История логики - History of logic

В история логики занимается изучением развития науки о валидных вывод (логика ). Формальная логика, разработанная в древности в Индия, Китай, и Греция. Греческие методы, особенно Аристотелевская логика (или логика термина), как указано в Органон, нашла широкое применение и признание в западной науке и математике на протяжении тысячелетий.^[1] В Стоики, особенно Хрисипп, начали разработку логика предикатов.

Христианин и Исламский философы, такие как Боэций (умер 524), Ибн Сина (Авиценна, умер в 1037 г.) и Уильям Оккам (умер в 1347 г.) дальнейшее развитие логики Аристотеля в Средний возраст, достигнув высшей точки в середине четырнадцатого века, с Жан Буридан. Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого веков в значительной степени был периодом упадка и забвения, и по крайней мере один историк логики считает это время бесплодным.^[2] Эмпирические методы правил дня, о чем свидетельствует сэр Френсис Бэкон с Новум Органон 1620 г.

Логика возродилась в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет превратился в строгую и формальную дисциплину, взяв за образец точный метод доказательство используется в математика, возвращение к греческой традиции.^[3] Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период такими людьми, как Логический, Фреге, Рассел, и Пеано является самым значительным в двухтысячелетней истории логики и, возможно, одним из самых важных и замечательных событий в истории человечества. интеллектуальная история.^[4]

Прогресс в математическая логика в первые несколько десятилетий двадцатого века, особенно в результате работы Гёдель и Тарский, оказал значительное влияние на аналитическая философия и философская логика, особенно с 1950-х годов, по таким предметам, как модальная логика, темпоральная логика, деонтическая логика, и логика релевантности.

Логика на востоке

Логика в Индии

Основная статья: Индийская логика

Логика началась независимо в древняя Индия и продолжал развиваться до начала Нового времени без какого-либо известного влияния греческой логики.^[5] Медхатитхи Гаутама (ок. 6 века до н.э.) основал анвиксики школа логики.^[6] В Махабхарата (12.173.45), примерно в V веке до нашей эры, относится к анвиксики и тарка школы логики. Панини (ок. V в. до н.э.) разработал форму логики (к которой Логическая логика имеет некоторое сходство) для его формулировки Грамматика санскрита. Логика описывается Чанакья (ок. 350-283 до н. э.) в его Арташастра как самостоятельная область исследования.^[7]

Две из шести индийских философских школ имеют дело с логикой: Ньяя и Вайшешика. В Ньяя Сутры из Аксапада Гаутама (ок. 2-го века нашей эры) составляют основные тексты школы ньяя, одной из шести ортодоксальных школ Индуистский философия. Эта реалист школа разработала жесткую пятичленную схему вывод включая исходную предпосылку, причину, пример, приложение и заключение.^[8] В идеалист Буддийская философия стал главным противником найяиков. Нагарджуна (ок. 150-250 н. э.), основатель Мадхьямика («Срединный путь») разработал анализ, известный как Catuṣkoṭi (Санскрит), «четырехугольная» система аргументации, которая включает систематическое рассмотрение и отклонение каждой из 4 возможностей предложения, п:

1. п; то есть быть.
2. неп; то есть не быть.
3. п и неп; то есть быть и не быть.
4. нет (п или нетп); то есть ни бытие, ни небытие.
   Под логика высказываний, Законы де Моргана следует, что это эквивалентно третьему случаю (п и неп), и поэтому является лишним; на самом деле нужно рассмотреть только 3 случая.

Однако, Дигнага (около 480-540 гг. н.э.), как иногда говорят, развил формальный силлогизм,^[9] и это было через него и его преемника, Дхармакирти, это Буддийская логика достиг своей высоты; оспаривается, действительно ли их анализ составляет формальную силлогистическую систему. В частности, их анализ сосредоточился на определении отношения, требующего вывода ",вьяпти ", также известное как неизменное сопутствие или проникновение.^[10] С этой целью была разработана доктрина, известная как «апоха» или дифференциация.^[11] Это включало то, что можно было бы назвать включением и исключением определяющих свойств.

Знаменитое «колесо разума» Дигнаги (Hetucakra ) - это метод указания, когда одно (например, дым) может быть принято как неизменный знак другого объекта (например, огня), но вывод часто бывает индуктивным и основан на прошлых наблюдениях. Матилал замечает, что анализ Дигнаги очень похож на «Совместный метод согласия и разногласий» Джона Стюарта Милля, который является индуктивным.^[12]

Вдобавок традиционный индийский силлогизм, состоящий из пяти членов, хотя и действителен дедуктивно, имеет повторения, которые не являются необходимыми для его логической достоверности. В результате некоторые комментаторы рассматривают традиционный индийский силлогизм как риторическую форму, вполне естественную для многих культур мира, но не как логическую форму - не в том смысле, что все логически ненужные элементы были опущены ради анализ.

Логика в Китае

Основная статья: Логика в Китае

В Китае современник Конфуций, Mozi, "Мастер Мо" считается основателем Школа мохистов, чьи каноны касаются вопросов, касающихся обоснованного вывода и условий правильных выводов. В частности, одна из школ, выросших из мохизма, Логики, признаны некоторыми учеными за их ранние исследования формальная логика. Из-за сурового правила Законничество в последующем Династия Цинь, это направление исследования исчезло в Китае до введения индийской философии Буддисты.

Логика на западе

Предыстория логики

Правильные рассуждения использовались во все периоды истории человечества. Однако логика изучает принципы обоснованных рассуждений, умозаключений и демонстраций. Вероятно, идея продемонстрировать вывод впервые возникла в связи с геометрия, что изначально означало то же самое, что и «измерение земли».^[13] В древние египтяне обнаружил геометрия, включая формулу объема усеченная пирамида.^[14] Древний Вавилон также хорошо разбирался в математике. Есагил-кин-апли медицинский Справочник по диагностике в XI веке до нашей эры основывалась на логическом наборе аксиомы и предположения,^[15] в то время как Вавилонские астрономы в VIII и VII веках до нашей эры использовали внутренняя логика в их предсказательных планетных системах, важный вклад в философия науки.^[16]

Древняя Греция до Аристотеля

В то время как древние египтяне эмпирически открыли некоторые истины геометрии, великим достижением древних греков была замена эмпирических методов доказательными. доказательство. И то и другое Фалес и Пифагор из Досократические философы похоже, знаком с методами геометрии.

Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля,^[17] и идея дедуктивной системы, вероятно, была известна в пифагорейской школе и Платоническая академия.^[14] Доказательства Евклид Александрийский являются парадигмой греческой геометрии. Три основных принципа геометрии заключаются в следующем:

• Определенные положения должны приниматься как истинные без доказательств; такое предложение известно как аксиома геометрии.
• Каждое предложение, не являющееся аксиомой геометрии, должно быть продемонстрировано как вытекающее из аксиом геометрии; такая демонстрация известна как доказательство или «вывод» предложения.
• Доказательство должно быть формальный; то есть вывод предложения должен быть независимым от конкретного рассматриваемого предмета.^[14]

Дополнительное свидетельство того, что древнегреческие мыслители интересовались принципами рассуждения, можно найти во фрагменте, который называется dissoi logoi, вероятно, написано в начале четвертого века до нашей эры. Это часть затяжных споров об истине и лжи.^[18] В случае с классическими греческими городами-государствами интерес к аргументации также стимулировался деятельностью Риторы или ораторы и Софисты, которые использовали аргументы для защиты или критики тезиса как в юридическом, так и в политическом контексте.^[19]

Теорема Фалеса

Фалес

Говорят, что Фалес, наиболее широко известный как первый философ в Греческая традиция,^[20][21] измерил высоту пирамиды своими тенями в тот момент, когда его собственная тень была равна его росту. Говорят, что Фалес принес жертву в честь открытия Теорема Фалеса так же, как у Пифагора теорема Пифагора.^[22]

Фалес - первый известный человек, который использовал дедуктивное мышление применительно к геометрии, выведя четыре следствия из его теоремы, и первым известным человеком, которому приписывают математическое открытие.^[23] Индийский и вавилонские математики знали его теорему для частных случаев до того, как он ее доказал.^[24] Считается, что Фалес узнал, что угол, вписанный в полукруг является прямым углом во время его путешествий в Вавилон.^[25]

Пифагор

Доказательство теоремы Пифагора у Евклида. Элементы

До 520 г. до н.э., во время одного из своих визитов в Египет или Грецию, Пифагор мог встретить ок. На 54 года старше Фалеса.^[26] Систематическое изучение доказательства, похоже, началось со школы Пифагора (то есть пифагорейцев) в конце шестого века до нашей эры.^[14] Действительно, пифагорейцы, считавшие, что все есть число, были первыми философами, которые подчеркнули форма скорее, чем дело.^[27]

Гераклит и Парменид

Написание Гераклит (ок. 535 - ок. 475 г. до н.э.) было первым местом, где слово логотипы уделялось особое внимание в древнегреческой философии,^[28] Гераклит считал, что все меняется, и все является огнем и конфликтующими противоположностями, которые, казалось бы, объединены только этим. Логотипы. Он известен своими непонятными высказываниями.

Эта логотипы выполняется всегда, но люди всегда оказываются неспособными понять это, как до того, как услышат, так и когда они впервые услышали. Ибо, хотя все и происходит в соответствии с этим логотипы, люди похожи на неопытных, когда они переживают такие слова и дела, как я изложил, различая каждое в соответствии с его природой и говоря, как оно есть. Но другие люди не замечают, что делают в бодрствующем состоянии, точно так же, как они забывают, что делают во время сна.

— Дильс-Кранц, 22Б1

Парменида называют первооткрывателем логики.

