Т-норма - T-norm

В математика, а t-норма (также Т-норма или, без сокращений, треугольная норма) является своего рода бинарная операция используется в рамках вероятностные метрические пространства И в многозначная логика особенно в нечеткая логика. T-норма обобщает пересечение в решетка и соединение в логика. Название треугольная норма относится к тому факту, что в рамках вероятностных метрических пространств t-нормы используются для обобщения неравенство треугольника обычных метрические пространства.

Определение

T-норма - это функция T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], который удовлетворяет следующим свойствам:

• Коммутативность: T (а, б) = Т (б, а)
• Монотонность: T (а, б) ≤ T (c, d) если а ≤ c и б ≤ d
• Ассоциативность: T (а, Т (б, c)) = T (T (а, б), c)
• Число 1 действует как элемент идентичности: T (а, 1) = а

Поскольку t-норма - это бинарная алгебраическая операция на интервале [0, 1] также распространены инфиксные алгебраические обозначения, при этом t-норма обычно обозначается через${\displaystyle *}$.

Определяющие условия t-нормы в точности соответствуют условиям частично упорядоченного абелева моноида на вещественном единичном интервале [0, 1]. (См.упорядоченная группа.) Моноидальная операция любого частично упорядоченного абелева моноида L поэтому некоторые авторы называют треугольная норма на L.

Мотивы и приложения

T-нормы являются обобщением обычных двузначных логическое соединение, изучаемых классической логикой, для нечеткая логика. Действительно, классическая булева конъюнкция коммутативна и ассоциативна. Свойство монотонности гарантирует, что степень правды соединения не уменьшается, если ценности истины союзов увеличиваются. Требование, чтобы 1 был тождественным элементом, соответствует интерпретации 1 как истинный (и, следовательно, 0 при ложный). Непрерывность, которая часто требуется и от нечеткого соединения, выражает идею о том, что, грубо говоря, очень небольшие изменения истинностных значений конъюнктов не должны макроскопически влиять на истинностное значение их соединения.

T-нормы также используются для построения пересечение из нечеткие множества или в качестве основы для операторов агрегирования (см. операции с нечеткими множествами ). В вероятностные метрические пространства, t-нормы используются для обобщения неравенство треугольника обычных метрических пространств. Индивидуальные t-нормы, конечно, могут часто встречаться в дальнейших дисциплинах математики, так как класс содержит много знакомых функций.

Классификация t-норм

T-норма называется непрерывный если это непрерывный как функция, в обычной интервальной топологии на [0, 1]². (Аналогично для оставили- и право-непрерывность.)

T-норма называется строгий если он непрерывен и строго монотонный.

T-норма называется нильпотентный если он непрерывен и каждый Икс в открытом интервале (0, 1) его нильпотентный элемент, т.е. есть натуральное число п такой, что Икс ${\displaystyle *}$ ... ${\displaystyle *}$ Икс (п раз) равно 0.

T-норма ${\displaystyle *}$ называется Архимедов если у него есть Архимедова собственность, т.е. если для каждого Икс, у в открытом интервале (0, 1) есть натуральное число п такой, что Икс ${\displaystyle *}$ ... ${\displaystyle *}$ Икс (п раз) меньше или равно у.

Обычное частичное упорядочение t-норм поточечное, т. Е.

Т₁ ≤ т₂ Если T₁(а, б) ≤ T₂(а, б) для всех а, б в [0, 1].

Как функции, поточечные большие t-нормы иногда называют сильнее чем те точечно меньшие. Однако в семантике нечеткой логики чем больше t-норма, тем слабее (с точки зрения логической силы) соединение, которое оно представляет.

Выдающиеся примеры

График минимальной t-нормы (3D и контуры)

• Минимальная t-норма ${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$ также называется Т-норма Гёделя, поскольку это стандартная семантика для конъюнкции в Нечеткая логика Гёделя. Кроме того, он встречается в большинстве нечетких логик, основанных на t-норме, как стандартная семантика для слабой конъюнкции. Это поточечная наибольшая t-норма (см. свойства t-норм ниже).

