Полярное разложение - Polar decomposition

В математика, то полярное разложение квадрата настоящий или же сложный матрица ${\displaystyle A}$ это факторизация формы ${\displaystyle A=UP}$, куда ${\displaystyle U}$ это унитарная матрица и ${\displaystyle P}$ это положительно-полуопределенный Эрмитова матрица, квадратные и одинакового размера.^[1]

Интуитивно, если настоящий ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ интерпретируется как линейное преобразование из ${\displaystyle n}$-размерный Космос ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, полярное разложение разбивает его на вращение или же отражение ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а масштабирование пространства вдоль набора ${\displaystyle n}$ ортогональные оси.

Полярное разложение квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ всегда существует. Если ${\displaystyle A}$ является обратимый, разложение единственное, а множитель ${\displaystyle P}$ будет положительно определенный. В таком случае, ${\displaystyle A}$ можно записать однозначно в виде ${\displaystyle A=Ue^{X}}$, куда ${\displaystyle U}$ унитарен и ${\displaystyle X}$ единственный самосопряженный логарифм матрицы ${\displaystyle P}$.^[2] Это разложение полезно при вычислении фундаментальная группа из (матрица) Группы Ли.^[3]

Полярное разложение также можно определить как ${\displaystyle A=PU}$ куда ${\displaystyle P}$ является симметричной положительно определенной матрицей, но в общем случае представляет собой другую матрицу, а ${\displaystyle U}$ та же матрица, что и выше.

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матричный аналог полярная форма из комплексное число ${\displaystyle z}$ в качестве ${\displaystyle z=ur}$, куда ${\displaystyle r}$ это его абсолютная величина (неотрицательный настоящий номер ), и ${\displaystyle u}$ - комплексное число с единичной нормой (элемент круговая группа ).

Характеристики

Полярное разложение комплексно сопряженный из ${\displaystyle A}$ дан кем-то ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.}$ Обратите внимание, что

${\displaystyle \det A=\det U\det P=e^{i\theta }\cdot r}$

дает соответствующее полярное разложение детерминант из А, поскольку ${\displaystyle \det U=e^{i\theta }}$ и ${\displaystyle \det P=r=|\det A|}$. В частности, если ${\displaystyle A}$ имеет определитель 1, то оба ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ имеют определитель 1.

Положительно-полуопределенная матрица п всегда уникален, даже если А является единственное число, и обозначается как

${\displaystyle P=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$

куда А^* обозначает сопряженный транспонировать из А. Уникальность п гарантирует, что это выражение четко определено. Уникальность гарантируется тем, что ${\displaystyle A^{*}A}$ является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей и, следовательно, имеет единственный положительно-полуопределенный эрмитов квадратный корень.^[4] Если А обратима, то п положительно определена, следовательно, также обратима и матрица U однозначно определяется

${\displaystyle U=AP^{-1}.}$

Интуитивная интерпретация

Настоящая площадь ${\displaystyle m\times m}$ матрица ${\displaystyle A}$ может быть интерпретирован как линейное преобразование из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ который принимает вектор-столбец ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle Ax}$. Тогда в полярном разложении ${\displaystyle A=RP}$, фактор ${\displaystyle R}$ является ${\displaystyle m\times m}$ вещественная ортонормированная матрица. Тогда полярное разложение можно рассматривать как выражение линейного преобразования, определяемого формулой ${\displaystyle A}$ в масштабирование пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ вдоль каждого собственного вектора ${\displaystyle e_{i}}$ из ${\displaystyle A}$ масштабным коэффициентом ${\displaystyle \sigma _{i}}$ (действие ${\displaystyle P}$) с последующим однократным вращением или отражением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ (действие ${\displaystyle R}$).

В качестве альтернативы разложение ${\displaystyle A=PR}$ выражает преобразование, определяемое ${\displaystyle A}$ как вращение (${\displaystyle R}$) с последующим масштабированием (${\displaystyle P}$) вдоль определенных ортогональных направлений. Коэффициенты масштабирования такие же, но направления разные.

Отношение к СВД

Что касается разложение по сингулярным числам (СВД) из ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A=W\Sigma V^{*}}$, надо

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$, и ${\displaystyle W}$ являются унитарными матрицами (называемыми ортогональными матрицами, если поле является вещественным ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Это подтверждает, что ${\displaystyle P}$ положительно определен и ${\displaystyle U}$ унитарен. Таким образом, существование SVD эквивалентно существованию полярного разложения.