В отличие от Гераклита, Парменид считал, что все едино и ничего не меняется. Возможно, он был диссидентом-пифагорейцем, не согласным с тем, что Одно (число) произвело множество.^[29] «X не» всегда должно быть ложным или бессмысленным. То, что существует, никоим образом не может существовать. Наше чувственное восприятие с его восприятием зарождения и разрушения глубоко заблуждается. Вместо чувственного восприятия Парменид защищал логотипы как средство к Истине. Его называли первооткрывателем логики,^[30][31]

С этой точки зрения, то, что не существует, никогда не может преобладать. Вы должны отстранить свою мысль от этого пути поиска, и не позволять обычному опыту в его разнообразии заставлять вас идти по этому пути (а именно, позволять) глазу, хотя и незрячему, уху, полному звуков, и языку. , управлять; но (вы должны) судить посредством Причины (Логотипы ) излагаемое мной доказательство, которое вызывает много споров. (В 7.1–8.2)

Зенон Элейский, ученик Парменида, придумал стандартный образец аргументации, найденный в методе доказательства, известном как сокращение до абсурда. Это техника получения заведомо ложного (то есть «абсурдного») вывода из предположения, тем самым демонстрируя, что это предположение ложно.^[32] Таким образом, Зенон и его учитель считаются первыми, кто применил искусство логики.^[33] Платон диалог Парменид изображает Зенона как утверждающего, что написал книгу в защиту монизм Парменида, продемонстрировав абсурдные последствия предположения о множественности. Зенон широко использовал этот метод для разработки своих парадоксы в его аргументах против движения. Такие диалектика рассуждение позже стало популярным. Членов этой школы называли «диалектиками» (от греческого слова, означающего «обсуждать»).

Платон

Пусть сюда не входит никто, незнакомый с геометрией.

— Надпись над входом в Платоновскую Академию.

Мозаика Платона Академия

Ни одна из сохранившихся работ великого философа четвертого века Платон (428–347 до н.э.) включают любую формальную логику,^[34] но они включают важный вклад в сферу философская логика. Платон поднимает три вопроса:

• Что можно назвать истинным или ложным?
• Какова природа связи между предположениями действительного аргумента и его выводом?
• Какова природа определения?

Первый вопрос возникает в диалоге Theaetetus, где Платон отождествляет мысль или мнение с разговором или дискурсом (логотипы).^[35] Второй вопрос является результатом Платонова теория форм. Формы не являются ни вещами в обычном смысле, ни собственно идеями в уме, но они соответствуют тому, что философы позже назвали универсалии, а именно абстрактную сущность, общую для каждого набора вещей с одинаковым именем. В обоих Республика и Софист Платон предполагает, что необходимая связь между предпосылками действительного аргумента и его выводом соответствует необходимой связи между «формами».^[36] Третий вопрос о определение. Многие диалоги Платона касаются поиска определения какого-либо важного понятия (справедливость, истина, добро), и вполне вероятно, что Платон был впечатлен важностью определения в математике.^[37] В основе каждого определения лежит Платоническая форма, общая природа, присутствующая в разных конкретных вещах. Таким образом, определение отражает конечный объект понимания и является основой всех достоверных выводов. Это оказало большое влияние на ученика Платона. Аристотель, в частности, понятие Аристотеля о сущность вещи.^[38]

Аристотель

Аристотель

Логика Аристотель, и особенно его теория силлогизм, оказал огромное влияние на Западная мысль.^[39] Аристотель был первым логиком, предпринявшим попытку систематического анализа логический синтаксис, существительного (или срок ) и глагола. Он был первым формальный логик, в том, что он продемонстрировал принципы рассуждения, используя переменные, чтобы показать лежащие в основе логическая форма аргумента.^[40] Он искал отношения зависимости, которые характеризуют необходимый вывод, и различал период действия этих отношений, от истинности посылок. Он первый разобрался с принципами противоречие и исключенный средний систематическим образом.^[41]

Логика Аристотеля все еще имела влияние в эпоха Возрождения

Органон

Его логические работы, названные Органон, являются самыми ранними формальными исследованиями логики, дошедшими до наших дней. Хотя определить даты сложно, вероятный порядок написания логических работ Аристотеля таков:

• Категории, исследование десяти видов примитивных терминов.
• Темы (с приложением под названием О софистических опровержениях ), обсуждение диалектики.
• Об интерпретации, анализ простых категорические предложения простыми словами, отрицанием и знаками количества.
• Предыдущая аналитика, формальный анализ того, что делает силлогизм (веский аргумент, согласно Аристотелю).
• Последующая аналитика, исследование научных доказательств, содержащее зрелые взгляды Аристотеля на логику.

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорические предложения в квадрат оппозиции из Аристотелевская логика.

Эти работы имеют выдающееся значение в истории логики. в Категориион пытается различить все возможные вещи, к которым может относиться термин; эта идея лежит в основе его философской работы Метафизика, который сам по себе оказал глубокое влияние на западную мысль.

Он также разработал теорию неформальной логики (т.е. теория заблуждения ), который представлен в Темы и Софистические опровержения.^[41]

Об интерпретации содержит всестороннюю трактовку понятий оппозиция и конверсия; глава 7 лежит в основе квадрат оппозиции (или логический квадрат); глава 9 содержит начало модальная логика.

В Предварительная аналитика содержит его изложение «силлогизма», где впервые в истории применяются три важных принципа: использование переменных, чисто формальная трактовка и использование аксиоматической системы.

Стоики

Основная статья: Стоическая логика

Другая великая школа греческой логики - это школа Стоики.^[42] История стоической логики восходит к философу конца V века до нашей эры. Евклид из Мегары, ученик Сократ и немного старше современника Платона, вероятно, следуя традициям Парменида и Зенона. Его учеников и последователей называли "Мегарианцы ", или" эристики ", а затем" диалектики ". Двумя наиболее важными диалектиками мегарской школы были Диодор Кронос и Филон, которые действовали в конце 4 века до нашей эры.

Хрисипп Соли

Стоики приняли мегарскую логику и систематизировали ее. Самым важным членом школы был Хрисипп (ок. 278 – ок. 206 до н. э.), который был его третьим главой и который формализовал большую часть стоической доктрины. Предполагается, что он написал более 700 работ, в том числе не менее 300 работ по логике, почти ни одна из которых не сохранилась.^[43][44] В отличие от Аристотеля, у нас нет полных работ мегарианцев или ранних стоиков, и мы вынуждены полагаться в основном на сообщения (иногда враждебные) из более поздних источников, в том числе известных. Диоген Лаэртиус, Секст Эмпирик, Гален, Авл Геллий, Александр Афродисийский, и Цицерон.^[45]

Три значительных вклада стоической школы были: (1) их отчет о модальность, (ii) их теория Материал условный и (iii) их мнение о смысл и правда.^[46]

• Модальность. Согласно Аристотелю, мегарианцы его времени утверждали, что не существует различия между потенциальность и актуальность.^[47] Диодор Кронос определил возможное как то, что есть или будет, невозможное как то, что не будет истинным, а случайное - как то, что либо уже есть, либо будет ложным.^[48] Диодор также известен тем, что известно как его Главный аргумент, который утверждает, что каждая пара из следующих 3 предложений противоречит третьему утверждению:

• Все, что было в прошлом, верно и необходимо.
• Невозможное не следует из возможного.
• То, что ни есть, ни будет, возможно.

Диодор использовал правдоподобие первых двух, чтобы доказать, что ничто не возможно, если оно не является и не будет правдой.^[49] Хрисипп, напротив, отверг вторую предпосылку и сказал, что невозможное может вытекать из возможного.^[50]

• Условные утверждения. Первые логики в дебатах условные утверждения были Диодор и его ученик Филон из Мегары. Секст Эмпирик трижды обращается к спору между Диодором и Филоном. Филон считал условие истинным, если оно не имеет предшествующий и ложный последующий. Именно пусть Т₀ и Т₁ быть верными заявлениями, и пусть F₀ и F₁ быть ложными заявлениями; тогда, согласно Филону, каждое из следующих условных выражений является истинным утверждением, потому что это не тот случай, когда консеквент является ложным, в то время как антецедент истинен (это не тот случай, когда утверждается, что ложное утверждение следует из истинного утверждения ):

• Если Т₀, тогда Т₁
• Если F₀, тогда Т₀
• Если F₀, тогда F₁

Следующее условное выражение не соответствует этому требованию и, по мнению Филона, является ложным утверждением:

• Если Т₀, тогда F₀

В самом деле, Секст говорит: «Согласно [Филону], есть три способа, которыми условное выражение может быть истинным, и одно, в котором оно может быть ложным».^[51] Критерий истины Филона - это то, что сейчас назвали бы истинно-функциональный определение «если ... то»; это определение, используемое в современная логика.

Напротив, Диодор допускал действительность условных выражений только тогда, когда предшествующее предложение никогда не могло привести к неверному выводу.^[51][52][53] Спустя столетие Стоик философ Хрисипп напал на предположения Филона и Диодора.

