Метрика Кэли – Клейна - Cayley–Klein metric

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта - это логарифм поперечного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их линии с абсолютным значением.

В математике Метрика Кэли – Клейна это метрика в дополнение к фиксированной квадрика в проективное пространство который определяется с помощью перекрестное соотношение. Строительство началось с Артур Кэли очерк «К теории расстояния».^[1] где он называет квадрику абсолютный. Конструкция была разработана более подробно Феликс Кляйн в статьях 1871 и 1873 гг., а также в последующих книгах и статьях.^[2] Метрики Кэли – Клейна - это объединяющая идея в геометрии, поскольку этот метод используется для предоставления метрик в гиперболическая геометрия, эллиптическая геометрия, и Евклидова геометрия. Поле неевклидова геометрия в значительной степени опирается на метрики Кэли – Клейна.

Фонды

В алгебра бросков к Карл фон Штаудт (1847) - подход к геометрии, не зависящий от метрика. Идея заключалась в использовании отношения проективные гармонические сопряжения и перекрестные отношения как основа измерения на линии.^[3] Еще одним важным открытием было Формула Лагерра к Эдмон Лагерр (1853), который показал, что евклидов угол между двумя прямыми может быть выражен как логарифм кросс-отношения.^[4] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или коники выступая в качестве абсолютный геометрии.^[5][6] Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, порожденном геометрическим расположением четырех точек.^[7] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если поперечное отношение - это просто двойное отношение ранее определенных расстояний.^[8] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли – Клейна.^[9]

Геометрия Кэли – Клейна это исследование группа движений которые оставляют метрику Кэли – Клейна инвариантный. Это зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютный пространства. Эта группа получается как коллинеации для которого абсолют стабильный. В самом деле, кросс-отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить сравнение показателей, которое будет равенством. Например, единичный круг является абсолютом Модель диска Пуанкаре и Модель Бельтрами – Клейна в гиперболическая геометрия. Точно так же реальная линия является абсолютом Модель полуплоскости Пуанкаре.

Степень применения геометрии Кэли-Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году:^[10]

Есть три абсолюта в реальной проективной линии, семь в реальной проективной плоскости и 18 в реальном проективном пространстве. Таким образом можно определить все классические неевклидовы проективные пространства как гиперболические, эллиптические, галилеевы и минковские и их двойственные.

Кэли-Кляйн Диаграммы Вороного являются аффинными диаграммами с линейными гиперплоскость биссектрисы.^[11]

Поперечное соотношение и расстояние

Предположим, что Q фиксированная квадрика в проективном пространстве, которая становится абсолютный этой геометрии. Если а и б 2 точки, то линия, проходящая через а и б пересекает квадрику Q еще в двух точках п и q. Расстояние Кэли – Клейна d(а,б) из а к б пропорциональна логарифму перекрестное соотношение:^[12]

${\displaystyle d(a,b)=C\log {\frac {|bp||qa|}{|ap||qb|}}}$ для некоторой фиксированной константы C.

Когда C реально, он представляет собой гиперболическое расстояние гиперболическая геометрия, когда воображаемый, это относится к эллиптическая геометрия. Абсолют также может быть выражен в терминах произвольных квадрик или коники имеющий форму в однородные координаты:

${\displaystyle \Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\ \left(\omega _{\alpha \beta }=\omega _{\beta \alpha }\right)}$

(где α, β = 1,2,3 относится к плоскости, а α, β = 1,2,3,4 - к пространству), таким образом:^[13]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}d&=C\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}\\&=2iC\cdot \operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum \omega _{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\end{matrix}}\end{matrix}}}$

Соответствующее гиперболическое расстояние равно (с C= 1/2 для упрощения):^[14]

${\displaystyle d=\operatorname {acosh} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$

или в эллиптической геометрии (с C = я/ 2 для упрощения)^[15]

${\displaystyle d=\operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$

Нормальные формы абсолюта

Любой квадрика (или поверхность второго порядка) с действительными коэффициентами вида ${\displaystyle \Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}$ могут быть преобразованы в нормальную или каноническую форму в терминах сумм квадратов, при этом разница в количестве положительных и отрицательных знаков не меняется при реальном однородном преобразовании определителя 0 на Закон инерции Сильвестра, со следующей классификацией («нулевая часть» означает действительное уравнение квадрики, но без вещественных точек):^[16]

---

Я. Правильные поверхности второго порядка.

