Полугруппа с инволюцией - Semigroup with involution

В математика, особенно в абстрактная алгебра, а полугруппа с инволюцией или * -полугруппа это полугруппа оснащен инволютивный антиавтоморфизм, что, грубо говоря, приближает его к группа потому что эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор, проявляет определенные фундаментальные свойства операции взятия инверсии в группе: уникальность, двойное применение, «самоуменьшающееся», и тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае групповой инверсии. Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако есть важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, не являющихся группами.

Пример из линейная алгебра это мультипликативный моноид из настоящий квадрат матрицы порядкап (называется полный линейный моноид ). В карта который отправляет матрицу в его транспонировать является инволюцией, потому что транспонирование хорошо определено для любой матрицы и подчиняется закону (AB)^Т = B^ТА^Т, который имеет ту же форму взаимодействия с умножением, что и обратное в общая линейная группа (который является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA^Т не совпадает с элементом идентичности (а именно диагональная матрица ). Другой пример из формальный язык теория, это свободная полугруппа созданный непустой набор (ан алфавит ), со строкой конкатенация как бинарная операция, а инволюция - это карта, которая переворачивает то линейный порядок букв в строке. Третий пример из базового теория множеств, это набор всех бинарные отношения между множеством и самим собой, причем инволюция является обратное отношение, а умножение на обычные состав отношений.

Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье 1953 г. Виктор Вагнер (на русском языке) в результате его попытки связать теорию полугрупп с теорией полукупы.^[1]

Формальное определение

Позволять S быть полугруппа с его двоичной операцией, записанной мультипликативно. Инволюция в S это унарная операция * на S (или преобразование *: S → S, Икс ↦ Икс*) удовлетворяющие следующим условиям:

1. Для всех Икс в S, (Икс*)* = Икс.
2. Для всех Икс, у в S у нас есть (ху)* = у*Икс*.

Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.

Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к более широкому классу U-полугруппы.

В некоторых приложениях вторая из этих аксиом получила название антидистрибутивный.^[2] Что касается натурфилософии этой аксиомы, H.S.M. Coxeter отметил, что это «становится ясно, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви соответственно».^[3]

Примеры

1. Если S это коммутативный полугруппа, то карта идентичности S - инволюция.
2. Если S это группа тогда карта инверсии *: S → S определяется Икс* = Икс⁻¹ инволюция. Кроме того, на абелева группа и это отображение, и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией.^[4]
3. Если S является инверсная полугруппа то отображение инверсии - это инволюция, которая оставляет идемпотенты инвариантный. Как отмечалось в предыдущем примере, инверсионная карта не обязательно является единственной картой с этим свойством в инверсной полугруппе. Вполне могут быть другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, тождественное отображение на коммутативной регулярной, а значит, и обратной полугруппе, в частности, на абелевой группе. А регулярная полугруппа является инверсная полугруппа тогда и только тогда, когда он допускает инволюцию, при которой каждый идемпотент является инвариантом.^[5]
4. В основе каждого C * -алгебра является * -полугруппой. Важно пример это алгебра M_п(C) из п-к-п матрицы над C, с сопряженный транспонировать как инволюция.
5. Если Икс это набор, набор всех бинарные отношения на Икс является * -полугруппой с *, заданной обратное отношение, а умножение на обычные состав отношений. Это пример * -полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
6. Если X - множество, то множество всех конечных последовательностей (или струны ) членов X образует свободный моноид при операции конкатенации последовательностей с обращением последовательностей как инволюцией.
7. А прямоугольная полоса на декартовом произведении множества А с собой, т.е. с элементами из А × А, с полугрупповым произведением, определенным как (а, б)(c, d) = (а, d), где инволюция - это изменение порядка элементов пары (а, б)* = (б, а). Эта полугруппа также является регулярная полугруппа, как и все группы.^[6]