• Смысл и правда. Наиболее важное и поразительное различие между мегарианско-стоической логикой и аристотелевской логикой состоит в том, что мегарско-стоическая логика касается предложений, а не терминов, и поэтому ближе к современной логика высказываний.^[54] Стоики различали высказывания (Телефон), что может быть шумом, речью (лексика), который четко сформулирован, но может быть бессмысленным, и дискурс (логотипы), что является осмысленным высказыванием. Самая оригинальная часть их теории - это идея о том, что то, что выражается предложением, называется лектон, это что-то реальное; это соответствует тому, что сейчас называется предложение. Секст говорит, что согласно стоикам, три вещи связаны между собой: то, что означает, то, что означает, и объект; например, то, что означает, это слово Дион, а означаемое - это то, что понимают греки, а варвары - нет, а объектом является сам Дион.^[55]

Средневековая логика

Логика на Ближнем Востоке

Основная статья: Логика в исламской философии

Смотрите также: Авиценновская логика

Текст Авиценна, Основатель Авиценновская логика

Работы Аль-Кинди, Аль-Фараби, Авиценна, Аль-Газали, Аверроэс и другие мусульманские логики основывались на логике Аристотеля и играли важную роль в передаче идей древнего мира средневековому Западу.^[56] Аль-Фараби (Альфараби) (873–950) был аристотелевским логиком, обсуждавшим темы будущие контингенты, количество и соотношение категорий, соотношение между логика и грамматика, и неаристотелевские формы вывод.^[57] Аль-Фараби также рассматривал теории условные силлогизмы и аналогичный вывод, которые входили в Стоик традиции логики, а не аристотелевской.^[58]

Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) был основателем Авиценновская логика, которая заменила аристотелевскую логику как доминирующую систему логики в исламском мире,^[59] а также оказал большое влияние на западных средневековых писателей, таких как Альбертус Магнус.^[60] Авиценна писал на гипотетический силлогизм^[61] и на пропозициональное исчисление, которые оба были частью стоической логической традиции.^[62] Он разработал оригинальную "временную модализацию" силлогистической теории, включающую темпоральная логика и модальная логика.^[57] Он также использовал индуктивная логика, такой как методы согласия, различия и сопутствующие изменения которые имеют решающее значение для научный метод.^[61] Одна из идей Авиценны оказала особенно важное влияние на западных логиков, таких как Уильям Оккам: Слово Авиценны для значения или понятия (мана), был переведен схоластическими логиками как латинский намерение; в средневековой логике и эпистемология, это знак в уме, который естественным образом представляет вещь.^[63] Это имело решающее значение для развития теории Оккама. концептуализм: Универсальный термин (например., "человек") не означает вещь, существующую в действительности, а скорее знак в уме (intentio in intellectu) который представляет многие вещи в реальности; Оккам цитирует комментарий Авиценны к Метафизика V в поддержку этой точки зрения.^[64]

Фахр ад-Дин ар-Рази (р. 1149) критиковал Аристотель "первая фигура "и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхищая систему индуктивной логики, разработанную Джон Стюарт Милл (1806–1873).^[65] Более поздние исламские исследователи рассматривали работу Ар-Рази как новое направление исламской логики к Пост-авиценновская логика. Это было далее развито его учеником Афдаладдином аль-Хунаджи (ум. 1249), который разработал форму логики, вращающуюся вокруг предмета концепции и соглашается. В ответ на эту традицию Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) положил начало традиции неоавиценской логики, которая оставалась верной работам Авиценны и существовала в качестве альтернативы более доминирующей пост-авиценновской школе в последующие столетия.^[66]

В Школа иллюминаторов был основан Шахаб ад-Дин Сухраварди (1155–1191), который развил идею «решающей необходимости», которая относится к сокращению всех модальностей (необходимость, возможность, случайность и невозможность ) к одиночному режиму необходимости.^[67] Ибн ан-Нафис (1213–1288) написал книгу по логике Авиценны, которая была комментарием к книге Авиценны. Аль-Ишарат (Знаки) и Аль-Хидайя (Руководство).^[68] Ибн Таймия (1263–1328), написал Ар-Радд 'ала аль-Мантикийин, где он возражал против полезности, но не обоснованности силлогизм^[69] и в пользу индуктивное мышление.^[65] Ибн Таймия также возражал против уверенности в силлогистические аргументы и в пользу аналогия; его аргумент состоит в том, что концепции, основанные на индукция сами по себе не являются достоверными, а лишь вероятными, и поэтому силлогизм, основанный на таких концепциях, не более надежен, чем аргумент, основанный на аналогии. Далее он утверждал, что сама индукция основана на процессе аналогии. Его модель рассуждения по аналогии была основана на модели юридических аргументов.^[70][71] Эта модель аналогии была использована в недавней работе Джон Ф. Сова.^[71]

В Шарх аль-такмил фил-мантик Написанная Мухаммадом ибн Файд Аллахом ибн Мухаммадом Амином аль-Шарвани в 15 веке, это последняя крупная арабская работа по логике, которая была изучена.^[72] Однако «тысячи и тысячи страниц» по логике были написаны между XIV и XIX веками, хотя лишь часть текстов, написанных в этот период, была изучена историками, поэтому мало что известно об оригинальных работах по исламской логике, созданных в течение этот более поздний период.^[66]

Логика в средневековой Европе

Брито вопросы по Старая логика

«Средневековая логика» (также известная как «схоластическая логика») обычно означает форму аристотелевской логики, разработанную в средневековая европа на протяжении примерно 1200–1600 гг.^[1] В течение столетий после того, как была сформулирована стоическая логика, она была доминирующей системой логики в классическом мире. Когда изучение логики возобновилось после Темные времена, основным источником послужили труды христианского философа Боэций, который был знаком с некоторой логикой Аристотеля, но почти не был знаком с работами стоиков.^[73] До XII века единственными работами Аристотеля, доступными на Западе, были Категории, Об интерпретации, и перевод Боэция Isagoge из Порфирий (комментарий к категориям). Эти работы были известны как «Старая логика» (Логика Ветус или Арс Ветус). Важным произведением в этой традиции было Logica Ingredientibus из Питер Абеляр (1079–1142). Его прямое влияние было небольшим,^[74] но его влияние через учеников, таких как Джон Солсберийский был велик, и его метод применения строгого логического анализа к теологии сформировал путь развития богословской критики в последующий период.^[75]

К началу тринадцатого века оставшиеся работы Аристотеля Органон (в том числе Предварительная аналитика, Последующая аналитика, а Софистические опровержения ) были восстановлены на Западе.^[76] Логическая работа до этого была в основном перефразированием или комментарием к работам Аристотеля.^[77] Период с середины тринадцатого до середины четырнадцатого века был одним из значительных достижений в логике, особенно в трех областях, которые были оригинальными, с небольшим основанием в предшествовавшей аристотелевской традиции. Это были:^[78]

• Теория предположение. Теория предположений имеет дело с тем, как предикаты (например., 'человек') охватывают область отдельных лиц (например., все мужчины).^[79] В предложении «каждый человек есть животное», распространяется ли термин «человек» или «предполагает» людей, существующих только в настоящем, или этот диапазон включает прошлых и будущих людей? Может ли термин суппозиторий для несуществующего человека? Некоторые медиевисты утверждали, что эта идея - предшественник современного логика первого порядка.^[80] "Теория предположения с соответствующими теориями совокупление (знакопередача прилагательных), амплиация (расширение ссылочной области), и распределение представляют собой одно из самых оригинальных достижений западной средневековой логики ».^[81]
• Теория синкатегоремата. Syncategoremata - это термины, которые необходимы для логики, но которые, в отличие от категорематический термины, не означают от своего имени, но «со-означают» с другими словами. Примеры синкатегорематы: «и», «не», «каждый», «если» и так далее.
• Теория последствия. Следствием является гипотетическое условное суждение: два суждения, соединенные терминами «если ... то». Например, «если человек бежит, значит Бог существует» (Si homo currit, Deus est).^[82] Полностью разработанная теория последствий представлена ​​в Книге III. Уильям Оккам работа Summa Logicae. Здесь Оккам проводит различие между «материальными» и «формальными» последствиями, которые примерно эквивалентны современным материальное значение и логическое следствие соответственно. Подобные отчеты предоставлены Жан Буридан и Альберт Саксонский.

Последние великие произведения в этой традиции - Логика Джона Пуансо (1589–1644, известный как Иоанн Святого Фомы ), Метафизические споры из Франсиско Суарес (1548–1617), а Logica Demonstrativa из Джованни Джироламо Саккери (1667–1733).

Традиционная логика

Учебная традиция

Дадли Феннер с Искусство логики (1584)

Традиционная логика обычно означает учебную традицию, которая начинается с Антуан Арно и Пьер Николь с Логика или искусство мышления, более известный как Порт-Ройял Логик.^[83] Опубликованный в 1662 году, это был самый влиятельный труд по логике после Аристотеля до девятнадцатого века.^[84] В книге представлена ​​примерно картезианская доктрина (например, суждение представляет собой комбинацию идей, а не терминов) в рамках, широко заимствованных из аристотелевской и средневековой доктрины. термин логика. Между 1664 и 1700 годами вышло восемь изданий, и после этого книга имела значительное влияние.^[84] Port-Royal знакомит с концепцией расширение и интенция. Отчет о предложения это Локк дает в Сочинение по сути дела Порт-Ройял: «Словесные предложения, которые являются словами, [являются] знаками наших идей, соединенными или разделенными в утвердительные или отрицательные предложения. Таким образом, это предложение состоит в соединении или разделении этих знаков в соответствии с как вещи, за которые они выступают, согласны или не согласны ».^[85]

Дадли Феннер помог популяризировать Рамист логика, реакция на Аристотеля. Другой влиятельной работой была Novum Organum от Френсис Бэкон, издано в 1620 году. Название переводится как «новый инструмент». Это ссылка на Аристотель работа, известная как Органон. В этой работе Бэкон отвергает силлогистический метод Аристотеля в пользу альтернативной процедуры, «которая медленным и верным трудом собирает информацию от вещей и приводит ее к пониманию».^[86] Этот метод известен как индуктивное мышление, метод, который начинается с эмпирического наблюдения и переходит к более низким аксиомам или суждениям; из этих нижних аксиом можно вывести более общие. Например, при поиске причины феноменальная природа например, тепло, следует составить 3 списка:

• Список присутствия: список всех ситуаций, в которых обнаружено тепло.
• Список отсутствия: список всех ситуаций, который похож по крайней мере на одну из ситуаций из списка присутствия, за исключением отсутствия тепла.
• Список изменчивости: список всех ситуаций, когда температура может меняться.

Затем форма природы (или причину) перегрева можно определить как то, что является общим для каждой ситуации из списка присутствия, которое отсутствует в каждой ситуации из списка отсутствия и которое варьируется по степени в каждой ситуации из списка изменчивости.