График t-нормы продукта

• T-норма продукта ${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$ (обычное произведение действительных чисел). Помимо других применений, t-норма продукта является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткая логика продукта. Это строгая архимедова t-норма.

График t-нормы Лукасевича

• Лукасевич t-норма ${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$ Название происходит от того факта, что t-норма является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в Нечеткая логика Лукасевича. Это нильпотентная архимедова t-норма, поточечно меньшая, чем t-норма произведения.

График резкой t-нормы. Функция разрывна на линиях 0 < Икс = 1 и 0 < у = 1.

• Резкая t-норма

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=1\\a&{\mbox{if }}b=1\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Название отражает тот факт, что экстремальная t-норма - это поточечно наименьшая t-норма (см. свойства t-норм ниже). Это непрерывная справа архимедова t-норма.

График нильпотентного минимума. Функция разрывная на прямой 0 < Икс = 1 − у < 1.

• Нильпотентный минимум

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{if }}a+b>1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

является стандартным примером t-нормы, которая непрерывна слева, но не непрерывна. Несмотря на свое название, нильпотентный минимум не является нильпотентной t-нормой.

График продукта Hamacher

• Продукция Hamacher

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

является строгой архимедовой t-нормой и важным представителем параметрических классов Т-нормы Hamacher и T-нормы Швейцера – Склара.

Свойства t-норм

Резкая t-норма - это поточечная наименьшая t-норма, а минимальная - поточечная наибольшая t-норма:

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$ для любой t-нормы ${\displaystyle \top }$ и все а, б в [0, 1].

Для каждой t-нормы T число 0 действует как нулевой элемент: T (а, 0) = 0 для всех а в [0, 1].

T-норма T имеет делители нуля если и только если у него есть нильпотентный элементы; каждый нильпотентный элемент T также является делителем нуля T. Множество всех нильпотентных элементов представляет собой интервал [0,а] или [0,а), для некоторых а в [0, 1].

Свойства непрерывных t-норм

Хотя действительные функции двух переменных могут быть непрерывными по каждой переменной, но не по [0, 1]², это не относится к t-нормам: t-норма T непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна по одной переменной, т. е. тогда и только тогда, когда функции ж_у(Икс) = Т (Икс, у) непрерывны для каждого у в [0, 1]. Аналогичные теоремы верны для непрерывности t-нормы слева и справа.

Непрерывная t-норма архимедова тогда и только тогда, когда 0 и 1 являются ее единственными идемпотенты.

Непрерывная архимедова t-норма является строгой, если 0 является ее единственным нильпотентный элемент; в противном случае он нильпотентен. Более того, по определению непрерывная архимедова t-норма T нильпотентна тогда и только тогда, когда каждый Икс <1 является нильпотентным элементом T. Таким образом, с непрерывной архимедовой t-нормой T либо все, либо ни один из элементов (0, 1) нильпотентны. Если все элементы в (0, 1) нильпотентны, то t-норма изоморфна t-норме Лукасевича; т.е. существует строго возрастающая функция ж такой, что

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

С другой стороны, если в T нет нильпотентных элементов, t-норма изоморфна t-норме произведения. Другими словами, все нильпотентные t-нормы изоморфны, t-норма Лукасевича является их прототипическим представителем; и все строгие t-нормы изоморфны, а t-норма произведения является их прототипом. T-норма Лукасевича сама изоморфна t-норме произведения с подрезкой в ​​0,25, т. Е. Функции п(Икс, у) = макс (0,25, Икс · у) на [0.25, 1]².

Для каждой непрерывной t-нормы множество ее идемпотентов является замкнутым подмножеством [0, 1]. Его дополнение - множество всех элементов, которые не являются идемпотентными, - поэтому объединение счетного числа неперекрывающихся открытых интервалов. Ограничение t-нормы на любой из этих интервалов (включая его конечные точки) архимедово и, следовательно, изоморфно t-норме Лукасевича или t-норме произведения. Для таких Икс, у которые не попадают в тот же открытый интервал неидемпотентов, t-норма оценивается как минимум Икс и у. Эти условия фактически дают характеристику непрерывных t-норм, называемых Теорема Мостерта – Шилдса, так как таким образом может быть разложена всякая непрерывная t-норма, и описанная конструкция всегда дает непрерывную t-норму. Теорема также может быть сформулирована следующим образом:

T-норма непрерывна тогда и только тогда, когда она изоморфна порядковая сумма минимума, Лукасевича и t-нормы произведения.

