Клиффорд параллель - Clifford parallel

В эллиптическая геометрия, две строки Клиффорд параллель или паратактические линии если перпендикулярное расстояние между ними постоянно от точки к точке. Концепция была впервые изучена Уильям Кингдон Клиффорд в эллиптическое пространство и появляется только в пространствах как минимум трех измерений. поскольку параллельные линии обладают свойством равноудаленности, термин «параллельный» был заимствован из Евклидова геометрия, хотя «линии» эллиптической геометрии геодезический кривые и, в отличие от линий Евклидова геометрия, имеют конечную длину.

Алгебра кватернионы обеспечивает описательную геометрию эллиптического пространства, в которой параллелизм Клиффорда явным.

Введение

Прямые на 1 в эллиптическом пространстве описываются версоры с фиксированной осью р:^[1]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

Для произвольной точки ты в эллиптическом пространстве две параллели Клиффорда этой прямой проходят через тыПравая параллель Клиффорда равна

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

а левая параллель Клиффорда равна

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

Поверхности Клиффорда

Вращение одной линии относительно другой, параллельной Клиффорду, создает поверхность Клиффорда.

Параллели Клиффорда через точки на поверхности лежат на поверхности. Таким образом, поверхность Клиффорда является линейчатая поверхность поскольку каждая точка находится на двух линиях, каждая из которых содержится в поверхности.

Учитывая два квадратных корня из минус единицы кватернионы, написано р и s, поверхность Клиффорда через них определяется выражением^[1][2]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

История

Параллели Клиффорда были впервые описаны в 1873 году английским математиком. Уильям Кингдон Клиффорд.^[3]

В 1900 г. Гвидо Фубини написал докторскую диссертацию по Параллелизм Клиффорда в эллиптических пространствах.^[4]

В 1931 г. Хайнц Хопф использовали параллели Клиффорда для построения Карта Хопфа.

В 2016 году Ханс Хавличек показал, что существует взаимно однозначное соответствие между параллелизмами Клиффорда и плоскостями, внешними по отношению к плоскости. Кляйн квадрик.^[5]

Смотрите также

• Клиффорд тор

использованная литература

1. Жорж Лемэтр (1948) "Quaternions et espace elliptique", Acta Папская академия наук 12:57–78
2. Х. С. М. Коксетер Английский синопсис Лемэтра в Математические обзоры
3. Уильям Кингдон Клиффорд (1882) Математические статьи, 189–93, Macmillan & Co.
4. Гвидо Фубини (1900) Переводчик Д. Х. Дельфениха Клиффордский параллелизм в эллиптических пространствах, Лауреатская диссертация, Пиза.
5. Ханс Хавличек (2016) «Клиффордовские параллелизмы и плоскости, внешние по отношению к квадрике Клейна», Журнал геометрии 107 (2): 287–303 Г-Н3519950

• Лаптев, Б. И Б.А. Розенфельд (1996) Математика XIX века: геометрия, стр. 74, Birkhäuser Verlag ISBN  3-7643-5048-2 .
• J.A. Tyrrell & J.G. Семпл (1971) Обобщенный параллелизм Клиффорда, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-08042-8 .
• Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии, стр. 108 Паратактические линии, Джордж Белл и сыновья