Функция идентичности - Identity function - Wikipedia

Не путать с Нулевая функция или же Пустая функция.

График функции тождества на действительных числах

В математика, функция идентичности, также называемый отношение идентичности или же карта идентичности или же преобразование идентичности, это функция который всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве аргумента. То есть для ж будучи идентичностью, равенство ж(Икс) = Икс относится ко всем Икс.

Определение

Формально, если M это набор, тождественная функция ж на M определяется как функция с домен и codomain M что удовлетворяет

ж(Икс) = Икс для всех элементов Икс в M.^[1]

Другими словами, значение функции ж(Икс) в M (то есть codomain) всегда один и тот же элемент ввода Икс из M (теперь считается доменом). Функция идентичности на M явно инъективная функция также как и сюръективная функция, так что это тоже биективный.^[2]

Функция идентичности ж на M часто обозначается как я бы_M.

В теория множеств, где функция определяется как особый вид бинарное отношение, тождественная функция задается отношение идентичности, или же диагональ из M.^[3]

Алгебраические свойства

Если ж : M → N - любая функция, то имеем ж ∘ id_M = ж = id_N ∘ ж (где "∘" означает функциональная композиция ). Особенно, я бы_M это элемент идентичности из моноид всех функций из M к M.

Поскольку единичный элемент моноида равен уникальный,^[4] можно альтернативно определить функцию тождества на M быть этим элементом идентичности. Такое определение обобщается на понятие морфизм идентичности в теория категорий, где эндоморфизмы из M не обязательно должны быть функциями.

Характеристики

• Функция идентичности - это линейный оператор, применительно к векторные пространства.^[5]
• Функция тождества на положительном целые числа это полностью мультипликативная функция (по существу умножение на 1), рассмотренные в теория чисел.^[6]
• В п-размерный векторное пространство функция идентичности представлена единичная матрица я_п, независимо от основа.^[7]
• В метрическое пространство это тождество тривиально изометрия. Объект без симметрия имеет как группа симметрии тривиальная группа, содержащая только эту изометрию (тип симметрии C₁).^[8]
• В топологическое пространство, тождественная функция всегда непрерывна.^[9]
• Функция идентичности идемпотент.^[10]

Смотрите также

• Карта включения

Рекомендации

1. Кнапп, Энтони В. (2006), Базовая алгебра, Спрингер, ISBN  978-0-8176-3248-9
2. Мапа, Садхан Кумар (7 апреля 2014 г.). Абстрактная и линейная высшая алгебра (11-е изд.). Книжный Дом Сарат. п. 36. ISBN  978-93-80663-24-1.
3. Труды симпозиумов по чистой математике. Американское математическое общество. 1974. стр. 92. ISBN  978-0-8218-1425-3. ... тогда диагональное множество, определяемое M, является тождественным отношением ...
4. Rosales, J.C .; Гарсиа-Санчес, П. А. (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды. Nova Publishers. п. 1. ISBN  978-1-56072-670-8. Элемент 0 обычно называют элементом идентичности, и если он существует, то он уникален.
5. Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
6. Д. Маршалл; Э. Оделл; М. Старберд (2007). Теория чисел через запрос. Учебники математической ассоциации Америки. Математическая ассоциация амер. ISBN  978-0883857519.
7. Т. С. Шорс (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ. Тексты для бакалавриата по математике. Springer. ISBN  978-038-733-195-9.
8. Джеймс В. Андерсон, Гиперболическая геометрия, Springer 2005, ISBN  1-85233-934-9
9. Коновер, Роберт А. (21 мая 2014 г.). Первый курс топологии: введение в математическое мышление. Курьерская корпорация. п. 65. ISBN  978-0-486-78001-6.
10. Конференции, Лето инженерного дела Мичиганского университета (1968). Основы инженерии информационных систем. мы видим, что единичный элемент полугруппы идемпотентен.