Логика релевантности - Relevance logic

Логика релевантности, также называемый соответствующая логика, это своего рода не-классическая логика требуя предшествующий и последующий из последствия быть относящимся к делу. Их можно рассматривать как семью субструктурный или модальный логика. (Это обычно, но не всегда, называется соответствующая логика британцами и особенно австралийцами логики, и логика релевантности американских логиков.)

Логика релевантности направлена ​​на то, чтобы уловить аспекты значения, которые игнорируютсяматериальное значение "оператор в классическом истинностно-функциональная логика, а именно понятие релевантности между антецедентом и условием истинного импликации. Эта идея не нова: К. И. Льюис привели к созданию модальной логики, в частности строгое следствие, на том основании, что классическая логика дает парадоксы материального подтекста например принцип, что ложь подразумевает любое предложение.^[1][2] Следовательно, «если я осел, то два и два равно четырем» истинно, когда переводится как материальный подтекст, но это кажется интуитивно ложным, поскольку истинный подтекст должен связывать антецедент и следствие некоторым понятием релевантности. И осел я или нет, кажется, никоим образом не имеет отношения к тому, есть ли два и два четыре.

Как логика релевантности формально фиксирует понятие релевантности? С точки зрения синтаксического ограничения для пропозициональное исчисление, необходимо, но недостаточно, чтобы посылка и заключение разделяли атомарные формулы (формулы, не содержащие логические связки ). В исчисление предикатов, релевантность требует разделения переменных и констант между предпосылками и заключением. Это может быть обеспечено (наряду с более строгими условиями), например, путем наложения определенных ограничений на правила системы естественного вывода. В частности, в стиле Fitch естественный вычет могут быть адаптированы для обеспечения релевантности путем введения тегов в конце каждой строки приложения вывода, указывающих на предпосылки, относящиеся к выводу вывода. Gentzen -стиль последовательные исчисления можно изменить, удалив правила ослабления, которые позволяют вводить произвольные формулы в правой или левой части секвенты.

Примечательной особенностью логики релевантности является то, что они паранепротиворечивая логика: наличие противоречия не вызовет "взрыв ". Это следует из того факта, что условное выражение с противоречивым антецедентом, которое не разделяет пропозициональные или предикатные буквы с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).

История

Логика релевантности была предложена в 1928 году русским советским философом. Иван Евгеньевич Орлов (1886 - около 1936) в его строго математической статье «Логика совместимости предложений», опубликованной в «Математическом сборнике». Основная идея релевантной импликации появляется в средневековой логике, и некоторые новаторские работы были выполнены Аккерманн,^[3]Мох,^[4]и Церковь^[5]в 1950-е гг. Опираясь на них, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (с другими) написал magnum opus предмета, Привлечение: логика релевантности и необходимости в 1970-е годы (второй том выходит в девяностые годы). Они сосредоточились на обеих системах логическое следствие и системы релевантности, в которых предполагается, что последствия первого рода являются актуальными и необходимыми.

Аксиомы

Первые разработки логики релевантности были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Рутли – Мейера выявило ряд более слабых логик. Самой слабой из этих логик является логика релевантности B. Она аксиоматизирована следующими аксиомами и правилами.

1. ${\displaystyle A\to A}$
2. ${\displaystyle A\land B\to A}$
3. ${\displaystyle A\land B\to B}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)}$
5. ${\displaystyle A\to A\lor B}$
6. ${\displaystyle B\to A\lor B}$
7. ${\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)}$
8. ${\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}$
9. ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

Правила следующие.

1. ${\displaystyle A,A\to B\vdash B}$
2. ${\displaystyle A,B\vdash A\land B}$
3. ${\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}$
4. ${\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}$
5. ${\displaystyle A\to B\vdash \lnot B\to \lnot A}$

Более сильную логику можно получить, добавив любую из следующих аксиом.

1. ${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
2. ${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
3. ${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
5. ${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

Есть некоторые известные логики, более сильные, чем B, которые могут быть получены путем добавления аксиом к B следующим образом.