Другие работы в традиции учебников включают Исаак Уоттс с Логика: или правильное использование разума (1725), Ричард Уэйтли с Логика (1826), и Джон Стюарт Милл с Система логики (1843). Хотя последняя была одной из последних великих работ в традиции, мнение Милля о том, что основы логики лежат в самоанализе.^[87] повлиял на точку зрения, согласно которой логику лучше всего понимать как раздел психологии, точку зрения, которая доминировала в следующие пятьдесят лет ее развития, особенно в Германии.^[88]

Логика в философии Гегеля

Георг Вильгельм Фридрих Гегель

G.W.F. Гегель указал на важность логики для его философской системы, когда он сжал свои обширные Наука логики в более короткий труд, опубликованный в 1817 году в качестве первого тома его Энциклопедия философских наук. «Короче» или «Энциклопедия» Логика, как это часто называют, излагает серию переходов, ведущих от самых пустых и абстрактных категорий - Гегель начинает с «Чистого Бытия» и «Чистого Ничто» - к «Абсолютное ", категория, которая содержит и разрешает все категории, которые ей предшествовали. Несмотря на название, Гегелевская Логика на самом деле не является вкладом в науку о достоверных выводах. Вместо того, чтобы делать выводы о концепциях посредством достоверных выводов из предпосылок, Гегель стремится показать, что размышление об одном понятии заставляет думать о другом понятии (он утверждает, что невозможно обладать понятием «Качество» без понятия «Количество»); это принуждение, предположительно, не является вопросом индивидуальной психологии, потому что оно почти органически возникает из содержания самих понятий. Его цель - показать рациональную структуру «Абсолюта», по сути, саму рациональность. Метод, с помощью которого мысль движется от одной концепции к противоположной, а затем к другим концепциям, известен как гегелевский. диалектика.

Хотя гегелевский Логика оказал небольшое влияние на основные логические исследования, его влияние можно увидеть в другом месте:

• Карл фон Прантль с Geschichte der Logik в Абендланде (1855–1867).^[89]
• Работа Британские идеалисты, например, Ф. Х. Брэдли Принципы логики (1883).
• Экономические, политические и философские исследования Карл Маркс, и в различных школах марксизм.

Логика и психология

Между работами Милля и Фреге прошло полвека, в течение которых логика широко рассматривалась как описательная наука, эмпирическое исследование структуры рассуждений и, следовательно, по сути, как ветвь науки. психология.^[90] Немецкий психолог Вильгельм Вундт, например, обсуждали вывод «логического из психологических законов мышления», подчеркивая, что «психологическое мышление всегда является более всеобъемлющей формой мышления».^[91] Эта точка зрения была широко распространена среди немецких философов того периода:

• Теодор Липпс описал логику как «особую дисциплину психологии».^[92]
• Кристоф фон Зигварт понимал логическую необходимость как основанную на принуждении человека мыслить определенным образом.^[93]
• Бенно Эрдманн утверждал, что «логические законы действуют только в пределах нашего мышления».^[94]

Таков был преобладающий взгляд на логику в годы, последовавшие за работой Милля.^[95] Этот психологический подход к логике был отвергнут Готтлоб Фреге. Он также подвергся обширной и деструктивной критике со стороны Эдмунд Гуссерль в первом томе его Логические исследования (1900), нападение, которое было описано как «подавляющее».^[96] Гуссерль убедительно доказывал, что логическое обоснование психологических наблюдений подразумевает, что все логические истины остаются недоказанными и что скептицизм и релятивизм были неизбежными последствиями.

Такая критика не сразу искоренила то, что называется "психологизм ". Например, американский философ Джозайя Ройс, признавая силу критики Гуссерля, оставался «неспособным сомневаться» в том, что прогресс в психологии будет сопровождаться прогрессом в логике, и наоборот.^[97]

Расцвет современной логики

Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого веков был в значительной степени периодом упадка и забвения, и историки логики обычно считают его бесплодным.^[2] Возрождение логики произошло в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет превратился в строгую и формалистическую дисциплину, примером которой стал точный метод доказательства, используемый в математика. Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период является наиболее значительным в 2000-летней истории логики и, возможно, одним из самых важных и замечательных событий в интеллектуальной истории человечества.^[4]

Ряд особенностей отличают современную логику от старой аристотелевской или традиционной логики, наиболее важными из которых являются следующие:^[98] Современная логика по сути своей исчисление правила работы которых определяются только форма а не смысл символов, которые он использует, как в математике. Многие логики были впечатлены «успехом» математики, поскольку не было длительных споров о каком-либо истинно математическом результате. К.С. Пирс отметил^[99] что даже если ошибка в вычислении определенного интеграла Лаплас привело к ошибке, касающейся орбиты Луны, которая сохранялась почти 50 лет, ошибка, однажды обнаруженная, была исправлена ​​без каких-либо серьезных споров. Пирс противопоставил это спорам и неуверенности, окружающим традиционную логику, и особенно рассуждения в метафизика. Он утверждал, что действительно «точная» логика будет зависеть от математической, то есть «схематической» или «иконической» мысли. «Те, кто следуют таким методам ... избежат всех ошибок, кроме тех, которые будут быстро исправлены после того, как они когда-то заподозрены». Современная логика также «конструктивна», а не «абстрактна»; то есть вместо того, чтобы абстрагироваться и формализовать теоремы, полученные из обычного языка (или из психологической интуиции относительно действительности), он конструирует теоремы формальными методами, а затем ищет интерпретацию на обычном языке. Это полностью символично, то есть даже логические константы (которые средневековые логики называли "синкатегоремата "), а категориальные термины выражаются символами.

Современная логика

Развитие современной логики можно разделить примерно на пять периодов:^[100]

• В эмбриональный период от Лейбниц до 1847 г., когда понятие логического исчисления обсуждалось и развивалось, в частности, Лейбницем, но не было сформировано никаких школ, а отдельные периодические попытки были оставлены или остались незамеченными.
• В алгебраический период от Логический анализ Шредер с Vorlesungen. В этот период было больше практиков и большая непрерывность развития.
• В логик период от Begriffsschrift из Фреге к Principia Mathematica из Рассел и Уайтхед. Целью «школы логицизма» было объединить логику всего математического и научного дискурса в единую единую систему, которая, принимая за фундаментальный принцип, что все математические истины логичны, не принимала никакой нелогической терминологии. Основными логиками были Фреге, Рассел, и ранний Витгенштейн.^[101] Он завершается Principia, важная работа, которая включает в себя тщательное изучение и попытку решения антиномии что было препятствием на пути к прогрессу.
• В метаматематический период с 1910 по 1930-е гг., когда появились металогия, в финитист система Гильберта, и нефинитистская система Löwenheim и Сколем, сочетание логики и металогики в работе Гёдель и Тарский. Гёделя теорема о неполноте 1931 г. был одним из величайших достижений в истории логики. Позже, в 1930-х годах, Гёдель разработал понятие теоретико-множественная конструктивность.
• В период после Второй мировой войны, когда математическая логика разделены на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теория моделей, теория доказательств, теория вычислимости, и теория множеств, и его идеи и методы начали влиять философия.

Эмбриональный период

Лейбниц

Идея о том, что вывод может быть представлена ​​чисто механическим процессом, возникла еще в Раймонд Лулль, предложивший (несколько эксцентричный) метод выводов по системе концентрических колец. Работа таких логиков, как Оксфордские калькуляторы^[102] привели к использованию букв вместо записи логических вычислений (расчеты) на словах, метод, используемый, например, в Logica magna от Павел Венецианский. Спустя триста лет после Лулля, английского философа и логика Томас Гоббс предположил, что вся логика и рассуждения могут быть сведены к математическим операциям сложения и вычитания.^[103] Та же идея содержится в работе Лейбниц, который читал и Лулля, и Гоббса, и утверждал, что логику можно представить через комбинаторный процесс или исчисления. Но, как и Лулл и Гоббс, ему не удалось разработать подробную или всеобъемлющую систему, и его работа по этой теме была опубликована только спустя долгое время после его смерти. Лейбниц говорит, что обычные языки подвержены «бесчисленным двусмысленностям» и не подходят для исчисления, задача которого - выявить ошибки в умозаключениях, возникающие из форм и структур слов;^[104] следовательно, он предложил определить алфавит человеческой мысли содержащий фундаментальные концепции, которые можно составить для выражения сложных идей,^[105] и создать логический расчет это сделало бы все аргументы «такими же осязаемыми, как аргументы математиков, чтобы мы могли сразу найти нашу ошибку, а когда возникают споры между людьми, мы можем просто сказать: давайте посчитаем».^[106]

Gergonne (1816) сказал, что рассуждения не обязательно должны касаться объектов, относительно которых у человека есть совершенно ясные идеи, потому что алгебраические операции могут выполняться без какого-либо представления о значении задействованных символов.^[107] Больцано предвосхитил фундаментальную идею современной теории доказательств, когда определил логическое следствие или «выводимость» в терминах переменных:^[108]

Поэтому я говорю, что предложения ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle O}$,… находятся выводимый из предложений ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$,… Относительно переменных частей ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$,…, Если каждый класс идей, замена которых на ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$,… Делает все ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$,… Правда, также делает все ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle O}$,… правда. Иногда, поскольку это принято, я скажу, что предложения ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle O}$,… следовать, или может быть предполагаемый или полученный, от ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$,…. Предложения ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$,… Я назову предпосылки, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle O}$,… выводы.

Теперь это известно как семантическая достоверность.

