Поле Леви-Чивита - Levi-Civita field

В математике Поле Леви-Чивита, названный в честь Туллио Леви-Чивита, это неархимедово упорядоченное поле; т.е. система чисел, содержащая бесконечные и бесконечно малый количества. Каждый член ${displaystyle a}$ можно построить как формальный ряд вида

${displaystyle a=sum _{qin mathbb {Q} }a_{q}varepsilon ^{q},}$

куда ${displaystyle a_{q}}$ настоящие числа, ${displaystyle mathbb {Q} }$ это набор рациональное число, и ${displaystyle varepsilon }$ следует интерпретировать как положительное бесконечно малое. В поддерживать из ${displaystyle a}$, т.е. множество индексов отличных от нуля коэффициентов ${displaystyle {qin mathbb {Q} :a_{q}eq 0},}$ должно быть левым конечным множеством: для любого члена ${displaystyle mathbb {Q} }$, есть только конечное число членов множества меньше него; это ограничение необходимо для того, чтобы умножение и деление были четко определенными и уникальными. Упорядочение определяется согласно словарному порядку списка коэффициентов, что эквивалентно предположению, что ${displaystyle varepsilon }$ бесконечно малая величина.

В действительные числа вкладываются в это поле как ряды, в которых все коэффициенты обращаются в нуль, кроме ${displaystyle a_{0}}$.

Примеры

• ${displaystyle 7varepsilon }$ бесконечно малая величина больше, чем ${displaystyle varepsilon }$, но меньше любого положительного действительного числа.
• ${displaystyle varepsilon ^{2}}$ меньше чем ${displaystyle varepsilon }$, а также меньше ${displaystyle rvarepsilon }$ для любого положительного реального ${displaystyle r}$.
• ${displaystyle 1+varepsilon }$ бесконечно отличается от 1.
• ${displaystyle varepsilon ^{frac {1}{2}}}$ больше, чем ${displaystyle varepsilon }$, но все же меньше любого положительного действительного числа.
• ${displaystyle 1/varepsilon }$ больше любого действительного числа.
• ${displaystyle 1+varepsilon +{frac {1}{2}}varepsilon ^{2}+cdots +{frac {1}{n!}}varepsilon ^{n}+cdots }$ интерпретируется как ${displaystyle e^{varepsilon }}$.
• ${displaystyle 1+varepsilon +2varepsilon ^{2}+cdots +n!varepsilon ^{n}+cdots }$ является допустимым членом поля, потому что ряд следует толковать формально, без учета конвергенция.

Определение полевых операций и положительного конуса

Если ${displaystyle f=sum limits _{qin mathbb {Q} }f_{q}varepsilon ^{q}}$ и ${displaystyle g=sum limits _{qin mathbb {Q} }g_{q}varepsilon ^{q}}$ две серии Леви-Чивиты, то

• их сумма ${displaystyle f+g}$ поточечная сумма ${displaystyle f+g:=sum limits _{qin mathbb {Q} }(f_{q}+g_{q})varepsilon ^{q}}$.
• их продукт ${displaystyle fg}$ является произведением Коши ${displaystyle fg:=sum limits _{qin mathbb {Q} }sum limits _{a+b=q}(f_{a}g_{b})varepsilon ^{q}}$.

(Можно проверить, что носитель этой серии конечен слева и что для каждого из ее элементов ${displaystyle q}$, набор ${displaystyle {(a,b)in mathbb {Q} imes mathbb {Q} : a+b=qwedge f_{a}eq 0wedge g_{b}eq 0}}$ конечно, поэтому произведение определено правильно.)

• Соотношение ${displaystyle 0<f}$ имеет место, если ${displaystyle feq 0}$ (т.е. ${displaystyle f}$ имеет непустую опору) и наименьший ненулевой коэффициент при ${displaystyle f}$ строго положительный.

Оснащенное этими операциями и порядком, поле Леви-Чивиты действительно является упорядоченным расширением поля ${displaystyle mathbb {R} }$ где сериал ${displaystyle varepsilon }$ является положительным бесконечно малым.

Свойства и приложения

Поле Леви-Чивита реально закрытый, что означает, что это может быть алгебраически замкнутый путем присоединения к мнимая единица (я), или полагая коэффициенты равными сложный. Он достаточно богат, чтобы позволить провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, что и действительные числа могут быть представлены с помощью плавающая точка. Это основа автоматическая дифференциация, способ выполнения дифференцирования в случаях, которые невозможно решить с помощью символического дифференцирования или методов конечных разностей.^[1]

Поле Леви-Чивита также Коши завершен, что означает, что релятивизация ${displaystyle forall exists forall }$ определения последовательности Коши и сходящейся последовательности к последовательностям рядов Леви-Чивиты, каждая последовательность Коши в поле сходится. Эквивалентно, у него нет надлежащего плотно упорядоченного расширения поля.

Как упорядоченное поле, оно имеет естественное оценка задается рациональным показателем, соответствующим первому ненулевому коэффициенту ряда Леви-Чивиты. Кольцо нормирования - это ряды, ограниченные действительными числами, поле вычетов - это ${displaystyle mathbb {R} }$, а группа значений - ${displaystyle (mathbb {Q} ,+)}$. Результирующее поле значений Хенселян (будучи реально замкнутым с выпуклым оценочным кольцом), но не сферически полный. Действительно, поле Серия Hahn с реальными коэффициентами и группой значений ${displaystyle (mathbb {Q} ,+)}$ является правильным непосредственным расширением, содержащим такие серии, как ${displaystyle 1+varepsilon ^{1/2}+varepsilon ^{2/3}+varepsilon ^{3/4}+varepsilon ^{4/5}+cdots }$ которых нет в поле Леви-Чивита.

Связь с другими упорядоченными полями

Поле Леви-Чивита - это пополнение Коши поля ${displaystyle mathbb {P} }$ из Серия Puiseux над полем действительных чисел, т. е. является плотным расширением ${displaystyle mathbb {P} }$ без должного плотного расширения. Вот список некоторых из его примечательных собственных подполей и соответствующих упорядоченных расширений полей:

Известные подполя

• Поле ${displaystyle mathbb {R} }$ реальных чисел.
• Поле ${displaystyle mathbb {R} (varepsilon )}$ дробей действительных многочленов с бесконечно малыми положительными неопределенными ${displaystyle varepsilon }$.
• Поле ${displaystyle mathbb {R} ((varepsilon ))}$ из формальная серия Laurent над ${displaystyle mathbb {R} }$.
• Поле ${displaystyle mathbb {P} }$ серии Puiseux закончился ${displaystyle mathbb {R} }$.

Известные расширения

• Поле ${displaystyle mathbb {R} [[varepsilon ^{mathbb {Q} }]]}$ рядов Хана с действительными коэффициентами и рациональными показателями.
• Поле ${displaystyle mathbb {T} ^{LE}}$ из логарифмически-экспоненциальные трансерии.
• Поле ${displaystyle mathbf {No} (varepsilon _{0})}$ из сюрреалистические числа с датой рождения ниже первого ${displaystyle varepsilon }$-номер ${displaystyle varepsilon _{0}}$.
• Поля гиперреальных чисел, построенные как сверхстепени ${displaystyle mathbb {R} }$ по модулю бесплатный ультрафильтр на ${displaystyle mathbb {N} }$ (хотя здесь вложения не канонические).

Рекомендации

1. Ходр Шамседдин, Мартин Берз "Анализ поля Леви-Чивита: краткий обзор ", Современная математика, 508 стр 215-237 (2010)

внешняя ссылка

• Онлайн-калькулятор для чисел Леви-Чивита