• Для DW добавьте аксиому 1.
• Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
• Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
• Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Для R добавьте аксиомы 1-11.
• Для E добавьте аксиомы 1-7, 10, 11, ${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$, и ${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$, где ${\displaystyle \Box A}$ определяется как ${\displaystyle (A\to A)\to A}$.
• Для RM добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели

Модели Рутли – Мейера

Стандартная теория моделей для логики релевантности - это тернарно-реляционная семантика Рутли-Мейера, разработанная Ричард Рутли и Роберт Мейер. Фрейм Раутли – Мейера F для языка высказываний - это четверка (W, R, *, 0), где W - непустое множество, R - тернарное отношение на W, а * - функция из W в W, и ${\displaystyle 0\in W}$. Модель Рутли-Мейера M представляет собой фрейм Раутли-Мейера F вместе с оценкой, ${\displaystyle \Vdash }$, который присваивает значение истинности каждому элементарному предложению относительно каждой точки ${\displaystyle a\in W}$. На фреймы Рутли-Мейера накладываются некоторые условия. Определить ${\displaystyle a\leq b}$ так как ${\displaystyle R0ab}$.

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Если ${\displaystyle a\leq b}$ и ${\displaystyle b\leq c}$, тогда ${\displaystyle a\leq c}$.
• Если ${\displaystyle d\leq a}$ и ${\displaystyle Rabc}$, тогда ${\displaystyle Rdbc}$.
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• Если ${\displaystyle a\leq b}$, тогда ${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$.

Написать ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\nVdash A}$ чтобы указать, что формула ${\displaystyle A}$ верно или неверно, соответственно, в точке ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle M}$. Одним из последних условий моделей Рутли-Мейера является условие наследственности.

• Если ${\displaystyle M,a\Vdash p}$ и ${\displaystyle a\leq b}$, тогда ${\displaystyle M,b\Vdash p}$, для всех атомарных предложений ${\displaystyle p}$.

С помощью индуктивного аргумента можно показать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя следующие условия истинности.

• Если ${\displaystyle M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle a\leq b}$, тогда ${\displaystyle M,b\Vdash A}$, для всех формул ${\displaystyle A}$.

Условия истинности сложных формул следующие.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$ или ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

Формула ${\displaystyle A}$ держит в модели ${\displaystyle M}$ так, на всякий случай ${\displaystyle M,0\Vdash A}$. Формула ${\displaystyle A}$ держится на раме ${\displaystyle F}$ тогда и только тогда, когда A выполняется в каждой модели ${\displaystyle (F,\Vdash )}$. Формула ${\displaystyle A}$ действительно в классе фреймов тогда и только тогда, когда A выполняется в каждом фрейме этого класса. Класс всех фреймов Рутли-Мейера, удовлетворяющих вышеуказанным условиям, подтверждает эту логику релевантности B. Можно получить фреймы Рутли-Мейера для других логик релевантности, наложив соответствующие ограничения на R и *. Эти условия легче сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Позволять ${\displaystyle Rabcd}$ быть определенным как ${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$, и разреши ${\displaystyle Ra(bc)d}$ быть определенным как ${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$. Некоторые из условий фрейма и аксиом, которые они подтверждают, следующие.

имя	Состояние рамы	Аксиома
Псевдо-модус поненс	${\displaystyle Raaa}$	${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
Префикс	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
Суффикс	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
Сокращение	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rabbc}$	${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
Конъюнктивный силлогизм	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Ra(ab)c}$	${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
Утверждение	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rbac}$	${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
Аксиома E	${\displaystyle Ra0a}$	${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
Аксиома смешивания	${\displaystyle Rabc\Rightarrow a\leq c}$ или ${\displaystyle b\leq c}$	${\displaystyle A\to (A\to A)}$
Reductio	${\displaystyle Raa^{*}a}$	${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
Противопоставление	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}}$	${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
Исключенный средний	${\displaystyle 0^{*}\leq 0}$	${\displaystyle A\lor \lnot A}$
Строгое ослабление импликации	${\displaystyle 0\leq a}$	${\displaystyle A\to (B\to B)}$
Ослабление	${\displaystyle Rabc\Rightarrow b\leq c}$	${\displaystyle A\to (B\to A)}$

Последние два условия подтверждают формы ослабления, избежать которых изначально была разработана логика релевантности. Они включены, чтобы показать гибкость моделей Рутли – Мейера.

