Расслоение Хопфа - Hopf fibration - Wikipedia

Расслоение Хопфа можно визуализировать с помощью стереографическая проекция из S³ к р³ а затем сжимая р³ к границе шара. На этом изображении показаны точки на S² и соответствующие им волокна того же цвета.

Попарно связаны брелоки мимическая часть расслоения Хопфа.

В математической области дифференциальная топология, то Расслоение Хопфа (также известный как Набор хопфа или же Карта Хопфа) описывает 3-сфера (а гиперсфера в четырехмерное пространство ) с точки зрения круги и обычный сфера. Обнаружил Хайнц Хопф в 1931 году это влиятельный ранний пример пучок волокон. Технически Хопф нашел подход "многие к одному" непрерывная функция (или "карта") из 3-сфера на 2-сфера такая, что каждый отдельный точка из 2-сфера нанесена на карту из разных большой круг из 3-сфера (Хопф 1931 ).^[1] Таким образом 3-сфера состоит из волокон, где каждое волокно представляет собой круг - по одному на каждую точку 2-сфера.

Эта структура пучка волокон обозначается

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

это означает, что пространство волокна S¹ (круг) встроенный в общем пространстве S³ (в 3-сфера), и п : S³ → S² (Карта Хопфа) проекты S³ на базовое пространство S² (обычный 2-сфера). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение, обладает важным свойством: локально а пространство продукта. Однако это не банальный пучок волокон, т.е. S³ не является глобально продукт S² и S¹ хотя локально неотличим от него.

Это имеет много значений: например, существование этого пакета показывает, что чем выше гомотопические группы сфер в целом нетривиальны. Он также представляет собой базовый пример основной пакет, отождествив волокно с круговая группа.

Стереографическая проекция расслоения Хопфа индуцирует замечательную структуру на р³, в котором пространство заполнено вложенными тори сделан из связывания Вильярсо круги. Здесь каждое волокно проецируется на круг в пространстве (одна из которых - линия, которую можно представить как «круг в бесконечности»). Каждый тор представляет собой стереографическую проекцию обратное изображение круга широты 2-сфера. (Топологически тор - это произведение двух окружностей.) Эти торы показаны на изображениях справа. Когда р³ сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия ). Петли гомеоморфный к кругам, хотя они не геометрические круги.

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексное координатное пространство C^п+1 волокна естественно над сложное проективное пространство CP^п с кружками в качестве волокон, а также есть настоящий, кватернионный,^[2] и октонионный версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит к семейству из четырех расслоений, в которых все пространство, базовое пространство и расслоение являются сферами:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

К Теорема Адамса такие расслоения могут возникать только в этих размерностях.

Расслоение Хопфа важно в твисторная теория.

Определение и конструкция

Для любого натуральное число п, п-мерная сфера, или n-сфера, можно определить как множество точек в ${\displaystyle (n+1)}$-размерный Космос которые находятся на фиксированном расстоянии от центрального точка. Для конкретности за центральную точку можно принять источник, а расстояние между точками сферы от этого начала координат можно принять за единицу длины. Согласно этому соглашению, п-сфера, ${\displaystyle S^{n}}$, состоит из точек ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ с Икс₁² + Икс₂² + ⋯+ Икс_{п + 1}² = 1. Например, 3-сфера состоит из точек (Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄) в р⁴ с Икс₁² + Икс₂² + Икс₃² + Икс₄² = 1.

Расслоение Хопфа п: S³ → S² из 3-сфера над 2-сфера может быть определена несколькими способами.

