Инвариант Хопфа - Hopf invariant

В математика, в частности в алгебраическая топология, то Инвариант Хопфа это гомотопия инвариант некоторых отображений между n-сферы.

Мотивация

В 1931 г. Хайнц Хопф используемый Параллели Клиффорда построить Карта Хопфа

${displaystyle eta colon S^{3} o S^{2}}$,

и доказал, что ${displaystyle eta }$ существенно, т.е. не гомотопный к постоянной карте, используя тот факт, что число связей кругов

${displaystyle eta ^{-1}(x),eta ^{-1}(y)subset S^{3}}$

равно 1, для любого ${displaystyle xeq yin S^{2}}$.

Позже было показано, что гомотопическая группа ${displaystyle pi _{3}(S^{2})}$ это бесконечный циклическая группа Сгенерированно с помощью ${displaystyle eta }$. В 1951 г. Жан-Пьер Серр доказал, что рациональная гомотопия группы

${displaystyle pi _{i}(S^{n})otimes mathbb {Q} }$

для нечетномерной сферы (${displaystyle n}$ нечетные) равны нулю, если ${displaystyle i}$ равно 0 или п. Однако для четномерной сферы (п даже), есть еще один бит бесконечной циклической гомотопии в степени ${displaystyle 2n-1}$.

Определение

Позволять ${displaystyle phi colon S^{2n-1} o S^{n}}$ быть непрерывная карта (предполагать ${displaystyle n>1}$). Тогда мы можем сформировать клеточный комплекс

${displaystyle C_{phi }=S^{n}cup _{phi }D^{2n},}$

где ${displaystyle D^{2n}}$ это ${displaystyle 2n}$-мерный диск прикреплен к ${displaystyle S^{n}}$ через ${displaystyle phi }$Группы клеточных цепей. ${displaystyle C_{mathrm {cell} }^{*}(C_{phi })}$ просто свободно генерируются на ${displaystyle i}$-клетки в градусах ${displaystyle i}$, так что они ${displaystyle mathbb {Z} }$ в степени 0, ${displaystyle n}$ и ${displaystyle 2n}$ и ноль везде. Клеточные (ко-) гомологии - это (ко) гомологии этого цепной комплекс, и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть нулевыми (напомним, что ${displaystyle n>1}$) когомологии

${displaystyle H_{mathrm {cell} }^{i}(C_{phi })={egin{cases}mathbb {Z} &i=0,n,2n,�&{mbox{otherwise}}.end{cases}}}$

Обозначим образующие групп когомологий через

${displaystyle H^{n}(C_{phi })=langle alpha angle }$ и ${displaystyle H^{2n}(C_{phi })=langle eta angle .}$

По причинам габаритов, все чашки между этими классами должны быть тривиальными, кроме ${displaystyle alpha smile alpha }$. Таким образом, как кольцокогомологии

${displaystyle H^{*}(C_{phi })=mathbb {Z} [alpha ,eta ]/langle eta smile eta =alpha smile eta =0,alpha smile alpha =h(phi )eta angle .}$

Целое число ${displaystyle h(phi )}$ это Инвариант Хопфа карты ${displaystyle phi }$.

Свойства

Теорема: Карта ${displaystyle hcolon pi _{2n-1}(S^{n}) o mathbb {Z} }$ является гомоморфизмом. Более того, если ${displaystyle n}$ даже, ${displaystyle h}$ карты на ${displaystyle 2mathbb {Z} }$.

Инвариант Хопфа равен ${displaystyle 1}$ для Карты Хопфа, где ${displaystyle n=1,2,4,8}$, соответствующие вещественным алгебрам с делением ${displaystyle mathbb {A} =mathbb {R} ,mathbb {C} ,mathbb {H} ,mathbb {O} }$соответственно и расслоению ${displaystyle S(mathbb {A} ^{2}) o mathbb {PA} ^{1}}$ отправка направления на сфере в подпространство, которое она охватывает. Это теорема, сначала доказанная Фрэнк Адамс, а затем Адамсом и Майкл Атья с методами топологическая K-теория, что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1.

Обобщения для стабильных карт

Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует некоторого теоретического обоснования гомотопии:

Позволять ${displaystyle V}$ обозначают векторное пространство и ${displaystyle V^{infty }}$ его одноточечная компактификация, т.е. ${displaystyle Vcong mathbb {R} ^{k}}$ и

${displaystyle V^{infty }cong S^{k}}$ для некоторых ${displaystyle k}$.

Если ${displaystyle (X,x_{0})}$ - любое заостренное пространство (как это неявно указано в предыдущем разделе), и если мы возьмем точка в бесконечности быть исходной точкой ${displaystyle V^{infty }}$, то мы можем сформировать изделия клина

${displaystyle V^{infty }wedge X}$.

Теперь позвольте

${displaystyle Fcolon V^{infty }wedge X o V^{infty }wedge Y}$

быть устойчивым отображением, т.е. устойчивым относительно уменьшенная подвеска функтор. В (стабильный) геометрический инвариант Хопфа из ${displaystyle F}$ является

${displaystyle h(F)in {X,Ywedge Y}_{mathbb {Z} _{2}}}$,

элемент конюшни ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-эквивариантная гомотопическая группа отображений из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Ywedge Y}$. Здесь «стабильный» означает «стабильный в подвешенном состоянии», т.е. ${displaystyle V}$ (или ${displaystyle k}$если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; и ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-Действие - это тривиальное действие на ${displaystyle X}$ и изменение двух факторов на ${displaystyle Ywedge Y}$. Если мы позволим

${displaystyle Delta _{X}colon X o Xwedge X}$

обозначим каноническое диагональное отображение и ${displaystyle I}$ тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим:

${displaystyle h(F):=(Fwedge F)(Iwedge Delta _{X})-(Iwedge Delta _{Y})(Iwedge F).}$

Эта карта изначально является картой из

${displaystyle V^{infty }wedge V^{infty }wedge X}$ к ${displaystyle V^{infty }wedge V^{infty }wedge Ywedge Y}$,

но при прямом пределе он становится рекламируемым элементом стабильной гомотопии ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-эквивариантная группа отображений.Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа ${displaystyle h_{V}(F)}$, для которого необходимо отслеживать векторное пространство ${displaystyle V}$.

использованная литература

• Адамс, Дж. Франк (1960), «Об отсутствии элементов инвариантной единицы Хопфа», Анналы математики, 72 (1): 20–104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490, Дои:10.2307/1970147, JSTOR  1970147, Г-Н  0141119
• Адамс, Дж. Франк; Атья, Майкл Ф. (1966), "K-теория и инвариант Хопфа", Ежеквартальный журнал математики, 17 (1): 31–38, Дои:10.1093 / qmath / 17.1.31, Г-Н  0198460
• Крабб, Майкл; Раники, Андрей (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF).
• Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104: 637–665, Дои:10.1007 / BF01457962, ISSN  0025-5831
• Шокуров, А. (2001) [1994], «Инвариант Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press