Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. - Rayleigh–Faber–Krahn inequality

В спектральная геометрия, то Неравенство Рэлея – Фабера – Крана., названный в честь его гипотезы, Лорд Рэйли, и два человека, которые независимо доказали гипотезу, Г. Фабер и Эдгар Кран, является неравенство относительно самого низкого Собственное значение Дирихле из Оператор Лапласа на ограниченной области в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$.^[1] В нем говорится, что первое собственное значение Дирихле не меньше соответствующего собственного значения Дирихле евклидова шара того же объема. Кроме того, неравенство жесткий в том смысле, что если первое собственное значение Дирихле совпадает с собственным значением соответствующего шара, то область на самом деле должна быть шаром. В случае ${\displaystyle n=2}$, неравенство, по существу, утверждает, что среди всех барабанов одинаковой площади, круглый барабан (однозначно) имеет самый низкий голос.

В более общем смысле неравенство Фабера – Крана выполняется в любом Риманово многообразие в которой изопериметрическое неравенство держит^[2]. В частности, согласно Гипотеза Картана – Адамара, оно должно выполняться во всех односвязных многообразиях неположительной кривизны.

Смотрите также

• Услышав форму барабана

Рекомендации

1. Бенгурия, Рафаэль Д. «Неравенство Рэлея – Фабера – Крана». Энциклопедия математики. SpringerLink. Получено 6 ноября 2011.
2. Чавел, Исаак Верфассер (1984). Собственные значения в римановой геометрии. OCLC  1106800772.