Многозначная логика - Many-valued logic

В логика, а многозначная логика (также мульти- или же многозначная логика) это пропозициональное исчисление в котором больше двух ценности истины. Традиционно в Аристотель с логическое исчисление, было только два возможных значения (т. е. «истина» и «ложь») для любого предложение. Классический двузначная логика может быть продлен до п-значная логика за п больше 2. Наиболее популярными в литературе являются трехзначный (например., Лукасевича и Клини, которые принимают значения "истина", "ложь" и "неизвестно"), конечнозначный (конечное число значений) с более чем тремя значениями, а бесконечнозначный (бесконечно многозначные), например нечеткая логика и логика вероятности.

История

Первый известный классический логик, не полностью принимавший закон исключенного среднего был Аристотель (который, по иронии судьбы, также обычно считается первым классическим логиком и "отцом логики"^[1]). Аристотель признал, что не все его законы применимы к будущим событиям (De Interpretatione, гл. IX), но он не создал систему многозначной логики для объяснения этого изолированного замечания. Вплоть до наступления 20 века логики позже следовали Аристотелевская логика, который включает или предполагает закон исключенного среднего.

ХХ век вернул идею многозначной логики. Польский логик и философ Ян Лукасевич начал создавать системы многозначной логики в 1920 году, используя третье значение, «возможное», для решения проблем Аристотеля. парадокс морского боя. Между тем американский математик, Эмиль Л. Пост (1921) также ввел формулировку дополнительных степеней истинности с п ≥ 2, где п являются истинными ценностями. Позже Ян Лукасевич и Альфред Тарский вместе сформулировали логику п ценности истины, где п ≥ 2. В 1932 г. Ганс Райхенбах сформулировал логику многих истинностных значений, где п→∞. Курт Гёдель в 1932 г. показал, что интуиционистская логика это не конечно-многозначная логика, и определил систему Гёделевская логика промежуточное звено между классический и интуиционистская логика; такая логика известна как промежуточная логика.

Примеры

Основные статьи: Трехзначная логика, Четырехзначная логика, и Девятизначная логика

Клини (сильный) K₃ и жреческая логика п₃

Клини "(сильная) логика неопределенности" K₃ (иногда ${displaystyle K_{3}^{S}}$) и Священник "логика парадокса" добавляет третье "неопределенное" или "неопределенное" значение истинности я. Истина функционирует для отрицание (¬), соединение (∧), дизъюнкция (∨), значение (→K), и двухусловный (↔K) даются:^[2]

¬   Т F я я F Т

∧ Т я F Т Т я F я я я F F F F F

∨ Т я F Т Т Т Т я Т я я F Т я F

→K Т я F Т Т я F я Т я я F Т Т Т

↔K Т я F Т Т я F я я я я F F я Т

Разница между двумя логиками заключается в том, как тавтологии определены. В K₃ Только Т это назначенное значение истины, пока в п₃ обе Т и я есть (логическая формула считается тавтологией, если она дает указанное значение истинности). В логике Клини я может интерпретироваться как «недоопределенный», не являющийся ни истинным, ни ложным, в то время как в логике Приста я может быть истолковано как «сверхопределенное», будучи одновременно истинным и ложным. K₃ не имеет тавтологий, а п₃ имеет те же тавтологии, что и классическая двузначная логика.^[3]

Внутренняя трехзначная логика Бочвара

Другая логика - это «внутренняя» трехзначная логика Бочвара. ${displaystyle B_{3}^{I}}$, также называемую слабой трехзначной логикой Клини. За исключением отрицания и двусмысленности, все его таблицы истинности отличаются от приведенных выше.^[4]

∧+ Т я F Т Т я F я я я я F F я F

∨+ Т я F Т Т я Т я я я я F Т я F

→+ Т я F Т Т я F я я я я F Т я Т

Промежуточное значение истинности во «внутренней» логике Бочвара можно охарактеризовать как «заразное», потому что оно распространяется в формуле независимо от значения любой другой переменной.^[4]

Belnap логика (B₄)

Логика Белнапа B₄ сочетает K₃ и п₃. Переопределенное значение истинности здесь обозначено как B и недоопределенное значение истинности как N.

