Интуиционизм - Intuitionism

Эта статья об интуиционизме в математике и философской логике. О термине в моральной эпистемологии см. Этический интуиционизм.

в философия математики, интуиционизм, или же неоинтуиционизм (в отличие от преинтуиционизм ), это подход, в котором математика считается исключительно результатом конструктивной умственной деятельности людей, а не открытия фундаментальных принципов, которые, как утверждается, существуют в объективной реальности. То есть логика и математика не считаются аналитической деятельностью, в которой раскрываются и применяются глубокие свойства объективной реальности, а вместо этого рассматриваются как применение внутренне согласованных методов, используемых для реализации более сложных мысленных конструкций, независимо от их возможного независимого существования в объективной реальности. .

Правда и доказательство

Основная отличительная черта интуиционизма - это его интерпретация того, что означает истинность математического утверждения. В Брауэра В оригинальном интуиционизме истинность математического утверждения является субъективным утверждением: математическое утверждение соответствует мысленной конструкции, и математик может утверждать истинность утверждения, только проверяя достоверность этой конструкции с помощью интуиция. Расплывчатость интуиционистского представления об истине часто приводит к неправильному толкованию ее значения. Клини формально определенная интуиционистская истина с реалистической позиции, однако Брауэр, вероятно, отверг бы эту формализацию как бессмысленную, учитывая его отказ от реалистической / платонистской позиции. Поэтому интуиционистская истина остается несколько неопределенной. Однако, поскольку интуиционистское понятие истины более ограничено, чем у классической математики, интуиционист должен отвергнуть некоторые допущения классической логики, чтобы убедиться, что все, что они доказывают, на самом деле интуиционистски верно. Это порождает интуиционистская логика.

Для интуициониста утверждение, что объект с определенными свойствами существует, является утверждением, что объект с этими свойствами может быть сконструирован. Любой математический объект считается продуктом построения разум, а значит, существование объекта равносильно возможности его построения. Это контрастирует с классическим подходом, который утверждает, что существование объекта можно доказать, опровергнув его несуществование. Для интуициониста это неверно; опровержение несуществования не означает, что можно найти конструкцию для предполагаемого объекта, как это требуется для утверждения его существования. Таким образом, интуиционизм - это разновидность математический конструктивизм; но это не единственный вид.

Интерпретация отрицание в интуиционистской логике отличается от классической логики. В классической логике отрицание утверждения утверждает, что это утверждение ложный; для интуициониста это означает, что утверждение опровергнутый[1](т.е. что существует контрпример ). Таким образом, в интуиционизме существует асимметрия между положительным и отрицательным утверждениями. Если заявление п доказуемо, то, конечно, невозможно доказать, что нет доказательства п. Но даже если можно показать, что нет опровержения п возможно, из этого отсутствия мы не можем сделать вывод, что там является доказательство п. Таким образом п более сильное утверждение, чем не-не-П.

Аналогично, чтобы утверждать, что А или же B интуиционист считает, что либо А или же B возможно доказано. В частности, закон исключенного среднего, "А или же нет А", не считается действующим принципом. Например, если А это какое-то математическое утверждение, которое интуиционист еще не доказал или не опроверг, то этот интуиционист не будет утверждать истинность "А или нет А". Однако интуиционист согласится с этим"А и нет А"не может быть правдой. Таким образом, связки" и "и" или "интуиционистской логики не удовлетворяют законы де Моргана как в классической логике.

Интуиционистская логика заменяет конструктивность абстрактным правда и связан с переходом от доказательства теория моделей абстрагироваться правда в современной математике. Логическое исчисление сохраняет обоснование, а не истину, при преобразованиях, приводящих к производным суждениям. Считалось, что это дает философскую поддержку нескольким философским школам, в первую очередь Антиреализм из Майкл Даммит. Таким образом, вопреки первому впечатлению, которое может произвести его название, и реализовано в конкретных подходах и дисциплинах (например, Нечеткие множества и системы), интуиционистская математика более строгая, чем математика, основанная на традиционных принципах, где, по иронии судьбы, фундаментальные элементы, которые интуиционизм пытается построить / опровергнуть / переосмыслить, принимаются как интуитивно данные.

бесконечность

Среди различных формулировок интуиционизма есть несколько различных позиций относительно значения и реальности бесконечности.

