Кватернионное проективное пространство - Quaternionic projective space

В математика, кватернионное проективное пространство является продолжением идей реальное проективное пространство и сложное проективное пространство, на случай, когда координаты лежат в кольце кватернионы ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ Кватернионное проективное пространство размерности п обычно обозначается

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

и является закрытый коллектор (реальной) размерности 4п. Это однородное пространство для Группа Ли действие, более чем одним способом. Кватернионная проективная линия ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}}$ гомеоморфно 4-сфере.

В координатах

Его прямое построение является частным случаем проективное пространство над алгеброй с делением. В однородные координаты точки можно написать

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]}$

где ${\displaystyle q_{i}}$ - кватернионы, а не все равны нулю. Два набора координат представляют одну и ту же точку, если они "пропорциональны" левому умножению на ненулевой кватернион. c; то есть мы идентифицируем все

${\displaystyle [cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]}$.

На языке групповые действия, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ это орбитальное пространство из ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$ действием ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$, мультипликативная группа ненулевых кватернионов. Сначала проецируя на единичную сферу внутри ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$ можно также рассматривать ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ как пространство орбиты ${\displaystyle S^{4n+3}}$ действием ${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$, группа единичных кватернионов.^[1] Сфера ${\displaystyle S^{4n+3}}$ затем становится основной Sp (1) -бандл над ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Этот набор иногда называют (обобщенным) Расслоение Хопфа.

Также есть строительство ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ с помощью двумерных комплексных подпространств ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2n}}$, означающий, что ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ лежит внутри комплекса Грассманиан.

Топология

Теория гомотопии

Космос ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$, определяемый как объединение всех конечных ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$включен, является классификация пространства BS³. Гомотопические группы ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ даны ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$ Эти группы, как известно, очень сложные, и, в частности, они отличны от нуля для бесконечного числа значений ${\displaystyle i}$. Однако у нас есть это

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

Отсюда следует, что рационально, т.е. после локализация пространства, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$. Это ${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$ (см. пример К (Z, 2) ). Увидеть теория рациональной гомотопии.

В общем, ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в ​​каждом измерении, кратном 4, вплоть до ${\displaystyle 4n}$. Соответственно, его кольцо когомологий есть ${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$, где ${\displaystyle v}$ является 4-мерным генератором. Это аналог сложного проективного пространства. Из теории рациональной гомотопии также следует, что ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ имеет бесконечные гомотопические группы только в размерности 4 и ${\displaystyle 4n+3}$.

Дифференциальная геометрия

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ несет естественный Риманова метрика аналогично Метрика Фубини-Штуди на ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$, относительно которого это компакт кватернионно-кэлерово симметричное пространство с положительной кривизной.

Кватернионное проективное пространство может быть представлено как пространство смежных классов

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)}$

где ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ компактный симплектическая группа.

Характерные классы

поскольку ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$, его касательное расслоение стабильно тривиально. Касательные пучки остальных имеют нетривиальные Штифель – Уитни и Понтрягина классы. Итоговые классы рассчитываются по следующим формулам:

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

где ${\displaystyle v}$ является генератором ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle u}$ это его редукция по модулю 2.^[2]

Особые случаи

Кватернионная проективная линия

Одномерное проективное пространство над ${\displaystyle \mathbb {H} }$ называется «проективной линией» в обобщении сложная проективная линия. Например, он был использован (неявно) в 1947 г. П.Г. Гормли для расширения Группа Мебиуса в контекст кватерниона с дробно-линейные преобразования. Для дробно-линейных преобразований ассоциативной кольцо с 1, см. проективная прямая над кольцом и группа гомографии GL (2,А).

С топологической точки зрения кватернионная проективная линия - это 4-сфера, и на самом деле это диффеоморфный коллекторы. Упомянутое ранее расслоение происходит от 7-сферы и является примером Расслоение Хопфа.

Явные выражения для координат четырехмерной сферы можно найти в статье о Метрика Фубини – Этюд.

Кватернионная проективная плоскость

8-мерный ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$ имеет круговое действие, группой комплексных скаляров с абсолютным значением 1, действующих на другой стороне (то есть справа, в соответствии с соглашением о действии c вверху слева). Следовательно фактор-многообразие

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

можно взять, написав U (1) для круговая группа. Было показано, что это частное 7-сфера, Результат Владимир Арнольд с 1996 года, позже заново открытый Эдвард Виттен и Майкл Атья.

использованная литература

1. Грегори Л. Набер, Топология, геометрия и калибровочные поля: основы (1997), стр. 50.
2. Щарба, Р. Х. (1964). О касательных расслоениях к расслоениям и факторпространствах. Американский журнал математики, 86 (4), 685-697.

дальнейшее чтение

• В. И. Арнольд, Родственники частного комплексной проективной плоскости комплексным сопряжением, Тр. Мат. Inst. МИАН, 1999, том 224, страницы 56–67. Рассматривает аналог результата, упомянутого для кватернионного проективного пространства и 13-сферы.