Философия математики - Philosophy of mathematics - Wikipedia

Эта статья посвящена философским вопросам, поднятым самой природой математики. О влиянии математических исследований и методов на философию см. Математическая философия.

В философия математики это ответвляться из философия который изучает предположения, основы и последствия математика. Он направлен на понимание природы и методы математики и выяснить место математики в жизни людей. Логическая и структурная природа самой математики делает это исследование одновременно широким и уникальным среди его философских аналогов.

История

Возникновение математики вызывает споры и разногласия. Было ли рождение математики случайным событием или вызвано необходимостью во время развития других предметов, таких как физика, все еще является предметом активных споров.[1][2]

Многие мыслители внесли свои идеи относительно природы математики. Сегодня некоторые[ВОЗ? ] философы математики стремятся дать отчет об этой форме исследования и его продуктах в их нынешнем виде, в то время как другие подчеркивают свою роль, которая выходит за рамки простой интерпретации до критического анализа. В обоих есть традиции математической философии. Западная философия и Восточная философия. Западные философии математики уходят корнями в Пифагор, который описал теорию «все есть математика» (математика ), Платон, который перефразировал Пифагора и изучил онтологический статус математических объектов, и Аристотель, который учился логика и вопросы, связанные с бесконечность (фактическое против потенциального).

Греческая философия по математике находились под сильным влиянием их изучения геометрия. Например, одно время греки придерживались мнения, что 1 (один) не был номер, а скорее единица произвольной длины. Число было определено как множество. Таким образом, число 3, например, представляет собой определенное множество единиц и, таким образом, не является «истинным» числом. В другом месте был выдвинут аналогичный аргумент, что 2 - это не число, а фундаментальное понятие пары. Эти взгляды исходят из сильно геометрической точки зрения греков - прямолинейного края и компаса: точно так же, как линии, нарисованные в геометрической задаче, измеряются пропорционально первой произвольно нарисованной линии, точно так же числа на числовой прямой измеряются пропорционально на произвольное первое «число» или «единицу».[нужна цитата ]

Эти более ранние греческие представления о числах были позже опровергнуты открытием иррациональность квадратного корня из двух. Гиппас, ученик Пифагор, показал, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его (единичной длиной) ребром: другими словами, он доказал, что не существует (рационального) числа, которое точно отображает отношение диагонали единичного квадрата к его краю. Это вызвало значительную переоценку греческой философии математики. Согласно легенде, пифагорейцы были настолько травмированы этим открытием, что убили Гиппаса, чтобы помешать ему распространять свои еретические идеи. Саймон Стевин был одним из первых в Европе, кто бросил вызов греческим идеям в 16 веке. Начиная с Лейбниц, акцент сильно сместился на отношения между математикой и логикой. Эта точка зрения доминировала в философии математики во времена Frege и из Рассел, но был поставлен под сомнение в результате развития событий в конце 19 - начале 20 веков.

Современная философия

Неизменный вопрос философии математики касается взаимоотношений между логикой и математикой в ​​их общих основаниях. В то время как философы 20-го века продолжали задавать вопросы, упомянутые в начале этой статьи, философия математики 20-го века характеризовалась преобладающим интересом к формальная логика, теория множеств (обе наивная теория множеств и аксиоматическая теория множеств ) и фундаментальные проблемы.

Это глубокая загадка, заключающаяся в том, что, с одной стороны, математические истины кажутся неизбежными, но, с другой стороны, источник их «истинности» остается неуловимым. Исследования этой проблемы известны как основы математики программа.

В начале 20-го века философы-математики уже начали разделяться на различные школы мысли по всем этим вопросам, широко отличавшиеся своими представлениями о математической математике. эпистемология и онтология. Три школы, формализм, интуиционизм, и логицизм, возникла в это время отчасти в ответ на все более широкое распространение опасений, что математика в ее нынешнем виде и анализ в частности, не соответствовали стандартам уверенность и строгость это считалось само собой разумеющимся. Каждая школа решала проблемы, которые выдвигались на первый план в то время, либо пытаясь решить их, либо заявляя, что математика не имеет права на статус нашего знания, которому доверяют.

Удивительные и противоречащие интуиции разработки формальной логики и теории множеств в начале 20 века привели к новым вопросам, касающимся того, что традиционно называлось основы математики. По прошествии столетия первоначальный фокус внимания расширился до открытого исследования фундаментальных аксиом математики, причем аксиоматический подход считался само собой разумеющимся со времен Евклид около 300 г. до н.э. как естественная основа математики. Понятия аксиома, предложение и доказательство, а также понятие истинности предложения в отношении математического объекта (см. Назначение ), были формализованы, что позволило обработать их математически. В Цермело – Френкель были сформулированы аксиомы теории множеств, которые обеспечили концептуальную основу для интерпретации большей части математического дискурса. В математике, как и в физике, возникли новые и неожиданные идеи и грядут значительные изменения. С участием Гёделевская нумерация предложения могут быть интерпретированы как относящиеся к себе или другим предложениям, что позволяет исследовать последовательность математических теорий. Эта рефлексивная критика, в которой рассматриваемая теория «сама становится объектом математического исследования», привела к Гильберта назвать такое исследование метаматематика или теория доказательств.[3]

В середине века новая математическая теория была создана Сэмюэл Эйленберг и Saunders Mac Lane, известный как теория категорий, и он стал новым претендентом на естественный язык математического мышления.[4] Однако по мере развития 20-го века философские мнения расходились относительно того, насколько обоснованными были вопросы об основах, которые были подняты в начале века. Хилари Патнэм резюмировал один общий взгляд на ситуацию в последней трети века, сказав:

Когда философия обнаруживает, что с наукой что-то не так, иногда науку приходится менять -Парадокс Рассела приходит на ум, как и Беркли нападение на фактическое бесконечно малый - но чаще приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, с которыми сегодня сталкивается философия с классической математикой, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают повсюду, ошибочны, и что «философская интерпретация» - это как раз то, в чем математика не нуждается.[5]:169–170

Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям, исследуемым философами математики, логиками и математиками, и существует множество школ мысли по этому вопросу. В следующем разделе школы рассматриваются отдельно, а их предположения объясняются.