Период, термин потенциальная бесконечность относится к математической процедуре, в которой есть бесконечная серия шагов. После завершения каждого шага всегда остается выполнить еще один шаг. Например, рассмотрим процесс подсчета: 1, 2, 3, ...

Период, термин актуальная бесконечность относится к завершенному математическому объекту, который содержит бесконечное количество элементов. Примером может служить набор натуральные числа, N = {1, 2, ...}.

В формулировке теории множеств Кантора существует множество различных бесконечных множеств, некоторые из которых больше других. Например, набор всех действительных чисел р больше чем N, потому что любая процедура, которую вы пытаетесь использовать, чтобы привести натуральные числа во взаимно однозначное соответствие с действительными числами, всегда будет терпеть неудачу: всегда будет бесконечное количество действительных чисел, "оставшихся". Любое бесконечное множество, которое может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется «счетным» или «счетным». Бесконечные множества, превышающие это, называются «несчетными».[2]

Теория множеств Кантора привела к аксиоматической системе Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC), сейчас самый распространенный фундамент современной математики. Отчасти интуиционизм возник как реакция на теорию множеств Кантора.

Современное конструктивная теория множеств включает аксиому бесконечности из ZFC (или исправленную версию этой аксиомы) и множество N натуральных чисел. Большинство современных конструктивных математиков признают реальность счетно бесконечных множеств (однако см. Александр Есенин-Вольпин для контрпримера).

Брауэр отверг концепцию актуальной бесконечности, но признал идею потенциальной бесконечности.

«Согласно Вейлю 1946 года» Брауэр ясно дал понять, что я считаю вне всяких сомнений, что нет никаких доказательств, подтверждающих веру в экзистенциальный характер совокупности всех натуральных чисел ... последовательности чисел, которая выходит за пределы любой стадии уже достигнутый переходом к следующему числу, представляет собой множество возможностей, открывающихся к бесконечности; он навсегда остается в статусе творения, но не является закрытым царством вещей, существующих в себе. То, что мы слепо преобразовали одно в другое, является истинным источник наших трудностей, включая антиномии - источник более фундаментального характера, чем показал принцип порочного круга Рассела. Брауэр открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько далеко классическая математика, питаемая верой в `` абсолют '', которая превосходит все человеческие возможности реализация, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на доказательствах ". (Клини (1952): Введение в метаматематику, п. 48-49)

История

Историю интуиционизма можно проследить до двух противоречий в математике девятнадцатого века.

Первым из них было изобретение трансфинитная арифметика к Георг Кантор и его последующее отклонение рядом выдающихся математиков, включая самого известного его учителя Леопольд Кронекер - подтверждено финишер.

Второй из них был Готтлоб Фреге попыток свести всю математику к логической формулировке с помощью теории множеств и ее крушение молодым Бертран Рассел, первооткрыватель Парадокс Рассела. Фреге планировал выпустить трехтомный окончательный труд, но как раз перед выходом второго тома Рассел послал Фреге письмо, в котором излагал свой парадокс, который демонстрировал, что одно из правил Фреге самоотнесения противоречиво. В приложении ко второму тому Фреге признал, что одна из аксиом его системы действительно привела к парадоксу Рассела.[3]

Рассказывают, что Фреге погрузился в депрессию и не опубликовал третий том своей работы, как планировал. Подробнее см. Дэвис (2000), главы 3 и 4: Фреге: От прорыва к отчаянию и Кантор: Объезд через бесконечность. См. Оригинальные работы ван Хейенурта и комментарии ван Хейеноорта.

Эти противоречия тесно связаны, поскольку логические методы, используемые Кантором при доказательстве своих результатов в трансфинитной арифметике, по существу такие же, как те, которые использовал Рассел при построении своего парадокса. Следовательно, решение парадокса Рассела напрямую влияет на статус трансфинитной арифметики Кантора.

В начале ХХ века Л. Э. Дж. Брауэр представлял интуиционист положение и Дэвид Гильберт то формалист положение - см. ван Хейеноорт. Курт Гёдель предложенные мнения, называемые Платоник (см. различные источники по Гёделю). Алан Тьюринг считает: "неконструктивным системы логики при котором не все шаги в доказательстве являются механическими, а некоторые интуитивно понятны ». (Turing 1939, перепечатано в Davis 2004, p. 210). Стивен Коул Клини представил более рациональное рассмотрение интуиционизма в своем «Введении в метаматематику» (1952).

