Versor - Versor

В математика, а Versor это кватернион из норма один (а кватернион единиц).

Каждый версор имеет вид

{ displaystyle q = exp (a mathbf {r}) = cos a + mathbf {r} sin a, quad mathbf {r} ^ {2} = - 1, quad a in [0 ,число Пи ],}

где р² = −1 означает, что р - кватернион вектора единичной длины (или что первый компонент р равен нулю, а последние три компонента р площадь единичный вектор в 3-х измерениях). В случае а = π / 2, версор называется правильный ответчик.

Соответствующие 3-х мерный вращение имеет угол 2а вокруг оси р в ось-угол представление.

Слово происходит от латинского Versare = "повернуть" с суффиксом -или же образование существительного из глагола (т.е. Versor = "токарь"). Он был представлен Уильям Роуэн Гамильтон в контексте его теории кватернионов.

Презентация по 3-м и 2-м сферам

дуга AB + дуга до н.э = дуга AC

Гамильтон обозначил Versor кватерниона q символом Uq. Затем он смог отобразить общий кватернион в форма в полярных координатах

q = Тq Uq,

куда Тq это норма q. Норма версора всегда равна единице; следовательно, они занимают единицу 3-сфера в ЧАС. Примеры версоров включают восемь элементов группа кватернионов. Особое значение имеют правильные версоры, который имеет угол π / 2. Эти версоры имеют нулевую скалярную часть, как и векторов длины один (единичные векторы). Правильные версоры образуют сфера квадратных корней из −1 в алгебре кватернионов. Генераторы я, j, и k являются примерами правых версоров, а также их аддитивное обратное. Другие версии включают двадцать четыре Кватернионы Гурвица которые имеют норму 1 и образуют вершины 24-элементный полихорон.

Гамильтон определил кватернион как частное двух векторов. Версор можно определить как частное двух единичных векторов. Для любых фиксированных самолет Π отношение двух единичных векторов, лежащих в, зависит только от угол (направлено) между ними, то же самое а как в представлении единичного вектора и угла для версора, объясненного выше. Вот почему может быть естественным понимать соответствующие версоры как дуги которые соединяют пары единичных векторов и лежат на большой круг образованный пересечением Π с единичная сфера, где плоскость Π проходит через начало координат. Дуги одинакового направления и длины (или, одинаковые, его притянутый угол в радианы ) находятся эквивалент, т.е. определяют один и тот же версор.

Такая дуга хоть и лежит в трехмерное пространство, не представляет собой траекторию вращения точки, как описано для сэндвича с версором. В самом деле, он представляет собой левое умножение версора на кватернионы, которое сохраняет плоскость corresponding и соответствующий большой круг 3-векторов. Трехмерное вращение, определяемое версором, имеет угол, в два раза превышающий угол наклона дуги, и сохраняет ту же плоскость. Это вращение вокруг соответствующего вектора р, то есть перпендикуляр к Π.

На трех единичных векторах Гамильтон пишет^[1]

{ Displaystyle д = бета: альфа = OB: OA }

и

{ displaystyle q '= gamma: beta = OC: OB}

подразумевать

{ displaystyle q'q = gamma: alpha = OC: OA.}

Умножение кватернионов нормы один соответствует (некоммутативному) «сложению» дуг большого круга на единичной сфере. Любая пара больших кругов либо одна, либо две. точки пересечения. Следовательно, всегда можно переместить точку B и соответствующий вектор к одной из этих точек, так что начало второй дуги будет таким же, как конец первой дуги.

Уравнение

{ Displaystyle ехр (с mathbf {г}) ехр (а mathbf {s}) = ехр (Ь mathbf {т}) !}

неявно задает представление единичного вектора и угла для произведения двух версоров. Его решение является примером общего Формула Кэмпбелла – Бейкера – Хаусдорфа в Группа Ли теория. Поскольку 3-сфера, представленная версорами в, является 3-параметрической группой Ли, практика с композициями версоров является шагом к Теория лжи. Очевидно, версорами являются образ экспоненциальная карта применяется к шару радиуса π в кватернионном подпространстве векторов.

Версоры образуют как вышеупомянутые векторные дуги, и Гамильтон называл это групповая операция как «сумму дуг», но как кватернионы они просто умножаются.

