Теория винта - Screw theory

Сэр Роберт Болл, автор трактатов по теории винта в 1876 и 1900 гг.

Теория винта представляет собой алгебраическое вычисление пар векторов, таких как силы и моменты или угловая и линейная скорость, которые возникают в кинематике и динамике твердых тел.^[1][2] Математическая основа была разработана сэром Роберт Ставелл Болл в 1876 г. для применения в кинематика и статика из механизмы (механика твердого тела).^[3]

Теория винта дает математический формулировка для геометрия линий, которые являются центральными для динамика твердого тела, где линии образуют винтовые оси пространственного перемещения и линии действия сил. Пара векторов, образующих Координаты Плюккера линии определяют единичный винт, а общие винты получаются умножением на пару действительных чисел и сложением векторов.^[3]

Важным результатом теории винтов является то, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют параллельные геометрические вычисления для линий, полученных путем замены векторов винтами. Это называется принцип передачи.^[4]

Теория винта стала важным инструментом в механике роботов,^[5][6] механический дизайн, вычислительная геометрия и многотельная динамика. Отчасти это связано с соотношением винтов и двойные кватернионы которые использовались для интерполяции движения твердого тела.^[7] На основе теории винта также был разработан эффективный подход к синтезу типов параллельных механизмов (параллельные манипуляторы или параллельные роботы).^[8]

Основные теоремы включают Теорема Пуансо (Луи Пуансо, 1806) и Теорема Часлеса (Мишель Часлес, 1832). Феликс Кляйн видел теорию винта как приложение эллиптическая геометрия и его Программа Эрланген.^[9] Он также разработал эллиптическую геометрию и новый взгляд на евклидову геометрию с помощью Метрика Кэли – Клейна. Использование симметричная матрица для фон Штаудт конический и метрика, применяемая к винтам, была описана Харви Липкиным.^[10] Другие известные участники включают Юлиус Плюкер, В. К. Клиффорд, Ф. М. Диментберг, Кеннет Х. Хант, Дж. Р. Филлипс.^[11]

Базовые концепты

Шаг чистого винта связывает вращение вокруг оси с поступательным движением вдоль этой оси.

Пространственное смещение твердого тела может быть определено вращением вокруг линии и перемещением вдоль той же линии, называемым смещением винта. Это известно как Теорема Часлеса. Шесть параметров, которые определяют перемещение винта, являются четырьмя независимыми компонентами вектора Плюккера, который определяет ось винта, вместе с углом поворота и линейным скольжением вдоль этой линии, и образуют пару векторов, называемых винт. Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремя Углы Эйлера которые определяют поворот и три компонента вектора перемещения.

Винт

Винт - это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и моменты, а также линейная и угловая скорость, которые возникают при изучении пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюккера линии в пространстве и величины вектора вдоль линии и момента относительно этой линии.

Гаечный ключ

Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, могут быть собраны в винт, называемый винтом. гаечный ключ. У силы есть точка приложения и линия действия, поэтому она определяет Координаты Плюккера линии в пространстве и имеет нулевой шаг. С другой стороны, крутящий момент - это чистый момент, который не привязан к линии в пространстве и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.

Крутить

А крутить представляет скорость твердого тела как угловую скорость вокруг оси и линейную скорость вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, сглаживается по мере удаления точек радиально от оси закручивания.

Точки тела, совершающего постоянное движение винта, следуют по спирали в неподвижной рамке. Если это движение винта имеет нулевой шаг, тогда траектории следуют по кругу, и движение является чистым вращением. Если винтовой ход имеет бесконечный шаг, тогда все траектории являются прямыми линиями в одном направлении.

Алгебра винтов

Пусть винт быть упорядоченной парой

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

куда S и V являются трехмерными действительными векторами. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют двойные векторы.