1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0}$. Поверхность с нулевыми частями.

2. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$. Овал поверхность.

а) Эллипсоид

б) Эллиптический параболоид

в) двухлистный гиперболоид

3. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$. Поверхность кольца.

а) Однополостный гиперболоид

б) Гиперболический параболоид

II. Конические поверхности второго порядка.

1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}$. Конус с нулевой детализацией.

а) нулевая часть конус

б) нулевая часть цилиндр

2. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$. Обычный конус.

а) Конус

б) Эллиптический цилиндр

в) Параболический цилиндр

г) Гиперболический цилиндр

III. Пары самолетов.

1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0}$. Сопряженные пары воображаемых плоскостей.

а) Взаимно пересекающиеся воображаемые плоскости.

б) Параллельные воображаемые плоскости.

2. ${\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0}$. Реальные пары самолетов.

а) взаимно пересекающиеся плоскости.

б) Параллельные плоскости.

в) Одна плоскость конечна, другая бесконечно удалена, поэтому с аффинной точки зрения не существует.

IV. Самолеты с двойным счетом.

1. ${\displaystyle x_{1}^{2}=0}$.

а) Конечная плоскость с двойным счетом.

б) Двойной счет бесконечно удаленной плоскости, не существующей в аффинной геометрии.

---

В коллинеации оставив неизменными эти формы, можно связать с дробно-линейные преобразования или же Преобразования Мебиуса.^[17] Такие формы и их преобразования теперь могут применяться к нескольким типам пространств, которые можно объединить с помощью параметра ε (где ε = 0 для евклидовой геометрии, ε = 1 для эллиптической геометрии, ε = -1 для гиперболической геометрии), поэтому что уравнение на плоскости становится ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{3}^{2}=0}$^[18] и в космосе ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{4}^{2}=0}$.^[19] Например, абсолют для евклидовой плоскости теперь может быть представлен как ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0,\ x_{3}=0}$.^[20]

Эллиптическая плоскость или пространство связаны с поверхностями нулевой части в однородных координатах:^[21]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}}}}&d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}$

или с использованием неоднородных координат ${\displaystyle \left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots ,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots ,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]}$ посредством чего абсолют становится воображаемым единичным кругом или единичной сферой:^[22]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}+1=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+1}}}}&d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}}}\end{array}}}$

или выразив однородные координаты через условие ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+\dots +y_{n}^{2}=1}$ (Координаты Вейерштрасса) расстояние упрощается до:^[23]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)&d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}$

Гиперболическая плоскость или пространство связаны с овальной поверхностью в однородных координатах:^[24]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}}}}}&d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}$

или с использованием неоднородных координат ${\displaystyle \left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots ,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots ,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]}$ по которой абсолют становится единичным кругом или единичной сферой:^[25]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}-1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}-1=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}-1}}}}&d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}}}\end{array}}}$

или выразив однородные координаты через условие ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots -x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots -y_{n}^{2}=-1}$ (Координаты Вейерштрасса модель гиперболоида ) расстояние упрощается до:^[26]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\right)&d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}$

Специальная теория относительности

Основная статья: История преобразований Лоренца

В своих лекциях по истории математики 1919/20, опубликованных посмертно в 1926 году, Кляйн писал:^[27]

Дело ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ в четырехмерном мире или ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$ (оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) недавно приобрела особое значение благодаря теория относительности физики.