Основные понятия и свойства

Элемент Икс полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитский (по аналогии с Эрмитова матрица ), когда он остается инвариантным инволюцией, то есть Икс* = Икс. Элементы формы хх* или же Икс*Икс всегда эрмитичны, как и все силы эрмитовского элемента. Как отмечено в разделе примеров, полугруппа S является инверсная полугруппа если и только если S это регулярная полугруппа и допускает такую ​​инволюцию, что каждый идемпотент эрмитов.^[7]

Некоторые базовые концепции могут быть определены на * -полугруппах способом, который аналогичен понятиям, вытекающим из регулярный элемент в полугруппе. А частичная изометрия это элемент s такой, что SS*s = s; множество частичных изометрий полугруппы S обычно сокращенно ПИ (S).^[8] А проекция идемпотентный элемент е это тоже эрмитский, то есть ее = е и е* = е. Каждая проекция является частичной изометрией, а каждая частичная изометрия s, s*s и SS* - прогнозы. Если е и ж проекции, то е = ef если и только если е = fe.^[9]

Частичные изометрии могут быть частично заказанный к s ≤ т определяется как удержание, когда s = SS*т и SS* = SS*тт*.^[9] Эквивалентно, s ≤ т если и только если s = et и е = ett* для некоторой проекции е.^[9] В * -полугруппе PI (S) является заказанный группоид с частичный продукт данный s⋅т = ул если s*s = тт*.^[10]

Примеры

В терминах примеров для этих понятий в * -полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии - это отношения, которые дифункциональный. Проекции в этой * -полугруппе являются отношения частичной эквивалентности.^[11]

В частичные изометрии в C * -алгебре - это в точности те, что определены в этом разделе. В случае M_п(C) можно сказать больше. Если E и F проекции, то E ≤ F если и только если яE ⊆ имF. Для любых двух проекций, если E ∩ F = V, то единственная проекция J с изображением V и ядро ортогональное дополнение из V это встреча E и F. Поскольку прогнозы образуют встречу -полурешетка, частичные изометрии на M_п(C) образуют обратную полугруппу с произведением ${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$.^[12]

Другой простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.

Понятия регулярности

Есть два связанных, но не идентичных понятия регулярности в * -полугруппах. Они были введены почти одновременно Нордалом и Шейблихом (1978) и, соответственно, Дразином (1979).^[13]

Регулярные * -полугруппы (Нордаль и Шейблих)

Как упоминалось в предыдущие примеры, инверсные полугруппы являются подклассом * -полугрупп. Также из учебника известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 г. Борис Михайлович Шейн показали, что следующие две аксиомы дают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмножество * -полугрупп:

• Икс = хх*Икс
• (хх*)(Икс*Икс) = (Икс*Икс)(хх*)

Первый из них выглядит как определение обычного элемента, но на самом деле в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, похоже, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют многообразия, поскольку их класс не содержит бесплатные объекты (результат установлен Д. Б. Макалистер в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 г. изучение (разнообразия) * -полугрупп, удовлетворяющих только первым из этих двух аксиом; из-за сходства по форме со свойством, определяющим регулярные полугруппы, они назвали это разнообразие регулярными * -полугруппами.

Несложным вычислением установить, что регулярная * -полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку Икс* оказывается инверсией Икс. Прямоугольная тесьма из Пример 7 - регулярная * -полугруппа, не являющаяся обратной полугруппой.^[6] Также легко проверить, что в регулярной * -полугруппе произведение любых двух проекций является идемпотентом.^[14] В вышеупомянутом примере прямоугольной ленты выступы являются элементами формы (Икс, Икс) и [как и все элементы группы] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой полосе не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку (а, а)(б, б) = (а, б).

Полугруппы, удовлетворяющие только Икс** = Икс = хх*Икс (но не обязательно антидистрибутивность * над умножением) также изучались под названием I-полугруппы.