Геометрия эллиптическое пространство был описан как пространство версоров.^[2]

Представление SO (3)

В ортогональная группа в трех измерениях, группа вращения SO (3), часто интерпретируется с версорами через внутренний автоморфизм ${ displaystyle q mapsto u ^ {- 1} qu}$ куда ты является версором. Действительно, если

{ Displaystyle и = ехр (ар)}

и вектор s перпендикулярно р,

тогда

{ Displaystyle и ^ {- 1} су = s cos 2a + sr sin 2a}

по расчету.^[3] Самолет ${ displaystyle {x + yr: x, y in R } подмножество H}$ изоморфен C, и внутренний автоморфизм по коммутивности сводится к тождественному отображению там. Поскольку кватернионы можно интерпретировать как алгебру двух комплексных измерений, вращение действие также можно просмотреть через особая унитарная группа SU (2).

За фиксированный р, версоры вида exp (ар) куда а ∈ $(-π, π]$ , сформировать подгруппа изоморфен круговая группа. Орбиты действия левого умножения этой подгруппы являются слоями пучок волокон над 2-сферой, известной как Расслоение Хопфа в случае р = я; другие векторы дают изоморфные, но не тождественные расслоения. В 2003 году Дэвид В. Лайонс^[4] писал: «слои карты Хопфа - это круги в S³"(стр. 95). Лайонс дает элементарное введение в кватернионы, чтобы объяснить расслоение Хопфа как отображение на единичных кватернионах.

Версоры использовались для представления поворотов Сфера Блоха с кватернионным умножением.^[5]

Эллиптическое пространство

Возможности версоров иллюстрируют эллиптическая геометрия, особенно эллиптическое пространство, трехмерное царство вращений. Версоры - это точки этого эллиптического пространства, хотя они относятся к вращения в 4-мерном евклидовом пространстве. Учитывая два фиксированных варианта ты и vотображение ${ displaystyle q mapsto uqv}$ является эллиптическое движение. Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение Перевод Клиффорда эллиптического пространства, названного в честь Уильям Кингдон Клиффорд кто был сторонником космоса. Эллиптическая линия через версор ты является ${ displaystyle {ue ^ {ar}: 0 leq a < pi }.}$ Параллельность в пространстве выражается Параллели Клиффорда. Один из способов просмотра эллиптического пространства использует Преобразование Кэли чтобы отобразить версоры в ℝ³

Гиперболический версор

Гиперболический версор - это обобщение кватернионных версоров на неопределенные ортогональные группы, Такие как Группа Лоренца.Он определяется как количество в форме

{ Displaystyle ехр (ар) = сш а + mathbf {г} зп а}

куда

{ displaystyle mathbf {r} ^ {2} = + 1.}

Такие элементы возникают в алгебрах смешанная подпись, Например разделенные комплексные числа или же сплит-кватернионы. Это была алгебра тессарины обнаружен Джеймс Кокл в 1848 году он впервые представил гиперболические версии. Фактически, Джеймс Кокл написал приведенное выше уравнение (с $j$ на месте $р$ ), когда он обнаружил, что тессарины включают новый тип воображаемого элемента.

Этот версор использовался Хомершем Кокс (1882/83) относительно умножения кватернионов.^[6]^[7] Первичная экспонента гиперболических версоров была Александр Макфарлейн поскольку он работал над формированием теории кватернионов для служения физической науке.^[8] Он увидел модельную силу гиперболических версий, работающих на плоскости разделенных комплексных чисел, и в 1891 году он представил гиперболические кватернионы расширить концепцию до 4-х пространств. Проблемы в этой алгебре привели к использованию бикватернионы после 1900 г. В широко распространенном обзоре 1899 г. Макфарлейн сказал:

… Корень квадратного уравнения может быть версором по природе или скалярным. Если это по природе противоположность, то часть, на которую воздействует радикал, включает ось, перпендикулярную плоскости отсчета, и это так, независимо от того, включает ли радикал квадратный корень из минус единицы или нет. В первом случае версор круглый, во втором - гиперболический.^[9]

Сегодня концепция однопараметрическая группа включает концепции версора и гиперболического версора как терминологию Софус Ли заменил Гамильтона и Макфарлейна. В частности, для каждого $р$ такой, что $r r$ = +1 или же $r r$ = −1отображение ${ Displaystyle а mapsto ехр (а , mathbf {r})}$ берет реальная линия группе гиперболических или обычных версоров. В обычном случае, когда $р$ и − $р$ находятся антиподы на сфере однопараметрические группы имеют одинаковые точки, но противоположно направлены. В физике этот аспект вращательная симметрия называется дублет.