Операционные модели

Операционные модели для безотрицательных фрагментов логики релевантности были разработаны Аласдер Уркхарт в его кандидатской диссертации и в последующей работе. Интуитивная идея, лежащая в основе операционных моделей, заключается в том, что точки в модели представляют собой фрагменты информации, а объединение информации, поддерживающей условное выражение, с информацией, поддерживающей его антецедент, дает некоторую информацию, поддерживающую консеквент. Поскольку операционные модели обычно не интерпретируют отрицание, в этом разделе будут рассмотрены только языки с условным выражением, соединением и дизъюнкцией.

Операционная рама ${\displaystyle F}$ это тройка ${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$, где ${\displaystyle K}$ непустое множество, ${\displaystyle 0\in K}$, и ${\displaystyle \cdot }$ это бинарная операция над ${\displaystyle K}$. У фреймов есть условия, некоторые из которых могут быть отброшены для моделирования другой логики. Условия, предложенные Уркартом для моделирования условной логики релевантности R, следующие.

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

В этих условиях операционный каркас представляет собой полурешетку соединения.

Операционная модель ${\displaystyle M}$ это рамка ${\displaystyle F}$ с оценкой ${\displaystyle V}$ который отображает пары точек и атомарные предложения в значения истинности, T или F. ${\displaystyle V}$ может быть расширен до оценки ${\displaystyle \Vdash }$ по комплексным формулам следующим образом.

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, для атомарных предложений
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$ или ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Формула ${\displaystyle A}$ держит в модели ${\displaystyle M}$ если только ${\displaystyle M,0\Vdash A}$. Формула ${\displaystyle A}$ действительно в классе моделей ${\displaystyle C}$ если и если это выполняется в каждой модели ${\displaystyle M\in C}$.

Условный фрагмент R корректен и полон по отношению к классу полурешеточных моделей. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией в собственном смысле сильнее, чем условный, конъюнктивный, дизъюнктивный фрагмент R. В частности, формула ${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$ допустимо для операционных моделей, но недопустимо в R. Логика, генерируемая операционными моделями для R, имеет полную систему аксиоматических доказательств, поскольку Комплект Штраф и Джеральду Чарлвуду. Чарлвуд также предоставил естественную систему вывода для логики, которая, как он доказал, эквивалентна аксиоматической системе. Чарлвуд показал, что его естественная система дедукции эквивалентна системе, предоставленной Даг Правиц.

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного выражения E путем добавления непустого набора миров ${\displaystyle W}$ и отношение доступности ${\displaystyle \leq }$ на ${\displaystyle W\times W}$ к кадрам. Отношение доступности должно быть рефлексивным и транзитивным, чтобы уловить идею о том, что условное выражение E имеет необходимость S4. Затем оценки отображают тройки элементарных предложений, точек и миров в значения истинности. Условие истинности для условного изменяется на следующее.

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного оператора T путем добавления отношения ${\displaystyle \leq }$ на ${\displaystyle K\times K}$. Отношение должно удовлетворять следующим условиям.

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Если ${\displaystyle x\leq y}$ и ${\displaystyle y\leq z}$, тогда ${\displaystyle x\leq z}$
• Если ${\displaystyle x\leq y}$, тогда ${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

Условие истинности для условного изменяется на следующее.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Есть два способа смоделировать логику релевантности TW и RW с операционными моделями. Первый способ - отказаться от условия, что ${\displaystyle x\cdot x=x}$. Второй способ - сохранить условия полурешетки на фреймах и добавить бинарное отношение, ${\displaystyle J}$, дизъюнкции к кадру. Для этих моделей условия истинности для условного выражения заменены на следующие, с добавлением упорядочения в случае TW.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Уркарт показал, что полурешеточная логика для R собственно сильнее, чем положительный фрагмент Р. Ллойд Хамберстон предоставил обогащение операционных моделей, которые допускали другое условие истинности для дизъюнкции. Полученный класс моделей порождает в точности положительный фрагмент R.