То есть абсолюты ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$ или же ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$ в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$ или же ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ в пространство-время, а его преобразование, оставляющее абсолютный инвариант, можно связать с Преобразования Лоренца. Точно так же уравнения единичного круга или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям ${\displaystyle \left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}=1}$ или же ${\displaystyle \left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dz}{dt}}\right)^{2}=1}$ в теории относительности, которые ограничены скорость света  c, так что для любой физической скорости v, Соотношение v/c ограничен внутренней частью единичной сферы, и поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии.

Дополнительные сведения о связи между метрикой Кэли – Клейна для гиперболического пространства и Пространство Минковского специальной теории относительности были отмечены Клейном в 1910 г.,^[28] а также в издании 1928 года его лекций по неевклидовой геометрии.^[29]

Аффинная CK-геометрия

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первый из Круговые теоремы Клиффорда и другая евклидова геометрия с использованием аффинная геометрия связаны с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит строку, то получается подсемейство аффинные геометрии Кэли-Клейна. Если абсолют состоит из строки ж и точка F на ж, то имеем изотропная геометрия. An изотропный круг коническое касание ж в F.^[30]

Использовать однородные координаты (х, у, г). Линия ж на бесконечности z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.

Позволять п = (1,0,0) и Q = (0,1,0) быть на абсолюте, поэтому ж как указано выше. Прямоугольная гипербола в (х, у) самолет считается проходящим через п и Q на бесконечной линии. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы окружности.

В лечении Мартини и Спировой используются двойные числа для изотропной геометрии и разделенные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа ассоциируются со своей геометрией как обычные сложные числа делать с евклидовой геометрией.

История

Кэли

Недавно в разговоре возник вопрос, может ли диссертация в 2 строки заслужить и получить стипендию. ... Проективное определение длины Кэли - ясный случай, если мы можем интерпретировать «2 линии» с разумной широтой. ... Что касается Кэли, важность идеи очевидна с первого взгляда.

Литтлвуд (1986, стр. 39–40).

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородные координаты:^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline (a,b,c)(x,y)^{2}=0&\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\&\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{array}}}$

Расстояние между двумя точками тогда определяется как

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}&\cos ^{-1}{\frac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}}\\&\left[\alpha ,\beta =1,2\right]\end{array}}}$

В двух измерениях

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline (a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0&\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\\&\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}$

с расстояния

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \cos ^{-1}{\frac {(a,\dots )(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots )(x',y',z')^{2}}}}}&\cos ^{-1}{\frac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\&\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}$

из которых он обсуждал особый случай ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$ с расстояния

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$

Он также сослался на дело ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ (единичная сфера).

Кляйн

Феликс Кляйн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он написал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат:^[31]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0&\Omega =\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\&\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{array}}}$

и формируя абсолюты ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ и ${\displaystyle \Omega _{yy}}$ для двух элементов он определил метрическое расстояние между ними в терминах поперечного отношения:

${\displaystyle {\begin{matrix}c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \operatorname {arccos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\\\hline {\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}{\text{original}}\\\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\\\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{modern}}\\\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}\end{array}}\end{matrix}}}$

На плоскости справедливы те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что ${\displaystyle \Omega _{xx}}$ и ${\displaystyle \Omega _{yy}}$ теперь связаны с тремя координатами ${\displaystyle x,y,z}$ каждый. В качестве основного конического сечения он рассмотрел частный случай ${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$, которая относится к гиперболической геометрии, когда она действительна, и к эллиптической геометрии, когда она мнима.^[32] Преобразования, оставляющие эту форму неизменной, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение круга в виде ${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$, которая относится к гиперболической геометрии, когда ${\displaystyle c}$ положительна (модель Бельтрами – Клейна) или эллиптической геометрии, когда ${\displaystyle c}$ отрицательный.^[33] В космосе он обсуждал фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые относятся к эллиптической геометрии, а действительные и прямолинейные - к однослойной. гиперболоид не имеющий отношения к одной из трех основных геометрий, в то время как действительные и непрямолинейные относятся к гиперболическому пространству.

