Координаты Плюккера - Plücker coordinates

В геометрия, Координаты Плюккера, представлен Юлиус Плюкер в 19 веке - это способ присвоить шесть однородные координаты для каждого линия в проективное 3-пространство, п³. Поскольку они удовлетворяют квадратичному ограничению, они устанавливают индивидуальная переписка между 4-мерным пространством линий в п³ и указывает на квадрика в п⁵ (проективное 5-пространство). Предшественник и частный случай Координаты Грассмана (которые описывают k-мерные линейные подпространства, или квартиры, в п-размерный Евклидово пространство ) Координаты Плюккера естественным образом возникают в геометрическая алгебра. Они оказались полезными для компьютерная графика, а также может быть расширен до координат для винты и гаечные ключи в теории кинематика используется для управление роботом.

Геометрическая интуиция

Смещение и момент двух точек на линии

Линия L в 3-х мерном Евклидово пространство определяется двумя различными точками, которые он содержит, или двумя различными плоскостями, которые его содержат. Рассмотрим первый случай с точками Икс = (Икс₁,Икс₂,Икс₃) и у = (у₁,у₂,у₃). Векторное смещение от Икс к у отличен от нуля, потому что точки различны, и представляет собой направление линии. То есть каждое смещение между точками на L является скалярным кратным d = у − Икс. Если бы физическая частица с единичной массой двигалась из Икс к у, у него будет момент о происхождении. Геометрический эквивалент - это вектор, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей L и начало координат, и длина которого равна удвоенной площади треугольника, образованного смещением и началом координат. Рассматривая точки как смещения от начала координат, момент равен м = Икс × у, где "×" обозначает вектор перекрестное произведение. Для фиксированной линии L, площадь треугольника пропорциональна длине отрезка между Икс и у, рассматриваемый как основание треугольника; она не изменяется при скольжении основания вдоль линии параллельно самой себе. По определению вектор момента перпендикулярен каждому смещению вдоль линии, поэтому d ⋅ м = 0, где "⋅" обозначает вектор скалярное произведение.

Хотя ни d ни м одного достаточно, чтобы определить L, вместе пара делает это однозначно с точностью до общего (ненулевого) скалярного множителя, который зависит от расстояния между Икс и у. То есть координаты

(d:м) = (d₁:d₂:d₃:м₁:м₂:м₃)

можно рассматривать однородные координаты за L, в том смысле, что все пары (λd:λм), за λ ≠ 0, могут быть произведены точками на L и только L, и любая такая пара определяет уникальную строку, пока d не равно нулю и d ⋅ м = 0. Кроме того, этот подход распространяется на точки, линии, а самолет "на бесконечности", в смысле проективная геометрия.

Пример. Позволять Икс = (2,3,7) и у = (2,1,0). Потом (d:м) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

В качестве альтернативы, пусть уравнения для точек Икс двух различных плоскостей, содержащих L быть

0 = а + а ⋅ Икс

0 = б + б ⋅ Икс .

Тогда их соответствующие плоскости перпендикулярны векторам а и б, а направление L должны быть перпендикулярны обоим. Следовательно, мы можем положить d = а × б, которая не равна нулю, поскольку а и б не являются ни нулевыми, ни параллельными (плоскости различны и пересекаются). Если точка Икс удовлетворяет обоим плоским уравнениям, то он также удовлетворяет линейной комбинации

0	= а (б + б ⋅ Икс) − б (а + а ⋅ Икс)
	= (а б − б а) ⋅ Икс .

То есть, м = а б − б а - вектор, перпендикулярный смещениям к точкам на L от происхождения; на самом деле это момент, соответствующий d ранее определено из а и б.

Доказательство 1: Нужно показать, что м = а б − б а = р × d = р × (а × б).

Не теряя общий смысл, позволять а ⋅ а = б ⋅ б = 1.

Плоскость, перпендикулярная линии L и включая происхождение.

Точка B это происхождение. Линия L проходит через точку D и ортогонален плоскости рисунка. Два самолета проходят через CD и DE и оба ортогональны плоскости изображения. Точки C и E являются ближайшими точками на этих плоскостях к началу координат B, поэтому углы BCD и КРОВАТЬ прямые углы, поэтому точки B, C, D, E лежат на окружности (в силу следствия Теорема Фалеса ). BD диаметр этого круга.