P-системы

Проблема определения того, когда регулярная полугруппа является регулярной * -полугруппой (в смысле Нордаля и Шейблиха), была рассмотрена М. Ямада (1982). Он определил P-система F (S) как подмножество идемпотентов S, обозначаемых, как обычно, E (S). Используя обычные обозначения V (а) для обратных а, F (S) должна удовлетворять следующим аксиомам:

1. Для любого а в S существует единственный а ° в V (а) такие, что аа° и а°а находятся в F (S)
2. Для любого а в S и b в F (S), а ° ба принадлежит F (S), где ° - корректно определенная операция из предыдущей аксиомы
3. Для любого а, б в F (S), ab находится в E (S); примечание: не обязательно в F (S)

Регулярная полугруппа S является * -регулярной полугруппой, как определено Нордалом и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F (S). В этом случае F (S) - множество проекций S относительно операции °, определенной F (S). В инверсная полугруппа вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (т. Е. Подполугруппу), то S является обратной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.

* -регулярные полугруппы (Дразин)

Полугруппа S с инволюцией * называется * -регулярная полугруппа (в смысле Дразина), если для каждого Икс в S, Икс* является ЧАС-эквивалентно некоторому инверсному Икс, куда ЧАС это Отношение Грина ЧАС. Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другое - сказать, что каждый L-учебный класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение - это условие, что для каждого Икс в S существует элемент ИксТакие, что Икс′хх′ = Икс′, хх′Икс = Икс, (хх′)* = хх′, (Икс′Икс)* = Икс′Икс. Майкл П. Дразин впервые доказал, что данный Икс, элемент Икс′ Удовлетворяющий этим аксиомам, единственно. Он называется инверсией Мура – ​​Пенроуза Икс. Это согласуется с классическим определением Обратное Мура – ​​Пенроуза квадратной матрицы.

Одним из мотивов изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства обратного Мура – ​​Пенроуза из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ к более общим наборам.

в мультипликативный полугруппа M_п(C) квадратных матриц порядка п, карта, задающая матрицу А к его Эрмитово сопряжение А* - инволюция. Полугруппа M_п(C) является * -регулярной полугруппой с этой инволюцией. Обратный Мура – ​​Пенроуза к A в этой * -регулярной полугруппе является классическим обратным Мура – ​​Пенроуза к А.

Свободная полугруппа с инволюцией

Как и все разновидности, категория полугрупп с инволюцией допускает бесплатные объекты. Построение свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основано на построении свободная полугруппа (и, соответственно, свободного моноида). Более того, построение свободная группа легко выводится путем уточнения конструкции свободного моноида с инволюцией.^[15]

В генераторы свободной полугруппы с инволюцией являются элементы объединения двух (равномерный ) непересекающиеся множества в биективное соответствие: ${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$. (Здесь обозначение ${\displaystyle \sqcup \,}$ подчеркнул, что союз на самом деле несвязный союз.) В случае, если два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавит с инволюцией^[16] или симметричный алфавит.^[17] Позволять ${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$ быть биекцией; ${\displaystyle \theta }$ естественно расширенный к биекции ${\displaystyle {}\dagger :Y\to Y}$ по существу, взяв несвязное объединение ${\displaystyle \theta }$ (в комплекте) с его обратный, или в кусочно обозначение:^[18]

${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$

Теперь построим ${\displaystyle Y^{+}\,}$ как свободная полугруппа на ${\displaystyle Y\,}$ обычным образом с бинарной (полугрупповой) операцией над ${\displaystyle Y^{+}\,}$ существование конкатенация:

${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$ для некоторых писем ${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

Биекция ${\displaystyle \dagger }$ на ${\displaystyle Y}$ затем расширяется как биекция ${\displaystyle {}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$ определяется как инверсия строк элементов ${\displaystyle Y^{+}\,}$ которые состоят из более чем одной буквы:^[16][18]

${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$

Эта карта инволюция на полугруппе ${\displaystyle Y^{+}\,}$. Таким образом, полугруппа ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ с картой ${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$ полугруппа с инволюцией, называемая свободная полугруппа с инволюцией на Икс.^[19] (Нерелевантность конкретной личности ${\displaystyle X^{\dagger }}$ и биекции ${\displaystyle \theta }$ в этом выборе терминологии ниже объясняется универсальность конструкции.) Обратите внимание, что в отличие от Пример 6 инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же самое наблюдение распространяется на свободную полугруппу с инволюцией.