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований.^[34] В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, могут быть преобразованы в сумму квадратов, в которой разность между числом положительных и отрицательных знаков остается равной (теперь это называется Закон инерции Сильвестра ). Если знак у всех квадратов одинаковый, поверхность мнимая с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоид или двухлистный гиперболоид с отрицательной кривизной.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 (опубликовано 1892/1893) он обсуждал неевклидову плоскость, используя следующие выражения для абсолюта:^[35]

${\displaystyle {\begin{matrix}\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left[\alpha ,\beta =1,2,3\right]\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&\mathrm {(elliptic)} \\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&\mathrm {(hyperbolic)} \end{matrix}}}$

и обсудили их инвариантность относительно коллинеации и Преобразования Мебиуса представляющие движения в неевклидовых пространствах.

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 года (также опубликованные в 1892/1893 годах), Кляйн обсуждал неевклидово пространство с метрикой Кэли.^[36]

${\displaystyle \sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\ \left[\alpha ,\beta =1,2,3,4\right]}$

и продолжил показывать, что варианты этой четвертичной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм с помощью вещественных линейных преобразований^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$

Форма ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$ Клейн использовал как абсолют Кэли эллиптической геометрии,^[38] а к гиперболической геометрии он относил ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ и альтернативно уравнение единичной сферы ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$.^[39] В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.

Роберт Фрике и Кляйн резюмировал все это во введении к первому тому лекций по автоморфные функции в 1897 году, в котором они использовали ${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$ как абсолют в плоской геометрии, и ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ а также ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$ для гиперболического пространства.^[40] Лекции Кляйна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы одним томом и значительно отредактированы Вальтером Роземаном в 1928 году.^[41] Исторический анализ работ Кляйна по неевклидовой геометрии был дан А’Кампо и Пападопулосом (2014).^[9]

Смотрите также

• Метрика Гильберта

Примечания

1. Кэли (1859 г.), стр. 82, §§209–229
2. Кляйн (1871, 1873), Кляйн (1893ab), Фрике / Кляйн (1897), Кляйн (1910), Кляйн / Акерман (1926/1979), Кляйн / Роземан (1928)
3. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 163
4. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 138
5. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 303
6. Пьерпон (1930), стр. 67ff
7. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 163, 304
8. Рассел (1898 г.), стр.
9. Кампо и Пападопулос (2014)
10. H&R Струве (2004), стр.157
11. Нильсен (2016)
12. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 164
13. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 167ff
14. Веблен и Янг (1918), стр. 366
15. Веблен и Янг (1918), стр. 372
16. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 68; См. Также классификации на стр. 70, 72, 74, 85, 92.
17. Кляйн и Роземанн (1928), глава III
18. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 109f
19. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 125f
20. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 132f
21. Кляйн и Роземанн (1928), стр. 149, 151, 233
22. Либманн (1923), стр. 111, 118
23. Убийство (1885), стр. 18, 57, 71 с k²= 1 для эллиптической геометрии
24. Кляйн и Роземанн (1928), стр.185, 251
25. Хаусдорф (1899), стр. 192 для самолета
26. Убийство (1885), стр. 18, 57, 71 с k²= -1 для гиперболической геометрии
27. Кляйн / Акерман (1926/1979), стр. 138
28. Кляйн (1910)
29. Кляйн и Роземанн (1928), глава XI, §5
30. Мартини и Спирова (2008)
31. Кляйн (1871), стр. 587
32. Кляйн (1871), стр. 601
33. Кляйн (1871), стр. 618
34. Кляйн (1873 г.), § 7
35. Кляйн (1893a), стр. 64, 94, 109, 138
36. Кляйн (1893b), стр. 61
37. Кляйн (1893b), стр. 64
38. Кляйн (1893b), стр. 76ff, 108ff
39. Кляйн (1893b), стр. 82ff, 142ff
40. Фрике и Кляйн (1897), Введение, стр. 1-60
41. Кляйн и Роземанн (1928)