Прямое строительство

Идентифицировать р⁴ с C² и р³ с C × р (куда C обозначает сложные числа ) написав:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})}$

и

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Таким образом S³ отождествляется с подмножество из всех (z₀, z₁) в C² такой, что |z₀|² + |z₁|² = 1, и S² отождествляется с подмножеством всех (z, Икс) в C×р такой, что |z|² + Икс² = 1. (Здесь для комплексного числа z = Икс + яу, |z|² = z z^∗ = Икс² + у², где звездочкой обозначен комплексно сопряженный.) Тогда расслоение Хопфа п определяется

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

Первый компонент - комплексное число, а второй компонент - действительный. Любая точка на 3-сфера должна иметь свойство, |z₀|² + |z₁|² = 1. Если это так, то п(z₀, z₁) лежит на блоке 2-сфера в C × р, как можно показать, возведя в квадрат комплексные и действительные компоненты п

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Кроме того, если две точки на 3-сфере отображаются в одну и ту же точку на 2-сфере, т.е. если п(z₀, z₁) = п(ш₀, ш₁), тогда (ш₀, ш₁) должен равняться (λ z₀, λ z₁) для некоторого комплексного числа λ с |λ|² = 1. Обратное также верно; любые две точки на 3-сферы, которые отличаются общим комплексным фактором λ сопоставить с той же точкой на 2-сфера. Эти выводы следуют из того, что комплексный фактор λ отменяется с его комплексным сопряжением λ^∗ в обеих частях п: в комплексе 2z₀z₁^∗ компонент и в реальном компоненте |z₀|² − |z₁|².

Поскольку набор комплексных чисел λ с |λ|² = 1 образуют единичный круг на комплексной плоскости, следует, что для каждой точки м в S², то обратное изображение п⁻¹(м) круг, т.е. п⁻¹м ≅ S¹. Таким образом 3-сфера реализована как несвязный союз этих круговых волокон.

Прямая параметризация 3-сфера, использующая отображение Хопфа, выглядит следующим образом.^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

или в евклидовом р⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Где η пробегает диапазон 0 к π/2, ξ₁ пробегает диапазон 0 и 2π и ξ₂ может принимать любые значения между 0 и 4π. Каждое значение η, Кроме 0 и π/2 которые указывают круги, указывает отдельный плоский тор в 3-сфера и одно путешествие туда и обратно (0 к 4π) либо ξ₁ или же ξ₂ заставляет вас сделать один полный круг обеих конечностей тора.

Отображение указанной выше параметризации на 2-сфера выглядит следующим образом, точки на окружностях параметризованы ξ₂.

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной линии

Геометрическую интерпретацию расслоения можно получить с помощью сложная проективная линия, CP¹, который определяется как множество всех сложных одномерных подпространства из C². Эквивалентно, CP¹ это частное из C²\{0} посредством отношение эквивалентности который определяет (z₀, z₁) с (λ z₀, λ z₁) для любого ненулевого комплексного числа λ. На любой сложной линии в C² есть круг единичной нормы, и поэтому ограничение карта частных в точки единичной нормы является расслоением S³ над CP¹.

CP¹ диффеоморфен 2-сфера: действительно, ее можно отождествить с Сфера Римана C_∞ = C ∪ {∞}, какой компактификация в одну точку из C (получается добавлением точка в бесконечности ). Формула для п выше определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2-сфера в 3-мерное пространство. В качестве альтернативы точка (z₀, z₁) можно отобразить на соотношение z₁/z₀ в сфере Римана C_∞.

Структура пучка волокон

Расслоение Хопфа определяет пучок волокон, с выступом пучка п. Это означает, что он имеет "местную структуру продукта" в том смысле, что каждая точка 2-сфера имеет некоторые район U чей прообраз в 3-сфера может быть идентифицированный с товар из U и круг: п⁻¹(U) ≅ U × S¹. Такое расслоение называется локально тривиальный.

Для расслоения Хопфа достаточно удалить одну точку м из S² и соответствующий круг п⁻¹(м) из S³; таким образом можно взять U = S²\{м}, и любая точка в S² имеет окрестность такого вида.

Геометрическая интерпретация с использованием вращения

Другая геометрическая интерпретация расслоения Хопфа может быть получена при рассмотрении поворотов 2-сфера в обычном 3-мерное пространство. В группа вращения SO (3) имеет двойная крышка, то вращательная группа Отжим (3), диффеоморфный к 3-сфера. Спиновая группа действует переходно на S² вращениями. В стабилизатор точки изоморфна круговая группа. Легко следует, что 3-сфера - это пучок главных кругов над 2-сфера, и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, есть два подхода: группа Отжим (3) можно отождествить с группой Sp (1) единицы кватернионы, или с особая унитарная группа SU (2).