Аналогичная характеризационная теорема для прерывных t-норм неизвестна (даже для непрерывных слева), только некоторые неисчерпывающие методы для построение t-норм были найдены.

Остаток

Для любой непрерывной слева t-нормы ${\displaystyle \top }$, есть уникальная бинарная операция ${\displaystyle \Rightarrow }$ на [0, 1] такие, что

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$ если и только если ${\displaystyle z\leq (x\Rightarrow y)}$

для всех Икс, у, z в [0, 1]. Эта операция называется остаток t-нормы. В префиксной записи остаток до t-нормы ${\displaystyle \top }$ часто обозначается как ${\displaystyle {\vec {\top }}}$ или буквой Р.

Интервал [0, 1], снабженный t-нормой и его остатком, образует остаточная решетка. Отношение между t-нормой T и ее остатком R является примером примыкание (в частности, Связь Галуа ): остаток образует правый сопряженный R (Икс, -) к функтору T (-, Икс) для каждого Икс в решетке [0, 1], взятой в качестве категория poset.

В стандартной семантике нечетких логик, основанных на t-норме, где конъюнкция интерпретируется t-нормой, остаток играет роль импликации (часто называемой R-импликация).

Основные свойства остатка

Если ${\displaystyle \Rightarrow }$ является вычетом непрерывной слева t-нормы ${\displaystyle \top }$, тогда

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

Следовательно, для всех Икс, у в единичном интервале,

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$ если и только если ${\displaystyle x\leq y}$

и

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

Если ${\displaystyle *}$ является непрерывной слева t-нормой и ${\displaystyle \Rightarrow }$ его остаток, то

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

Если ${\displaystyle *}$ непрерывно, то в первом равенство выполняется.

Вычетов выдающихся непрерывных слева t-норм

Если Икс ≤ у, то R (Икс, у) = 1 для любого остатка R. Поэтому в следующей таблице приведены значения выдающегося остатка только для Икс > у.

Остаток	Имя	Значение для Икс > у	График
Минимальная t-норма	Стандартная импликация Гёделя	у	Стандартная импликация Гёделя. Функция разрывная на линии у = Икс < 1.
T-норма продукта	Гогуэн значение	у / Икс	Смысл Гогена. Функция разрывна в точке Икс = у = 0.
Лукасевич t-норма	Стандартная импликация Лукасевича	1 – Икс + у	Стандартная импликация Лукасевича.
Нильпотентный минимум		макс (1 - Икс, у)	Остаток нильпотентного минимума. Функция разрывная на прямой 0 < у = Икс < 1.

Т-конормы

Т-конормы (также называемый S-нормы) двойственны t-нормам при операции изменения порядка, которая присваивает 1 - Икс к Икс на [0, 1]. Учитывая t-норму ${\displaystyle \top }$, дополнительная конорма определяется формулой

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

Это обобщает Законы де Моргана.

Отсюда следует, что t-конорма удовлетворяет следующим условиям, которые можно использовать для эквивалентного аксиоматического определения t-конорм независимо от t-норм:

• Коммутативность: ⊥ (а, б) = ⊥(б, а)
• Монотонность: ⊥ (а, б) ≤ ⊥(c, d) если а ≤ c и б ≤ d
• Ассоциативность: ⊥ (а, ⊥(б, c)) = ⊥(⊥(а, б), c)
• Элемент идентичности: ⊥ (а, 0) = а

Т-конормы используются для представления логическая дизъюнкция в нечеткая логика и союз в теория нечетких множеств.

