Клиффорд тор - Clifford torus

А стереографическая проекция тора Клиффорда, выполняющего простое вращение

Топологически прямоугольник это фундаментальный многоугольник тора, противоположные края которого сшиты вместе.

В геометрическая топология, то Клиффорд тор самый простой и симметричный плоский внедрение декартово произведение из двух круги S¹
_а и S¹
_б (в том же смысле, что поверхность цилиндра «плоская»). Он назван в честь Уильям Кингдон Клиффорд. Он находится в р⁴, в отличие от р³. Чтобы понять почему р⁴ необходимо, обратите внимание, что если S¹
_б и S¹
_б каждый существует в своем собственном независимом пространстве вложения р²
_а и р²
_б, результирующее пространство продукта будет р⁴ скорее, чем р³. Исторически популярное мнение о том, что декартово произведение двух окружностей есть р³ тор в отличие от этого требует сильно асимметричного применения оператора вращения ко второй окружности, так как эта окружность будет иметь только одну независимую ось. z доступно ему после того, как первый круг потребляет Икс иу.

Другими словами, тор, вложенный в р³ является несимметричной проекцией уменьшенной размерности максимально симметричного тора Клиффорда, вложенного в р⁴. Отношения аналогичны проецированию краев куба на лист бумаги. Такая проекция создает изображение меньшей размерности, которое точно отражает соединение краев куба, но также требует произвольного выбора и удаления одной из трех полностью симметричных и взаимозаменяемых осей куба.

Если S¹
_а и S¹
_б каждый имеет радиус ${displaystyle extstyle {sqrt {1/2}}}$, их произведение тора Клиффорда идеально впишется в единицу 3-сфера S³, которое является трехмерным подмногообразием в р⁴. Когда это удобно математически, тор Клиффорда можно рассматривать как находящийся внутри комплексное координатное пространство C², поскольку C² топологически эквивалентен р⁴.

Тор Клиффорда является примером квадратный тор, потому что это так изометрический к квадрат с обозначением противоположных сторон. Он также известен как Евклидов 2-тор («2» - его топологическая размерность); фигуры, нарисованные на нем, подчиняются Евклидова геометрия^{[требуется разъяснение ]} как если бы он был плоским, тогда как поверхность обычного "пончик "-образный тор имеет положительную кривизну на внешнем ободе и отрицательную кривизну на внутреннем. Хотя квадратный тор имеет другую геометрию, чем стандартное вложение тора в трехмерное евклидово пространство, он также может быть встроен в трехмерное пространство, посредством Теорема вложения Нэша; одно возможное вложение изменяет стандартный тор на фрактал набор ряби, бегущей в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности.^[1]

Формальное определение

В единичный круг S¹ в р² можно параметризовать угловой координатой:

${displaystyle S^{1}={(cos heta ,sin heta )mid 0leq heta <2pi }.}$

В другом экземпляре р²возьмите еще одну копию единичного круга

${displaystyle S^{1}={(cos varphi ,sin varphi )mid 0leq varphi <2pi }.}$

Тогда тор Клиффорда равен

${displaystyle { frac {1}{sqrt {2}}}S^{1} imes { frac {1}{sqrt {2}}}S^{1}={{ frac {1}{sqrt {2}}}(cos heta ,sin heta ,cos varphi ,sin varphi )mid 0leq heta <2pi ,0leq varphi <2pi }.}$

Поскольку каждая копия S¹ это встроенный подмногообразие из р², тор Клиффорда - вложенный тор в р² × р² = р⁴.

Если р⁴ задается координатами (Икс₁, у₁, Икс₂, у₂), то тор Клиффорда имеет вид

${displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1/2=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

Это показывает, что в р⁴ тор Клиффорда является подмногообразием единичной 3-сферы S³.

Легко проверить, что тор Клиффорда является минимальной поверхностью в S³.

Альтернативный вывод с использованием комплексных чисел

Также принято рассматривать тор Клиффорда как встроенный тор в C². В двух экземплярах C, у нас есть следующие единичные окружности (все еще параметризованные угловой координатой):

${displaystyle S^{1}={e^{i heta }mid 0leq heta <2pi }}$

и

${displaystyle S^{1}={e^{ivarphi }mid 0leq varphi <2pi }.}$

Теперь тор Клиффорда выглядит как

${displaystyle { frac {1}{sqrt {2}}}S^{1} imes { frac {1}{sqrt {2}}}S^{1}={{ frac {1}{sqrt {2}}}(e^{i heta },e^{ivarphi }),|,0leq heta <2pi ,0leq varphi <2pi }.}$

Как и прежде, это вложенное подмногообразие в единичной сфере S³ в C².

Если C² задается координатами (z₁, z₂), то тор Клиффорда имеет вид

${displaystyle left|z_{1}ight|^{2}=1/2=left|z_{2}ight|^{2}.}$

В торе Клиффорда, как определено выше, расстояние от любой точки тора Клиффорда до начала координат C² является

${displaystyle {sqrt {{frac {1}{2}}left|e^{i heta }ight|^{2}+{frac {1}{2}}left|e^{ivarphi }ight|^{2}}}=1.}$

Множество всех точек на расстоянии 1 от начала координат C² является единичной 3-сферой, поэтому тор Клиффорда находится внутри этой 3-сферы. Фактически, тор Клиффорда делит эту 3-сферу на две конгруэнтные полноторие (видеть Расщепление Хегора^[2]).