ж¬   Т F B B N N F Т

ж∧ Т B N F Т Т B N F B B B F F N N F N F F F F F F

ж∨ Т B N F Т Т Т Т Т B Т B Т B N Т Т N N F Т B N F

Гёделевская логика грамм_k и грамм_∞

В 1932 г. Гёдель определенный^[5] семья ${displaystyle G_{k}}$ многозначных логик с конечным числом значений истинности ${displaystyle 0,{ frac {1}{k-1}},{ frac {2}{k-1}},ldots { frac {k-2}{k-1}},1}$, Например ${displaystyle G_{3}}$ имеет истинные ценности ${displaystyle 0,{ frac {1}{2}},1}$ и ${displaystyle G_{4}}$ имеет ${displaystyle 0,{ frac {1}{3}},{ frac {2}{3}},1}$. Подобным образом он определил логику с бесконечным множеством значений истинности, ${displaystyle G_{infty }}$, в котором истинными ценностями являются все действительные числа в интервале ${displaystyle [0,1]}$. Обозначенное значение истинности в этих логиках равно 1.

Соединение ${displaystyle wedge }$ и дизъюнкция ${displaystyle vee }$ определяются соответственно как минимум и максимум операндов:

• ${displaystyle uwedge v:=min{u,v}}$
• ${displaystyle uvee v:=max{u,v}}$

Отрицание ${displaystyle eg _{G}}$ и последствия ${displaystyle {xrightarrow[{G}]{}}}$ определяются следующим образом:

• ${displaystyle {egin{aligned}eg _{G}u&={egin{cases}1,&{ ext{if }}u=0�,&{ ext{if }}u>0end{cases}}u{xrightarrow[{G}]{}}v&={egin{cases}1,&{ ext{if }}uleq vv,&{ ext{if }}u>vend{cases}}end{aligned}}}$

Логики Гёделя полностью аксиоматизируемы, то есть можно определить логическое исчисление, в котором все тавтологии доказуемы.

Логика Лукасевича L_v и L_∞

Последствия ${displaystyle {xrightarrow[{L}]{}}}$ и отрицание ${displaystyle {underset {L}{eg }}}$ были определены Ян Лукасевич с помощью следующих функций:

• ${displaystyle {underset {L}{eg }}u:=1-u}$
• ${displaystyle u{xrightarrow[{L}]{}}v:=min{1,1-u+v}}$

Впервые Лукасевич использовал это определение в 1920 году для своей трехзначной логики. ${displaystyle L_{3}}$, со значениями истинности ${displaystyle 0,{ frac {1}{2}},1}$. В 1922 году он разработал логику с бесконечным числом значений. ${displaystyle L_{infty }}$, в котором значения истинности охватывают действительные числа в интервале ${displaystyle [0,1]}$. В обоих случаях обозначенное значение истинности было 1.^[6]

Принимая значения истинности, определенные так же, как для логики Гёделя ${displaystyle 0,{ frac {1}{v-1}},{ frac {2}{v-1}},ldots ,{ frac {v-2}{v-1}},1}$, можно создать конечнозначное семейство логик ${displaystyle L_{v}}$, вышеупомянутый ${displaystyle L_{infty }}$ и логика ${displaystyle L_{aleph _{0}}}$, в котором значения истинности задаются рациональное число в интервале ${displaystyle [0,1]}$. Набор тавтологий в ${displaystyle L_{infty }}$ и ${displaystyle L_{aleph _{0}}}$ идентично.

Логика продукта Π

В логике продукта у нас есть значения истинности в интервале ${displaystyle [0,1]}$, соединение ${displaystyle odot }$ и следствие ${displaystyle {xrightarrow[{Pi }]{}}}$, определяемый следующим образом^[7]

• ${displaystyle uodot v:=uv}$
• ${displaystyle u{xrightarrow[{Pi }]{}}v:={egin{cases}1,&{ ext{if }}uleq v{frac {v}{u}},&{ ext{if }}u>vend{cases}}}$

Дополнительно есть отрицательное обозначенное значение ${displaystyle {overline {0}}}$ что обозначает понятие ложный. Через это значение можно определить отрицание ${displaystyle {underset {Pi }{eg }}}$ и дополнительное соединение ${displaystyle {underset {Pi }{wedge }}}$ следующее:

• ${displaystyle {underset {Pi }{eg }}u:=u{xrightarrow[{Pi }]{}}{overline {0}}}$
• ${displaystyle u{underset {Pi }{wedge }}v:=uodot (u{xrightarrow[{Pi }]{}}v)}$

Пост-логика п_м

В 1921 г. Почтовый определил семейство логик ${displaystyle P_{m}}$ с (как в ${displaystyle L_{v}}$ и ${displaystyle G_{k}}$) истинные ценности ${displaystyle 0,{ frac {1}{m-1}},{ frac {2}{m-1}},ldots ,{ frac {m-2}{m-1}},1}$. Отрицание ${displaystyle {underset {P}{eg }}}$ и соединение ${displaystyle {underset {P}{wedge }}}$ и дизъюнкция ${displaystyle {underset {P}{vee }}}$ определяются следующим образом:

• ${displaystyle {underset {P}{eg }}u:={egin{cases}1,&{ ext{if }}u=0u-{frac {1}{m-1}},&{ ext{if }}uot =0end{cases}}}$

• ${displaystyle u{underset {P}{wedge }}v:=min{u,v}}$
• ${displaystyle u{underset {P}{vee }}v:=max{u,v}}$

Роза логика

В 1951 г. Алан Роуз определил другое семейство логик для систем, истинностные значения которых образуют решетки. ("Системы логики, истинностные значения которых образуют решетки", Math. Annalen, том 123, декабрь 1951 г., стр. 152–165; источник ).

Семантика

Семантика матриц (логические матрицы)

Видеть Логическая матрица

Отношение к классической логике

Логика - это обычно системы, предназначенные для кодификации правил сохранения некоторых семантический свойство предложений через трансформации. В классическом логика, это свойство есть "правда". В действительном аргументе истинность производного предложения гарантируется, если предпосылки истинны вместе, потому что применение действительных шагов сохраняет свойство. Однако это свойство не обязательно должно быть «истиной»; вместо этого это может быть какое-то другое понятие.

Многозначные логики предназначены для сохранения свойства обозначения (или обозначения). Поскольку существует более двух значений истинности, правила вывода могут быть предназначены для сохранения большего, чем только то, что соответствует (в соответствующем смысле) истине. Например, в трехзначной логике иногда обозначаются два величайших значения истинности (когда они представлены, например, как положительные целые числа), и правила вывода сохраняют эти значения. Точнее, действительный аргумент будет таким, что ценность совместно взятых посылок всегда будет меньше или равна заключению.

Например, сохраненное свойство может быть оправдание, основополагающая концепция интуиционистская логика. Таким образом, предложение не является истинным или ложным; напротив, оно оправдано или ошибочно. Ключевое различие между оправданием и истиной в данном случае состоит в том, что закон исключенного среднего не выполняется: предложение, которое не ошибочно, не обязательно оправдано; вместо этого только не доказано, что это ошибочно. Ключевым отличием является определенность сохраняемого свойства: можно доказать, что п оправдано, что п ошибочен, либо не может доказать ни того, ни другого. Действительный аргумент сохраняет обоснованность при трансформациях, поэтому утверждение, полученное на основе обоснованных утверждений, остается обоснованным. Однако в классической логике есть доказательства, которые зависят от закона исключенного третьего; поскольку этот закон неприменим в рамках данной схемы, существуют утверждения, которые нельзя доказать таким образом.

Диссертация Сушко

Смотрите также: Принцип бивалентности § Тезис Сушко

Функциональная полнота многозначной логики

Функциональная полнота это термин, используемый для описания специального свойства конечных логик и алгебр. Набор связок логики называется функционально полный или же адекватный тогда и только тогда, когда его набор связок может быть использован для построения формулы, соответствующей всем возможным функция истины^[8]. Адекватная алгебра - это такая алгебра, в которой каждое конечное отображение переменных может быть выражено некоторой композицией его операций^[9].

Классическая логика: CL = ({0,1}, ¬, →, ∨, ∧, ↔) функционально полно, тогда как Логика Лукасевича или бесконечно многозначные логики обладают этим свойством^[9][10].

Мы можем определить конечно-многозначную логику как L_п ({1, 2, ..., п} ƒ₁, ..., ƒ_м) куда п ≥ 2 - заданное натуральное число. Почтовый (1921) доказывает, что предположение, что логика способна произвести функцию любого м^th порядковой модели существует некоторая соответствующая комбинация связок в адекватной логике L_п который может изготовить модель заказа м + 1 ^[11].

Приложения

Известные приложения многозначной логики можно условно разделить на две группы.^[12] Первая группа использует область многозначной логики для более эффективного решения бинарных задач. Например, хорошо известный подход к представлению булевой функции с несколькими выходами состоит в том, чтобы рассматривать ее выходную часть как одну многозначную переменную и преобразовывать ее в однозначную переменную. характеристическая функция (в частности, индикаторная функция ). Другие приложения многозначной логики включают создание программируемые логические массивы (PLA) с входными декодерами, оптимизация конечных автоматов, тестирование и проверка.