а : = BE / || BE ||, б : = BC / || BC || ，р : = BD, -а = || ВЕ || = || BF || ， -б = || BC || = || BG ||, м = аб − ба = FG, ||d|| = ||а × б|| = грех (FBG)

Угол BHF является прямым углом в силу следующего аргумента. Позволять ${ displaystyle epsilon: = angle BEC}$ . С ${ Displaystyle Delta BEC cong Delta BFG}$ (путем сравнения бок-угол-сторона), то ${ displaystyle angle BFG = epsilon}$ . С ${ displaystyle angle BEC + angle CED = 90 ^ { circ}}$ , позволять ${ displaystyle epsilon ': = 90 ^ { circ} - epsilon = angle CED}$ . Посредством теорема о вписанном угле, ${ Displaystyle угол DEC = угол DBC}$ , так ${ Displaystyle угол DBC = epsilon '}$ . ${ displaystyle angle HBF + angle BFH + angle FHB = 180 ^ { circ}}$ ; ${ displaystyle epsilon '+ epsilon + angle FHB = 180 ^ { circ}}$ , ${ displaystyle epsilon + epsilon '= 90 ^ { circ}}$ следовательно ${ displaystyle angle FHB = 90 ^ { circ}}$ . потом DHF также должен быть прямым углом.

Углы DCF и DHF являются прямыми углами, поэтому четыре точки C, D, H, F лежат на окружности, а ( теорема о пересекающихся секущих )

|| BF || || BC || = || BH || || BD ||, то есть ab sin (FBG) = || BH || ||р|| sin (FBG), 2 (площадь треугольника BFG) = ab sin (FBG) = || BH || || FG || = || BH || ||р|| sin (FBG), ||м|| = || FG || = ||р|| sin (FBG) = ||р|| ||d||, проверьте направление и м = р × d. ∎

Доказательство 2:

Позволять а ⋅ а = б ⋅ б = 1. Отсюда следует, что

а = - || BE ||,б = - || BC ||.

Согласно вектор тройное произведение формула

р × (а × б) = (р · б) а − (р · а) б

потом

р × (а × б)	=	а \|\|р\|\| \|\|б\|\| cos (∠DBC) - б \|\|р\|\| \|\|а\|\| cos (∠DBE)
	=	а \|\|р\|\| cos (∠DBC) - б \|\|р\|\| cos (∠DBE)
	=	а \|\| BC \|\| - б \|\| БЫТЬ \|\|
	=	−б а − (−а) б
	=	а б − б а ∎

Когда ||р|| = 0, строка L проходит исходную точку с направлением d. Если ||р|| > 0 линия имеет направление d; плоскость, которая включает начало координат и линию L имеет нормальный вектор м; линия касается окружности на этой плоскости (перпендикулярно м и перпендикулярно плоскости рисунка) с центром в начале координат и радиусом ||р||.

Пример. Позволять а₀ = 2, а = (−1,0,0) и б₀ = −7, б = (0,7; −2). Потом (d:м) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

Хотя обычное алгебраическое определение имеет тенденцию затемнять связь, (d:м) - координаты Плюккера L.

Алгебраическое определение

Первоначальные координаты

В трехмерном проективном пространстве п³, позволять L быть линией, проходящей через различные точки Икс и у с однородные координаты (Икс₀:Икс₁:Икс₂:Икс₃) и (у₀:у₁:у₂:у₃Координаты Плюккера п_ij определяются следующим образом:

{ displaystyle p_ {ij}}

{ displaystyle {} = { begin {vmatrix} x_ {i} & y_ {i} x_ {j} & y_ {j} end {vmatrix}} = x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}.}

(кососимметричная матрица, элементы которой равны п_ij также называется Матрица Плюккера )
Из этого следует п_ii = 0 и п_ij = −п_джи, сокращая возможности до шести (4 выберите 2) независимые величины. Шестиместный

{ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12})}

однозначно определяется L с точностью до общего ненулевого масштабного коэффициента. Кроме того, не все шесть компонентов могут быть нулевыми, поэтому координаты Плюккера L может рассматриваться как однородные координаты точки в 5-мерном проективном пространстве, как указано в обозначении двоеточия.

Чтобы увидеть эти факты, позвольте M - матрица 4 × 2 с координатами точек в столбцах.

{ displaystyle M = { begin {bmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} x_ {3} & y_ {3} конец {bmatrix}}}

Координата Плюккера п_ij определитель строк я и j из M.Потому что Икс и у различные точки, столбцы M находятся линейно независимый; M имеет классифицировать 2. Пусть M ′ - вторая матрица со столбцами Икс' и y ′ другая пара различных точек на L. Тогда столбцы M ′ находятся линейные комбинации колонн M; так что для некоторых 2 × 2 невырожденная матрица Λ,

{ displaystyle M '= M Lambda.}

В частности, строки я и j из M ′ и M связаны

{ displaystyle { begin {bmatrix} x '_ {i} & y' _ {i} x '_ {j} & y' _ {j} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} x_ { i} & y_ {i} x_ {j} & y_ {j} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} lambda _ {00} & lambda _ {01} lambda _ {10} & lambda _ {11} end {bmatrix}}.}

Следовательно, определитель левой матрицы 2 × 2 равен произведению определителей правой матрицы 2 × 2, последний из которых является фиксированным скаляром, det Λ. Кроме того, все шесть субдетерминантов 2 × 2 в M не может быть нулевым, потому что ранг M равно 2.