В первом подходе вектор (Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄) в р⁴ интерпретируется как кватернион q ∈ ЧАС написав

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

В 3-сфера затем отождествляется с версоры, кватернионы единичной нормы, те q ∈ ЧАС для которого |q|² = 1, куда |q|² = q q^∗, что равно Икс₁² + Икс₂² + Икс₃² + Икс₄² за q как указано выше.

С другой стороны, вектор (у₁, у₂, у₃) в р³ можно интерпретировать как воображаемый кватернион

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Тогда, как известно, поскольку Кэли (1845) отображение

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

вращение в р³: действительно, это явно изометрия, поскольку |q p q^∗|² = q p q^∗ q p^∗ q^∗ = q p p^∗ q^∗ = |п|², и нетрудно убедиться, что он сохраняет ориентацию.

Фактически, это идентифицирует группу версоры с группой вращений р³, по модулю того факта, что версоры q и −q определить такое же вращение. Как отмечалось выше, вращения действуют транзитивно на S², и множество версоров q которые фиксируют данный верный вариант п иметь форму q = ты + v п, куда ты и v настоящие числа с ты² + v² = 1. Это круговая подгруппа. Для конкретности можно взять п = k, и тогда расслоение Хопфа можно определить как карту, отправляющую версор ω к ω k ω^∗. Все кватернионы ωq, куда q один из круга версоров, фиксирующих k, сопоставляются с одним и тем же объектом (который является одним из двух 180° вращения вращающийся k туда же, где ω делает).

Другой способ взглянуть на это расслоение состоит в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на {1, k} к новому самолету, натянутому на {ω, ωk}. Любой кватернион ωq, куда q один из круга версоров, фиксирующих k, будет иметь тот же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна можно однозначно сопоставить с 2-сфера 180° оборотов, что составляет диапазон ωkω^*.

Этот подход связан с прямым построением путем определения кватерниона q = Икс₁ + я Икс₂ + j Икс₃ + k Икс₄ с 2×2 матрица:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Это идентифицирует группу версоров с SU (2), а мнимые кватернионы с косоэрмитовой 2×2 матрицы (изоморфные C × р).

Явные формулы

Вращение, вызванное единичным кватернионом q = ш + я Икс + j у + k z дается явно ортогональная матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Здесь мы находим явную вещественную формулу для проекции расслоения, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль z ось, (0,0,1), поворачивается к другому единичному вектору,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

которая является непрерывной функцией (ш, Икс, у, z). То есть изображение q это точка на 2-сфера, куда он отправляет единичный вектор вдоль z ось. Волокно для данной точки на S² состоит из всех тех единичных кватернионов, которые отправляют туда единичный вектор.

Мы также можем написать явную формулу для слоя над точкой (а, б, c) в S². Умножение единичных кватернионов дает композицию вращений, и

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

вращение 2θ вокруг z ось. В качестве θ меняется, это сметает большой круг из S³, наш прототип волокна. Пока базовая точка, (а, б, c), не антипод, (0, 0, −1), кватернион

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

пошлет (0, 0, 1) к (а, б, c). Таким образом, волокно (а, б, c) дается кватернионами вида q_{(а, б, c)}q_θ, которые являются S³ точки

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Поскольку умножение на q_(а,б,c) действует как вращение кватернионного пространства, волокно - это не просто топологическая окружность, это геометрическая окружность.

Конечное волокно для (0, 0, −1), можно задать, определив q_(0,0,−1) в равной я, производя

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

что завершает комплект. Но обратите внимание, что это взаимно однозначное соответствие между S³ и S²×S¹ не является непрерывным на этом круге, что отражает тот факт, что S³ не топологически эквивалентен S²×S¹.

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа заключается в следующем. Любая точка на 3-сфера эквивалентна кватернион, что, в свою очередь, эквивалентно определенному повороту Декартова система координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов производит набор всех возможных вращений, который перемещает вершину одного единичного вектора такой системы координат (скажем, z вектор) во все возможные точки на блоке 2-сфера. Однако фиксация кончика z вектор не определяет поворот полностью; возможен дальнейший поворот вокруг z-ось. Таким образом 3-сфера отображается на 2-сфера плюс одно вращение.