Алгебраический период

Джордж Буль

Современная логика начинается с так называемой «алгебраической школы», берущей свое начало от Буля и включающей Пирс, Джевонс, Шредер, и Venn.^[109] Их целью было разработать исчисление для формализации рассуждений в области классов, утверждений и вероятностей. Школа начинается с плодотворной работы Буля. Математический анализ логики который появился в 1847 году, хотя Де Морган (1847) - его непосредственный предшественник.^[110] Основная идея системы Буля состоит в том, что алгебраические формулы могут использоваться для выражения логических отношений. Эта идея пришла в голову Булю в подростковом возрасте, когда он работал учителем в частной школе в г. Линкольн, Линкольншир.^[111] Например, пусть x и y обозначают классы, пусть символ = означает, что классы имеют одинаковые члены, xy обозначает класс, содержащий все и только члены x и y и так далее. Буль называет это выборные символы, т.е. символы, которые выбирают определенные объекты для рассмотрения.^[112] Выражение, в котором используются выборные символы, называется выборная функция, а уравнение, члены которого являются выборными функциями, является выборное уравнение.^[113] Теория выборных функций и их «развития» - это, по сути, современная идея функции истинности и их выражение в дизъюнктивная нормальная форма.^[112]

Система Буля допускает две интерпретации: логику классов и логику высказываний. Буль провел различие между «первичными предложениями», которые являются предметом силлогистической теории, и «вторичными предложениями», которые являются предметом логики высказываний, и показал, как при различных «интерпретациях» одна и та же алгебраическая система может представлять и то, и другое. Пример первичного утверждения: «Все жители либо европейцы, либо азиаты». Пример второстепенного предложения: «Либо все жители европейцы, либо все азиаты».^[114] Их легко различить в современном исчислении высказываний, где также можно показать, что первое следует из второго, но существенным недостатком является отсутствие способа представить это в булевой системе.^[115]

В его Символическая логика (1881), Джон Венн использовали диаграммы перекрывающихся областей, чтобы выразить булевы отношения между классами или условия истинности предложений. В 1869 году Джевонс понял, что методы Буля можно механизировать, и построил «логическую машину», которую показал Королевское общество в следующем году.^[112] В 1885 г. Аллан Маркуанд предложил электрическую версию машины, которая существует до сих пор (картина в библиотеке Firestone ).

Чарльз Сандерс Пирс

Недостатки в системе Буля (например, использование буквы v для экзистенциальных суждений) были исправлены его последователями. Джевонс опубликовал Чистая логика, или логика качества отдельно от количества в 1864 году, где он предложил символ для обозначения Эксклюзивный или, что позволило значительно упростить систему Буля.^[116] Этим с пользой воспользовался Шредер, когда он изложил теоремы в параллельных столбцах в своей Vorlesungen (1890–1905). Пирс (1880) показал, как все булевы выборочные функции могут быть выражены с помощью единственной примитивной бинарной операции ".ни ни ... "и одинаково хорошо"не оба ... и ... ",^[117] однако, как и многие нововведения Пирса, это оставалось неизвестным или незамеченным до тех пор, пока Шеффер заново открыл его в 1913 году.^[118] Ранние работы Буля также лишены идеи логическая сумма который берет свое начало в Пирсе (1867 г.), Шредер (1877) и Джевонс (1890),^[119] и концепция включение, впервые предложенный Жергонном (1816 г.) и четко сформулированный Пирсом (1870 г.).

Булевы кратные

Успех алгебраической системы Буля предполагал, что вся логика должна быть способна к алгебраическому представлению, и были попытки выразить логику отношений в такой форме, наиболее амбициозной из которых была монументальная работа Шредера. Vorlesungen über die Algebra der Logik («Лекции по алгебре логики», том III, 1895 г.), хотя первоначальная идея снова была предвосхищена Пирсом.^[120]

Непоколебимое принятие Буля логики Аристотеля подчеркивается историком логики. Джон Коркоран в доступном введении в Законы мысли^[121] Коркоран также провел поэтапное сравнение Предварительная аналитика и Законы мысли.^[122] Согласно Коркорану, Буль полностью принял и поддержал логику Аристотеля. Цели Буля заключались в том, чтобы «пойти ниже, больше и дальше» логики Аристотеля путем 1) предоставления ей математических основ, включающих уравнения, 2) расширения класса задач, которые он мог бы решать - от оценки достоверности до решения уравнений - и 3) расширения диапазона приложений, которые он мог обрабатывать - например, от предложений, содержащих только два члена, до предложений, содержащих произвольно много.

В частности, Буль согласился с тем, что Аристотель сказал; «Разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего не сказал Аристотель. Во-первых, в области основ Буль свел четыре пропозициональные формы аристотелевской логики к формулам в форме уравнений - сама по себе революционная идея. Во-вторых, в сфере логических проблем добавление Буля решения уравнений к логике - еще одна революционная идея - включало доктрину Буля, согласно которой правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многосторонние предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести: «Ни один четырехугольник, который является квадратом, не является прямоугольником, который является ромбом», из «Ни один квадрат, который является четырехугольником, не является ромбом, который является прямоугольником» или из «Ни один ромб, который является прямоугольником, не является прямоугольником». квадрат, который является четырехугольником ".

Период логика

Готтлоб Фреге.

После Буля следующие большие успехи были сделаны немецким математиком. Готтлоб Фреге. Целью Фреге была программа Логика, т.е. демонстрируя, что арифметика идентична логике.^[123] Фреге пошел намного дальше, чем любой из его предшественников, в своем строгом и формальном подходе к логике, а также в своем исчислении или Begriffsschrift это важно.^[123] Фреге также пытался показать, что концепция количество может быть определен чисто логическими средствами, так что (если он был прав) логика включает арифметику и все разделы математики, которые можно свести к арифметике. Он был не первым писателем, предлагавшим это. В своей новаторской работе Die Grundlagen der Arithmetik (Основы арифметики), разделы 15-17, он признает усилия Лейбница, J.S. Мельница а также Джевонс, цитируя утверждение последнего о том, что «алгебра - это высокоразвитая логика, а число - только логическое различение».^[124]

Первая работа Фреге, Begriffsschrift («концептуальный сценарий») - это строго аксиоматизированная система логики высказываний, основанная всего на двух связках (отрицательной и условной), двух правилах вывода (modus ponens и подстановка) и шесть аксиом. Фреге говорил о «полноте» этой системы, но не смог этого доказать.^[125] Однако наиболее значительным нововведением было его объяснение квантификатор с точки зрения математических функций. Традиционная логика рассматривает предложение «Цезарь есть человек» как в основном ту же форму, что и «все люди смертны». Предложения с собственным именем подлежащим считались универсальными по своему характеру, интерпретируемыми как «каждый Цезарь - человек».^[126] С самого начала Фреге отказывается от традиционных концепций предмет и предикат", заменив их на аргумент и функция соответственно, что, по его мнению, «выдержит испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формированию концепций. Более того, демонстрация связи между значениями слов если, и, нет, или, есть, некоторые, все, и так далее, заслуживает внимания ".^[127] Фреге утверждал, что кванторное выражение «все люди» не имеет той же логической или семантической формы, что и «все люди», и что универсальное утверждение «каждый А есть В» является сложным утверждением, включающим два функции, а именно «- есть А» и «- есть В», так что все, что удовлетворяет первому, удовлетворяет и второму. В современных обозначениях это можно было бы выразить как

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

По-английски «для всех x, если Ax, то Bx». Таким образом, только единичные предложения имеют форму субъект-предикат, и они неприводимо сингулярны, то есть не сводятся к общему предложению. Универсальные и частные предложения, напротив, вообще не имеют простой субъектно-предикатной формы. Если бы «все млекопитающие» были логическим субъектом предложения «все млекопитающие - обитатели суши», то для отрицания всего предложения нам пришлось бы отрицать сказуемое, чтобы дать «все млекопитающие являются не наземные жители ". Но это не так.^[128] Этот функциональный анализ предложений на обычном языке позже оказал большое влияние на философию и лингвистика.

Это означает, что в исчислении Фреге «первичные» предложения Буля могут быть представлены иначе, чем «вторичные» предложения. «Все жители либо мужчины, либо женщины» - это

Фреге "Концептуальный сценарий"

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

тогда как «Все жители мужчины или все жители женщины»

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

Как заметил Фреге в критике исчисления Буля:

«Настоящая разница в том, что я избегаю [логического] деления на две части ... и даю однородное представление партии. В логике две части идут рядом друг с другом, так что одна подобна зеркальному отображению другой, но по этой самой причине не имеет к нему никакого органического отношения »^[129]

Исчисление Фреге не только предоставило единую и всеобъемлющую систему логики, но и разрешило древнюю проблема множественной общности. Неоднозначность фразы «каждая девочка поцеловала мальчика» трудно выразить в традиционной логике, но логика Фреге разрешает это через различную область действия кванторов. Таким образом

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

Пеано

означает, что каждой девушке соответствует какой-нибудь мальчик (подойдет любой), которого девушка поцеловала. Но

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

означает, что есть какой-то конкретный мальчик, которого целовала каждая девочка. Без этого устройства проект логицизма был бы сомнительным или невозможным. Используя его, Фреге дал определение родство с предками, из отношение "многие к одному", и из математическая индукция.^[130]

Эрнст Цермело

Этот период совпадает с работой так называемой «математической школы», в которую входили Дедекинд, Pasch, Пеано, Гильберта, Цермело, Хантингтон, Веблен и Heyting. Их целью была аксиоматизация таких разделов математики, как геометрия, арифметика, анализ и теория множеств. Наиболее заметным было Программа Гильберта, который стремился обосновать всю математику на конечном наборе аксиом, доказывая ее непротиворечивость «конечными» средствами и предоставляя процедуру, которая решала бы истинность или ложность любого математического утверждения. Стандарт аксиоматизация из натуральные числа назван Аксиомы Пеано одноименно. Пеано проводил четкое различие между математическими и логическими символами. Не зная о работе Фреге, он независимо воссоздал свой логический аппарат на основе работ Буля и Шредера.^[131]

Проект логики потерпел почти фатальную неудачу с открытием парадокса в 1901 г. Бертран Рассел. Это доказало наивная теория множеств привело к противоречию. Теория Фреге содержала аксиому, согласно которой для любого формального критерия существует набор всех объектов, удовлетворяющих этому критерию. Рассел показал, что набор, содержащий именно те множества, которые не являются членами самих себя, будет противоречить его собственному определению (если он не является членом самого себя, он является членом самого себя, а если он является членом самого себя, это не так) .^[132] Это противоречие теперь известно как Парадокс Рассела. Один важный метод разрешения этого парадокса был предложен Эрнст Цермело.^[133] Теория множеств Цермело был первым аксиоматическая теория множеств. Он был преобразован в канонический Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF). Парадокс Рассела символически выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

Монументальный Principia Mathematica, трехтомник о основы математики, написанный Расселом и Альфред Норт Уайтхед и опубликованный в 1910–1913 годах также включал попытку разрешить парадокс с помощью тщательно продуманного система типов: набор элементов имеет другой тип, чем каждый из его элементов (набор не является элементом; один элемент не является набором), и нельзя говорить о "набор всех наборов ". Principia была попыткой вывести все математические истины из четко определенного набора аксиомы и правила вывода в символическая логика.