Алгебраические модели

Некоторым логикам релевантности можно дать алгебраические модели, например, логику R. Алгебраические структуры для R следующие: моноиды де Моргана, которые являются шестерками ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$ где

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$ это дистрибутив решетка с унарной операцией, ${\displaystyle \lnot }$ подчиняться законам ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$ и если ${\displaystyle x\leq y}$ тогда ${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$;
• ${\displaystyle e\in D}$, бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ является коммутативный (${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$) и ассоциативный (${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$), и ${\displaystyle e\circ x=x}$, т.е. ${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ является Абелев моноид с личность ${\displaystyle e}$;
• моноид решеточно упорядочен и удовлетворяет ${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$;
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; и
• если ${\displaystyle x\circ y\leq z}$, тогда ${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$.

Операция ${\displaystyle x\to y}$ интерпретация условного оператора R определяется как ${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$. Моноид де Моргана - это остаточная решетка, подчиняясь следующему условию остаточной суммы.

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

Интерпретация ${\displaystyle v}$ это гомоморфизм от языка высказываний к моноиду де Моргана ${\displaystyle M}$ такой, что

• ${\displaystyle v(p)\in D}$ для всех атомарных предложений,
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

Учитывая моноид де Моргана ${\displaystyle M}$ и интерпретация ${\displaystyle v}$, можно сказать, что формула ${\displaystyle A}$ держится ${\displaystyle v}$ так, на всякий случай ${\displaystyle e\leq v(A)}$. Формула ${\displaystyle A}$ справедливо только в том случае, если оно справедливо для всех интерпретаций на всех моноидах де Моргана. Логика R верна и полна для моноидов де Моргана.

Смотрите также

• Философский портал

• Non sequitur (логика)
• Соответствующая система типов, а система субструктурного типа

Рекомендации

1. Льюис, К. И. (1912). «Импликация и алгебра логики». Разум, 21(84):522–531.
2. Льюис, К. И. (1917). «Вопросы, касающиеся материального ущерба». Журнал философии, психологии и научных методов, 14:350–356.
3. Аккерманн, В. (1956), "Begründung einer strengen Implikation", Журнал символической логики, 21 (2): 113–128, JSTOR  2268750
4. Мох, Шоу-Квей (1950), "Теоремы дедукции и две новые логические системы", Методосы, 2: 56–75Мох Шоу-Квей, 1950, "," Methodos 2 56–75.
5. Черч, А. (1951), Слабая теория импликации в Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, Kommissions-Verlag Karl Alber, под редакцией А. Менне, А. Вильгельми и Х. Ангсила, стр. 22–37.

Библиография

• Алан Росс Андерсон и Нуэль Белнап, 1975. Ввод: логика актуальности и необходимости, т. я. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07192-6
• ------- и Дж. М. Данн, 1992. Ввод: логика актуальности и необходимости, т. II, Princeton University Press.
• Марес, Эдвин, и Мейер, Р. К., 2001, «Соответствующая логика», в Goble, Lou, ed., Руководство Блэквелла по философской логике. Блэквелл.
• Ричард Рутли, Вэл Пламвуд, Роберт К. Мейер и Росс Т. Брэди. Соответствующие логики и их соперники. Риджвью, 1982.
• Р. Брэди (ред.), Соответствующие логики и их соперники (Том II), Олдершот: Ашгейт, 2003.
• Уркхарт, Аласдер (1972). «Семантика релевантной логики» (PDF). Журнал символической логики. 37: 159–169. Дои:10.2307/2272559.
• Аласдер Уркхарт. Семантика вовлечения. Кандидатская диссертация, Питтсбургский университет, 1972 год.
• Каталин Бимбо, Логика релевантности, в Философия логики, Д. Жакетт (ред.), (Том 5 из Справочник по философии науки, Д. Габбей, П. Тагард, Дж. Вудс (ред.)), Elsevier (Северная Голландия), 2006 г., стр. 723–789.
• Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл. Логика релевантности. В Справочник по философской логике, Том 6, Ф. Гентнер и Д. Габбей (ред.), Дордрехт: Kluwer, 2002, стр. 1–136.
• Стивен Рид, Соответствующая логика, Оксфорд: Блэквелл, 1988.

внешняя ссылка

• Стэнфордская энциклопедия философии: "Логика релевантности "- Эдвин Марес.
• "Логика релевантности "- Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл.
• Соответствующая логика - Стивен Рид