Cevian - Cevian

В геометрия, а чевиан это линия который пересекает оба треугольник с вершина, а также сторона, противоположная этой вершине.^[1]^[2] Медианы и биссектриса угла являются частными случаями чевианов. Название «чевиан» происходит от итальянского математика. Джованни Чева, который оказался известная теорема о cevians, который также носит его имя.^[3]

Длина

Треугольник с чевианом длины d

Теорема Стюарта

Длину чевиана можно определить по Теорема Стюарта: на диаграмме длина чевианы $d$ дается формулой

{displaystyle, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}

Реже это также представлено мнемоническим

{displaystyle, man + dad = bmb + cnc.}

^[4]

Медиана

Если чевиан оказывается медиана (таким образом деление стороны пополам ), его длину можно определить по формуле

{displaystyle, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

или же

{displaystyle, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

поскольку

{displaystyle, a = 2m.}

Следовательно, в этом случае

{displaystyle d = {sqrt {frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

Биссектриса угла

Если чевиан оказался биссектриса угла, его длина подчиняется формулам

{displaystyle, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} left ({frac {d ^ {2}} {mn}} + 1ight),}

и^[5]

{displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

и

{displaystyle d = {frac {2 {sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}

где полупериметр $s = (а + б + с)/2$ .

Сторона длины $а$ делится в пропорции $б : c$ .

Высота

Если чевиан оказался высота и поэтому перпендикуляр в сторону его длина подчиняется формулам

{displaystyle, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

и

{displaystyle d = {frac {2 {sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}} {a}},}

где полупериметр s = (а + б + с) / 2.

Соотношение свойств

Три чевиана проходят через общую точку

Существуют различные свойства соотношений длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну и ту же произвольную внутреннюю точку:^[6]^:177–188 Ссылаясь на диаграмму справа,

{displaystyle {frac {AF} {FB}} cdot {frac {BD} {DC}} cdot {frac {CE} {EA}} = 1;}

(Теорема Чевы )

{displaystyle {frac {AO} {OD}} = {frac {AE} {EC}} + {frac {AF} {FB}};}

{displaystyle {frac {OD} {AD}} + {frac {OE} {BE}} + {frac {OF} {CF}} = 1;}

{displaystyle {frac {AO} {AD}} + {frac {BO} {BE}} + {frac {CO} {CF}} = 2.}

Эти последние два свойства эквивалентны, поскольку суммирование двух уравнений дает личность 1 + 1 + 1 = 3.

Сплиттер

А разветвитель треугольника - это чевиан, делит пополам в периметр. Три сплиттера соглашаться на Точка Нагеля треугольника.

Биссектрисы площади

Три из биссектрисы площади треугольника - это его середины, которые соединяют вершины с серединами противоположных сторон. Таким образом, треугольник с равномерной плотностью в принципе уравновешивается на бритве, поддерживающей любую из средних.

Трисектора углов

Если из каждой вершины треугольника провести по две чевианы так, чтобы трисекция угол (разделите его на три равных угла), затем шесть чевиан попарно пересекаются, образуя равносторонний треугольник, называется Треугольник Морли.

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного попарными пересечениями трех чевианов, по одному от каждой вершины.

Смотрите также

Примечания

^ Кокстер, Х. С. М.; Грейцер, С.Л. (1967). Возвращение к геометрии. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п.4. ISBN 0-883-85619-0.
^ Некоторые авторы исключают две другие стороны треугольника, см. Канун (1963), стр.77)
^ Лайтнер, Джеймс Э. (1975). «Новый взгляд на« центры »треугольника». Учитель математики. 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289.
^ «Искусство решения проблем». artofproblemsolving.com. Получено 2018-10-22.
^ Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг.1929), с. 70.
^ Альфред С. Посаментьер и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи геометрии, Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.