Теперь введем упорядоченную пару действительных чисел â = (а, б) называется двойственный скаляр. Пусть сложение и вычитание этих чисел будет покомпонентным, а умножение определим как

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).\!}$

Умножение винта S = (S, V) двойственным скаляром â = (а, б) вычисляется покомпонентно, чтобы быть,

${\displaystyle {\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).\!}$

Наконец, представим скалярное произведение винтов и скрещенное произведение по формулам:

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$

который является двойственным скаляром, и

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$

который винт. Точечные и перекрестные произведения винтов удовлетворяют тождествам векторной алгебры и позволяют вычислениям, которые напрямую параллельны вычислениям в алгебре векторов.

Пусть двойственный скаляр ẑ = (φ, d) определить двойной угол, то бесконечные серии определений синуса и косинуса дают соотношения

${\displaystyle \sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),\!}$

которые также являются двойственными скалярами. В общем, функция двойственной переменной определяется как ж(ẑ) = (ж(φ), df′(φ)), куда ж′(φ) - производная отж(φ).

Эти определения позволяют получить следующие результаты:

• Винты блока Координаты Плюккера линии и удовлетворяют соотношению

${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$

• Пусть ẑ = (φ, d) - дуальный угол, где φ угол между осями S и Т вокруг их обычной нормы, и d расстояние между этими осями по общей нормали, то

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\cos {\hat {z}};}$

• Пусть N - единичный винт, определяющий общую нормаль к осям S и Т, и ẑ = (φ, d) - дуальный угол между этими осями, то

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.}$

Гаечный ключ

Типичный пример винта - гаечный ключ связанный с силой, действующей на твердое тело. Позволять п быть точкой приложения силы F и разреши п - вектор, располагающий эту точку в фиксированной системе отсчета. Гаечный ключ W = (F, п×F) винт. Результирующая сила и момент, полученные от всех сил F_я, я = 1,...,п, действие на твердое тело - это просто сумма отдельных гаечных ключей W_я, то есть

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Обратите внимание, что в случае двух равных, но противоположных сил F и -F действуя в точках А и B соответственно дает результирующую

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Это показывает, что винты формы

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

можно интерпретировать как чистые моменты.

Крутить

Чтобы определить крутить твердого тела, мы должны рассматривать его движение, определяемое параметризованным набором пространственных перемещений, D (t) = ([A (t)],d(t)), где [A] - матрица вращения и d вектор перевода. Это вызывает точку п который фиксируется в координатах движущегося тела, чтобы проследить кривую п(t) в фиксированной системе отсчета, задаваемой формулой,

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

Скорость п является

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

куда v - скорость начала движущейся системы отсчета, то есть dd/ dt. Теперь замените п =  [А^Т](п − d) в это уравнение, чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

где [Ω] = [dА/ дт][А^Т] - матрица угловой скорости, ω - вектор угловой скорости.

Винт

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

это крутить движущегося тела. Вектор V = v + d × ω - скорость точки в теле, которая соответствует началу неподвижной системы отсчета.

Есть два важных особых случая: (i) когда d постоянно, то есть v = 0, то скручивание - это чистое вращение вокруг прямой, тогда скрутка

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v, то поворот будет чистым скольжением, заданным

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

Революционные суставы

Для революционный сустав, пусть ось вращения проходит через точку q и быть направленным по вектору ω, то скручивание соединения определяется выражением

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.}$

Призматические швы

Для призматический шарнир, пусть вектор v указывает направление скольжения, тогда поворот для соединения задается как,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

Координатная трансформация винтов

Преобразования координат для винтов легко понять, если начать с преобразований координат вектора Плюккера линии, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на линии.

Пусть перемещение тела определяется выражением D = ([А], d), куда [А] - матрица вращения и d вектор перевода. Рассмотрим линию тела, определяемую двумя точками п и q, который имеет Координаты Плюккера,

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

то в фиксированной системе координат мы имеем преобразованные координаты точки п = [А]п + d и Q = [А]q + d, которые уступают.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование для координат Плюккера линий, заданных формулой

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

Матрица [D] - это кососимметричная матрица, выполняющая операцию перекрестного произведения, то есть [D]у = d × у.

Матрица 6 × 6, полученная из пространственного смещения D = ([А], d) можно собрать в двойственную матрицу

${\displaystyle [{\hat {A}}]=([A],[DA]),}$

который действует на винт s = (s.v) чтобы получить,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

Двойственная матрица [Â] = ([А], [DA]) имеет определитель 1 и называется дуальная ортогональная матрица.