Если в приведенной выше конструкции вместо ${\displaystyle Y^{+}\,}$ мы используем свободный моноид ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$, которая представляет собой свободную полугруппу, расширенную с помощью пустое слово ${\displaystyle \varepsilon \,}$ (какой элемент идентичности из моноид ${\displaystyle Y^{*}\,}$), и соответствующим образом продолжить инволюцию с помощью ${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$, получаем свободный моноид с инволюцией.^[18]

Вышеупомянутая конструкция - фактически единственный способ расширить данную карту. ${\displaystyle \theta \,}$ из ${\displaystyle X\,}$ к ${\displaystyle X^{\dagger }\,}$, к инволюции на ${\displaystyle Y^{+}\,}$ (и аналогично ${\displaystyle Y^{*}\,}$). Квалификатор «бесплатно» для этих конструкций оправдан в обычном смысле, что они универсальные конструкции. В случае свободной полугруппы с инволюцией для произвольной полугруппы с инволюцией ${\displaystyle S\,}$ и карта ${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$, затем гомоморфизм полугрупп ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$ существует такое, что ${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$, куда ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ это карта включения и состав функций взят в порядок диаграмм.^[19] Построение ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ как полугруппа с инволюцией единственна с точностью до изоморфизм. Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах моноидные гомоморфизмы и единственность с точностью до изоморфизма конструкции ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$ как моноид с инволюцией.

Строительство свободная группа не очень далеко от свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенное слово и переписывание правило для создания таких слов, просто удаляя любые смежные пары букв формы ${\displaystyle xx^{\dagger }}$ или же ${\displaystyle x^{\dagger }x}$. Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удалений дает тот же результат.^[15] (Иначе говоря, эти правила определяют сливаться (система переписывания). Точно так же свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией, взяв частное последнего соответствие ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$, который иногда называют Дайк конгруэнтность- в определенном смысле обобщает Язык Дайка на несколько видов «круглых скобок». Однако упрощение в сравнении Дайка имеет место независимо от порядка. Например, если ")" является обратным символу "(", то ${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$; односторонняя конгруэнтность, которая появляется в собственно языке Дейка ${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$, который реализует только ${\displaystyle ()=\varepsilon }$ (возможно, сбивчиво) называется Шамир конгруэнтность. Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнции Шамира - это не группа, а моноид; тем не менее его называли свободная половина группы от его первого первооткрывателя -Эли Шамир - хотя в последнее время его называли инволютивный моноид создано Икс.^[17][20] (Этот последний выбор терминологии, однако, противоречит использованию «инволютивного» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе.^[21][22])

Бэра * -полугруппы

* -Полугруппой Бэра называется * -полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правильный идеал какой-то проекции; это свойство выражается формально как: для всех Икс ∈ S есть проекция е такой, что

{ у ∈ S | ху = 0 } = eS.^[22]

Проекция е фактически однозначно определяется Икс.^[22]

Совсем недавно Бэра * -полугруппы стали называть Полугруппы Фули, после Дэвид Джеймс Фулис кто изучил их глубоко.^[23][24]

Примеры и приложения

Множество всех бинарных отношений на множестве (из пример 5 ) является бэровской * -полугруппой.^[25]

Baer * -полугруппы встречаются также в квантовая механика,^[22] в частности, как мультипликативные полугруппы Кольца Baer *.

