Конструктивный анализ - Constructive analysis

В математика, конструктивный анализ является математический анализ сделано в соответствии с некоторыми принципами конструктивная математика. Это контрастирует с классический анализ, что (в данном контексте) просто означает анализ, выполненный в соответствии с (более распространенными) принципами классическая математика.

Вообще говоря, конструктивный анализ может воспроизводить теоремы классического анализа, но только применительно к разделимые пространства; Кроме того, к некоторым теоремам может потребоваться подход приближения Более того, многие классические теоремы можно сформулировать так, как логически эквивалентный в соответствии с классическая логика, но не все эти формы будут действительны при конструктивном анализе, который использует интуиционистская логика.

Примеры

Теорема о промежуточном значении

В качестве простого примера рассмотрим теорема о промежуточном значении (IVT). В классическом анализе IVT говорит, что при любом непрерывная функция ж из закрытый интервал [а,б] в реальная линия р, если ж(а) является отрицательный пока ж(б) является положительный, то существует настоящий номер c в таком интервале, что ж(c) точно нуль В конструктивном анализе это неверно, поскольку конструктивная интерпретация экзистенциальная количественная оценка («существует») требует, чтобы человек мог строить реальное число c (в том смысле, что его можно аппроксимировать с любой желаемой точностью Рациональное число ).Но если ж колеблется около нуля во время растяжения вдоль своего домена, то это не обязательно может быть сделано.

Однако конструктивный анализ предлагает несколько альтернативных формулировок IVT, каждая из которых эквивалентна обычной форме в классическом анализе, но не в конструктивном анализе. Например, при тех же условиях на ж как в классической теореме, при любом натуральное число п (независимо от того, насколько велико), существует (то есть мы можем построить) действительное число c_п в таком интервале, что абсолютная величина из ж(c_п) меньше 1 /пТо есть мы можем максимально приблизиться к нулю, даже если мы не можем построить c это дает нам точно нуль.

В качестве альтернативы можно сохранить тот же вывод, что и в классическом IVT - единичный c такой, что ж(c) равно нулю - при усилении условий на ж.Мы требуем, чтобы ж быть локально ненулевой, что означает, что с учетом любой точки Икс в интервале [а,б] и любое натуральное число м, существует (мы можем построить) действительное число у в таком интервале, что |у - Икс| < 1/м и |ж(у) | > 0. В этом случае желаемое число c может быть построено. Это сложное условие, но есть несколько других условий, которые подразумевают его и которые обычно выполняются; например, каждый аналитическая функция локально отличен от нуля (при условии, что он уже удовлетворяет ж(а) <0 и ж(б) > 0).

Чтобы еще раз рассмотреть этот пример, обратите внимание, что согласно классическая логика, если локально ненулевой условие не выполняется, то оно должно не выполняться в какой-то конкретный момент Икс; а потом ж(Икс) будет равно 0, так что IVT действительна автоматически. Таким образом, в классическом анализе, использующем классическую логику, для доказательства полной IVT достаточно доказать конструктивную версию. С этой точки зрения, полная IVT терпит неудачу в конструктивном анализе просто потому, что конструктивный анализ не принимает классическую логику. И наоборот, можно утверждать, что истинный смысл IVT, даже в классической математике, - это конструктивная версия, включающая локально ненулевой Условие, с полным IVT, за которым следует "чистая логика". Некоторые логики, признавая правильность классической математики, все же верят, что конструктивный подход позволяет лучше понять истинный смысл теорем во многом таким образом.

Принцип наименьшей верхней границы и компакты

Еще одно различие между классическим и конструктивным анализом состоит в том, что конструктивный анализ не принимает принцип наименьшей верхней границы, что любой подмножество реальной линии р имеет наименьшая верхняя граница (или супремум), возможно, бесконечно. Однако, как и в случае с теоремой о промежуточном значении, существует альтернативная версия; в конструктивном анализе любые расположен подмножество действительной прямой имеет верхнюю грань (здесь подмножество S из р является расположен если, когда Икс < у являются действительными числами, либо существует элемент s из S такой, что Икс < s, или же у является верхняя граница из S.) Опять же, это классически эквивалентно принципу полной наименьшей верхней границы, поскольку каждое множество находится в классической математике. И снова, хотя определение локализованного множества сложно, тем не менее ему удовлетворяют несколько обычно изучаемых множеств, включая все интервалы и компактные наборы.

Тесно с этим связано, в конструктивной математике меньше характеристик компактные пространства конструктивно действительны - или, с другой точки зрения, существует несколько различных концепций, которые классически эквивалентны, но не эквивалентны конструктивно. Действительно, если интервал [а,б] мы последовательно компактный при конструктивном анализе классическая IVT будет следовать из первого конструктивного варианта в примере; можно было найти c как кластерная точка из бесконечная последовательность (c_п)_п.

Несчетность действительных чисел

Диагональная конструкция в Теорема кантора является интуитивно действительный. Действительно, конструктивная составляющая диагонального аргумента уже появилась в работе Кантора.^[1] По словам Канамори, историческое искажение увековечено, что связывает диагонализацию с неконструктивностью. В результате реальные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$ бесчисленны в любой конструктивной системе. В некоторых модели, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является подсчетный.

Вариант, который можно найти в учебниках конструктивного анализа, может выглядеть следующим образом: «Пусть {а_п} быть последовательностью действительных чисел. Позволять Икс₀ и у₀ быть реальными числами, Икс₀ < у₀. Тогда существует действительное число Икс с Икс₀ ≤ Икс ≤ у₀ и Икс ≠ а_п (п ∈ Z⁺). . . Доказательство по существу принадлежит Кантору.диагональ «доказательство». (Теорема 1 в Эрретт Бишоп, Основы конструктивного анализа, 1967, стр.25.)

Последовательности действительных чисел обычно появляются в анализе. Конструктивный анализатор, отвергающий не только закон исключенного среднего но также ограниченный принцип всеведения и даже Принцип Маркова может использовать аксиома зависимого выбора для последовательностей вещественных чисел.

Смотрите также

• Математический портал

• Вычислимый анализ
• Неразложимость

Рекомендации

1. Акихиро Канамори, "Математическое развитие теории множеств от Кантора до Коэна", Бюллетень символической логики / Том 2 / Выпуск 01 / Март 1996 г., стр. 1-71.

дальнейшее чтение

• Бриджер, Марк (2007). Реальный анализ: конструктивный подход. Хобокен: Вайли. ISBN  0-471-79230-6.