Метаматематический период

Курт Гёдель

Имена Гёдель и Тарский доминируют в 1930-х годах,^[134] переломный период в развитии метаматематика - изучение математики с использованием математических методов для производства метатеории, или математические теории о других математических теориях. Ранние исследования метаматематики проводились по программе Гильберта. Кульминацией работы по метаматематике стали работы Гёделя, который в 1929 г. показал, что данная предложение первого порядка является выводимый тогда и только тогда, когда это логически верно - т.е. истинно во всех структура для своего языка. Это известно как Теорема Гёделя о полноте. Год спустя он доказал две важные теоремы, которые показали, что программа Хиберта недостижима в ее первоначальном виде. Во-первых, ни одна непротиворечивая система аксиом, теоремы которой можно перечислить эффективная процедура например, алгоритм или компьютерная программа способна доказать все факты о натуральные числа. Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но недоказуемы в рамках системы. Во-вторых, если такая система также способна доказать некоторые основные факты о натуральных числах, то система не может доказать непротиворечивость самой системы. Эти два результата известны как Теоремы Гёделя о неполноте, или просто Теорема Гёделя. Позже в этом десятилетии Гёдель разработал концепцию теоретико-множественная конструктивность, как часть его доказательства того, что аксиома выбора и гипотеза континуума согласуются с Теория множеств Цермело – Френкеля.В теория доказательств, Герхард Гентцен развитый естественный вычет и последовательное исчисление. Первая попытка смоделировать логические рассуждения, поскольку они «естественно» возникают на практике и наиболее легко применимы к интуиционистской логике, в то время как вторая была разработана, чтобы прояснить вывод логических доказательств в любой формальной системе. Со времени работы Генцена естественная дедукция и последовательные исчисления широко применялись в области теории доказательств, математической логики и информатики. Генцен также доказал теоремы нормализации и исключения разреза для интуиционистской и классической логики, которые можно использовать для приведения логических доказательств к нормальной форме.^[135][136]

Альфред Тарский

Альфред Тарский, ученик Лукасевич, наиболее известен своим определением истины и логическое следствие, а семантическое понятие логическое удовлетворение. В 1933 году он опубликовал (на польском языке) Концепция истины в формализованных языках, в котором он предложил свою семантическая теория истины: предложение типа «снег белый» верно тогда и только тогда, когда снег белый. Теория Тарского разделила метаязык, который делает утверждение об истине, из объектный язык, который содержит предложение, истинность которого утверждается, и дал соответствие ( Т-схема ) между фразами объектного языка и элементами интерпретация. Подход Тарского к сложной идее объяснения истины оказал неизгладимое влияние на логику и философию, особенно на развитие теория моделей.^[137] Тарский также подготовил важные работы по методологии дедуктивных систем и по таким фундаментальным принципам, как полнота, разрешимость, последовательность и определимость. По словам Аниты Феферман, Тарский «изменил лицо логики в двадцатом веке».^[138]

Церковь Алонсо и Алан Тьюринг предложили формальные модели вычислимости, дающие независимые отрицательные решения гильбертовой Entscheidungsproblem в 1936 и 1937 годах соответственно. В Entscheidungsproblem попросили процедуру, которая, учитывая любое формальное математическое утверждение, алгоритмически определяла бы его истинность. Черч и Тьюринг доказали, что такой процедуры не существует; Статья Тьюринга представила проблема остановки как ключевой пример математической проблемы без алгоритмического решения.

Система вычислений Чёрча превратилась в современную λ-исчисление, в то время Машина Тьюринга стал стандартной моделью универсального вычислительного устройства. Вскоре было показано, что многие другие предложенные модели вычислений эквивалентны по мощности моделям, предложенным Черчем и Тьюрингом. Эти результаты привели к Тезис Черча – Тьюринга что любой детерминированный алгоритм то, что может быть выполнено человеком, может быть выполнено машиной Тьюринга. Черч доказал дополнительные результаты о неразрешимости, показав, что оба Арифметика Пеано и логика первого порядка находятся неразрешимый. Позже работа Эмиль Пост и Стивен Коул Клини в 1940-х годах расширили сферу применения теории вычислимости и представили понятие степени неразрешимости.

Результаты первых нескольких десятилетий двадцатого века также оказали влияние на аналитическая философия и философская логика, особенно с 1950-х годов, по таким предметам, как модальная логика, темпоральная логика, деонтическая логика, и логика релевантности.

Логика после ВОВ

Саул Крипке

После Второй мировой войны математическая логика разделены на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теория моделей, теория доказательств, теория вычислимости, и теория множеств.^[139]

В теории множеств метод принуждение произвела революцию в этой области, предоставив надежный метод построения моделей и получения результатов независимости. Пол Коэн представил этот метод в 1963 году, чтобы доказать независимость гипотеза континуума и аксиома выбора от Теория множеств Цермело – Френкеля.^[140] Его техника, которая была упрощена и расширена вскоре после ее введения, с тех пор применялась для решения многих других задач во всех областях математической логики.

Теория вычислимости уходит корнями в работы Тьюринга, Черча, Клини и Поста в 1930-40-х годах. Это превратилось в исследование абстрактной вычислимости, которое стало известно как теория рекурсии.^[141] В приоритетный метод, открытый независимо Альберт Мучник и Ричард Фридберг в 1950-х годах привели к значительному прогрессу в понимании степени неразрешимости и родственные конструкции. Исследования теории вычислимости высшего порядка продемонстрировали ее связь с теорией множеств. Поля конструктивный анализ и вычислимый анализ были разработаны для изучения эффективного содержания классических математических теорем; они, в свою очередь, вдохновили программу обратная математика. Отдельный раздел теории вычислимости, теория сложности вычислений, также был охарактеризован логически в результате исследований описательная сложность.

Теория моделей применяет методы математической логики для изучения моделей конкретных математических теорий. Альфред Тарский опубликовал много новаторских работ в этой области, названных в честь серии статей, которые он опубликовал под названием Вклад в теорию моделей. В 1960-е гг. Авраам Робинсон использовали теоретико-модельные методы для разработки расчетов и анализа на основе бесконечно малые, проблема, которая впервые была предложена Лейбницем.

В теории доказательств связь между классической математикой и интуиционистской математикой была прояснена с помощью таких инструментов, как осуществимость метод, изобретенный Георг Крайзель и Гёделя Диалектика интерпретация. Эта работа вдохновила современную область доказательная добыча. В Переписка Карри – Ховарда возникла как глубокая аналогия между логикой и вычислением, включая соответствие между системами естественного вывода и типизированные лямбда-исчисления используется в информатике. В результате исследования этого класса формальных систем начали касаться как логических, так и вычислительных аспектов; эта область исследований получила название современной теории типов. Были также достигнуты успехи в порядковый анализ и изучение независимости приводит к арифметике, такой как Теорема Пэрис – Харрингтона.

Это был также период, особенно в 1950-х годах и позже, когда идеи математической логики начали влиять на философское мышление. Например, напряженная логика - это формализованная система для представления и обоснования предложений, определенных с точки зрения времени. Философ Артур Прайор сыграла значительную роль в его развитии в 1960-е годы. Модальная логика расширить рамки формальной логики, включив в нее элементы модальность (Например, возможность и необходимость ). Идеи Саул Крипке, особенно о возможные миры, а формальная система теперь называется Семантика Крипке оказали глубокое влияние на аналитическая философия.^[142] Его самая известная и влиятельная работа - это Именование и необходимость (1980).^[143] Деонтическая логика тесно связаны с модальной логикой: они пытаются уловить логические особенности обязательство, разрешение и связанные концепции. Хотя некоторые базовые новинки синкретизирующий математическую и философскую логику показали Больцано в начале 1800-х годов это было Эрнст Малли, ученик Алексиус Мейнонг, который предложил первую формальную деонтическую систему в своем Grundgesetze des Sollens, основанный на синтаксисе Уайтхеда и Рассела пропозициональное исчисление.

Еще одна логическая система, созданная после Второй мировой войны, была нечеткая логика азербайджанского математика Лотфи Аскер-Заде в 1965 г.

Смотрите также

• Философский портал

• История дедуктивного мышления
• История индуктивного мышления
• История абдуктивных рассуждений
• История концепции функции
• История математики
• История философии
• Борода Платона
• Хронология математической логики