Вращение можно представить с помощью Углы Эйлера θ, φ и ψ. Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, задаваемую θ и φ, а соответствующая окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены по отдельности, поэтому у нас нет взаимно-однозначного отображения (или взаимно-однозначного отображения) между 3-тор из (θ, φ, ψ) и S³.

Гидравлическая механика

Если расслоение Хопфа рассматривается как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемого, невязкого) Уравнения Навье-Стокса гидродинамики, в которой жидкость течет по окружностям проекции расслоения Хопфа в трехмерном пространстве. Размер скоростей, плотность и давление можно выбрать в каждой точке, чтобы удовлетворить уравнениям. Все эти величины падают до нуля при удалении от центра. Если a - расстояние до внутреннего кольца, поля скоростей, давления и плотности определяются как:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

для произвольных постоянных А и B. Подобные шаблоны полей находятся как солитон решения магнитогидродинамика:^[4]

Обобщения

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как пучок волокон п: S³ → CP¹, допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную линию на п-размерный проективное пространство. Во-вторых, комплексные числа можно заменить любыми (действительными) алгебра с делением, в том числе (для п = 1) октонионы.

Реальные расслоения Хопфа

Реальная версия расслоения Хопфа получается рассмотрением окружности S¹ как подмножество р² обычным способом и путем определения противоположных точек. Это дает пучок волокон S¹ → RP¹ над реальная проективная линия с волокном S⁰ = {1, −1}. Как только CP¹ диффеоморфна сфере, RP¹ диффеоморфен окружности.

В более общем плане п-сфера S^п волокна над реальное проективное пространство RP^п с волокном S⁰.

Комплексные расслоения Хопфа

Конструкция Хопфа дает расслоения кругов п : S^2п+1 → CP^п над сложное проективное пространство. На самом деле это ограничение пучок тавтологических линий над CP^п к единичной сфере в C^п+1.

Кватернионные расслоения Хопфа

Точно так же можно рассматривать S^{4п + 3} как лежащий в ЧАС^{п + 1} (кватернионный п-пространство) и разложить на единичный кватернион (= S³) умножение, чтобы получить кватернионное проективное пространство HP^п. В частности, поскольку S⁴ = HP¹, есть связка S⁷ → S⁴ с волокном S³.

Октонионные расслоения Хопфа

Аналогичная конструкция с октонионы дает связку S¹⁵ → S⁸ с волокном S⁷. Но сфера S³¹ не переплетается S¹⁶ с волокном S¹⁵. Можно рассматривать S⁸ как октонионная проективная линия OP¹. Хотя можно также определить октонионная проективная плоскость OP², сфера S²³ не переплетается OP²с волокном S⁷.^[5][6]

Волокна между сферами

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивается расслоениями между сферами, полученными выше, которые

• S¹ → S¹ с волокном S⁰
• S³ → S² с волокном S¹
• S⁷ → S⁴ с волокном S³
• S¹⁵ → S⁸ с волокном S⁷

Как следствие Теорема Адамса, пучки волокон с сферы поскольку общее пространство, базовое пространство и волокна могут встречаться только в этих измерениях. Пучки волокон с аналогичными свойствами, но отличающиеся от расслоений Хопфа, использовались Джон Милнор строить экзотические сферы.

Геометрия и приложения

Волокна расслоения Хопфа стереографически проектируются в семейство Вильярсо круги в р³.

Расслоение Хопфа имеет много значений, одни исключительно привлекательные, другие более глубокие. Например, стереографическая проекция S³ → р³ индуцирует замечательную структуру в р³, что, в свою очередь, освещает топологию пучка (Лион 2003 ). Стереографическая проекция сохраняет круги и отображает волокна Хопфа в геометрически совершенные круги в р³ которые заполняют пространство. Здесь есть одно исключение: круг Хопфа, содержащий точку проекции, отображается на прямую линию в р³ - «круг в бесконечности».