С О (4) действует на р⁴ к ортогональные преобразования, мы можем переместить "стандартный" тор Клиффорда, определенный выше, на другие эквивалентные торы с помощью жестких вращений. Все они называются «торы Клиффорда». Шестимерная группа O (4) действует транзитивно на пространстве всех таких торов Клиффорда, находящихся внутри 3-сферы. Однако это действие имеет двумерный стабилизатор (см. групповое действие ), поскольку вращение в меридиональном и продольном направлениях тора сохраняет тор (в отличие от перемещения его на другой тор). Следовательно, на самом деле существует четырехмерное пространство торов Клиффорда.^[2] Фактически, существует взаимно однозначное соответствие между торами Клиффорда в единичной 3-сфере и парами больших полярных кругов (т. Е. Больших кругов, которые максимально разделены). Для тора Клиффорда соответствующие полярные большие круги являются центральными кругами каждой из двух дополнительных областей. И наоборот, для любой пары больших полярных кругов связанный тор Клиффорда является геометрическим местом точек 3-сферы, которые равноудалены от двух окружностей.

Более общее определение торов Клиффорда

Плоские торы в единичной 3-сфере S³ которые являются произведением кругов радиуса р в одной 2-х плоскостях р² и радиус √1 − р² в другом 2-х плоскостях р² иногда также называют «торами Клиффорда».

Те же круги можно рассматривать как имеющие радиус, равный cos (θ) и грех (θ) под некоторым углом θ В диапазоне 0 ≤ θ ≤ π/2 (сюда включены вырожденные случаи θ = 0 и θ = π/2).

Союз для 0 ≤ θ ≤ π/2 всех этих торов формы

${displaystyle T_{ heta }=S(cos heta ) imes S(sin heta )}$

(куда S(р) обозначает окружность на плоскости р² определяется наличием центра (0, 0) и радиус р) - 3-сфера S³. (Обратите внимание, что мы должны включить два вырожденных случая θ = 0 и θ = π/2, каждая из которых соответствует большому кругу S³, которые вместе составляют пару больших полярных кругов.)

Этот тор Т_θ легко увидеть, чтобы иметь площадь

${displaystyle operatorname {area} (T_{ heta })=4pi ^{2}cos heta sin heta =2pi ^{2}sin 2 heta ,}$

так что только тор Т_π/4 имеет максимально возможную площадь 2π². Этот тор Т_π/4 это тор Т_θ который чаще всего называют «тор Клиффорда» - и это также единственный из Т_θ это минимальная поверхность в S³.

Еще более общее определение торов Клиффорда в высших измерениях

Любая единичная сфера S^2п−1 в четномерном евклидовом пространстве р^2п = C^п может быть выражено через комплексные координаты следующим образом:

${displaystyle S^{2n-1}={(z_{1},ldots ,z_{n})in mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+cdots +|z_{n}|^{2}=1}.}$

Тогда для любых неотрицательных чисел р₁, ..., р_п такой, что р₁² + ... + р_п² = 1, мы можем определить обобщенный тор Клиффорда следующим образом:

${displaystyle T_{r_{1},ldots ,r_{n}}={(z_{1},ldots ,z_{n})in mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1leqslant kleqslant n}.}$

Все эти обобщенные торы Клиффорда не пересекаются друг с другом. Мы можем еще раз заключить, что объединение каждого из этих торов T_{р1, ..., рп} - единица (2п - 1) -сфера S^2п−1 (где мы снова должны включить вырожденные случаи, когда хотя бы один из радиусов р_k = 0).

Характеристики

• Тор Клиффорда «плоский»; его можно расплющить до плоскости, не растягивая, в отличие от стандартного тора вращения.
• Тор Клиффорда делит 3-сферу на два конгруэнтных полнотория. (В стереографическая проекция, тор Клиффорда выглядит как стандартный тор вращения. Тот факт, что он делит 3-сферу поровну, означает, что внутренняя часть спроецированного тора эквивалентна внешнему, что трудно визуализировать).

Использование в математике

В симплектическая геометрия, тор Клиффорда дает пример вложенного Лагранжево подмногообразие из C² со стандартной симплектической структурой. (Разумеется, любое произведение вложенных кругов в C дает лагранжев тор C², поэтому это не обязательно должны быть торы Клиффорда.)

В Гипотеза Лоусона заявляет, что каждый минимально встраиваемый тор в 3-сфере с круглая метрика должен быть тор Клиффорда. Эта гипотеза была доказана Саймон Брендл в 2012.

Торы Клиффорда и их изображения при конформных преобразованиях являются глобальными минимизаторами функционала Уиллмора.

Смотрите также

• Дуоцилиндр
• Расслоение Хопфа
• Клиффорд параллель и поверхность Клиффорда
• Уильям Королевство Клиффорд

Рекомендации

1. Borrelli, V .; Jabrane, S .; Lazarus, F .; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), "Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклое интегрирование", Труды Национальной академии наук, Труды Национальной академии наук, 109 (19): 7218–7223, Дои:10.1073 / pnas.1118478109, ЧВК  3358891, PMID  22523238.
2. Норбс, П. (сентябрь 2005 г.). «12-я проблема» (PDF ). Вестник Австралийского математического общества. 32 (4): 244–246.