Твисты как элементы алгебры Ли

Рассмотрим движение твердого тела, заданное параметризованным однородным преобразованием 4x4,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Это обозначение не различает п = (Икс, Y, Z, 1), и п = (Икс, Y, Z), что, надеюсь, понятно в контексте.

Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Точка обозначает производную по времени, а поскольку п постоянна, его производная равна нулю.

Подставим обратное преобразование вместо п в уравнение скорости, чтобы получить скорость п действуя по его траектории п(т), то есть

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

куда

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Напомним, что [Ω] - матрица угловой скорости. Матрица [S] является элементом алгебры Ли se (3) группы Ли SE (3) однородных преобразований. Компоненты [S] являются составными частями винта, и по этой причине [S] также часто называют поворотом.

Из определения матрицы [S], можно сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

и попросите движение [Т(т)] с постоянной матрицей скручивания [S]. Решением является матричная экспонента

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Эту формулировку можно обобщить так, чтобы при начальной конфигурации грамм(0) в SE (п), и поворот ξ в себе (п), однородное преобразование в новое положение и ориентацию можно вычислить по формуле

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

куда θ представляет параметры преобразования.

Винты отражением

В геометрия трансформации, элементарная концепция трансформации - это отражение (математика). При плоских преобразованиях перевод получается отражением в параллельных линиях, а поворот получается отражением в паре пересекающихся линий. Чтобы произвести преобразование винта из аналогичных концепций, необходимо использовать плоскости в Космос: параллельные плоскости должны быть перпендикулярны ось винта, которая представляет собой линию пересечения пересекающихся плоскостей, которые генерируют вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях производят винтовое преобразование. Традиция инверсивная геометрия заимствует некоторые идеи проективная геометрия и предоставляет язык преобразования, который не зависит от аналитическая геометрия.

Гомография

Комбинация поступательного движения с вращением, вызванным смещением винта, может быть проиллюстрирована с помощью экспоненциальное отображение. Эта идея в геометрии преобразований была продвинута Софус Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон показал Versor форма единичных кватернионов как exp (а р) = cos а + р грех а. Идея тоже есть в Формула Эйлера параметризация единичный круг в комплексная плоскость.

С ε² = 0 для двойные числа, ехр (как) = 1 + как, все остальные члены экспоненциального ряда исчезают.

Позволять F = {1 + εr : р ∈ ЧАС}, ε² = 0. Обратите внимание, что F является стабильный под вращение q → п ⁻¹ qp и под переводом (1+ εr)(1 + εs) = 1 + ε (р + s) для любых векторных кватернионов р и s.F это 3-квартирный в восьмимерном пространстве двойные кватернионы. Эта 3-х квартира F представляет Космос, а омография построен, ограниченный к F, это винтовой смещение пространства.

Позволять а быть половиной угла желаемого поворота вокруг оси р, и br половина смещения на ось винта. Затем форма z = ехр ((а + bε)р ) и z * = exp ((а − bε)р). Теперь омография

${\displaystyle [q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].}$

Обратное для z* является

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

Итак, омография отправляет q к

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Теперь для любого кватернионного вектора п, п* = −п, позволять q = 1 + pε ∈ F где осуществляется необходимое вращение и перемещение.

Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов для кинематика, с последующим Александр Котельников, Эдуард Этюд (Geometrie der Dynamen), и Вильгельм Блашке. Однако точка зрения Софуса Ли повторилась.^[12]В 1940 г. Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтового смещения на стр. 261 История геометрических методов. Он отмечает вклад 1885 г. Артур Буххайм.^[13] Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для реальных кватернионов.

Очевидно группа единиц из звенеть двойных кватернионов является Группа Ли. Подгруппа имеет Алгебра Ли генерируется параметрами а р и б с, куда а, б ∈ р, и р, s ∈ ЧАС. Эти шесть параметров образуют подгруппу единиц, единичную сферу. Конечно, это включает F и 3-сфера из версоры.