Основные темы

Математический реализм

Математический реализм, подобно реализм в целом считает, что математические объекты существуют независимо от человеческого разум. Таким образом, люди не изобретают математику, а, скорее, открывают ее, и любые другие разумные существа во Вселенной предположительно поступили бы так же. С этой точки зрения, действительно существует один вид математики, который можно открыть; треугольники, например, являются реальными сущностями, а не творениями человеческого разума.

Многие работающие математики были математическими реалистами; они считают себя первооткрывателями природных объектов. Примеры включают Пол Эрдёш и Курт Гёдель. Гёдель верил в объективную математическую реальность, которую можно было бы воспринимать аналогично чувственному восприятию. Некоторые принципы (например, для любых двух объектов существует совокупность объектов, состоящая именно из этих двух объектов) могут быть непосредственно рассмотрены как истинные, но гипотеза континуума гипотеза может оказаться неразрешимой только на основе таких принципов. Гёдель предположил, что квазиэмпирическая методология может быть использована для получения достаточных доказательств, позволяющих обоснованно предположить такое предположение.

В рамках реализма существуют различия, зависящие от того, какое существование предполагается математическим объектам и как мы о них знаем. Основные формы математического реализма включают: Платонизм.

Математический антиреализм

Смотрите также: Пост-рем структурализм

Математический антиреализм обычно считает, что математические утверждения имеют истинностные значения, но не делают этого соответствующий в особую сферу нематериальных или неэмпирических сущностей. Основные формы математического антиреализма включают: формализм и художественная литература.

Современные школы мысли

Художественный

Мнение, утверждающее, что математика это эстетический комбинация предположений, а затем также утверждает, что математика Изобразительное искусство, знаменитый математик кто утверждает, что это британцы Г. Х. Харди[6] а также метафорически французы Анри Пуанкаре.[7]для Харди в своей книге Извинения математика, определение математики было больше похоже на эстетическое сочетание понятий.[8]

Платонизм

Основная статья: Платонизм
Смотрите также: Современный платонизм

Математический платонизм это форма реализма, которая предполагает, что математические объекты абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств, вечны и неизменны. Часто утверждают, что это мнение большинства людей о числах. Период, термин Платонизм используется, потому что такая точка зрения параллельна Платон с Теория форм и «Мир идей» (греч .: эйдос (εἶδος)), описанный в Платоновских аллегория пещеры: повседневный мир может лишь несовершенно приблизиться к неизменной, окончательной реальности. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не только поверхностные связи, потому что идеям Платона предшествовали и, вероятно, оказали влияние чрезвычайно популярные Пифагорейцы Древней Греции, которые считали, что мир буквально создан числа.

Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме, заключается в следующем: где именно и как существуют математические сущности и как мы о них узнаем? Существует ли мир, полностью отделенный от нашего физического, занятый математическими объектами? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать правду о сущностях? Один из предлагаемых ответов - это Окончательный ансамбль, теория, которая постулирует, что все структуры, которые существуют математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.

Курт Гёдель

Курт Гёдель платонизм[9] постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам воспринимать математические объекты напрямую. (Эта точка зрения имеет сходство со многими вещами Гуссерль сказал про математику и поддерживает Кант идея, что математика синтетический априори.) Дэвис и Hersh предложили в своей книге 1999 г. Математический опыт что большинство математиков действуют так, как будто они платоники, хотя, если их заставят тщательно отстаивать свою позицию, они могут отступить к формализм.

Чистокровный платонизм представляет собой современный вариант платонизма, который является реакцией на тот факт, что можно доказать, что существуют различные наборы математических сущностей в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закона исключенный средний, а аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические объекты существуют. Они могут быть доказуемыми, даже если все они не могут быть выведены из единого непротиворечивого набора аксиом.[10]

Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм)[11] позицию, защищаемую Пенелопа Мэдди, это мнение, что теория множеств это о единой вселенной множеств.[12] Эта позиция (также известная как натурализованный платонизм потому что это натурализованный версия математического платонизма) была подвергнута критике Марком Балагером на основании Пол Бенасерраф с эпистемологическая проблема.[13] Похожая точка зрения, названная Платонизированный натурализм, позже защищался Стэнфорд – Эдмонтонская школа: согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма соответствует натурализм; более традиционный вид платонизма, который они защищают, отличается общими принципами, утверждающими существование абстрактные объекты.[14]

Математика

Основная статья: Математика

Макс Тегмарк с гипотеза математической вселенной (или же математика ) идет дальше платонизма, утверждая, что существуют не только все математические объекты, но и ничто другое. Единственный постулат Тегмарка: Все структуры, которые существуют математически, существуют и физически.. То есть в том смысле, что «в тех [мирах], достаточно сложных, чтобы содержать самосознающие субструктуры, [они] будут субъективно воспринимать себя существующими в физически« реальном »мире».[15][16]

Логика

Основная статья: Логика

Логика это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, не что иное, как часть логики.[17]:41 Логики считают, что математику можно познать априори, но предполагаем, что наши знания математики - это всего лишь часть наших знаний логики в целом, и поэтому аналитический, не требующий особой способности математической интуиции. С этой точки зрения логика является надлежащей основой математики, и все математические утверждения необходимы логические истины.

Рудольф Карнап (1931) представляет логицистский тезис в двух частях:[17]

  1. В концепции математики можно вывести из логических понятий через явные определения.
  2. В теоремы математики можно вывести из логических аксиом с помощью чисто логической дедукции.

Готтлоб Фреге был основателем логицизма. В его основополагающем Die Grundgesetze der Arithmetik (Основные законы арифметики) он построил арифметика из системы логики с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для концепций F и грамм, продолжение F равно продолжению грамм тогда и только тогда, когда для всех объектов а, Fa равно Ga), принцип, который он считал приемлемым как часть логики.

Бертран Рассел

Конструкция Фреге была ошибочной. Рассел обнаружил, что Основной закон V несовместим (это Парадокс Рассела ). Вскоре после этого Фреге отказался от своей логической программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед. Они приписали парадокс «порочной круговороте» и создали то, что они назвали теория разветвленных типов чтобы справиться с этим. В этой системе они в конечном итоге смогли создать большую часть современной математики, но в измененной и чрезмерно сложной форме (например, в каждом типе были разные натуральные числа, а типов было бесконечно много). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы развить так много математики, например, "аксиома сводимости «. Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.

