Геометрия трансформации - Transformation geometry

Отражение от оси, за которым следует отражение от второй оси, параллельной первой, приводит к общему движению, которое перевод.
Отражение от оси, за которым следует отражение от второй оси, не параллельной первой, приводит к общему движению, которое является вращение вокруг точки пересечения осей.

В математика, геометрия трансформации (или же трансформационная геометрия) - это название математического и педагогический взять на себя изучение геометрия сосредоточив внимание на группы из геометрические преобразования, и свойства, которые инвариантный под ними. Он противоположен классическому синтетическая геометрия подход Евклидова геометрия, который фокусируется на доказательстве теоремы.

Например, в геометрии преобразования свойства равнобедренного треугольника выводятся из того факта, что он отображается на себя с помощью отражение около определенной линии. Это контрастирует с классическими доказательствами по критерию конгруэнтность треугольников.[1]

Первые систематические попытки использовать преобразования в качестве основы геометрии были предприняты Феликс Кляйн в 19 ​​веке под названием Программа Эрланген. В течение почти столетия этот подход оставался ограниченным кругами исследователей математики. В 20 веке были предприняты попытки использовать его для математическое образование. Андрей Колмогоров включил этот подход (вместе с теория множеств ) в рамках предложения по реформе преподавания геометрии в Россия.[2] Эти усилия завершились в 1960-х годах общей реформой преподавания математики, известной как Новая математика движение.

Педагогика

Изучение геометрии трансформации часто начинается с изучения симметрия отражения как в повседневной жизни. Первое настоящее преобразование - это отражение в линию или отражение против оси. В сочинение двух отражений приводит к вращение когда линии пересекаются, или перевод когда они параллельны. Таким образом, посредством преобразований студенты узнают о Изометрия евклидовой плоскости. Например, рассмотрите отражение в вертикальной линии и линии, наклоненной под углом 45 ° к горизонтали. Можно заметить, что одна композиция дает четверть оборота (90 °) против часовой стрелки, а обратная композиция дает четверть оборота по часовой стрелке. Такие результаты показывают, что геометрия трансформации включает некоммутативный процессы.

Развлекательное применение отражения в строке происходит в доказательстве треугольник с площадью одной седьмой встречается в любом треугольнике.

Еще одно преобразование, представленное молодым студентам, - это расширение. Тем не менее отражение в круге трансформация кажется неуместной для младших классов. Таким образом инверсивная геометрия, более обширное исследование, чем геометрия преобразования начальной школы, обычно предназначено для студентов колледжей.

Эксперименты с бетоном группы симметрии уступить место абстрактным теория групп. В других конкретных действиях используются вычисления с сложные числа, гиперкомплексные числа, или же матрицы для выражения геометрии преобразования. Такие уроки геометрии преобразования представляют альтернативный взгляд, который контрастирует с классическим синтетическая геометрия. Когда студенты сталкиваются с аналитическая геометрия, идеи координатные вращения и отражения следовать легко. Все эти концепции готовятся к линейная алгебра где концепция отражения расширяется.

Педагоги проявили некоторый интерес и рассказали о проектах и ​​опыте использования геометрии трансформации для детей от детского сада до старшей школы. В случае с детьми очень раннего возраста, чтобы избежать введения новой терминологии и связать их с повседневным опытом учащихся с конкретными объектами, иногда рекомендуется использовать знакомые им слова, такие как «перевертыши» для отражения линий », слайды «для перевода» и «повороты» для вращения, хотя это не точный математический язык. В некоторых предложениях учащиеся начинают с выполнения с конкретными объектами, прежде чем они выполнят абстрактные преобразования через свои определения отображения каждой точки фигуры.[3][4][5][6]

Стремясь реструктурировать курсы геометрии в России, Колмогоров предложил представить их с точки зрения трансформаций, поэтому курсы геометрии были построены на основе теория множеств. Это привело к появлению в школах термина «конгруэнтный» для фигур, которые раньше назывались «равными»: поскольку фигура рассматривалась как набор точек, она могла быть равна только самой себе, и два треугольника, которые могли перекрываться. изометриями были названы конгруэнтный.[2]

Один автор отметил важность теория групп к геометрии преобразования следующим образом:

Я приложил немало усилий, чтобы развить на основе первых принципов всю необходимую мне теорию групп с намерением, чтобы моя книга могла служить первым введением в группы преобразований и понятия абстрактной теории групп, если вы никогда их не видели.[7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Жорж Глезер - Кризис преподавания геометрии
  2. ^ а б Александр Карп и Брюс Р. Фогели - Российское математическое образование: программы и практики, Том 5, стр. 100–102
  3. ^ Р.С. Геометрия преобразований Миллмана-Кляйниана, Amer. Математика. Ежемесячный 84 (1977)
  4. ^ ЮНЕСКО - Новые тенденции в преподавании математики, т.3, 1972 г. / стр. 8
  5. ^ Барбара Зорин - Геометрические преобразования в учебниках математики для средней школы
  6. ^ ЮНЕСКО - Исследования в области математического образования. Обучение геометрии
  7. ^ Майлз Рид И Балаж Сендрой (2005) Геометрия и топология, стр. xvii, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-61325-6, Г-Н2194744