Работа сил, действующих на твердое тело

Рассмотрим набор сил F₁, F₂ ... F_п действовать по пунктам Икс₁, Икс₂ ... Икс_п в твердом теле. Траектории Икс_я, я = 1,...,п определяются движением твердого тела с вращением [А(т)] и перевод d(т) Опорной точки в организме, дается

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

куда Икс_я - координаты в движущемся теле.

Скорость каждой точки Икс_я является

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

куда ω - вектор угловой скорости и v является производной от d(т).

Работа сил над перемещением δр_я=v_яδt каждой точки задается

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Определите скорости каждой точки с точки зрения скручивания движущегося тела, чтобы получить

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Разложите это уравнение и соберите коэффициенты при ω и v чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

Введите поворот движущегося тела и действующий на него гаечный ключ, заданный

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

тогда работа принимает форму

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

Матрица 6 × 6 [Π] используется для упрощения расчета работы с использованием винтов, так что

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

куда

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

и [I] - единичная матрица 3 × 3.

Ответные винты

Если виртуальная работа гаечного ключа при скручивании равна нулю, тогда силы и крутящий момент гаечного ключа являются силами ограничения относительно скручивания. Говорят, что гаечный ключ и поворот взаимный, это если

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

затем винты W и Т взаимны.

Повороты в робототехнике

При исследовании роботизированных систем компоненты скрутки часто меняют местами, чтобы исключить необходимость использования матрицы 6 × 6 [Π] при расчете работы.^[4] В этом случае крутка определяется как

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

таким образом расчет работы принимает вид

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

В этом случае, если

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

затем гаечный ключ W обратный поворот Т.

Смотрите также

• Ось винта
• Уравнения Ньютона – Эйлера использует винты для описания движений и нагрузок твердого тела.
• Твист (математика)
• Твист (рациональная тригонометрия)

Рекомендации

1. Диментберг, Ф. М. (1965) Исчисление винта и его приложения в механике, Перевод отдела иностранных технологий FTD-HT-23-1632-67
2. Ян, А. (1974) "Исчисление винтов" в Основные вопросы теории дизайна, Уильям Р. Спиллерс (редактор), Elsevier, стр. 266–281.
3. Болл, Р. С. (1876). Теория винтов: исследование динамики твердого тела.. Ходжес, Фостер.
4. Маккарти, Дж. Майкл; Со, Гим Сонг (2010). Геометрический дизайн связей. Springer. ISBN  978-1-4419-7892-9.
5. Фезерстоун, Рой (1987). Алгоритмы динамики роботов. Kluwer Academic Pub. ISBN  978-0-89838-230-3.
6. Фезерстоун, Рой (2008). Алгоритмы динамики роботов. Springer. ISBN  978-0-387-74315-8.
7. Селиг, Дж. М. (2011) «Рациональная интерполяция движений твердого тела», достижения в теории управления, сигналов и систем с физическим моделированием, конспекты лекций в области управления и информационных наук, том 407/2011 213–224, Дои:10.1007/978-3-642-16135-3_18 Springer.
8. Конг, Сяньвэнь; Госселен, Клеман (2007). Синтез типов параллельных механизмов. Springer. ISBN  978-3-540-71990-8.
9. Феликс Кляйн (1902) (переводчик Д. Х. Дельфениха) О теории винтов сэра Роберта Болла
10. Харви Липкин (1983) Метрическая геометрия В архиве 2016-03-05 в Wayback Machine из Технологический университет Джорджии
11. Клиффорд, Уильям Кингдон (1873), «Предварительный набросок бикватернионов», Бумага XX, Математические статьи, п. 381.
12. Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu и Zhiqiang Zheng (2012) «Геометрическая структура единичных двойных кватернионов с применением в кинематическом управлении», Журнал математического анализа и приложений 389 (2): 1352–64
13. Буххайм, Артур (1885). «Воспоминания о бикватернионах». Американский журнал математики. 7 (4): 293–326. Дои:10.2307/2369176. JSTOR  2369176.

внешняя ссылка

• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд, Департамент дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Рави Банавар отмечает Робототехника, геометрия и управление