Геометрическая трансформация - Geometric transformation

Не путать с Геометрия трансформации.

В математика, а геометрическое преобразование есть ли биекция из набор самому себе (или другому подобному набору) с некоторой заметной геометрической основой.^[1] В частности, это функция, домен и диапазон которой являются наборами точек - чаще всего оба ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ или оба ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ - такие, что функция инъективный так что это обратный существуют.^[2] Изучение геометрия можно подойти через изучение этих преобразований.^[3]

Геометрические преобразования можно классифицировать по размерности их наборов операндов (таким образом, различая, скажем, плоские преобразования и пространственные преобразования). Их также можно классифицировать по сохраняемым свойствам:

• Смещения сохранять расстояния и ориентированные углы (например., переводы );^[4]
• Изометрии сохранять углы и расстояния (например, Евклидовы преобразования );^[5][6]
• Сходства сохранять углы и соотношения между расстояниями (например, изменение размера);^[7]
• Аффинные преобразования сохранять параллелизм (например., масштабирование, срезать );^[6][8]
• Проективные преобразования сохранять коллинеарность;^[9]

Каждый из этих классов содержит предыдущий.^[9]

• Преобразования Мебиуса используя комплексные координаты на плоскости (а также инверсия круга ) сохраняет набор всех линий и окружностей, но может менять местами линии и окружности.

• 

  Исходное изображение (на основе карты Франции)

• 

  Изометрия

• 

  Сходство

• 

  Аффинное преобразование

• 

  Проективное преобразование

• 

  инверсия

• Диффеоморфизмы (бидифференцируемые преобразования) - преобразования, аффинные в первом порядке; они содержат предыдущие как частные случаи и могут быть дополнительно уточнены.^[10]
• Конформные преобразования сохраняют углы и являются, в первую очередь, подобиями.
• Эквиареальные преобразования, сохранить области в плоском случае или объемы в трехмерном случае.^[11] и являются в первом порядке аффинными преобразованиями детерминант 1.
• Гомеоморфизмы (бинепрерывные преобразования) сохраняют окрестности точек.

• 

  Конформное преобразование

• 

  Эквиареальная трансформация

• 

  Диффеоморфизм

• 

  Гомеоморфизм

Преобразования однотипной формы группы это могут быть подгруппы других групп преобразований.

Смотрите также

• Программа Эрланген
• Отражение
• Жесткое преобразование
• Вращение
• Топология
• Матрица трансформации

Рекомендации

1. "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - преобразование". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2020-05-02.
2. Залман Усискин, Энтони Л. Перессини, Елена Маркизотто – Математика для учителей старших классов: перспективы для продвинутых, стр. 84.
3. Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии, Пирсон Прентис Холл, п. 285, г. ISBN  9780131437005
4. «Перевод геометрии». www.mathsisfun.com. Получено 2020-05-02.
5. «Геометрические преобразования - евклидовы преобразования». pages.mtu.edu. Получено 2020-05-02.
6. Геометрическая трансформация, п. 131, в Google Книги
7. «Преобразования». www.mathsisfun.com. Получено 2020-05-02.
8. «Геометрические преобразования - аффинные преобразования». pages.mtu.edu. Получено 2020-05-02.
9. Лиланд Уилкинсон, Д. Уиллс, Д. Роуп, А. Нортон, Р. Даббс - 'Геометрическая трансформация, п. 182, в Google Книги
10. stevecheng (13 марта 2013 г.). "первая фундаментальная форма" (PDF). planetmath.org. Получено 2014-10-01.
11. Геометрическая трансформация, п. 191, в Google Книги Брюс Э. Мезерв - Основные концепции геометрии, стр. 191.]

дальнейшее чтение

• Адлер, Ирвинг (2012) [1966], Новый взгляд на геометрию, Дувр, ISBN  978-0-486-49851-5
• Диенес, З.П.; Голдинг, Э. У. (1967). Геометрия через преобразования (3 тт.): Геометрия искажения, Геометрия конгруэнтности, и Группы и координаты. Нью-Йорк: Гердер и Гердер.
• Дэвид Ганс – Преобразования и геометрии.
• Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN  0-8284-1087-9.
• Джон МакКлири - Геометрия с отличительной точки зрения.
• Моденов, П. С .; Пархоменко, А. С. (1965). Геометрические преобразования (2 тт.): Евклидовы и аффинные преобразования, и Проективные преобразования. Нью-Йорк: Academic Press.
• А. Н. Прессли - Элементарная дифференциальная геометрия.
• Яглом, И.М. (1962, 1968, 1973, 2009) . Геометрические преобразования (4 тт.). Случайный дом (I, II и III), MAA (I, II, III и IV).