образом:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A||x|<\kappa \}\,.}$

An ультрафильтр U над [А]^<κ является отлично если он κ-полный и ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|a\in x\}\in U}$, для каждого ${\displaystyle a\in A}$. Нормальная мера более [А]^<κ прекрасный ультрафильтр U над [А]^<κ с дополнительным свойством, что каждая функция ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$ такой, что ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ постоянна на множестве в ${\displaystyle U}$. Здесь "постоянная на множестве в U"означает, что есть ${\displaystyle a\in A}$ такой, что ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$.

Характеристики

Сверхкомпактные кардиналы обладают отражающими свойствами. Если кардинал с некоторой собственностью (скажем, 3-огромный кардинал ), о чем свидетельствует структура ограниченного ранга, существует над суперкомпактным кардиналом κ, то кардинал с этим свойством существует под κ. Например, если κ сверхкомпактный и Обобщенная гипотеза континуума ниже κ, то оно выполняется всюду, поскольку биекция между множеством степеней ν и кардиналом не менее ν⁺⁺ будет свидетельством ограниченного ранга для отказа GCH в ν, поэтому он также должен существовать ниже κ.

Нахождение канонической внутренней модели суперкомпактных кардиналов - одна из основных проблем теория внутренней модели.

Смотрите также

• Несокрушимость
• Сильно компактный кардинал
• Список больших кардинальных свойств

Рекомендации

• Дрейк, Ф. Р. (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN  0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное). Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.