Также можно разложить ${\displaystyle A}$ в виде

${\displaystyle A=P'U}$

Здесь ${\displaystyle U}$ такой же, как и раньше, и ${\displaystyle P'}$ дан кем-то

${\displaystyle P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}.}$

Это называется левым полярным разложением, тогда как предыдущее разложение известно как правое полярное разложение. Левополярное разложение также известно как обратное полярное разложение.

Матрица ${\displaystyle A}$ является нормальный если и только если ${\displaystyle P'=P}$. потом ${\displaystyle U\Sigma =\Sigma U}$, и можно диагонализовать ${\displaystyle U}$ с унитарной матрицей подобия ${\displaystyle S}$ что коммутирует с ${\displaystyle \Sigma }$, давая ${\displaystyle SUS^{*}=\Phi ^{-1}}$, куда ${\displaystyle \Phi }$ - диагональная унитарная матрица фаз ${\displaystyle e^{i\varphi }}$. Положив ${\displaystyle Q=VS^{*}}$, тогда можно переписать полярное разложение в виде

${\displaystyle A=\left(Q\Phi Q^{*}\right)\left(Q\Sigma Q^{*}\right),\,}$

так ${\displaystyle A}$ то таким образом также имеет спектральное разложение

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{*}}$

с комплексными собственными числами такими, что ${\displaystyle \Lambda \Lambda ^{*}=\Sigma ^{2}}$ и унитарная матрица комплексных собственных векторов ${\displaystyle Q}$.

В полярное разложение квадратной обратимой вещественной матрицы ${\displaystyle A}$ имеет форму

${\displaystyle A=|A|R}$

куда ${\displaystyle |A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}}$ это положительно определенный матрица и ${\displaystyle R=|A|^{-1}A}$ является ортогональной матрицей.

Строительство и доказательства существования

Основная идея построения полярного разложения аналогична той, которая используется для вычисления сингулярное разложение.

Для любого ${\displaystyle A}$, матрица ${\displaystyle A^{*}A}$ является эрмитовым и положительно полуопределенным, и поэтому унитарно эквивалентно положительному полуопределенному диагональ матрица. Пусть тогда ${\displaystyle V}$ быть унитарным таким, что ${\displaystyle A^{*}A=VDV^{*}}$, с ${\displaystyle D}$ диагональный и положительный полуопределенный.

В случае если ${\displaystyle A}$ нормальный

Если ${\displaystyle A}$ нормально, то она унитарно эквивалентна диагональной матрице: ${\displaystyle A=V\Lambda V^{*}}$ для какого-то унитарного ${\displaystyle V}$ и некоторая диагональная матрица ${\displaystyle \Lambda }$. Затем мы можем написать

${\displaystyle A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},}$

куда ${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$ - диагональная матрица, содержащая фазы элементов ${\displaystyle \Lambda }$, то есть, ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|}$ или же ${\displaystyle (\Phi _{\Lambda })_{ii}}$ произвольное комплексное число с единицей величины, когда ${\displaystyle \Lambda _{ii}=0}$.

Таким образом, полярное разложение ${\displaystyle A=UP}$, с ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ диагональ в собственном базисе ${\displaystyle A}$ и с собственными значениями, равными фазам и модулям собственных значений ${\displaystyle A}$, соответственно.

В случае если ${\displaystyle A}$ обратимый

От сингулярное разложение, можно показать, что ${\displaystyle A}$ обратима тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A^{*}A}$ (эквивалентно, ${\displaystyle AA^{*}}$) является. Более того, это верно тогда и только тогда, когда собственные значения ${\displaystyle A^{*}A}$ все не нулевые^[5].

В этом случае полярное разложение непосредственно получается записью

${\displaystyle A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$

и наблюдая, что ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ унитарен. Чтобы убедиться в этом, мы можем использовать спектральное разложение ${\displaystyle A^{*}A}$ написать ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}}$.

В этом выражении ${\displaystyle V^{*}}$ унитарен, потому что ${\displaystyle V}$ является. Чтобы показать это также ${\displaystyle AVD^{-{\frac {1}{2}}}}$ унитарен, мы можем использовать СВД написать ${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}}$, так что

${\displaystyle AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}}=W,}$

где снова ${\displaystyle W}$ унитарен по построению.

Еще один способ прямо показать унитарность ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ следует отметить, что написание СВД из ${\displaystyle A}$ в терминах матриц ранга 1 как ${\displaystyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$, куда ${\displaystyle s_{k}}$- сингулярные значения ${\displaystyle A}$, у нас есть

${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},}$

откуда прямо следует унитарность ${\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ потому что матрица унитарна тогда и только тогда, когда ее сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение.

Обратите внимание, как из приведенной выше конструкции следует, что унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определяется однозначно.