Рекомендации

Исторический

• фон Штаудт, К. (1847). Geometrie der Lage. Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
• Лагер, Э. (1853). "Note sur la théorie des foyers". Nouvelles annales de mathématiques. 12: 57–66.
• Кэли, А. (1859). «Шестые мемуары о квантах». Философские труды Лондонского королевского общества. 149: 61–90. Дои:10.1098 / рстл.1859.0004.
• Кляйн, Ф. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573–625. Дои:10.1007 / BF02100583.
• Кляйн, Ф. (1873). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 6 (2): 112–145. Дои:10.1007 / BF01443189.
• Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90. Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)
• Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890. Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)

Вторичные источники

• Киллинг, У. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Лейпциг: Тойбнер.
• Fricke, R .; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Лейпциг: Тойбнер.
• Бертран Рассел (1898) Очерк основ геометрии, переиздан в 1956 г. Dover Книги
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра, Книга VI Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 Теория расстояния Кэли.
• Хаусдорф, Ф. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Math.-Phys. Берихте. 51: 161–214.
• Дункан Соммервилл (1910/11) "Метрики Кэли-Клейна в п-мерное пространство », Труды Эдинбургского математического общества 28:25–41.
• Кляйн, Феликс (1910). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 19: 533–552. Дои:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN  978-3-642-51898-0. Перепечатано в Кляйн, Феликс (1921). Gesammelte Mathematische Abhandlungen. 1. С. 533–552. Дои:10.1007/978-3-642-51960-4_31. Английский перевод Дэвида Дельфенича: О геометрических основах группы Лоренца
• Веблен О. и Янг Дж. (1918). Проективная геометрия. Бостон: Джинн.
• Либманн, Х. (1923). Nichteuklidische Geometrie. Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
• Кляйн, Ф. (1926). Courant, R .; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Берлин: Springer.; Английский перевод: Развитие математики в XIX веке М. Акермана, Math Sci Press
• Кляйн, Ф. (1928). Роземанн, В. (ред.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie. Берлин: Springer.
• Пьерпон, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива». Бюллетень Американского математического общества. 36 (2): 66–76. Дои:10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5.
• Литтлвуд, Дж. Э. (1986) [1953], Сборник Литтлвуда, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-33058-9, МИСТЕР  0872858
• Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологический институт Джорджии
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), "Проективные пространства с метрикой Кэли – Клейна", Журнал геометрии, 81 (1): 155–167, Дои:10.1007 / s00022-004-1679-5, ISSN  0047-2468, МИСТЕР  2134074
• Мартини Хорст, Спирова Маргарита (2008). "Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли-Клейна". Periodica Mathematica Hungarica. 57 (2): 197–206. Дои:10.1007 / s10998-008-8197-5.
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли – Клейна», Журнал геометрии, 89 (1): 151–170, Дои:10.1007 / s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, МИСТЕР  2739193
• A’Campo, N .; Пападопулос, А. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». In Ji, L .; Пападопулос, А. (ред.). Софус Ли и Феликс Кляйн: программа Эрлангена и ее влияние на математику и физику. С. 91–136. arXiv:1406.7309. Дои:10.4171/148-1/5. ISBN  978-3-03719-148-4.
• Нильсен, Франк; Музеллец, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация со смесями изогнутых метрик Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP), 2016 г., стр. 241–245, Дои:10.1109 / ICIP.2016.7532355, ISBN  978-1-4673-9961-6

дальнейшее чтение

• Ян Дрослер (1979) "Основы многомерного метрического масштабирования в геометриях Кэли-Клейна", Британский журнал математической и статистической психологии 32(2); 185–211