Если ЧАС это Гильбертово пространство, то мультипликативная полугруппа всех ограниченные операторы на ЧАС является бэровской * -полугруппой. Инволюция в этом случае отображает оператор в его прилегающий.^[25]

Baer * -полугруппа позволяет координация из ортомодульные решетки.^[23]

Смотрите также

• Категория кинжала (иначе категория с инволюцией) - обобщает понятие
• *-алгебра
• Специальные классы полугрупп

Примечания

1. Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество. п. 265. ISBN  978-1-4704-1493-1.
2. Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике. Springer. п. 4. ISBN  978-3-211-82971-4.
3. H.S.M. Кокстер, Введение в геометрию, п. 33
4. К. ван ден Берг; Дж. П. Р. Кристенсен; П. Рессель (2012). Гармонический анализ на полугруппах: теория положительно определенных и родственных функций. Springer Science & Business Media. С. 87–88. ISBN  978-1-4612-1128-0.
5. Манн, лемма 1
6. Нордаль и Шайблих
7. Истдаун, Дэвид и У. Д. Манн. «О полугруппах с инволюцией». Бюллетень Австралийского математического общества 48.01 (1993): 93–100.
8. Лоусон, стр. 116
9. Лоусон, стр. 117
10. Лоусон, стр. 118
11. Лоусон стр.122 и стр.35
12. Лоусон стр.120
13. Црвенкович и Долинка
14. Нордаль и Шейблих, теорема 2.5
15. Лоусон п. 51
16. Анджей Эренфойхт; Т. Харью; Гжегож Розенберг (1999). Теория 2-структур: основа для декомпозиции и преобразования графов. World Scientific. С. 13–14. ISBN  978-981-02-4042-4.
17. Жак Сакарович. Элементы теории автоматов. Издательство Кембриджского университета. С. 305–306.
18. Стивен Липскомб (1996). Симметричные обратные полугруппы. American Mathematical Soc. п. 86. ISBN  978-0-8218-0627-2.
19. Лоусон п. 172
20. Ион Петре и Арто Саломаа (2009). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Манфреде Дросте; Вернер Куич; Хайко Фоглер (ред.). Справочник по взвешенным автоматам. Springer. п. 271. ISBN  978-3-642-01492-5.
21. Карл-Герман Неб (2000). Голоморфность и выпуклость в теории Ли. Вальтер де Грюйтер. п. 21. ISBN  978-3-11-015669-0.
22. Энрико Г. Бельтраметти; Джанни Кассинелли (2010) [1981]. Логика квантовой механики. Издательство Кембриджского университета. п. 178. ISBN  978-0-521-16849-6.
23. Т.С. Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer Science & Business Media. С. 101–102. ISBN  978-1-84628-127-3.
24. Хардинг, Джон. «Кинжалы, ядра, бэровские * -полугруппы и ортомодулярность». Журнал философской логики. 6 апреля 2013 г. Дои:10.1007 / s10992-013-9275-5
25. Фулис, Д. Дж. Относительные обратные в * -полугруппах Бэра. Michigan Math. J. 10 (1963), нет. 1, 65–84. Дои:10,1307 / ммдж / 1028998825.

Рекомендации

• Марк В. Лоусон (1998). «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий». Всемирный научный ISBN  981-02-3316-7
• Д. Дж. Фулис (1958). Инволюционные полугруппы, Докторская диссертация, Тулейнский университет, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации Д.Дж. Фулис (Доступ осуществлен 5 мая 2009 г.)
• W.D. Манн, Особые инволюции, в A.H. Clifford, K.H. Хофманн, M.W. Mislove, Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 г., посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда, Cambridge University Press, 1996 г., ISBN  0521576695. Это недавняя обзорная статья о полугруппе с (специальной) инволюцией.
• Дразин М.П., Регулярные полугруппы с инволюцией, Proc. Symp. о регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46.
• Нордаль Т.Э. и Х. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Полугруппа Форум, 16(1978), 369–377.
• Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах, Полугруппа Форум, 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
• С. Црвенкович и Игорь Долинка »,Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор ", Бюллетень Общества математиков Баня-Луки, том 9 (2002), 7–47.
• В этой статье использован материал из Свободной полугруппы с инволюцией на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.