Операции с нечеткими множествами - Fuzzy set operations

А операция нечеткого множества является операция на нечеткие множества. Эти операции являются обобщением хрустящий набор операции. Есть несколько возможных обобщений. Наиболее широко используемые операции называются стандартные операции с нечеткими множествами. Есть три операции: нечеткие дополнения, нечеткие пересечения, и нечеткие союзы.

Стандартные операции с нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества, причем A, B ⊆ U, u - любой элемент (например, значение) во вселенной U: u ∈ U.

Стандартное дополнение

${\displaystyle \mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)}$

Дополнение иногда обозначают как ∁А или А^∁ вместо того ¬А.

Стандартный перекресток

${\displaystyle \mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

Стандартный союз

${\displaystyle \mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

В общем случае тройка (i, u, n) называется Де Морган Триплет если только

• я t-норма,
• ты т-конорм (ака с-норма),
• п - это сильный отрицатель,

так что для всех Икс,y ∈ [0, 1] верно следующее:

ты(Икс,y) = п( я( п(Икс), п(y) ) )

(обобщенное соотношение Де Моргана).^[1] Это подразумевает аксиомы, подробно изложенные ниже.

Нечеткие дополнения

μ_А(Икс) определяется как степень, в которой Икс принадлежит А. Позволять ∁A обозначают нечеткое дополнение А типа c. потом μ_∁A(Икс) - степень, в которой Икс принадлежит ∁A, и степень, в которой Икс не принадлежит А. (μ_А(Икс), следовательно, степень, в которой Икс не принадлежит ∁A.) Пусть дополнение ∁А быть определенным функцией

c : [0,1] → [0,1]

Для всех Икс ∈ U: μ_∁A(Икс) = c(μ_А(Икс))

Аксиомы для нечетких дополнений

Аксиома c1. Граничное условие

c(0) = 1 и c(1) = 0

Аксиома c2. Монотонность

Для всех а, б ∈ [0, 1], если а < б, тогда c(а) > c(б)

Аксиома c3. Непрерывность

c - непрерывная функция.

Аксиома c4. Инволюции

c является инволюция, которое значит что c(c(а)) = а для каждого а ∈ [0,1]

c это сильный отрицатель (он же нечеткое дополнение).

Функция c, удовлетворяющая аксиомам c1 и c2, имеет хотя бы одну неподвижную точку a^* с c (a^*) = а^*, и если выполняется аксиома c3, то такая неподвижная точка ровно одна. Для стандартного отрицателя c (x) = 1-x единственной фиксированной точкой является^* = 0.5 .^[2]

Нечеткие пересечения

Основная статья: Т-норма

Пересечение двух нечетких множеств А и B в общем случае задается двоичной операцией на единичном интервале, функция вида

я:[0,1]×[0,1] → [0,1].

Для всех Икс ∈ U: μ_{А ∩ B}(Икс) = я[μ_А(Икс), μ_B(Икс)].

Аксиомы нечеткого пересечения

Аксиома i1. Граничное условие

я(а, 1) = а

Аксиома i2. Монотонность

б ≤ d подразумевает я(а, б) ≤ я(а, d)

Аксиома i3. Коммутативность

я(а, б) = я(б, а)

Аксиома i4. Ассоциативность

я(а, я(б, d)) = я(я(а, б), d)

Аксиома i5. Непрерывность

я является непрерывной функцией

Аксиома i6. Субидемпотентность

я(а, а) ≤ а

Аксиома i7. Строгая монотонность

я (а₁, б₁) ≤ я (а₂, б₂) если а₁ ≤ а₂ и б₁ ≤ б₂

Аксиомы с i1 по i4 определяют t-норма (он же нечеткое пересечение). Стандартная t-норма min является единственной идемпотентной t-нормой (т. Е. я (а₁, а₁) = а для всех а ∈ [0,1]).^[2]

Нечеткие союзы

Объединение двух нечетких множеств А и B задается в общем случае бинарной операцией над функцией единичного интервала вида

ты:[0,1]×[0,1] → [0,1].

Для всех Икс ∈ U: μ_{А ∪ B}(Икс) = ты[μ_А(Икс), μ_B(Икс)].

Аксиомы нечеткого союза

Аксиома u1. Граничное условие

ты(а, 0) =ты(0 ,а) = а

Аксиома u2. Монотонность

б ≤ d подразумевает ты(а, б) ≤ ты(а, d)

Аксиома u3. Коммутативность

ты(а, б) = ты(б, а)

Аксиома u4. Ассоциативность

ты(а, ты(б, d)) = ты(ты(а, б), d)

Аксиома u5. Непрерывность

ты является непрерывной функцией

Аксиома u6. Суперидемпотентность

ты(а, а) ≥ а

Аксиома u7. Строгая монотонность

а₁ < а₂ и б₁ < б₂ подразумевает ты(а₁, б₁) < ты(а₂, б₂)

Аксиомы от u1 до u4 определяют т-конорм (он же s-норма или нечеткое пересечение). Стандартная t-конорма max - единственная идемпотентная t-конорма (т.е. u (a1, a1) = a для всех a ∈ [0,1]).^[2]

Агрегационные операции

Операции агрегирования над нечеткими наборами - это операции, с помощью которых несколько нечетких наборов объединяются желаемым способом для получения единого нечеткого набора.

Операция агрегирования на п нечеткое множество (2 ≤ п) определяется функцией

час:[0,1]^п → [0,1]

Аксиомы для операций агрегирования нечетких множеств

Аксиома h1. Граничное условие

час(0, 0, ..., 0) = 0 и час(1, 1, ..., 1) = один

Аксиома h2. Монотонность

Для любой пары <а₁, а₂, ..., а_п> и <б₁, б₂, ..., б_п> из п-наборы такие, что а_я, б_я ∈ [0,1] для всех я ∈ N_п, если а_я ≤ б_я для всех я ∈ N_п, тогда час(а₁, а₂, ...,а_п) ≤ час(б₁, б₂, ..., б_п); это, час монотонно возрастает по всем своим аргументам.

Аксиома h3. Непрерывность

час - непрерывная функция.

Смотрите также

• Нечеткая логика
• Нечеткое множество
• Т-норма
• Нечеткие множества и системы типа 2
• Алгебра де Моргана

дальнейшее чтение

• Клир, Джордж Дж.; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения. Прентис Холл. ISBN  978-0131011717.

использованная литература

1. Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств, at: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
2. Гюнтер Рудольф: Вычислительный интеллект (PPS), Технический университет Дортмунда, Разработка алгоритмов LS11, зимний семестр 2009/10. Обратите внимание, что этот лист Power Point может иметь некоторые проблемы с отображением специальных символов.

• Л.А. Заде. Нечеткие множества. Информация и контроль, 8: 338–353, 1965.