Заметки

1. Boehner p. xiv
2. Oxford Companion стр. 498; Боченски, Часть I Введение, пассим
3. Готтлоб Фреге. Основы арифметики (PDF). п. 1.
4. Oxford Companion стр. 500
5. Боченски п. 446
6. С. К. Видьябхушана (1971). История индийской логики: древние, средневековые и современные школыС. 17–21.
7. Р. П. Кангле (1986). Каутилия Арташастра (1.2.11). Motilal Banarsidass.
8. Боченски п. 417 и пассим
9. Боченский с. 431–7.
10. Матилал, Бимал Кришна (1998). Характер логики в Индии. Олбани, штат Нью-Йорк: Государственный университет Нью-Йорка. С. 12, 18. ISBN  9780791437407.
11. Боченки п. 441
12. Матилал, 17
13. Нил, стр. 2
14. Kneale p. 3
15. H. F. J. Horstmanshoff, Marten Stol, Cornelis Tilburg (2004), Магия и рациональность в древней ближневосточной и греко-римской медицине, п. 99, Brill Publishers, ISBN  90-04-13666-5.
16. Д. Браун (2000), Месопотамская планетарная астрономия-астрология , Публикации Стикс, ISBN  90-5693-036-2.
17. Хит, Математика у Аристотеля, цитируется по Kneale, p. 5
18. Нил, стр. 16
19. «История логики». britannica.com. Получено 2 апреля 2018.
20. Аристотель, Метафизика Альфа, 983b18.
21. Смит, сэр Уильям (1870). Словарь греческой и римской биографии и мифологии. Бостон, Литтл. п. 1016.
22. Проф. Т. Патронис и Д. Пацопулос Теорема Фалеса: исследование именования теорем в школьных учебниках геометрии. Университет Патры. Архивировано из оригинал на 2016-03-03. Получено 2012-02-12.
23. (Бойер 1991, «Иония и пифагорейцы» с. 43) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBoyer1991 (Помогите)
24. де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие. ЮНЕСКО, Том 3, стр. 14. ISBN  92-3-102812-Х
25. Бойер, Карл Б. и Мерцбах, Ута К. (2010). История математики. Джон Уайли и сыновья, Глава IV. ISBN  0-470-63056-6
26. К. Б. Бойер (1968)
27. Самуил Енох Штумпф. Сократа к Сартру. п. 11.
28. Ф.Э. Петерс, Греческие философские термины, Издательство Нью-Йоркского университета, 1967.
29. http://www.bard.edu/library/arendt/pdfs/Cornford-Parmenides.pdf
30. Р. Дж. Холлингдейл (1974). Западная философия: введение. п. 73.
31. http://www.wilbourhall.org/pdfs/From_religion_to_philosophy.pdf
32. Kneale p. 15
33. "Нумизматический циркуляр". 2 апреля 2018 г.. Получено 2 апреля 2018 - через Google Книги.
34. Kneale p. 17
35. «формирование мнения - это разговор, а мнение - это речь, которая проводится не с кем-то другим или вслух, а в молчании с самим собой» Theaetetus 189E – ​​190A
36. Kneale p. 20. Например, доказательство, приведенное в Я нет то, что квадрат на диагонали в два раза больше площади исходного квадрата, предположительно включает формы квадрата и треугольника, а также необходимое соотношение между ними.
37. Kneale p. 21 год
38. Залта, Эдуард Н. "Логика Аристотеля ". Стэндфордский Университет, 18 марта 2000. Дата обращения 13 марта 2010.
39. См. Например Логика аристотеля, Стэнфордская энциклопедия философии
40. Сова, Джон Ф. (2000). Представление знаний: логические, философские и вычислительные основы. Пасифик Гроув: Брукс / Коул. п. 2. ISBN  0-534-94965-7. OCLC  38239202.
41. Боченски п. 63
42. «На протяжении более поздней античности выделялись две великие школы логики: перипатетическая, которая произошла от Аристотеля, и стоическая, которая была развита Хрисиппом из учений мегарианцев» - Книл с. 113
43. Оксфордский компаньон, статья "Хрисипп", с. 134
44. [1] Стэнфордская энциклопедия философии: Сюзанна Бобзен, Древняя логика
45. K. Huelser, Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, 4 тома, Штутгарт, 1986-7
46. Kneale 117–158
47. Метафизика Эта 3, 1046b 29
48. Боэций, Комментарий к Перигермении, Мейзер стр. 234
49. Эпиктет, Диссертации изд. Шенкель II. 19. И.
50. Александр п. 177
51. Секст Эмпирик, Adv. Математика. viii, Раздел 113
52. Секст Эмпирик, Гипотип. II. 110, комп.
53. Цицерон, Academica, II. 47, де Фато, 6.
54. См. Например Лукасевич п. 21 год
55. Sextus Bk viii., Разделы 11, 12
56. См. Например Энциклопедия философии Рутледж онлайн, версия 2.0 В архиве 2015-05-03 в WebCite, статья «Исламская философия»
57. История логики: арабская логика, Британская энциклопедия.
58. Фельдман, Сеймур (1964-11-26). «Решер по арабской логике». Журнал Философии. Журнал Философии, Inc. 61 (22): 724–734. Дои:10.2307/2023632. ISSN  0022-362X. JSTOR  2023632. [726]. Лонг, А. А .; Д. Н. Седли (1987). Философы эллинизма. Том 1: Переводы основных источников с философскими комментариями. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-27556-3.
59. Даг Николаус Хассе (19 сентября 2008 г.). «Влияние арабской и исламской философии на латинский Запад». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2009-10-13.
60. Ричард Ф. Уошелл (1973), «Логика, язык и Альберт Великий», Журнал истории идей 34 (3), стр. 445–450 [445].
61. Гудман, Ленн Эван (2003), Исламский гуманизм, п. 155, Oxford University Press, ISBN  0-19-513580-6.
62. Гудман, Ленн Эван (1992); Авиценна, п. 188, Рутледж, ISBN  0-415-01929-X.
63. Kneale p. 229
64. Книл: стр. 266; Оккам: Summa Logicae я. 14; Авиценна: Опера Авиценны Венеция 1508 f87rb
65. Мухаммад Икбал, Реконструкция религиозной мысли в исламе, «Дух мусульманской культуры» (ср. [2] и [3] )
66. Тони-стрит (23 июля 2008 г.). «Арабская и исламская философия языка и логики». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 2008-12-05.
67. Доктор Лотфолла Набави, Теория решающей необходимости Сохреварди и система QSS Крипке В архиве 2008-01-26 на Wayback Machine, Журнал факультета литературы и гуманитарных наук.
68. Д-р Абу Шади Аль-Руби (1982), «Ибн ан-Нафис как философ», Симпозиум по Ибн ан-Нафису, Вторая международная конференция по исламской медицине: Исламская медицинская организация, Кувейт (ср. Ибн ан-Нафис как философ В архиве 2008-02-06 на Wayback Machine, Энциклопедия исламского мира).
69. См. Стр. 253–254 из Улица, Тони (2005). «Логика». В Питере Адамсоне; Ричард С. Тейлор (ред.). Кембриджский компаньон арабской философии. Издательство Кембриджского университета. С. 247–265. ISBN  978-0-521-52069-0.
70. Рут Мас (1998). "Кияс: исследование исламской логики" (PDF). Folia Orientalia. 34: 113–128. ISSN  0015-5675.
71. Джон Ф. Сова; Арун К. Маджумдар (2003). «Аналогичное рассуждение». Концептуальные структуры для создания знаний и коммуникации, Труды ICCS 2003. Берлин: Springer-Verlag., стр. 16-36
72. Николас Решер и Арнольд Вандер Нат, "Арабская теория временной модальной силлогистики", у Джорджа Фадло Хурани (1975), Очерки исламской философии и науки, стр. 189–221, Государственный университет Нью-Йорка Press, ISBN  0-87395-224-3.
73. Kneale p. 198
74. Стивен Дюмон, статья «Питер Абеляр» в Gracia and Noone с. 492
75. Kneale, стр. 202–3
76. См. Например Kneale p. 225
77. Boehner p. 1
78. Бонер, стр. 19–76
79. Boehner p. 29
80. Boehner p. 30
81. Эббесен 1981
82. Бенер, стр. 54–5
83. Оксфордский компаньон п. 504, статья «Традиционная логика»
84. Бурокер xxiii
85. (Локк, Эссе о человеческом понимании, IV. 5. 6)
86. Фаррингтон, 1964, 89
87. Н. Аббаньяно, «Психологизм» у П. Эдвардса (ред.) Энциклопедия философии, Макмиллан, 1967
88. Роберт Адамсон писал о немецкой литературе этого периода:Логика роятся, как пчелы весной ... »; Роберт Адамсон, Краткая история логики, Вт. Blackwood & Sons, 1911, стр. 242
89. Карл фон Прантль (1855-1867), Geschichte von Logik в Абендланде, Leipsig: S. Hirzl, анастатически переиздано в 1997 г., Hildesheim: Georg Olds.
90. См. Например Психологизм, Стэнфордская энциклопедия философии
91. Вильгельм Вундт, Логик (1880–1883); цитируется у Эдмунда Гуссерля, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. 115–116.
92. Теодор Липпс, Grundzüge der Logik (1893); цитируется у Эдмунда Гуссерля, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. 40
93. Кристоф фон Зигварт, Логик (1873–78); цитируется у Эдмунда Гуссерля, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. 51
94. Бенно Эрдманн, Логик (1892); цитируется у Эдмунда Гуссерля, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. 96
95. Дермот Моран, «Введение»; Эдмунд Гуссерль, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. xxi
96. Майкл Даммит, «Предисловие»; Эдмунд Гуссерль, Логические исследования, перевел Дж. Финдли, Рутледж, 2008 г., том 1, стр. xvii
97. Джозайя Ройс, «Недавние логические исследования и их психологическое обоснование» (1902 г.) в книге Джона Дж. Макдермотта (редактор) Основные сочинения Джозайи Ройса Том 2, издательство Fordham University Press, 2005 г., стр. 661
98. Боченски, с. 266
99. Пирс 1896
100. См. Bochenski p. 269
101. Оксфордский компаньон п. 499
102. Эдит Силла (1999), "Oxford Calculators", в Кембриджский философский словарь, Кембридж, Кембриджшир: Кембридж.
103. Эл. Филос. секта Корпорация 1.1.2.
104. Боченски п. 274
105. Резерфорд, Дональд, 1995, "Философия и язык" в Jolley, N., ed., Кембриджский компаньон Лейбница. Cambridge Univ. Нажмите.
106. Винер, Филипп, 1951. Лейбниц: Избранные. Скрибнер.
107. Essai de dialectique rationelle, 211n, цитируется в Bochenski p. 277.
108. Больцано, Бернард (1972). Джордж, Рольф (ред.). Теория науки: Die Wissenschaftslehre oder Versuch einer Neuen Darstellung der Logik. Перевод Джорджа Рольфа. Калифорнийский университет Press. п. 209. ISBN  9780520017870.
109. См. Например Боченски п. 296 и пассим
110. Перед публикацией он написал Де Морган, который как раз заканчивал работу Формальная логика. Де Морган посоветовал им опубликовать в первую очередь, и таким образом две книги появились одновременно, возможно, даже поступили в книжные магазины в один и тот же день. ср. Kneale p. 404
111. Kneale p. 404
112. Kneale p. 407
113. Буль (1847) стр. 16
114. Boole 1847 с. 58–9
115. Бини п. 11
116. Kneale p. 422
117. Пирс, "Булева алгебра с одной константой", 1880 г. Сборник статей v. 4, пункты 12–20, перепечатано Сочинения v. 4, pp. 218-21. Google Предварительный просмотр.
118. Пер. Амер. Математика.Soc., Xiv (1913)., стр. 481–8. Теперь это известно как Инсульт Шеффера
119. Боченски 296
120. См. CP III
121. Джордж Буль. 1854/2003. «Законы мысли», факсимиле издания 1854 г., с введением Дж. Коркорана. Буффало: Книги Прометея (2003). Обзор Джеймса ван Эвра в книге «Philosophy in Review» 24 (2004) 167–169.
122. ДЖОН КОРКОРАН, «Предыдущая аналитика Аристотеля и булевые законы мысли», «История и философия логики», т. 24 (2003), стр. 261–288.
123. Kneale p. 435
124. Джевонс, Принципы науки, Лондон 1879, стр. 156, цитируется в Grundlagen 15
125. Бини п. 10 - полнота системы Фреге была в конечном итоге доказана Ян Лукасевич в 1934 г.
126. См., Например, аргумент средневекового логика Уильям Оккам что единичные предложения универсальны, в Summa Logicae III. 8 (??)
127. Фреге 1879 г. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFFrege1879 (Помогите) в van Heijenoort 1967, п. 7 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFvan_Heijenoort1967 (Помогите)
128. «О понятии и объекте» с. 198; Гич п. 48
129. BLC стр. 14, цитируется в Beaney p. 12
130. См. Например Интернет-энциклопедия философии, статья "Фреге"
131. Ван Хейенорт 1967, стр. 83
132. См. Например Поттер 2004
133. Цермело 1908
134. Феферман 1999 г. с. 1
135. Жирар, Жан-Ив; Пол Тейлор; Ив Лафон (1990) [1989]. Доказательства и типы. Издательство Кембриджского университета (Кембриджские трактаты по теоретической информатике, 7). ISBN  0-521-37181-3.
136. Алексей Сахаров. "Теорема исключения сечения". MathWorld.
137. Феферман и Феферман 2004, с. 122, обсуждая «Влияние теории истины Тарского».
138. Феферман 1999, стр. 1
139. См. Например Барвайз, Справочник по математической логике
140. Независимость гипотезы континуума, II Paul J. Cohen Proceedings Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Vol. 51, No. 1. (15 января 1964 г.), стр. 105–110.
141. Многие из основополагающих документов собраны в Неразрешимый (1965) под редакцией Мартина Дэвиса
142. Джерри Фодор "Вода везде вода ", Лондонское обозрение книг, 21 октября 2004 г.
143. Увидеть Философский анализ в двадцатом веке: том 2: эпоха смысла, Скотт Сомс: "Именование и необходимость входит в число самых важных работ, когда-либо существовавших, занимая место среди классических работ Фреге в конце девятнадцатого века и Рассела, Тарского и Витгенштейна в первой половине двадцатого века ». Цитируется по Byrne, Alex and Hall, Ned. 2004. «Необходимые истины». Бостон Обзор Октябрь / ноябрь 2004 г.