Современные логики (вроде Боб Хейл, Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как Принцип Юма (количество объектов, подпадающих под понятие F равно количеству объектов, подпадающих под понятие грамм тогда и только тогда, когда расширение F и расширение грамм можно поместить в индивидуальная переписка ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Этого было бы недостаточно для Фреге, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять, чтобы заменить Основной закон V, больше не кажутся столь явно аналитическими, а значит, чисто логическими.

Формализм

Основная статья: Формализм (философия математики)

Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипуляции строками. Например, в «игре» Евклидова геометрия (который рассматривается как состоящий из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для генерации новых строк из заданных), можно доказать, что теорема Пифагора выполняется (то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не касаются чисел, множеств, треугольников и тому подобного - на самом деле, они вообще ни о чем не «ни о чем».

Другая версия формализма часто известна как дедуктивизм. В дедуктивизме теорема Пифагора не абсолютная истина, а относительная: если приписывают значение строкам таким образом, что правила игры становятся истинными (т.е. истинные утверждения приписываются аксиомам, а правила вывода сохраняют истину), тогда нужно принять теорему, или, скорее, интерпретация, которую он дал ей, должна быть истинным утверждением. То же самое верно и для всех других математических утверждений. Таким образом, формализм не обязательно означает, что математика - не более чем бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некоторая интерпретация правил игры. (Сравните эту позицию с структурализм.) Но это позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставлять такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике системы аксиом, которые необходимо изучить, будут подсказаны требованиями науки или других областей математики.

Дэвид Гильберт

Одним из первых сторонников формализма был Дэвид Гильберт, чей программа был задуман как полный и последовательный аксиоматизация всей математики.[18] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметика положительных целые числа, выбранная как философски непротиворечивая) была последовательной. Цели Гильберта по созданию системы математики, которая была бы одновременно полной и последовательной, были серьезно подорваны вторым из них. Теоремы Гёделя о неполноте, который утверждает, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом будет содержать финитарную арифметику в качестве подсистемы, теорема Гёделя подразумевала, что было бы невозможно доказать непротиворечивость системы относительно этого (поскольку тогда она доказала бы свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, было невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любой аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечиво, нужно сначала предположить непротиворечивость математической системы, которая в некотором смысле сильнее, чем система, чтобы доказать ее непротиворечивость.

Гильберт изначально был дедуктивистом, но, как может быть ясно из вышеизложенного, он считал, что определенные метаматематические методы дают существенные результаты, и был реалистом в отношении финитарной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики не существует, независимо от интерпретации.

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап, Альфред Тарский, и Хаскелл Карри, считал математику исследованием формальные системы аксиом. Математические логики изучают формальные системы, но они так же часто реалисты, как и формалисты.

Формалисты относительно терпимы и открыты для новых подходов к логике, нестандартных систем счисления, новых теорий множеств и т. Д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех примерах мотивация основана на существующих математических или философских проблемах. «Игры» обычно не бывают произвольными.

Основная критика формализма состоит в том, что реальные математические идеи, которыми занимаются математики, далеки от упомянутых выше игр с манипуляциями со строками. Таким образом, формализм ничего не говорит о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку ни одна из них не имеет более значимого значения, чем другая с формалистической точки зрения.

В последнее время некоторые[ВОЗ? ] математики-формалисты предположили, что все наши формальный математические знания должны быть систематически закодированы в машиночитаемый форматы, чтобы облегчить автоматическая проверка документов математических доказательств и использования интерактивное доказательство теорем в разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. Из-за их тесной связи с Информатика, эта идея также поддерживается математическими интуиционистами и конструктивистами в традиции "вычислимости" - см. QED проект для общего обзора.

Конвенционализм

Основные статьи: Конвенционализм и Преинтуиционизм

Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалист Посмотреть. Пуанкаре использование неевклидовы геометрии в своей работе над дифференциальные уравнения убедил его, что Евклидова геометрия не следует рассматривать как априори правда. Он считал, что аксиомы в геометрии следует выбирать по результатам, которые они производят, а не по их кажущейся согласованности с человеческой интуицией о физическом мире.

Интуиционизм

Основная статья: Математический интуиционизм

В математике интуиционизм - это программа методологической реформы, девиз которой состоит в том, что «не существует неопытных математических истин» (Л. Э. Дж. Брауэр ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправляемой частью математики, в соответствии с кантианскими концепциями бытия, становления, интуиции и знания. Брауэр, основатель движения, считал, что математические объекты возникают из априори формы волеизъявления, информирующие восприятие эмпирических объектов.[19]

Главной силой интуиционизма была Л. Э. Дж. Брауэр, которые отвергали полезность формализованной логики любого вида для математики. Его ученик Аренд Хейтинг постулировал интуиционистская логика, отличный от классического Аристотелевская логика; эта логика не содержит закон исключенного среднего и поэтому осуждает доказательства от противного. В аксиома выбора также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях принимается.

В интуиционизме термин «явное построение» не имеет четкого определения, что вызвало критику. Были предприняты попытки использовать концепции Машина Тьюринга или вычислимая функция чтобы заполнить этот пробел, приводя к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмы значимы и требуют математического исследования. Это привело к изучению вычислимые числа, впервые представленный Алан Тьюринг. Неудивительно, что такой подход к математике иногда ассоциируется с теоретическими Информатика.

Конструктивизм

Основная статья: Конструктивизм (философия математики)

Подобно интуиционизму, конструктивизм включает регулирующий принцип, согласно которому в математический дискурс должны допускаться только математические объекты, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика - это проявление человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Напротив, речь идет о сущностях, которые мы можем создавать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как доказательство от противоречия. Важную работу проделали Эрретт Бишоп, которому удалось доказать версии важнейших теорем в реальный анализ в качестве конструктивный анализ в его 1967 Основы конструктивного анализа. [20]

Финитизм

Основная статья: Финитизм

Финитизм крайняя форма конструктивизм, согласно которому математический объект не существует, если он не может быть построен из натуральные числа в конечный количество ступеней. В ее книге Философия теории множеств, Мэри Тайлз охарактеризовал тех, кто позволяет счетно бесконечный объекты как классические финитисты, и те, кто отрицают даже счетно бесконечные объекты, как строгие финитисты.

