Треугольник с площадью одной седьмой - One-seventh area triangle

Площадь розового треугольника составляет одну седьмую от площади большого треугольника ABC.

В плоская геометрия, треугольник ABC содержит треугольник одной седьмой площадь из ABC формируется следующим образом: стороны этого треугольника лежат на чевианы р, д, г куда

п соединяет А в точку на до н.э это одна треть расстояния от B к C,
q соединяет B в точку на CA это одна треть расстояния от C к А,
р соединяет C в точку на AB это одна треть расстояния от А к B.

Доказательство существования треугольник с площадью одной седьмой следует из построения шести параллельных прямых:

два параллельно п, один через C, другой через q.r
два параллельно q, один через А, другой через r.p
два параллельно р, один через B, другой через p.q.

Предложение Хьюго Штайнхаус состоит в том, что (центральный) треугольник со сторонами р, д, г отражаться в его сторонах и вершинах.[1] Эти шесть дополнительных треугольников частично покрывают ABC, и оставьте шесть нависающих дополнительных треугольников снаружи ABC. Ориентация на параллельность полной конструкции (предлагается Мартин Гарднер через Джеймс Рэнди Онлайн-журнала), попарное сравнение выступающих и отсутствующих частей ABC очевидно. Как видно из графического решения, шесть плюс оригинал равны целому треугольнику. ABC.[2]

Графическое решение задачи треугольника одной седьмой площади.
Совпадение длин ребер позволяет вращать выбранные треугольники, чтобы сформировать три параллелограмма равной площади, которые делятся пополам на шесть треугольников равного размера с исходным внутренним треугольником.

Ранний пример этого геометрического построения и вычисления площади был дан Робертом Поттсом в 1859 году в его учебнике по евклидовой геометрии.[3]

Согласно Куку и Вуду (2004), этот треугольник озадачил Ричард Фейнман в обеденном разговоре; они продолжают приводить четыре различных доказательства.[4]

Более общий результат известен как Теорема Рауса.

Рекомендации

  1. ^ Хьюго Штайнхаус (1960) Математические снимки
  2. ^ Джеймс Рэнди (2001) Этот разбитый треугольник, доказательство Мартин Гарднер
  3. ^ Роберт Поттс (1859) Элементы геометрии Евклида, Пятое школьное издание, задачи 59 и 100, страницы 78 и 80 через Интернет-архив
  4. ^ Р.Дж. Кук и Г.В. Вуд (2004) "Треугольник Фейнмана", Математический вестник 88:299–302