использованная литература

Основные источники

• Александр Афродисийский, В Aristotelis An. Пр. Lib. Я комментарий, изд. Wallies, Берлин, C.I.A.G. т. II / 1, 1882 г.
• Авиценна, Опера Авиценны Венеция 1508 г.
• Боэций Комментарий к Перигермении, Secunda Editio, ed. Мейзер, Лейпциг, Тойбнер, 1880 г.
• Больцано, Бернар Wissenschaftslehre, (1837) 4 Bde, Neudr., Hrsg. В. Шульц, Лейпциг I-II 1929, III 1930, IV 1931 (Теория науки, четыре тома, переведенные Рольфом Джорджем и Полом Русноком, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2014).
• Больцано, Бернар Теория науки (Отредактировано, с введением, Яном Бергом. Перевод с немецкого Бернхэма Террелла - D. Reidel Publishing Company, Dordrecht and Boston 1973).
• Буль, Джордж (1847) Математический анализ логики (Кембридж и Лондон); репр. в Исследования по логике и теории вероятностей, изд. Р. Риз (Лондон, 1952).
• Буль, Джордж (1854) Законы мысли (Лондон и Кембридж); репр. так как Собрание логических сочинений. Vol. 2, (Чикаго и Лондон: Открытый суд, 1940).
• Эпиктет, Epicteti Диссертация ab Arriano digestaeпод редакцией Генриха Шенкля, Лейпциг, Тойбнер. 1894 г.
• Фреге, Г., Логическое исчисление Буля и концептуальный сценарий, 1882 г., в Посмертные произведения перевод П. Лонг и Р. Уайт, 1969, стр. 9–46.
• Жергонн, Джозеф Диас, (1816) Essai de dialectique rationelle, в Анналы чистой математики и аппликации 7, 1816/7, 189–228.
• Джевонс, W.S. Принципы науки, Лондон 1879.
• Теория терминов Оккама: Часть I Summa Logicae, переведенный и представленный Майклом Дж. Луксом (Нотр-Дам, IN: University of Notre Dame Press 1974). Перепечатано: Саут-Бенд, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Теория предложений Оккама: Часть II Summa Logicae, переведенная Альфредом Дж. Фреддосо и Генри Шурманом и представленная Альфредом Дж. Фреддозо (Нотр-Дам, IN: University of Notre Dame Press, 1980). Перепечатано: Саут-Бенд, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Пирс, К., (1896), «Возрожденная логика», Монист, т. VII, №1, п. стр.19 -40, The Open Court Publishing Co., Чикаго, Иллинойс, 1896 г., для Института Гегелера. Переизданный (CP 3.425–455). Интернет-архив Монист 7.
• Секст Эмпирик, Против логиков. (Adversus Mathematicos VII и VIII). Ричард Бетт (перевод) Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2005. ISBN  0-521-53195-0.
• Цермело, Эрнст (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen. 65 (2): 261–281. Дои:10.1007 / BF01449999. S2CID  120085563. Английский перевод в Хейеноорт, Жан ван (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Источники по истории наук. Harvard Univ. Нажмите. С. 199–215. ISBN  978-0-674-32449-7..

Вторичные источники

• Барвайз, Джон, (ред.), Справочник по математической логике, Исследования по логике и основам математики, Амстердам, Северная Голландия, 1982 г. ISBN  978-0-444-86388-1 .
• Бини, Майкл, Читатель Фреге, Лондон: Блэквелл 1997.
• Боченски, Я., История формальной логики, Индиана, издательство Университета Нотр-Дам, 1961.
• Бонер, Филофей, Средневековая логика, Манчестер 1950.
• Бурокер, Джилл Вэнс (перевод и введение), А. Арно, П. Николь Логика или искусство мышления, Издательство Кембриджского университета, 1996, ISBN  0-521-48249-6.
• Церковь, Алонсо, 1936–8. «Библиография символической логики». Журнал символической логики 1: 121–218; 3:178–212.
• де Йонг, Эверард (1989), Галилео Галилей "Логические трактаты" и Джакомо Забарелла "Opera Logica": сравнение, Докторская диссертация, Вашингтон, округ Колумбия: Католический университет Америки.
• Эббесен, Стен "Теория ранних предположений (XII – XIII века)" Histoire, Épistémologie, Langage 3/1: 35–48 (1981).
• Фаррингтон, Б., Философия Френсис Бэкон, Ливерпуль, 1964.
• Феферман, Анита Б. (1999). «Альфред Тарский». Американская национальная биография. 21. Oxford University Press. С. 330–332. ISBN  978-0-19-512800-0.
• Феферман, Анита Б .; Феферман, Соломон (2004). Альфред Тарский: жизнь и логика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-80240-6. OCLC  54691904.
• Габбай, Дов и Джон Вудс, ред, Справочник по истории логики 2004. 1. Греческая, индийская и арабская логика; 2. Логика средневековья и ренессанса; 3. Возникновение современной логики: от Лейбница до Фреге; 4. Британская логика в девятнадцатом веке; 5. Логика от Рассела до Черча; 6. Наборы и пристройки в ХХ веке; 7. Логика и модальности в ХХ веке; 8. Многозначный и немонотонный поворот в логике; 9. Вычислительная логика; 10. Индуктивная логика; 11. Логика: история ее центральных понятий; Эльзевир, ISBN  0-444-51611-5.
• Гич, П. Логика имеет значение, Блэквелл 1972.
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм. Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-513580-6.
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна. Рутледж, ISBN  0-415-01929-X.
• Граттан-Гиннесс, Айвор, 2000. В поисках математических корней 1870–1940 гг.. Princeton University Press.
• Грасиа, Дж. и Noone, Т. Б., Соратник философии в средние века, Лондон 2003.
• Хаапаранта, Лейла (ред.) 2009. Развитие современной логики Издательство Оксфордского университета.
• Хит, Т., 1949. Математика у Аристотеля, Oxford University Press.
• Хит, Т.Л., 1931 г., Учебное пособие по греческой математике, Оксфорд (Clarendon Press ).
• Хондерих, Тед (ред.). Оксфордский компаньон философии (Нью-Йорк: Oxford University Press, 1995). ISBN  0-19-866132-0.
• Нил, Уильям и Марта, 1962. Развитие логики. Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-824773-7.
• Лукасевич, Силлогистика Аристотеля, Oxford University Press, 1951.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия, Oxford University Press.

внешние ссылки

• История логики от Аристотеля до Гёделя с аннотированной библиографией по истории логики
• Бобзен, Сюзанна. «Древняя логика». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Чатти, Салоуа. «Авиценна (Ибн Сина): Логика». Интернет-энциклопедия философии.
• Спруйт, Шутка. "Петр Испанский". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Пол Спейд "Мысли, слова и вещи" Введение в позднесредневековую логику и семантическую теорию
• Взгляды, изображения и биографии 171 логика Дэвид Маранс