Карта Плюккера

Обозначим множество всех линий (линейных изображений п¹) в п³ к грамм_1,3. Таким образом, у нас есть карта:

{ displaystyle { begin {align} alpha двоеточие mathrm {G} _ {1,3} & rightarrow mathbf {P} ^ {5} L & mapsto L ^ { alpha}, end {выровнено}}}

куда

{ displaystyle L ^ { alpha} = (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}).}

Двойные координаты

В качестве альтернативы линию можно описать как пересечение двух плоскостей. Позволять L быть линией, содержащейся в различных плоскостях а и б с однородными коэффициентами (а⁰:а¹:а²:а³) и (б⁰:б¹:б²:б³), соответственно. (Первое плоское уравнение ∑_k а^kИкс_k= 0, например.) Двойственная координата Плюккера п^ij является

{ displaystyle p ^ {ij}}

{ displaystyle {} = { begin {vmatrix} a ^ {i} & a ^ {j} b ^ {i} & b ^ {j} end {vmatrix}} = a ^ {i} b ^ {j } -a ^ {j} b ^ {i}.}

Двойные координаты удобны в некоторых вычислениях, и они эквивалентны первичным координатам:

{ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}) = (p ^ {23}: p ^ {31}: p ^ {12}: p ^ {01}: p ^ {02}: p ^ {03})}

Здесь равенство между двумя векторами в однородных координатах означает, что числа в правой части равны числам в левой части с точностью до некоторого общего коэффициента масштабирования. ${ displaystyle lambda}$ . В частности, пусть (я,j,k,ℓ) быть даже перестановка из (0,1,2,3); тогда

{ displaystyle p_ {ij} = lambda p ^ {k ell}.}

Геометрия

Чтобы вернуться к геометрической интуиции, возьмите Икс₀ = 0 как бесконечно удаленная плоскость; таким образом, координаты точек нет на бесконечности можно нормализовать так, чтобы Икс₀ = 1. Тогда M становится

{ Displaystyle M = { begin {bmatrix} 1 & 1 x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} x_ {3} & y_ {3} end {bmatrix}},}

и установка Икс = (Икс₁,Икс₂,Икс₃) и у = (у₁,у₂,у₃), у нас есть d = (п₀₁,п₀₂,п₀₃) и м = (п₂₃,п₃₁,п₁₂).

В итоге у нас есть d = (п²³,п³¹,п¹²) и м = (п⁰¹,п⁰²,п⁰³).

Биекция между линиями и квадрикой Клейна

Плоские уравнения

Если точка z = (z₀:z₁:z₂:z₃) лежит на L, то столбцы

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} x_ {3} & y_ {3} & z_ {3} end {bmatrix}}}

находятся линейно зависимый, так что ранг этой большей матрицы по-прежнему равен 2. Это означает, что все подматрицы 3 × 3 имеют нулевой определитель, порождая четыре (4 выбирают 3) уравнения плоскости, например

{ displaystyle { begin {align} 0 & = { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} end {vmatrix}} [5pt] & = { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} z_ {0} - { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} z_ {1} + { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {1} & y_ {1} end {vmatrix}} z_ {2} [5pt] & = p_ {12} z_ {0} -p_ {02} z_ {1} + p_ {01} z_ {2}. [5pt] & = p ^ {03} z_ {0} + p ^ {13} z_ {1} + p ^ {23} z_ {2}. End {выровнено} }}

Полученные четыре возможных плоскости следующие.

{ displaystyle { begin {matrix} 0 & = & {} + p_ {12} z_ {0} & {} - p_ {02} z_ {1} & {} + p_ {01} z_ {2} & 0 & = & {} - p_ {31} z_ {0} & {} - p_ {03} z_ {1} && {} + p_ {01} z_ {3} 0 & = & {} + p_ {23} z_ {0} && {} - p_ {03} z_ {2} & {} + p_ {02} z_ {3} 0 & = && {} + p_ {23} z_ {1} & {} + p_ { 31} z_ {2} & {} + p_ {12} z_ {3} end {matrix}}}

Используя двойные координаты и позволяя (а⁰:а¹:а²:а³) коэффициенты линии, каждый из них просто а^я = п^ij, или же

{ displaystyle 0 = sum _ {i = 0} ^ {3} p ^ {ij} z_ {i}, qquad j = 0, ldots, 3.}

Каждая координата Плюккера появляется в двух из четырех уравнений, каждый раз умножая другую переменную; и поскольку хотя бы одна из координат отлична от нуля, мы гарантируем непустые уравнения для двух различных плоскостей, пересекающихся в L. Таким образом, координаты Плюккера линии однозначно определяют эту линию, и отображение α является инъекция.