Леопольд Кронекер

Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер,[21] кто это сказал:

Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человека.

Ультрафинитизм представляет собой еще более крайнюю версию финитизма, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с помощью имеющихся ресурсов. Другой вариант финитизма - евклидова арифметика, система, разработанная Джон Пенн Мэйберри в его книге Основы математики в теории множеств.[22] Система Мэйберри в целом вдохновлена ​​Аристотелем, и, несмотря на его решительное неприятие какой-либо роли операционализма или осуществимости в основах математики, приходит к в некоторой степени схожим выводам, таким как, например, что супер-возведение в степень не является законной финитальной функцией.

Структурализм

Основная статья: Математический структурализм

Структурализм - это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры и что математические объекты исчерпывающе определяются их места в таких структурах, следовательно, не имея внутренние свойства. Например, он будет утверждать, что все, что нужно знать о числе 1, - это то, что это первое целое число после 0. Точно так же все другие целые числа определяются их местами в структуре, т.е. числовая строка. Другие примеры математических объектов могут включать линии и самолеты в геометрии, или элементы и операции в абстрактная алгебра.

Структурализм - это эпистемологически реалистичный точка зрения в том смысле, что математические утверждения имеют ценность объективной истинности. Однако его центральное утверждение касается только того, что своего рода сущности математический объект, а не какой существование математические объекты или структуры имеют (иными словами, их онтология ). Вид существования математических объектов явно будет зависеть от структур, в которые они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают разные онтологические утверждения в этом отношении.[23]

В ante rem структурализм («прежде всего») имеет онтологию, аналогичную Платонизм. Считается, что структуры имеют реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Таким образом, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см. Проблема идентификации Бенацеррафа ).

В в ре структурализм ("в вещи") эквивалентен Аристотелевский реализм. Считается, что структуры существуют постольку, поскольку их иллюстрирует некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в остальном законные структуры.

В сообщение rem структурализм ("после вещи") антиреалист о структурах таким образом, чтобы номинализм. Как и номинализм, сообщение rem подход отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения математическая системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Однако говорить о структурах, «общих» между системами, - это просто инструмент: они фактически не существуют независимо.

Теории воплощенного разума

Воплощенный разум теории утверждают, что математическое мышление является естественным следствием когнитивного аппарата человека, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактное понятие номер происходит из опыта подсчета дискретных объектов. Считается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме как в человеческом мозгу. Люди конструируют, но не открывают математику.

Таким образом, с этой точки зрения физическая вселенная может рассматриваться как окончательная основа математики: она направляла эволюцию мозга и позже определяла, какие вопросы этот мозг сочтет достойными исследования. Однако человеческий разум не имеет особых претензий к реальности или подходов к ней, основанных на математике. Если такие конструкции как Тождество Эйлера верны, то они верны как карта человеческого разума и познание.

Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики - математика была создана мозгом для того, чтобы быть эффективной в этой вселенной.

Самая доступная, известная и печально известная трактовка этой точки зрения: Откуда пришла математика, к Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес. Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал подобные концепции в своей книге Математический инстинкт, как и нейробиолог Станислас Дехаене с его книгой Чувство числа. Подробнее о философских идеях, которые вдохновили эту точку зрения, см. когнитивная наука математика.

Аристотелевский реализм

Основная статья: Теория универсалий Аристотеля
Смотрите также: В реструктуризме и Имманентный реализм

Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может быть). Он контрастирует с платонизмом в том, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении кучи попугаев и универсального «быть попугаем», разделяющего кучу на такое количество попугаев.[24] Аристотелевский реализм защищают Джеймс Франклин и Сиднейская школа в философии математики и близок к взглядам Пенелопа Мэдди что при открытии коробки для яиц воспринимается набор из трех яиц (то есть математическая сущность, реализованная в физическом мире).[25] Проблема аристотелевского реализма состоит в том, как объяснить высшие бесконечности, которые могут быть неосуществимы в физическом мире.

Евклидова арифметика, разработанная Джон Пенн Мэйберри в его книге Основы математики в теории множеств[22] также подпадает под аристотелевскую реалистическую традицию. Мэйберри вслед за Евклидом считает числа просто «определенными множествами единиц», реализованными в природе, такими как «члены Лондонского симфонического оркестра» или «деревья в Бирнамском лесу». Существуют ли определенные множества единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше, чем часть) терпит неудачу и которые, следовательно, могут считаться бесконечными, для Мэйберри по существу является вопросом природы и не влечет за собой никаких трансцендентных предположений.

Психологизм

Основная статья: Психологизм
Смотрите также: Антипсихологизм

Психологизм в философии математики позиция, что математический концепции и / или истины основаны на психологических фактах (или законах), получены из них или объяснены ими.

Джон Стюарт Милл по-видимому, был сторонником логического психологизма, как и многие немецкие логики XIX века, такие как Зигварт и Эрдманн а также ряд психологи, прошлое и настоящее: например, Гюстав Ле Бон. Психологизм подвергся критике со стороны Frege в его Основы арифметики, и многие из его работ и эссе, в том числе его обзор Гуссерль с Философия арифметики. Эдмунд Гуссерль в первом томе его Логические исследования, названный «Пролегоменами чистой логики», основательно критиковал психологизм и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и исчерпывающим опровержением психологизма, чем критика Фреге, а также сегодня многие считают его памятным опровержением его решающего удара по психологизму. Психологизм также подвергся критике со стороны Чарльз Сандерс Пирс и Морис Мерло-Понти.

Эмпиризм

Основные статьи: Квазиэмпиризм в математике и Постмодернистская математика

Математический эмпиризм - это форма реализма, которая отрицает, что математика может быть познана априори вообще. Он говорит, что мы открываем математические факты с помощью эмпирическое исследование точно так же, как факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20-го века, но возникла в основном в середине века. Однако одним из первых важных сторонников подобной точки зрения было Джон Стюарт Милл. Взгляды Милля подверглись широкой критике, поскольку, по мнению критиков, таких как А.Дж. Айер,[26] он делает заявления вроде "2 + 2 = 4" проявляются как неопределенные, случайные истины, которые мы можем узнать, только наблюдая случаи, когда две пары объединяются и образуют квартет.