Вторая группа нацелена на разработку электронных схем, которые используют более двух дискретных уровней сигналов, таких как многозначная память, арифметические схемы и программируемые вентильные матрицы (ПЛИС). Многозначные схемы имеют ряд теоретических преимуществ перед стандартными двоичными схемами. Например, межсоединение на кристалле и за его пределами может быть уменьшено, если сигналы в схеме принимают четыре или более уровней, а не только два. В конструкции памяти хранение двух вместо одного бита информации на ячейку памяти удваивает плотность памяти при том же размере кристалла. Приложения, использующие арифметические схемы, часто выигрывают от использования альтернатив двоичным системам счисления. Например, остаток и избыточные системы счисления^[13] может уменьшить или устранить сквозняк которые участвуют в обычном двоичном сложении или вычитании, что приводит к высокоскоростным арифметическим операциям. Эти системы счисления имеют естественную реализацию с использованием многозначных схем. Однако практичность этих потенциальных преимуществ сильно зависит от наличия схемных реализаций, которые должны быть совместимы или конкурентоспособны с современными стандартными технологиями. Помимо помощи в проектировании электронных схем, многозначная логика широко используется для проверки схем на наличие неисправностей и дефектов. В основном все известные автоматическая генерация тестовой таблицы (ATG) алгоритмы, используемые для тестирования цифровых схем, требуют симулятора, который может разрешать 5-значную логику (0, 1, x, D, D ').^[14] Дополнительные значения - x, D и D '- представляют (1) неизвестный / неинициализированный, (2) 0 вместо 1 и (3) 1 вместо 0.

Площадки для исследований

An IEEE Международный симпозиум по многозначной логике (ISMVL) проводится ежегодно с 1970 года. В основном он обслуживает приложения в области цифрового дизайна и проверки.^[15] Также есть Журнал многозначной логики и мягких вычислений.^[16]

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

Математическая логика

• Степени истины
• Нечеткая логика
• Логика Гёделя
• Джайнская семизначная логика
• Клини логика
• Алгебра Клини (с инволюцией)
• Логика Лукасевича
• MV-алгебра
• Логика публикации
• Принцип двухвалентности
• А. Н. Приор
• Логика релевантности

Философская логика

• Ложная дилемма
• Му

Цифровая логика

• MVCML, многозначная логика текущего режима
• IEEE 1164 девятизначный стандарт для VHDL
• IEEE 1364 четырехзначный стандарт для Verilog
• Логика с тремя состояниями
• Шумовая логика

Рекомендации

1. Херли, Патрик. Краткое введение в логику, 9-е изд. (2006).
2. (Готвальд 2005, п. 19)
3. Хамберстон, Ллойд (2011). Связки. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр.201. ISBN  978-0-262-01654-4.
4. (Бергманн 2008, п. 80)
5. Гёдель, Курт (1932). "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül". Anzeiger der Akademie der Wissenschaften в Вене (69): 65f.
6. Крайзер, Лотар; Готвальд, Зигфрид; Стельцнер, Вернер (1990). Nichtklassische Logik. Eine Einführung. Берлин: Akademie-Verlag. стр. 41ff – 45ff. ISBN  978-3-05-000274-3.
7. Хаек, Петр: Нечеткая логика. В: Эдвард Н. Залта: Стэнфордская энциклопедия философии, Весна 2009. ([1] )
8. Смит, Николас (2012). Логика: законы истины. Издательство Пинстонского университета. п. 124.
9. Малиновский, Гжегож (1993). Многозначная логика. Кларендон Пресс. С. 26–27.
10. Церковь, Алонсо (1996). Введение в математическую логику. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-02906-1.
11. Пост, Эмиль Л. (1921). «Введение в общую теорию элементарных предложений». Американский журнал математики. 43 (3): 163–185. Дои:10.2307/2370324. HDL:2027 / uiuo.ark: / 13960 / t9j450f7q. ISSN  0002-9327. JSTOR  2370324.
12. Дуброва, Елена (2002). Синтез и оптимизация многозначной логики, в Hassoun S. и Sasao T., редакторы, Логический синтез и проверка, Kluwer Academic Publishers, стр. 89-114.
13. Мехер, Прамод Кумар; Валлс, Хавьер; Хуанг, Цо-Бин; Sridharan, K .; Махаратна, Кушик (22 августа 2008 г.). «50 лет CORDIC: алгоритмы, архитектуры и приложения» (PDF). IEEE Transactions on Circuits & Systems-I: Regular Papers (опубликовано 09.09.2009). 56 (9): 1893–1907. Дои:10.1109 / TCSI.2009.2025803. S2CID  5465045. Получено 2016-01-03.
14. Абрамовичи, Мирон; Брейер, Мелвин А .; Фридман, Артур Д. (1994). Тестирование цифровых систем и тестируемый дизайн. Нью-Йорк: Computer Science Press. п.183. ISBN  978-0-7803-1062-9.
15. http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/ismvl/index.html
16. «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2014-03-15. Получено 2011-08-12.