Квадратичное отношение

Образ α не является полным набором точек в п⁵; координаты Плюккера линии L удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера

{ displaystyle { begin {align} 0 & = p_ {01} p ^ {01} + p_ {02} p ^ {02} + p_ {03} p ^ {03} & = p_ {01} p_ { 23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}. End {align}}}

Для доказательства запишем этот однородный многочлен в виде определителей и воспользуемся Разложение лапласа (в обратном порядке).

{ displaystyle { begin {align} 0 & = { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {1} & y_ {1} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} x_ {2 } & y_ {2} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix }} { begin {vmatrix} x_ {3} & y_ {3} x_ {1} & y_ {1} end {vmatrix}} + { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} [5pt] & = (x_ {0} y_ {1} -y_ {0} x_ {1}) { begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} - (x_ {0} y_ {2} -y_ {0} x_ {2}) { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} + (x_ {0} y_ {3} -y_ {0} x_ {3}) { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} [5pt] & = x_ {0} left (y_ {1} { begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} - y_ { 2} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} + y_ {3} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1 } x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} right) -y_ {0} left (x_ {1} { begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} x_ { 3} & y_ {3} end {vmatrix}} - x_ {2} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} + x_ { 3} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} end {vmatrix}} справа) [5pt] & = x_ {0} { begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & y_ {1} x_ {2} & y_ {2} & y_ {2} x_ {3 } & y_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} - y_ {0} { begin {vmatrix} x_ {1} & x_ {1} & y_ {1} x_ {2} & x_ {2} & y_ { 2} x_ {3} & x_ {3} & y_ {3} end {vmatrix}} end {выравнивается}}}

Поскольку оба определителя 3 × 3 имеют повторяющиеся столбцы, правая часть тождественно равна нулю.

Другое доказательство можно сделать так: Так как вектор

{ displaystyle d = left (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03} right)}

перпендикулярно вектору

{ displaystyle m = left (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12} right)}

(см. выше) скалярное произведение d и м должно быть равно нулю! q.e.d.

Точечные уравнения

Позволяя (Икс₀:Икс₁:Икс₂:Икс₃) - координаты точки, каждая из четырех возможных точек на прямой имеет координаты Икс_я = п_ij, за j = 0 ... 3. Некоторые из этих возможных точек могут быть недопустимыми, потому что все координаты равны нулю, но поскольку по крайней мере одна координата Плюккера отлична от нуля, по крайней мере, две различные точки гарантированы.

Биективность

Если (q₀₁:q₀₂:q₀₃:q₂₃:q₃₁:q₁₂) - однородные координаты точки в п⁵, без ограничения общности считаем, что q₀₁ отличен от нуля. Тогда матрица

{ displaystyle M = { begin {bmatrix} q_ {01} & 0 0 & q_ {01} - q_ {12} & q_ {02} q_ {31} & q_ {03} end {bmatrix}}}

имеет ранг 2, поэтому его столбцы представляют собой различные точки, определяющие линию L. Когда п⁵ координаты, q_ij, удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера, они являются координатами Плюккера L. Чтобы увидеть это, сначала нормализуйте q₀₁ к 1. Тогда мы немедленно получаем, что для координат Плюккера, вычисленных из M, п_ij = q_ij, кроме

{ displaystyle p_ {23} = - q_ {03} q_ {12} -q_ {02} q_ {31}.}

Но если q_ij удовлетворяют соотношению Плюккера q₂₃+q₀₂q₃₁+q₀₃q₁₂ = 0, то п₂₃ = q₂₃, завершая набор тождеств.

Следовательно, α является сюрприз на алгебраическое многообразие состоящий из множества нулей квадратичного многочлена

{ displaystyle p_ {01} p_ {23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}.}

А поскольку α также является инъекцией, линии в п³ таким образом в биективный соответствие с пунктами этого квадрика в п⁵, называемая квадрикой Плюккера или Кляйн квадрик.

Использует

Координаты Плюккера позволяют кратко решать задачи линейной геометрии в трехмерном пространстве, особенно те, которые связаны с заболеваемость.