Общий случай

СВД г. ${\displaystyle A}$ читает ${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}}$, с ${\displaystyle W,V}$ унитарные матрицы и ${\displaystyle D}$ диагональная положительно полуопределенная матрица. Просто вставив дополнительную пару ${\displaystyle W}$s или ${\displaystyle V}$s, получаем две формы полярного разложения ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{\frac {1}{2}}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{*}\right)} _{P'}.}$

Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве

В полярное разложение любой ограниченный линейный оператор А между сложными Гильбертовы пространства каноническая факторизация как произведение частичная изометрия и неотрицательный оператор.

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если А является ограниченным линейным оператором, то существует единственная факторизация А как продукт А = ВВЕРХ куда U частичная изометрия, п неотрицательный самосопряженный оператор и начальное пространство U это закрытие диапазона п.

Оператор U должно быть ослаблено до частичной изометрии, а не унитарной из-за следующих проблем. Если А это односторонний сдвиг на л²(N), то |А| = {А^*А}^½ = я. Так что если А = U |А|, U должно быть А, который не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием Лемма Дугласа:

Лемма Если А, B - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве ЧАС, и А^*А ≤ B^*B, то существует сжатие C такой, что A = CB. Более того, C уникален, если Ker(B^*) ⊂ Ker(C).

Оператор C можно определить как C (Bh) := Ах для всех час в ЧАС, продолженная непрерывностью до закрытия Ран(B) и нулем в ортогональном дополнении ко всем ЧАС. Лемма следует из того, что А^*А ≤ B^*B подразумевает Ker(B) ⊂ Ker(А).

Особенно. Если А^*А = B^*B, тогда C является частичной изометрией, которая уникальна, если Ker(B^*) ⊂ Ker(CВ общем случае для любого ограниченного оператора А,

${\displaystyle A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},}$

куда (А^*А)^½ является единственным положительным квадратным корнем из А^*А дан обычным функциональное исчисление. Итак, по лемме имеем

${\displaystyle A=U\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}}$

для некоторой частичной изометрии U, который уникален, если Ker(А^*) ⊂ Ker(U). Брать п быть (А^*А)^½ и получаем полярное разложение А = ВВЕРХ. Обратите внимание, что аналогичный аргумент может использоваться, чтобы показать A = P'U', куда П' положительный и U' частичная изометрия.

Когда ЧАС конечномерна, U может быть расширен до унитарного оператора; в целом это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение можно показать с помощью операторной версии разложение по сингулярным числам.

В собственности непрерывное функциональное исчисление, | A | находится в C * -алгебра создано А. Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для частичной изометрии: U находится в алгебра фон Неймана создано А. Если А обратима, полярная часть U будет в C * -алгебра также.

Неограниченные операторы

Если А замкнутая плотно определенная неограниченный оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то у него все еще есть (единственный) полярное разложение

${\displaystyle A=U|A|\,}$

где |А| является (возможно, неограниченным) неотрицательным самосопряженным оператором с той же областью определения, что и А, и U является частичной изометрией, исчезающей на ортогональном дополнении диапазона Ран(|А|).

Доказательство использует ту же лемму, что и выше, которая, в общем, проводится для неограниченных операторов. Если Дом(А^*А) = Дом(B^*B) и А^*Ах = B^*Bh для всех час ∈ Дом(А^*А), то существует частичная изометрия U такой, что А = UB. U уникален, если Ран(B)^⊥ ⊂ Ker(U). Оператор А замкнутость и плотное определение гарантирует, что оператор А^*А является самосопряженным (с плотной областью) и, следовательно, позволяет определить (А^*А)^½. Применение леммы дает полярное разложение.

Если неограниченный оператор А является аффилированный к алгебре фон Неймана M, и А = ВВЕРХ - его полярное разложение, то U в M и спектральная проекция п, 1_B(п) для любого борелевского множества B в [0, ∞).

Кватернионное полярное разложение

Полярное разложение кватернионы ЧАС зависит от единичной 2-мерной сферы ${\displaystyle \lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace }$ из квадратные корни из минус единицы. Учитывая любые р на этой сфере и угол −π < а ≤ π, то Versor ${\displaystyle e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)}$ находится на блоке 3-сфера из ЧАС. За а = 0 и а = π, версор равен 1 или −1 независимо от того, какой р выбрано. В норма т кватерниона q это Евклидово расстояние от происхождения до q. Когда кватернион - это не просто действительное число, тогда существует уникальный полярное разложение ${\displaystyle q=te^{ar}.}$

Альтернативные планарные разложения

в Декартова плоскость, альтернативный планарный звенеть разложения возникают следующим образом:

• Если Икс ≠ 0, z = Икс(1 + ε (у/Икс)) полярное разложение двойной номер z = Икс + уε, куда ε² = 0; т.е. ε есть нильпотентный. В этом полярном разложении единичный круг заменен линией Икс = 1, полярный угол склон у / х, а радиус Икс отрицательна в левой полуплоскости.
• Если Икс² ≠ у², то гипербола единиц Икс² − у² = 1 и его сопряженный Икс² − у² = −1 можно использовать для формирования полярного разложения на основе ветви единичной гиперболы через (1, 0). Эта ветвь параметризуется гиперболический угол а и написано

  ${\displaystyle \cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}}$

  куда j² = +1 и арифметика^[6] из разделенные комплексные числа используется. Ветвь через (−1, 0) отслеживается -е^aj. Поскольку операция умножения на j отражает точку на линии у = Икс, вторая гипербола имеет ветви, очерченные je^aj или -je^aj. Следовательно, точка в одном из квадрантов имеет полярное разложение в одной из форм:

  ${\displaystyle re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0}$

  Набор {1, −1, j, −j} есть продукты, которые делают его изоморфным Кляйн четыре группы. Очевидно, в полярном разложении в данном случае участвует элемент из этой группы.

Численное определение полярного разложения матрицы

Чтобы вычислить приближение полярного разложения А = ВВЕРХ, обычно унитарный коэффициент U приблизительно.^[7][8] Итерация основана на Метод Герона для квадратного корня из 1 и вычисляет, начиная с ${\displaystyle U_{0}=A}$, последовательность

${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$

Комбинация инверсии и сопряжения Эрмита выбрана так, чтобы при разложении по сингулярным числам унитарные множители оставались неизменными, а итерация сводилась к методу Герона по сингулярным значениям.

Эту базовую итерацию можно улучшить, чтобы ускорить процесс:

• На каждом шаге или через равные промежутки времени диапазон сингулярных значений ${\displaystyle U_{k}}$ оценивается, а затем матрица масштабируется до ${\displaystyle \gamma _{k}U_{k}}$ центрировать сингулярные значения вокруг 1. Коэффициент масштабирования ${\displaystyle \gamma _{k}}$ вычисляется с использованием матричных норм матрицы и ее обратной. Примеры таких масштабных оценок:

  ${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}}$

  используя сумму строк и сумму столбцов матричные нормы или же

  ${\displaystyle \gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}}$

  с использованием Норма Фробениуса. Включая коэффициент масштабирования, итерация теперь

  ${\displaystyle U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$

• В QR-разложение может использоваться на этапе подготовки для уменьшения сингулярной матрицы А в меньшую регулярную матрицу и внутри каждого шага, чтобы ускорить вычисление обратной.
• Метод Герона для вычисления корней ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ могут быть заменены методами более высокого порядка, например на основе Метод Галлея третьего порядка, в результате чего
  ${\displaystyle U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots }$
  Эта итерация снова может быть объединена с изменением масштаба. Эта конкретная формула имеет то преимущество, что она также применима к сингулярным или прямоугольным матрицам. А.

Смотрите также

• Картановское разложение
• Алгебраическое полярное разложение
• Полярное разложение комплексной меры
• Разложение группы Ли

Рекомендации

1. Зал 2015 Раздел 2.5
2. Зал 2015 Теорема 2.17.
3. Зал 2015 Раздел 13.3
4. Зал 2015 Лемма 2.18.
5. Обратите внимание, как это следует из положительности ${\displaystyle A^{*}A}$, что все собственные значения действительны и строго положительны.
6. Собчик, Г. (1995) "Гиперболическая числовая плоскость", Журнал математики колледжа 26:268–80
7. Хайэм, Николас Дж. (1986). «Вычисление полярного разложения с приложениями». SIAM J. Sci. Стат. Вычислить. Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики. 7 (4): 1160–1174. CiteSeerX  10.1.1.137.7354. Дои:10.1137/0907079. ISSN  0196-5204.
8. Байерс, Ральф; Хунго Сюй (2008). «Новый масштаб для итерации Ньютона для полярного разложения и его обратной устойчивости». SIAM J. Matrix Anal. Приложение. Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики. 30 (2): 822–843. CiteSeerX  10.1.1.378.6737. Дои:10.1137/070699895. ISSN  0895-4798.

• Конвей, Дж. Б.: Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Springer 1990
• Дуглас, Р.: О мажоризации, факторизации и включении диапазонов операторов в гильбертовом пространстве. Proc. Амер. Математика. Soc. 17, 413-415 (1966)
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN  0-8218-2848-7