Примеры т-конорм

Важными t-конормами являются те, которые двойственны известным t-нормам:

График максимальной t-конормы (3D и контуры)

• Максимальный t-конорм ${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$, двойственная минимальной t-норме, является наименьшей t-конормой (см. свойства т-конорм ниже). Это стандартная семантика дизъюнкции в Нечеткая логика Гёделя и для слабой дизъюнкции во всех нечетких логиках, основанных на t-норме.

График вероятностной суммы

• Вероятностная сумма ${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+b-a\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$ двойственна t-норме произведения. В теория вероятности он выражает вероятность объединения независимых События. Это также стандартная семантика для сильной дизъюнкции в таких расширениях нечеткая логика продукта в которых она определима (например, содержащие инволютивное отрицание).

График t-конормы ограниченной суммы

• Ограниченная сумма ${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$ двойственна t-норме Лукасевича. Это стандартная семантика сильной дизъюнкции в Нечеткая логика Лукасевича.

График резкого т-конорма. На линиях 1> функция разрывная. Икс = 0 и 1> у = 0.

• Резкий т-конорм

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

двойственная к радикальной t-норме, является наибольшей t-конормой (см. свойства т-конорм ниже).

График нильпотентного максимума. Функция разрывная на прямой 0 < Икс = 1 – у < 1.

• Нильпотентный максимум, двойственный нильпотентному минимуму:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

График суммы Эйнштейна

• Сумма Эйнштейна (сравните формула сложения скоростей по специальной теории относительности)

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

является двойником к одному из Т-нормы Hamacher.

Свойства т-конорм

Многие свойства t-конорм могут быть получены путем дуализации свойств t-норм, например:

• Для любой t-конормы ⊥ число 1 является аннулирующим элементом: ⊥ (а, 1) = 1, для любого а в [0, 1].
• По отношению к t-нормам все t-конормы ограничены максимумом и сильной t-конормой:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, для любого т-конорма ${\displaystyle \bot }$ и все а, б в [0, 1].

Дальнейшие свойства являются результатом отношений между t-нормами и t-конормами или их взаимодействием с другими операторами, например:

• T-норма T распределяет над t-конормой ⊥, т. е.

Т (Икс, ⊥(у, z)) = ⊥ (T (Икс, у), Т (Икс, z)) для всех Икс, у, z в [0, 1],

тогда и только тогда, когда ⊥ - максимальная t-конорма. Соответственно, любая t-конорма распределяется по минимуму, но не по любой другой t-норме.

Нестандартные отрицатели

А отрицатель ${\displaystyle n:[0,1]\to [0,1]}$ это однообразный падение, я. е. отображение обратного порядка с ${\displaystyle n(0)=1}$ и ${\displaystyle n(1)=0}$ (в других обозначениях: ${\displaystyle 0\mapsto 1}$ и ${\displaystyle 1\mapsto 0}$). Негатор n называется

• строгий в случае строгой монотонности
• сильный если он строгий и инволютивный (см .: инволюция ): ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x\in [0,1]:n(n(x))=x}$.

Стандартный (канонический) отрицатель - это ${\displaystyle n(x)=1-x,x\in [0,1]}$, который одновременно строг и силен. Поскольку в приведенном выше определении пары t-норма / t-конорма используется стандартный отрицатель, его можно обобщить следующим образом:

А Де Морган Триплет является тройкой (T, ⊥, n) если только (если и только если)

1. T - t-норма
2. ⊥ является t-конормой в соответствии с аксиоматическим определением t-конорм, упомянутым выше.
3. n - сильный отрицатель
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]:\,n(\perp (a,b))=\top (n(a),n(b))}$.

^[1]

Смотрите также

• Построение t-норм
• Нечеткие логики T-нормы

Рекомендации

1. Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств, at: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.

• Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы. Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-6416-3.
• Гайек, Петр (1998), Метаматематика нечеткой логики. Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-5238-6
• Cignoli, Roberto L.O .; D'Ottaviano, Itala M.L .; и Мундичи, Даниэле (2000), Алгебраические основы многозначного мышления. Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-6009-5
• Фодор, Янош (2004), «Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор». Acta Polytechnica Hungarica 1(2), ISSN  1785-8860 [1]