Современный математический эмпиризм, сформулированный В. В. О. Куайн и Хилари Патнэм, в первую очередь поддерживается аргумент о необходимости: математика необходима для всех эмпирических наук, и если мы хотим верить в реальность феноменов, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые требуются для этого описания. То есть, поскольку физика должна говорить о электроны чтобы сказать, почему лампочки ведут себя именно так, тогда электроны должны существовать. Поскольку физика должна говорить о числах, предлагая любое из своих объяснений, числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма, это натуралистический аргумент. Он утверждает, что существование математических сущностей является лучшим объяснением опыта, тем самым лишая математику отличия от других наук.

Патнэм категорически отверг термин "Платоник "как подразумевающий чрезмерно конкретный онтология в этом не было необходимости математическая практика в прямом смысле слова. Он выступал за форму «чистого реализма», отвергающую мистические представления о правда и принял много квазиэмпиризм в математике. Это выросло из все более популярного утверждения в конце 20-го века, что никто основа математики может быть когда-либо доказано существование. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя некоторые считают этот термин перегруженным, а другие оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что, проводя свои исследования, математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность от заключения к предпосылкам так же хорошо, как он может передавать истину от посылок к заключению. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, вполне может полагаться в первую очередь на квазиэмпирические методы, часто желая отказываться от строгих и аксиоматических доказательств и по-прежнему заниматься математикой - возможно, с несколько большим риском провала своих вычислений. Он подробно аргументировал это в Новые направления.[27] Квазиэмпиризм также был разработан Имре Лакатош.

Самая важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как критика Милля. If mathematics is just as empirical as the other sciences, then this suggests that its results are just as fallible as theirs, and just as contingent. In Mill's case the empirical justification comes directly, while in Quine's case it comes indirectly, through the coherence of our scientific theory as a whole, i.e. consilience после E.O. Уилсон. Quine suggests that mathematics seems completely certain because the role it plays in our web of belief is extraordinarily central, and that it would be extremely difficult for us to revise it, though not impossible.

For a philosophy of mathematics that attempts to overcome some of the shortcomings of Quine and Gödel's approaches by taking aspects of each see Penelope Maddy с Realism in Mathematics. Another example of a realist theory is the embodied mind theory.

For experimental evidence suggesting that human infants can do elementary arithmetic, see Brian Butterworth.

Художественная литература

Смотрите также: Художественная литература

Mathematical fictionalism was brought to fame in 1980 when Hartry Field опубликовано Science Without Numbers,[28] which rejected and in fact reversed Quine's indispensability argument. Where Quine suggested that mathematics was indispensable for our best scientific theories, and therefore should be accepted as a body of truths talking about independently existing entities, Field suggested that mathematics was dispensable, and therefore should be considered as a body of falsehoods not talking about anything real. He did this by giving a complete axiomatization of Newtonian mechanics with no reference to numbers or functions at all. He started with the "betweenness" of Hilbert's axioms to characterize space without coordinatizing it, and then added extra relations between points to do the work formerly done by vector fields. Hilbert's geometry is mathematical, because it talks about abstract points, but in Field's theory, these points are the concrete points of physical space, so no special mathematical objects at all are needed.

Having shown how to do science without using numbers, Field proceeded to rehabilitate mathematics as a kind of useful fiction. He showed that mathematical physics is a conservative extension of his non-mathematical physics (that is, every physical fact provable in mathematical physics is already provable from Field's system), so that mathematics is a reliable process whose physical applications are all true, even though its own statements are false. Thus, when doing mathematics, we can see ourselves as telling a sort of story, talking as if numbers existed. For Field, a statement like "2 + 2 = 4" is just as fictitious as "Шерлок Холмс lived at 221B Baker Street"—but both are true according to the relevant fictions.

By this account, there are no metaphysical or epistemological problems special to mathematics. The only worries left are the general worries about non-mathematical physics, and about вымысел в целом. Field's approach has been very influential, but is widely rejected. This is in part because of the requirement of strong fragments of second-order logic to carry out his reduction, and because the statement of conservativity seems to require quantification over abstract models or deductions.

Социальный конструктивизм

Основная статья: Социальный конструктивизм

Социальный конструктивизм sees mathematics primarily as a социальная конструкция, as a product of culture, subject to correction and change. Like the other sciences, mathematics is viewed as an empirical endeavor whose results are constantly evaluated and may be discarded. However, while on an empiricist view the evaluation is some sort of comparison with "reality", social constructivists emphasize that the direction of mathematical research is dictated by the fashions of the social group performing it or by the needs of the society financing it. However, although such external forces may change the direction of some mathematical research, there are strong internal constraints—the mathematical traditions, methods, problems, meanings and values into which mathematicians are enculturated—that work to conserve the historically-defined discipline.

This runs counter to the traditional beliefs of working mathematicians, that mathematics is somehow pure or objective. But social constructivists argue that mathematics is in fact grounded by much uncertainty: as mathematical practice evolves, the status of previous mathematics is cast into doubt, and is corrected to the degree it is required or desired by the current mathematical community. This can be seen in the development of analysis from reexamination of the calculus of Leibniz and Newton. They argue further that finished mathematics is often accorded too much status, and folk mathematics not enough, due to an overemphasis on axiomatic proof and peer review as practices.

The social nature of mathematics is highlighted in its subcultures. Major discoveries can be made in one branch of mathematics and be relevant to another, yet the relationship goes undiscovered for lack of social contact between mathematicians. Social constructivists argue each speciality forms its own epistemic community and often has great difficulty communicating, or motivating the investigation of unifying conjectures that might relate different areas of mathematics. Social constructivists see the process of "doing mathematics" as actually creating the meaning, while social realists see a deficiency either of human capacity to abstractify, or of human's Когнитивное искажение, or of mathematicians' collective intelligence as preventing the comprehension of a real universe of mathematical objects. Social constructivists sometimes reject the search for foundations of mathematics as bound to fail, as pointless or even meaningless.

