Кляйн квадрик - Klein quadric

В математика, линии трехмерного проективное пространство, S, можно рассматривать как точки 5-мерного проективного пространства, Т. В этом 5-м пространстве точки, представляющие каждую строку в S лежать на квадрика, Q известный как Кляйн квадрик.

Если основной векторное пространство из S это 4-мерное векторное пространство V, тогда Т имеет в качестве основного векторного пространства 6-мерное внешний квадрат Λ²V из V. В координаты линии полученные таким образом известны как Координаты Плюккера.

Эти координаты Плюккера удовлетворяют квадратичному соотношению

{ displaystyle p_ {12} p_ {34} + p_ {13} p_ {42} + p_ {14} p_ {23} = 0}

определение Q, куда

{ displaystyle p_ {ij} = u_ {i} v_ {j} -u_ {j} v_ {i}}

координаты линии охватывал двумя векторами ты и v.

3-х местный, S, можно снова восстановить по квадрике, Q: самолеты, содержащиеся в Q распасться на два классы эквивалентности, где плоскости одного класса встречаются в одной точке, а плоскости разных классов встречаются на одной линии или в пустом множестве. Пусть эти классы будут ${ displaystyle C}$ и ${ displaystyle C '}$ . В геометрия из S извлекается следующим образом:

Пункты S самолеты в C.
Линии S точки Q.
Самолеты S самолеты в C’.

Тот факт, что геометрия S и Q изоморфны, можно объяснить изоморфизм из Диаграммы Дынкина А₃ и D₃.

Кляйн квадрик - Klein quadric

Рекомендации