дальнейшее чтение

Общий

• Аугусто, Луис М. (2017). Многозначная логика: математическое и вычислительное введение. Лондон: публикации колледжа. 340 страниц. ISBN  978-1-84890-250-3. Страница в Интернете
• Безиау Ж.-Й. (1997), Что такое многозначная логика? Материалы 27-го Международного симпозиума по многозначной логике, Компьютерное общество IEEE, Лос-Аламитос, стр. 117–121.
• Малиновский, Грегор, (2001), Многозначная логика, в Гобле, Лу, изд., Руководство Блэквелла по философской логике. Блэквелл.
• Бергманн, Мерри (2008), Введение в многозначную и нечеткую логику: семантика, алгебры и системы вывода, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88128-9
• Чиньоли, Р. Л. О., Д'Отавиано, И., М. Л., Мундичи, Д., (2000). Алгебраические основы многозначного рассуждения. Kluwer.
• Малиновский, Гжегож (1993). Многозначная логика. Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-853787-8.
• С. Готвальд, Трактат о многозначной логике. Исследования в области логики и вычислений, т. 9, Research Studies Press: Baldock, Hertfordshire, England, 2001.
• Готвальд, Зигфрид (2005). «Многоценная логика» (PDF). Архивировано 3 марта 2016 года.
• Миллер, Д. Майкл; Торнтон, Митчелл А. (2008). Многозначная логика: концепции и представления. Синтез лекций по цифровым схемам и системам. 12. Издатели Morgan & Claypool. ISBN  978-1-59829-190-2.
• Гайек П., (1998), Метаматематика нечеткой логики. Kluwer. (Нечеткая логика понимается как многозначная логика sui generis.)

Специфический

• Александр Зиновьев, Философские проблемы многозначной логики, D. Reidel Publishing Company, 169с., 1963.
• Приор А. 1957 г., Время и модальность. Oxford University Press, основанный на его 1956 г. Джон Локк лекции
• Гогуэн J.A. 1968/69, Логика неточных понятий, Synthese, 19, 325–373.
• Чанг К.С. и Кейслер Х. Дж. 1966. Теория непрерывных моделей, Принстон, издательство Принстонского университета.
• Герла Г. 2001, Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт.
• Павелка Ю. 1979, О нечеткой логике I: многозначные правила вывода, Zeitschr. f. математика. Logik und Grundlagen d. Матем., 25, 45–52.
• Меткалф, Джордж; Оливетти, Никола; Дов М. Габбай (2008). Теория доказательства нечеткой логики. Springer. ISBN  978-1-4020-9408-8. Охватывает теорию доказательств многозначных логик в традициях Гайека.
• Хенле, Райнер (1993). Автоматическая дедукция в многозначной логике. Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-853989-6.
• Азеведо, Франциско (2003). Решение ограничений по многозначной логике: приложение к цифровым схемам. IOS Press. ISBN  978-1-58603-304-0.
• Болк, Леонард; Боровик, Петр (2003). Многозначная логика 2: автоматизированные рассуждения и практические приложения. Springer. ISBN  978-3-540-64507-8.
• Станкович, Радомир С .; Astola, Jaakko T .; Морага, Клаудио (2012). Представление многозначных логических функций.. Издатели Morgan & Claypool. Дои:10.2200 / S00420ED1V01Y201205DCS037. ISBN  978-1-60845-942-1.
• Абрамовичи, Мирон; Брейер, Мелвин А .; Фридман, Артур Д. (1994). Тестирование цифровых систем и тестируемый дизайн. Нью-Йорк: Computer Science Press. ISBN  978-0-7803-1062-9.

внешняя ссылка

• Готвальд, Зигфрид (2009). «Многоценная логика». Стэнфордская энциклопедия философии. Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• Стэнфордская энциклопедия философии: "Истинные ценности "- Ярослав Шрамко и Генрих Вансинг.
• IEEE Computer Society с Технический комитет по многозначной логике
• Ресурсы для многозначной логики Райнер Хэнле, Университет Чалмерса
• Многозначный сервер Logics W3 (в архиве)
• Ярослав Шрамко и Генрих Вансинг (2014). "Диссертация Сушко". Стэнфордская энциклопедия философии.
• Карлос Калейро, Вальтер Карниелли, Марсело Э. Конильо и Жоао Маркос, Компания двоих: «Обман многих логических ценностей» в Жан-Ив Безио, изд. (2007). Logica Universalis: к общей теории логики (2-е изд.). Springer Science & Business Media. С. 174–194. ISBN  978-3-7643-8354-1.