Contributions to this school have been made by Imre Lakatos и Thomas Tymoczko, although it is not clear that either would endorse the title.[требуется разъяснение ] More recently Пол Эрнест has explicitly formulated a social constructivist philosophy of mathematics.[29] Some consider the work of Пол Эрдёш as a whole to have advanced this view (although he personally rejected it) because of his uniquely broad collaborations, which prompted others to see and study "mathematics as a social activity", e.g., via the Число Эрдеша. Reuben Hersh has also promoted the social view of mathematics, calling it a "humanistic" approach,[30] similar to but not quite the same as that associated with Alvin White;[31] one of Hersh's co-authors, Philip J. Davis, has expressed sympathy for the social view as well.

Beyond the traditional schools

Unreasonable effectiveness

Rather than focus on narrow debates about the true nature of mathematical правда, or even on practices unique to mathematicians such as the доказательство, a growing movement from the 1960s to the 1990s began to question the idea of seeking foundations or finding any one right answer to why mathematics works. The starting point for this was Юджин Вигнер 's famous 1960 paper "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ", in which he argued that the happy coincidence of mathematics and physics being so well matched seemed to be unreasonable and hard to explain.

Popper's two senses of number statements

Realist and constructivist theories are normally taken to be contraries. Однако, Карл Поппер[32] argued that a number statement such as "2 apples + 2 apples = 4 apples" can be taken in two senses. In one sense it is irrefutable and logically true. In the second sense it is factually true and falsifiable. Another way of putting this is to say that a single number statement can express two propositions: one of which can be explained on constructivist lines; the other on realist lines.[33]

Философия языка

Основная статья: Language of mathematics

Innovations in the philosophy of language during the 20th century renewed interest in whether mathematics is, as is often said, the язык of science. Although some mathematicians and philosophers would accept the statement "mathematics is a language ", linguists believe that the implications of such a statement must be considered. For example, the tools of linguistics are not generally applied to the symbol systems of mathematics, that is, mathematics is studied in a markedly different way from other languages. If mathematics is a language, it is a different type of language from natural languages. Indeed, because of the need for clarity and specificity, the language of mathematics is far more constrained than natural languages studied by linguists. However, the methods developed by Frege and Tarski for the study of mathematical language have been extended greatly by Tarski's student Richard Montague and other linguists working in formal semantics to show that the distinction between mathematical language and natural language may not be as great as it seems.

Mohan Ganesalingam has analysed mathematical language using tools from formal linguistics.[34] Ganesalingam notes that some features of natural language are not necessary when analysing mathematical language (such as tense ), but many of the same analytical tools can be used (such as контекстно-свободные грамматики ). One important difference is that mathematical objects have clearly defined типы, which can be explicitly defined in a text: "Effectively, we are allowed to introduce a word in one part of a sentence, and declare its part of speech in another; and this operation has no analogue in natural language."[34]:251

Arguments

Indispensability argument for realism

This argument, associated with Уиллард Куайн и Хилари Патнэм, is considered by Stephen Yablo to be one of the most challenging arguments in favor of the acceptance of the existence of abstract mathematical entities, such as numbers and sets.[35] The form of the argument is as follows.

  1. One must have ontological commitments to все entities that are indispensable to the best scientific theories, and to those entities Только (commonly referred to as "all and only").
  2. Mathematical entities are indispensable to the best scientific theories. Следовательно,
  3. One must have ontological commitments to mathematical entities.[36]

The justification for the first premise is the most controversial. Both Putnam and Quine invoke naturalism to justify the exclusion of all non-scientific entities, and hence to defend the "only" part of "all and only". The assertion that "all" entities postulated in scientific theories, including numbers, should be accepted as real is justified by confirmation holism. Since theories are not confirmed in a piecemeal fashion, but as a whole, there is no justification for excluding any of the entities referred to in well-confirmed theories. This puts the nominalist who wishes to exclude the existence of наборы и non-Euclidean geometry, but to include the existence of quarks and other undetectable entities of physics, for example, in a difficult position.[36]

Epistemic argument against realism

В антиреалист "epistemic argument" against Platonism has been made by Пол Бенасерраф и Hartry Field. Platonism posits that mathematical objects are Абстрактные сущности. By general agreement, abstract entities cannot interact causally with concrete, physical entities ("the truth-values of our mathematical assertions depend on facts involving Platonic entities that reside in a realm outside of space-time"[37]). Whilst our knowledge of concrete, physical objects is based on our ability to perceive them, and therefore to causally interact with them, there is no parallel account of how mathematicians come to have knowledge of abstract objects.[38][39][40] Another way of making the point is that if the Platonic world were to disappear, it would make no difference to the ability of mathematicians to generate доказательства, etc., which is already fully accountable in terms of physical processes in their brains.

Field developed his views into fictionalism. Benacerraf also developed the philosophy of mathematical structuralism, according to which there are no mathematical objects. Nonetheless, some versions of structuralism are compatible with some versions of realism.

The argument hinges on the idea that a satisfactory натуралистический account of thought processes in terms of brain processes can be given for mathematical reasoning along with everything else. One line of defense is to maintain that this is false, so that mathematical reasoning uses some special интуиция that involves contact with the Platonic realm. A modern form of this argument is given by Sir Roger Penrose.[41]

Another line of defense is to maintain that abstract objects are relevant to mathematical reasoning in a way that is non-causal, and not analogous to perception. This argument is developed by Jerrold Katz in his 2000 book Реалистичный рационализм.

A more radical defense is denial of physical reality, i.e. the mathematical universe hypothesis. In that case, a mathematician's knowledge of mathematics is one mathematical object making contact with another.

Эстетика

Many practicing mathematicians have been drawn to their subject because of a sense of beauty they perceive in it. One sometimes hears the sentiment that mathematicians would like to leave philosophy to the philosophers and get back to mathematics—where, presumably, the beauty lies.

In his work on the divine proportion, H.E. Huntley relates the feeling of reading and understanding someone else's proof of a theorem of mathematics to that of a viewer of a masterpiece of art—the reader of a proof has a similar sense of exhilaration at understanding as the original author of the proof, much as, he argues, the viewer of a masterpiece has a sense of exhilaration similar to the original painter or sculptor. Indeed, one can study mathematical and scientific writings as литература.

Philip J. Davis и Reuben Hersh have commented that the sense of mathematical beauty is universal amongst practicing mathematicians. By way of example, they provide two proofs of the irrationality of √2. The first is the traditional proof by contradiction, ascribed to Евклид; the second is a more direct proof involving the fundamental theorem of arithmetic that, they argue, gets to the heart of the issue. Davis and Hersh argue that mathematicians find the second proof more aesthetically appealing because it gets closer to the nature of the problem.