Линия-линия пересечения

Две строки в п³ либо перекос или же копланарный, а в последнем случае они либо совпадают, либо пересекаются в единственной точке. Если п_ij и п′_ij являются координатами Плюккера двух прямых, то они компланарны именно тогда, когда d•м′+м•d′ = 0, как показано

{ displaystyle { begin {align} 0 & = p_ {01} p '_ {23} + p_ {02} p' _ {31} + p_ {03} p '_ {12} + p_ {23} p' _ {01} + p_ {31} p '_ {02} + p_ {12} p' _ {03} [5pt] & = { begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & x'_ {0} & y '_ {0} x_ {1} & y_ {1} & x' _ {1} & y '_ {1} x_ {2} & y_ {2} & x' _ {2} & y'_ {2} x_ {3} & y_ {3} & x '_ {3} & y' _ {3} end {vmatrix}}. End {align}}}

Когда линии скошены, знак результата указывает на чувство пересечения: положительный, если винт с правой резьбой принимает L в L′, Иначе отрицательный.

Квадратичное соотношение Плюккера по существу утверждает, что линия компланарна самой себе.

Линия-линия

В случае, если две прямые копланарны, но не параллельны, их общая плоскость имеет уравнение

0 = (м•d′)Икс₀ + (d×d′)•Икс ,

куда Икс = (Икс₁,Икс₂,Икс₃).

Малейшее возмущение разрушит существование общей плоскости, а почти параллельность линий вызовет численные трудности в поиске такой плоскости, даже если она действительно существует.

Line-line встреча

Две копланарные линии, ни одна из которых не содержит начала координат, имеют общую точку.

(Икс₀ : Икс) = (d•м′:м×м′) .

Чтобы обработать строки, не соответствующие этому ограничению, см. Ссылки.

Встреча на самолете

Учитывая плоскость с уравнением

{ displaystyle 0 = a ^ {0} x_ {0} + a ^ {1} x_ {1} + a ^ {2} x_ {2} + a ^ {3} x_ {3},}

или более кратко 0 = а⁰Икс₀+а•Икс; и учитывая не входящую в него строку с координатами Плюккера (d:м), то их точка пересечения

(Икс₀ : Икс) = (а•d : а×м − а₀d) .

Координаты точки, (Икс₀:Икс₁:Икс₂:Икс₃), можно также выразить через координаты Плюккера как

{ displaystyle x_ {i} = sum _ {j neq i} a ^ {j} p_ {ij}, qquad i = 0 ldots 3.}

Соединение точка-линия

Двойно, учитывая точку (у₀:у) и прямой, не содержащей его, их общая плоскость имеет уравнение

0 = (у•м) Икс₀ + (у×d−у₀м)•Икс .

Координаты плоскости, (а⁰:а¹:а²:а³), можно также выразить через дуальные координаты Плюккера как

{ displaystyle a ^ {i} = sum _ {j neq i} y_ {j} p ^ {ij}, qquad i = 0 ldots 3.}

Семейства линий

Поскольку Кляйн квадрик в п⁵, он содержит линейные подпространства размерности один и два (но не выше). Им соответствуют одно- и двухпараметрические семейства линий в п³.

Например, предположим L и L′ - отдельные линии в п³ определяется по баллам Икс, у и Икс′, у', соответственно. Линейные комбинации их определяющих точек дают линейные комбинации их координат Плюккера, генерируя однопараметрическое семейство линий, содержащих L и L′. Это соответствует одномерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии в самолете

Если три различных и непараллельных прямых лежат в одной плоскости; их линейные комбинации образуют двухпараметрическое семейство линий, все линии на плоскости. Это соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии через точку

Если три различные и некомпланарные линии пересекаются в точке, их линейные комбинации образуют двухпараметрическое семейство линий, все линии проходят через точку. Это также соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линейчатая поверхность

А линейчатая поверхность - это семейство линий, которое не обязательно линейно. Это соответствует кривой на квадрике Клейна. Например, гиперболоид одного листа является квадратичной поверхностью в п³ управляется двумя разными семействами линий, по одной линии каждой проходит через каждую точку поверхности; каждой семье соответствует отображение Плюккера коническая секция в квадрике Клейна в п⁵.

Геометрия линии

В девятнадцатом веке линейная геометрия изучался интенсивно. В терминах приведенной выше биекции это описание внутренней геометрии квадрики Клейна.

трассировка лучей

Геометрия линий широко используется в трассировка лучей приложение, в котором геометрия и пересечения лучей должны быть рассчитаны в 3D. Реализация описана вВведение в координаты Плюккера Написано для форума по трассировке лучей Туисом Джонсом.