В 1911 г. Альфред Робб опубликовал свой Оптическая геометрия движения в котором он определил параметр быстрота что указывает на изменение точка зрения. Этот параметр скорости соответствует действительной переменной в однопараметрической группе гиперболических версоров. При дальнейшем развитии специальная теория относительности действие гиперболического версора стали называть Повышение лоренца.

Теория лжи

Софус Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, порожденными возведением в степень. Множество версоров с их умножением Роберт Гилмор в своем тексте по теории Ли обозначил Sl (1, q).^[10] Sl (1, q) - это специальная линейная группа одного измерения по кватернионам, «специальный», указывающий, что все элементы имеют единицу нормы. Группа изоморфна SU (2, c), a особая унитарная группа, часто используемое обозначение, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются анахронизмом для теории групп. В специальная ортогональная группа SO (3, r) вращений в трех измерениях тесно связано: это гомоморфный образ 2: 1 SU (2, c).

Подпространство ${ displaystyle {xi + yj + zk: x, y, z in R } подмножество H}$ называется Алгебра Ли группы версоров. Коммутаторный продукт ${ Displaystyle [и, v] = УФ-ВУ ,}$ просто удвойте перекрестное произведение двух векторов, образует умножение в алгебре Ли. Тесная связь с SU (1, c) и SO (3, r) очевидна в изоморфизме их алгебр Ли.^[10]

Группы Ли, содержащие гиперболические версоры, включают группу на гипербола единиц и особая унитарная группа СУ (1,1).

Смотрите также

цис (математика) ( $цис (Икс) = cos (Икс) + я грех (Икс)$ )
Кватернионы и пространственное вращение
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
Поворот (геометрия)

Примечания

^ Элементы кватернионов, 2-е издание, т. 1, с. 146
^ Гарольд Скотт Макдональд Кокстер (1950) Рецензия на "Кватернионы и эллиптическое пространство"^{[постоянная мертвая ссылка ]} (к Жорж Лемэтр ) из Математические обзоры
^ Представление вращения
^ Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), "Элементарное введение в волокно Хопфа" (PDF ), Математический журнал, 76 (2): 87–98, CiteSeerX 10.1.1.583.3499, Дои:10.2307/3219300, ISSN 0025-570X, JSTOR 3219300
^ К. Б. Уортон, Д. Кох (2015) «Единичные кватернионы и сфера Блоха», Журнал физики А 48(23) Дои:10.1088/1751-8113/48/23/235302 МИСТЕР3355237
^ Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Труды Кембриджского философского общества. 13: 69–143.
^ Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Proc. Camb. Фил. Soc. 4: 194–196.
^ Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу, особенно статьи № 2, 3 и 5, Б. Вестерман, Нью-Йорк, ссылка на веб-сайт archive.org
^ Наука, 9:326 (1899)
^ ^а ^б Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения, глава 5: Несколько простых примеров, страницы 120–35, Wiley ISBN 0-471-30179-5 Гилмор обозначает вещественные, комплексные и кватернионные алгебры с делением r, c и q, а не более распространенные R, C и H.

внешняя ссылка

[1] Элементы кватернионов, 2-е издание, т. 1, с. 146

[2] Гарольд Скотт Макдональд Кокстер (1950) Рецензия на "Кватернионы и эллиптическое пространство"^{[постоянная мертвая ссылка ]} (к Жорж Лемэтр ) из Математические обзоры

[3] Представление вращения

[4] Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), "Элементарное введение в волокно Хопфа" (PDF ), Математический журнал, 76 (2): 87–98, CiteSeerX 10.1.1.583.3499, Дои:10.2307/3219300, ISSN 0025-570X, JSTOR 3219300

[5] К. Б. Уортон, Д. Кох (2015) «Единичные кватернионы и сфера Блоха», Журнал физики А 48(23) Дои:10.1088/1751-8113/48/23/235302 МИСТЕР3355237

[6] Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Труды Кембриджского философского общества. 13: 69–143.

[7] Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Proc. Camb. Фил. Soc. 4: 194–196.

[8] Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу, особенно статьи № 2, 3 и 5, Б. Вестерман, Нью-Йорк, ссылка на веб-сайт archive.org

[9] Наука, 9:326 (1899)

[RG-10] а ^б Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения, глава 5: Несколько простых примеров, страницы 120–35, Wiley ISBN 0-471-30179-5 Гилмор обозначает вещественные, комплексные и кватернионные алгебры с делением r, c и q, а не более распространенные R, C и H.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]