Пол Эрдёш was well known for his notion of a hypothetical "Book" containing the most elegant or beautiful mathematical proofs. There is not universal agreement that a result has one "most elegant" proof; Gregory Chaitin has argued against this idea.

Philosophers have sometimes criticized mathematicians' sense of beauty or elegance as being, at best, vaguely stated. By the same token, however, philosophers of mathematics have sought to characterize what makes one proof more desirable than another when both are logically sound.

Another aspect of aesthetics concerning mathematics is mathematicians' views towards the possible uses of mathematics for purposes deemed unethical or inappropriate. The best-known exposition of this view occurs in Г. Х. Харди книга A Mathematician's Apology, in which Hardy argues that pure mathematics is superior in beauty to applied mathematics precisely because it cannot be used for war and similar ends.

Журналы

Смотрите также

Сопутствующие работы

Historical topics

Примечания

  1. ^ "Is mathematics discovered or invented?". Эксетерский университет. Получено 28 марта 2018.
  2. ^ "Math: Discovered, Invented, or Both?". pbs.org. Получено 28 марта 2018.
  3. ^ Kleene, Stephen (1971). Introduction to Metamathematics. Amsterdam, Netherlands: North-Holland Publishing Company. п. 5.
  4. ^ Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY.
  5. ^ *Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Журнал Философии 64/1, 5-22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
  6. ^ https://www.goodreads.com/work/quotes/1486751-a-mathematician-s-apology
  7. ^ https://www.brainyquote.com/quotes/henri_poincare_208086
  8. ^ S, F. (January 1941). "A Mathematician's Apology". Природа. 147 (3714): 3–5. Дои:10.1038/147003a0.
  9. ^ Platonism in Metaphysics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
  10. ^ "Platonism in the Philosophy of Mathematics", (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
  11. ^ Айвор Граттан-Гиннесс (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук, Routledge, 2002, p. 681.
  12. ^ Naturalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
  13. ^ Mark Balaguer, "Against (Maddian) naturalized Platonism", Философия Математики 2 (1994), 97–108.
  14. ^ Linsky, B., and Zalta, E., 1995, "Naturalized Platonism vs. Platonized Naturalism", The Journal of Philosophy, 92(10): 525–555.
  15. ^ Tegmark, Max (February 2008). "The Mathematical Universe". Foundations of Physics. 38 (2): 101–150. arXiv:0704.0646. Bibcode:2008FoPh...38..101T. Дои:10.1007/s10701-007-9186-9.
  16. ^ Tegmark (1998), p. 1.
  17. ^ а б Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
  18. ^ Zach, Richard (2019), "Hilbert's Program", в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (Summer 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, получено 2019-05-25
  19. ^ Audi, Robert (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995. 2nd edition. Page 542.
  20. ^ Bishop, Errett (2012) [1967], Foundations of Constructive Analysis (Paperback ed.), New York: Ishi Press, ISBN  978-4-87187-714-5
  21. ^ From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber 's memorial article, as quoted and translated in Gonzalez Cabillon, Julio (2000-02-03). "FOM: What were Kronecker's f.o.m.?". Получено 2008-07-19.Gonzalez gives as the sources for the memorial article, the following: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung, vol ii (1893), pp. 5-31. Ср. page 19. See also Mathematische Annalen т. xliii (1893), pp. 1-25.
  22. ^ а б Mayberry, J.P. (2001). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Издательство Кембриджского университета.
  23. ^ Браун, Джеймс (2008). Философия математики. Нью-Йорк: Рутледж. ISBN  978-0-415-96047-2.
  24. ^ Franklin, James (2014), "An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics ", Palgrave Macmillan, Basingstoke; Franklin, James (2011), "Aristotelianism in the philosophy of mathematics," Studia Neoaristotelica 8, 3-15.
  25. ^ Maddy, Penelope (1990), Realism in Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
  26. ^ Ayer, Alfred Jules (1952). Language, Truth, & Logic. New York: Dover Publications, Inc. p.74 ff. ISBN  978-0-486-20010-1.
  27. ^ Tymoczko, Thomas (1998), New Directions in the Philosophy of Mathematics. ISBN  978-0691034980.
  28. ^ Field, Hartry, Science Without Numbers, Blackwell, 1980.
  29. ^ Ernest, Paul. "Is Mathematics Discovered or Invented?". Эксетерский университет. Получено 2008-12-26.
  30. ^ Hersh, Reuben (February 10, 1997). "What Kind of a Thing is a Number?" (Опрос). Interviewed by John Brockman. Edge Foundation. Архивировано из оригинал on May 16, 2008. Получено 2008-12-26.
  31. ^ "Humanism and Mathematics Education". Math Forum. Humanistic Mathematics Network Journal. Получено 2008-12-26.
  32. ^ Popper, Karl Raimund (1946) Aristotelian Society Supplementary Volume XX.
  33. ^ Gregory, Frank Hutson (1996) "Arithmetic and Reality: A Development of Popper's Ideas ". City University of Hong Kong. Republished in Philosophy of Mathematics Education Journal No. 26 (December 2011)
  34. ^ а б Ganesalingam, Mohan (2013). The Language of Mathematics: A Linguistic and Philosophical Investigation. Конспект лекций по информатике. 7805. Springer. Дои:10.1007/978-3-642-37012-0. ISBN  978-3-642-37011-3.
  35. ^ Yablo, S. (November 8, 1998). "A Paradox of Existence".
  36. ^ а б Putnam, H. Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers, vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1975. 2nd. ed., 1985.
  37. ^ Field, Hartry, 1989, Realism, Mathematics, and Modality, Oxford: Blackwell, p. 68
  38. ^ "Since abstract objects are outside the nexus of causes and effects, and thus perceptually inaccessible, they cannot be known through their effects on us" — Katz, J. Реалистичный рационализм, 2000, p. 15
  39. ^ Философия сейчас: "Mathematical Knowledge: A dilemma" В архиве 2011-02-07 at the Wayback Machine
  40. ^ Standard Encyclopaedia of Philosophy
  41. ^ Обзор The Emperor's New Mind

