Формула Лагерра - Laguerre formula

В Формула Лагерра (названный в честь Эдмон Лагерр ) обеспечивает острый угол ${\displaystyle \phi }$ между двумя настоящими линиями,^[1][2] следующее:

${\displaystyle \phi =|{\frac {i}{2}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|}$

куда:

• ${\displaystyle \operatorname {Log} }$ главная ценность комплексный логарифм
• ${\displaystyle \operatorname {Cr} }$ это перекрестное соотношение четырех коллинеарных точек
• ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ являются указывает на бесконечность линий
• ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ пересечения абсолютная коническая, имея уравнения ${\displaystyle x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}$, с соединением линии ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$.

Выражение между вертикальными полосами - это действительное число.

Формула Лагерра может быть полезна в компьютерное зрение, поскольку абсолютная коника имеет изображение на плоскости сетчатки, которое инвариантно относительно перемещений камеры, а поперечное соотношение четырех коллинеарных точек одинаково для их изображений на плоскости сетчатки.

Вывод

Можно предположить, что линии проходят через начало координат. Любой изометрия оставляет абсолютный конический инвариант, это позволяет принять в качестве первой строки Икс ось и вторая линия, лежащая в плоскости z= 0. В однородные координаты из вышеперечисленных четырех пунктов

${\displaystyle (0,1,i,0),\ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0),}$

соответственно. Их неоднородные координаты на бесконечной прямой плоскости z= 0 являются ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle -i}$, 0, ${\displaystyle \pm \sin \phi /\cos \phi }$. (Обмен ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ изменяет поперечное отношение на обратное, поэтому формула для ${\displaystyle \phi }$ дает тот же результат.) Теперь из формула кросс-отношения у нас есть${\displaystyle \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i\cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.}$

Рекомендации

1. Рихтер-Геберт, Юрген (04.02.2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной геометрии. Springer Science & Business Media. С. 342–. ISBN  9783642172861. Получено 18 сентября 2014.
2. Фишер, Роберт Б .; Breckon, Toby P .; Доусон-Хау, Кеннет; Эндрю Фитцгиббон; Крейг Робертсон; Эмануэле Трукко; Кристофер К. И. Уильямс (2013-11-08). Словарь компьютерного зрения и обработки изображений. Вайли. С. 148–. ISBN  9781118706800. Получено 18 сентября 2014.

• О. Фогерас. Трехмерное компьютерное зрение. MIT Press, Кембридж, Лондон, 1999.