Плюккеровское вложение - Plücker embedding

Эта статья об общем вложении Плюккера. Для классического случая 2-плоскостей в 4-пространстве см. Координаты Плюккера.

В математика, то Плюккеровское вложение это метод реализации Грассманиан ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ из всех k-размерный подпространства из п-размерный векторное пространство V как подмножество из проективное пространство. Точнее, карта Плюккера встраивает ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ алгебраически в проективное пространство ${\displaystyle k}$th внешняя сила этого векторного пространства, ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$. Изображение является пересечением ряда квадрик, определяемых соотношениями Плюккера.

Вложение Плюккера было впервые определено в случае k = 2, п = 4 к Юлиус Плюкер как способ описания линий в трехмерном пространстве (которое, как проективные линии в реальном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образ этого вложения - это Кляйн квадрик в RP⁵.

Герман Грассманн обобщенное вложение Плюккера в произвольные k и п. Однородные координаты образа грассманиана ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ при вложении Плюккера относительно естественного базиса во внешнем пространстве ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ соответствующий естественной основе в ${\displaystyle V=K^{n}}$ (куда ${\displaystyle K}$ это база поле ) называются Координаты Плюккера.

Определение

Вложение Плюккера (над полем K) - это карта ι определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota \colon \mathbf {Gr} (k,K^{n})&{}\rightarrow \mathbf {P} (\wedge ^{k}K^{n}),\\\operatorname {span} (v_{1},\ldots ,v_{k})&{}\mapsto [K(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k})],\end{aligned}}}$

куда Gr(k, K^п) - грассманиан, т. е. пространство всех k-мерные подпространства п-размерный векторное пространство K^п.

Это изоморфизм грассманиана к образу ι, что является проективное разнообразие. Это разнообразие можно полностью охарактеризовать как пересечение квадрик, каждая из которых проистекает из отношения в координатах Плюккера (или Грассмана), которое происходит из линейная алгебра.

В скоба кольцо появляется как кольцо полиномиальных функций от внешней степени.^[1]

Соотношения Грассмана – Плюккера

Вложение грассманиана удовлетворяет очень простым квадратичным соотношениям, называемым Соотношения Грассмана – Плюккера. Они показывают, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие в п(∧^kV) и дадим еще один способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана – Плюккера, пусть W быть k-мерное подпространство, натянутое на базис векторов-строк {ш₁, ..., ш_k}. Позволять ${\displaystyle W}$ быть ${\displaystyle k\times n}$ матрица однородных координат, строки которой ш₁, ..., ш_k и разреши W₁, ..., W_п - соответствующие векторы-столбцы. Для любой упорядоченной последовательности ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ из ${\displaystyle k}$ положительные целые числа, пусть ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ быть определяющим фактором ${\displaystyle k\times k}$ матрица со столбцами ${\displaystyle W_{i_{1}},\dots ,W_{i_{k}}}$. Тогда ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ являются Координаты Плюккера элемента ${\displaystyle W}$ грассманиана. Это линейные координаты изображения. ${\displaystyle \iota (W)}$ из ${\displaystyle W}$ под картой Плюккера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

Для любых двух упорядоченных последовательностей:

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

положительных целых чисел ${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$, справедливы следующие однородные уравнения, определяющие образ W под картой Плюккера:

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}W_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}W_{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,}$

куда ${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l}\dots j_{k+1}}$ обозначает последовательность ${\displaystyle j_{1},\dots ,\dots j_{k+1}}$ со сроком ${\displaystyle j_{l}}$ опущено.

Когда тусклый (V) = 4, и k = 2, простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, приведенное выше сводится к одному уравнению. Обозначая координаты п(∧^kV) к W₁₂, W₁₃, W₁₄, W₂₃, W₂₄, W₃₄, образ Gr(2, V) при отображении Плюккера определяется одним уравнением

W₁₂W₃₄ − W₁₃W₂₄ + W₁₄W₂₃ = 0.

В общем, однако, требуется гораздо больше уравнений, чтобы определить плюккеровское вложение грассманиана в проективное пространство.^[2]

Рекомендации

1. Бьёрнер, Андерс; Лас Вергнас, Мишель; Штурмфельс, Бернд; Белый, Нил; Циглер, Гюнтер (1999), Ориентированные матроиды, Энциклопедия математики и ее приложений, 46 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, п. 79, ISBN  0-521-77750-X, Zbl  0944.52006
2. Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 211, ISBN  0-471-05059-8, МИСТЕР  1288523, Zbl  0836.14001

дальнейшее чтение

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-23707-0. Zbl  1090.13001.