дальнейшее чтение

  • Аристотель, "Предварительная аналитика ", Hugh Tredennick (trans.), pp. 181–531 in Aristotle, Volume 1, Классическая библиотека Леба, William Heinemann, London, UK, 1938.
  • Benacerraf, Paul, и Putnam, Hilary (eds., 1983), Philosophy of Mathematics, Selected Readings, 1st edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1983.
  • Berkeley, George (1734), The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Wherein It is examined whether the Object, Principles, and Inferences of the modern Analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduced, than Religious Mysteries and Points of Faith, London & Dublin. Online text, David R. Wilkins (ред.), Eprint.
  • Bourbaki, N. (1994), Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany.
  • Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty. Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
  • Colyvan, Mark (2004), "Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics", Стэнфордская энциклопедия философии, Эдуард Н. Залта (ред.), Eprint.
  • Davis, Philip J. и Hersh, Reuben (1981), The Mathematical Experience, Mariner Books, New York, NY.
  • Devlin, Keith (2005), The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs), Thunder's Mouth Press, New York, NY.
  • Dummett, Michael (1991 a), Frege, Philosophy of Mathematics, Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Dummett, Michael (1991 b), Frege and Other Philosophers, Oxford University Press, Oxford, UK.
  • Dummett, Michael (1993), Origins of Analytical Philosophy, Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Эрнест, Пол (1998), Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, State University of New York Press, Albany, NY.
  • George, Alexandre (ed., 1994), Mathematics and Mind, Oxford University Press, Oxford, UK.
  • Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
  • Hardy, G.H. (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C.P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
  • Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
  • Hendricks, Vincent F. and Hannes Leitgeb (eds.). Philosophy of Mathematics: 5 Questions, New York: Automatic Press / VIP, 2006. [1]
  • Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
  • Irvine, A., ed (2009), The Philosophy of Mathematics, в Handbook of the Philosophy of Science series, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
  • Klein, Jacob (1968), Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, Eva Brann (trans.), MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Reprinted, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
  • Kline, Morris (1959), Mathematics and the Physical World, Thomas Y. Crowell Company, New York, NY, 1959. Reprinted, Dover Publications, Mineola, NY, 1981.
  • Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York, NY.
  • König, Julius (Gyula) (1905), "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Mathematische Annalen 61, 156-160. Reprinted, "On the Foundations of Set Theory and the Continuum Problem", Stefan Bauer-Mengelberg (trans.), pp. 145–149 in Jean van Heijenoort (ed., 1967).
  • Körner, Stephan, The Philosophy of Mathematics, An Introduction. Harper Books, 1960.
  • Lakoff, George, и Núñez, Rafael E. (2000), Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books, New York, NY.
  • Lakatos, Imre 1976 Proofs and Refutations:The Logic of Mathematical Discovery (Eds) J. Worrall & E. Zahar Cambridge University Press
  • Lakatos, Imre 1978 Mathematics, Science and Epistemology: Philosophical Papers Volume 2 (Eds) J.Worrall & G.Currie Cambridge University Press
  • Lakatos, Imre 1968 Problems in the Philosophy of Mathematics Северная Голландия
  • Leibniz, G.W., Logical Papers (1666–1690), G.H.R. Паркинсон (ed., trans.), Oxford University Press, London, UK, 1966.
  • Maddy, Penelope (1997), Naturalism in Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
  • Maziarz, Edward A., и Greenwood, Thomas (1995), Greek Mathematical Philosophy, Barnes and Noble Books.
  • Mount, Matthew, Classical Greek Mathematical Philosophy,[нужна цитата ].
  • Parsons, Charles (2014). Philosophy of Mathematics in the Twentieth Century: Selected Essays. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-72806-6.
  • Peirce, Benjamin (1870), "Linear Associative Algebra", § 1. See Американский журнал математики 4 (1881).
  • Peirce, C.S., Collected Papers of Charles Sanders Peirce, тт. 1-6, Чарльз Хартсхорн и Пол Вайс (eds.), vols. 7-8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931 – 1935, 1958. Cited as CP (volume).(paragraph).
  • Peirce, C.S., various pieces on mathematics and logic, many readable online through links at the Библиография Чарльза Сандерса Пирса, especially under Books authored or edited by Peirce, published in his lifetime and the two sections following it.
  • Plato, "The Republic, Volume 1", Paul Shorey (trans.), pp. 1–535 in Plato, Volume 5, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1930.
  • Plato, "The Republic, Volume 2", Paul Shorey (trans.), pp. 1–521 in Plato, Volume 6, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1935.
  • Resnik, Michael D. Frege and the Philosophy of Mathematics, Cornell University, 1980.
  • Resnik, Michael (1997), Математика как наука о моделях, Clarendon Press, Oxford, UK, ISBN  978-0-19-825014-2
  • Robinson, Gilbert de B. (1959), The Foundations of Geometry, University of Toronto Press, Toronto, Canada, 1940, 1946, 1952, 4th edition 1959.
  • Raymond, Eric S. (1993), "The Utility of Mathematics", Eprint.
  • Smullyan, Raymond M. (1993), Recursion Theory for Metamathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
  • Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, George Allen and Unwin, London, UK. Reprinted, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993.
  • Shapiro, Stewart (2000), Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK
  • Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
  • Styazhkin, N.I. (1969), History of Mathematical Logic from Leibniz to Peano, MIT Press, Cambridge, MA.
  • Tait, William W. (1986), "Truth and Proof: The Platonism of Mathematics", Синтез 69 (1986), 341-370. Reprinted, pp. 142–167 in W.D. Hart (ed., 1996).
  • Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger (trans.), Oxford University Press, Oxford, UK, 1956. 2nd edition, John Corcoran (ed.), Hackett Publishing, Indianapolis, IN, 1983.
  • Ulam, S.M. (1990), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators, A.R. Bednarek and Françoise Ulam (eds.), University of California Press, Berkeley, CA.
  • van Heijenoort, Jean (ed. 1967), From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Wigner, Eugene (1960), "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ", Communications on Pure and Applied Mathematics 13(1): 1-14. Eprint
  • Wilder, Raymond L. Mathematics as a Cultural System, Pergamon, 1980.
  • Witzany, Guenther (2011), Can mathematics explain the evolution of human language?, Communicative and Integrative Biology, 4(5): 516-520.

внешняя ссылка