Волокна по кругу широты на S² сформировать тор в S³ (топологически тор является произведением двух окружностей), и они проецируются на вложенные торы в р³ которые также заполняют пространство. Отдельные волокна соответствуют связям. Вильярсо круги на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через его противоположная точка: первая отображается в прямую линию, вторая - в единичную окружность, перпендикулярную этой прямой и с центром на которой, которую можно рассматривать как вырожденный тор, малый радиус которого уменьшился до нуля. Каждое другое изображение волокна также окружает линию, и поэтому симметрично каждый круг связан через каждый круг, как в р³ И в S³. Два таких соединительных круга образуют Ссылка Хопфа в р³

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет Инвариант Хопфа 1 и, следовательно, не нуль-гомотопный. Фактически он генерирует гомотопическая группа π₃(S²) и имеет бесконечный порядок.

В квантовая механика, сфера Римана известна как Сфера Блоха, а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантово-механического двухуровневая система или же кубит. Точно так же топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

(Моссери и Дандолофф 2001 ).

Расслоение Хопфа эквивалентно структуре расслоения Монополь Дирака.^[7]

Примечания

1. Этот раздел 3-сфера на непересекающиеся большие круги возможна, потому что, в отличие от 2-сфера, отчетливые большие круги 3-сферы не должны пересекаться.
2. кватернионная фибрация Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
3. Смит, Бенджамин. "Заметки Бенджамина Х. Смита о расслоении Хопфа" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF ) 14 сентября 2016 г.
4. Камчатнов, А. М. (1982), Топологические солитоны в магнитогидродинамике (PDF)
5. Бесс, Артур (1978). Коллекторы, все геодезические которых закрыты. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-08158-6. (§0.26 на странице 6)
6. sci.math.research 1993 тема "Сферы, расслоенные сферами"
7. Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о связках волокон». Физика сегодня. 68 (6): 11. Bibcode:2015ФТ .... 68ф..11Ф. Дои:10.1063 / PT.3.2799.

Рекомендации

• Кэли, Артур (1845), «О некоторых результатах, касающихся кватернионов», Философский журнал, 26: 141–145, Дои:10.1080/14786444508562684; перепечатано как статья 20 в Кэли, Артур (1889), Собрание математических работ Артура Кэли, I, (1841–1853), Издательство Кембриджского университета, стр. 123–126
• Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Берлин: Springer, 104 (1): 637–665, Дои:10.1007 / BF01457962, ISSN  0025-5831
• Хопф, Хайнц (1935), "Uber die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, Варшава: Польская акад. Наук, 25: 427–440, ISSN  0016-2736
• Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), "Элементарное введение в волокно Хопфа" (PDF ), Математический журнал, 76 (2): 87–98, Дои:10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
• Mosseri, R .; Дандолофф, Р. (2001), "Геометрия запутанных состояний, сферы Блоха и расслоения Хопфа", Журнал физики A: математический и теоретический, 34 (47): 10243–10252, arXiv:Quant-ph / 0108137, Bibcode:2001JPhA ... 3410243M, Дои:10.1088/0305-4470/34/47/324.
• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон, ПМС 14, Princeton University Press (опубликовано в 1999 г.), ISBN  978-0-691-00548-5
• Урбантке, Х. (2003), «Расслоение Хопфа - семь раз в физике», Журнал геометрии и физики, 46 (2): 125–150, Bibcode:2003JGP .... 46..125U, Дои:10.1016 / S0393-0440 (02) 00121-3.

внешняя ссылка

• «Расслоение Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Размеры Математика Главы 7 и 8 иллюстрируют расслоение Хопфа с анимированной компьютерной графикой.
• Элементарное введение в волокно Хопфа Дэвид В. Лайонс (PDF )
• Анимация на YouTube, показывающая динамическое сопоставление точек 2-сферы с кругами в 3-сфере, профессор Найлс Джонсон.
• YouTube-анимация строительства 120-ячеечной Автор Джан Марко Тодеско показывает расслоение Хопфа 120-ячейки.
• Видео одного 30-ячеечного кольца из 600-ячеечного из http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Интерактивная визуализация сопоставления точек на 2-сфере с кругами в 3-сфере