Частичная изометрия - Partial isometry

В функциональный анализ а частичная изометрия линейное отображение между гильбертовыми пространствами, такое что изометрия на ортогональное дополнение своего ядро.

Ортогональное дополнение его ядра называется начальное подпространство и его диапазон называется последнее подпространство.

Частичные изометрии появляются в полярное разложение.

Общий

Понятие частичной изометрии можно определить другими эквивалентными способами. Если U изометрическое отображение, определенное на замкнутом подмножестве ЧАС₁ гильбертова пространства ЧАС тогда мы можем определить расширение W из U ко всем ЧАС при условии, что W равняться нулю на ортогональном дополнении к ЧАС₁. Таким образом, частичная изометрия также иногда определяется как замкнутая частично определенная изометрическая карта.

Частичные изометрии (и проекции) могут быть определены в более абстрактной установке полугруппа с инволюцией; определение совпадает с приведенным здесь.

Операторные алгебры

За операторные алгебры вводится начальное и конечное подпространства:

${\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}}$

C * -Алгебры

За C * -алгебры имеется цепочка эквивалентностей благодаря C * -свойству:

${\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}$

Таким образом, каждый определяет частичные изометрии любым из вышеперечисленных и объявляет начальную соотв. окончательный прогноз будет Вт * Вт соотв. WW *.

Пара выступов разбита отношение эквивалентности:

${\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}$

Он играет важную роль в K-теория для C * -алгебр и в Мюррей -фон Нейман теория проекций в алгебра фон Неймана.

Специальные классы

Прогнозы

Любая ортогональная проекция - это проекция с общим начальным и конечным подпространствами:

${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}$

Вложения

Любое изометрическое вложение - это вложение с полным начальным подпространством:

${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}$

Унитарные

Любой унитарный оператор один с полным начальным и конечным подпространством:

${\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}$

(Помимо них существует гораздо больше частичных изометрий.)

Примеры

Нильпотентс

На двумерном комплексном гильбертовом пространстве матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

частичная изометрия с начальным подпространством

${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }$

и последнее подпространство

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}$

Левое и правое смещение

На последовательностях, суммируемых с квадратом, операторы

${\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}$

которые связаны

${\displaystyle R^{*}=L}$

частичные изометрии с начальным подпространством

${\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

и последнее подпространство:

${\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )}$.

Рекомендации

• Джон Б. Конвей (1999). «Курс теории операторов», Книжный магазин AMS, г. ISBN  0-8218-2065-6
• Алан Л. Т. Патерсон (1999). "Группоиды, инверсные полугруппы и их операторные алгебры ", Springer, ISBN  0-8176-4051-7
• Марк В. Лоусон (1998). "Обратные полугруппы: теория частичных симметрий ". Всемирный научный ISBN  981-02-3316-7

внешняя ссылка

• Важные свойства и доказательства
• Альтернативные доказательства