Авторы

Разделы интуиционистской математики

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Имре Лакатош (2015) [1976]. Доказательства и опровержения Логика математических открытий. Кембриджская философская классика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-11346-6.
  2. ^ объяснил на Мощность континуума
  3. ^ См. «Фреге о парадоксе Рассела» в Переводы философских сочинений Готлоба Фреге, отредактированный Питером Гичем и Максом Блэком, Бэзил Блэквелл, Оксфорд, 1960, стр. 234–44; переведено с Grudgesetze der Arithmetik, Vol. ii, Приложение, стр. 253–65

дальнейшее чтение

В Глава 39., применительно к Энглину 20-го века дает очень точные, краткие описания Платонизм (относительно Гёделя), Формализм (по Гильберту) и интуиционизм (по Брауэру).
  • Мартин Дэвис (ред.) (1965), Неразрешимый, Raven Press, Hewlett, NY. Сборник оригинальных работ Гёделя, Черча, Клини, Тьюринга, Россера и Поста. Переиздано как Дэвис, Мартин, изд. (2004). Неразрешимый. Courier Dover Publications. ISBN  978-0-486-43228-1.
  • Мартин Дэвис (2000). Двигатели логики: математики и происхождение компьютера (1-е изд.). W. W. Norton & Company, Нью-Йорк. ISBN  0-393-32229-7.
  • Джон В. Доусон Младший, Логические дилеммы: жизнь и работа Курт Гёдель, А. К. Петерс, Уэллсли, Массачусетс, 1997.
Менее читается, чем Гольдштейн, но в Глава III ЭкскурсияДоусон дает превосходную «Капсульную историю развития логики до 1928 года».
  • Ребекка Гольдштейн, Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя, Atlas Books, W.W. Нортон, Нью-Йорк, 2005.
В Глава II Гильберт и формалисты Гольдштейн дает дальнейший исторический контекст. Как платоник Гёдель был сдержан в присутствии логический позитивизм Венского кружка. Гольдштейн обсуждает Витгенштейн влияние и влияние формалистов. Гольдштейн отмечает, что интуиционисты были еще более противниками Платонизм чем Формализм.
  • ван Хейеноорт, Дж., От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977 г. Следующие статьи публикуются у ван Хейенурта:
  • L.E.J. Брауэр, 1923, О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций [перепечатано с комментарием, с. 334, ван Хейеноорт]
  • Андрей Николаевич Колмогоров, 1925, По принципу исключенного среднего, [перепечатано с комментарием, с. 414, van Heijenoort]
  • L.E.J. Брауэр, 1927, О областях определения функций, [перепечатано с комментарием, с. 446, van Heijenoort]
Хотя это и не имеет прямого отношения, в своей работе (1923) Брауэр использует определенные слова, определенные в этой статье.
  • L.E.J. Брауэр, 1927(2), Интуиционистские размышления о формализме, [перепечатано с комментарием, с. 490, van Heijenoort]
  • Жак Эрбранд, (1931b), «О непротиворечивости арифметики», [перепечатано с комментарием, стр. 618ff, van Heijenoort]
Из комментария ван Хейенорта неясно, был ли Гербранд настоящим «интуиционистом»; Гёдель (1963) утверждал, что действительно «... Гербранд был интуиционистом». Но ван Хейенорт говорит, что концепция Гербранда была «в целом гораздо ближе к концепции слова Гильберта« конечный »(« конечный »), чем к« интуиционистской »в применении к доктрине Брауэра».
  • Хесселинг, Деннис Э. (2003). Гномы в тумане. Восприятие интуиционизма Брауэра в 1920-е гг.. Birkhäuser. ISBN  3-7643-6536-6.
  • Аренд Хейтинг: Гейтинг, Аренд (1971) [1956]. Интуиционизм: введение (3-е изд. Ред.). Амстердам: паб Северной Голландии. Co. ISBN  0-7204-2239-6.
  • Клини, Стивен К. (1991) [1952]. Введение в мета-математику (Десятое впечатление, изд. 1991 г.). Амстердам, штат Нью-Йорк: паб Северной Голландии. Co. ISBN  0-7204-2103-9.
В главе III Критика математических рассуждений, §11. Парадоксы, Клини обсуждает интуиционизм и Формализм глубоко. На протяжении всей остальной части книги он рассматривает и сравнивает как формалистскую (классическую), так и интуиционистскую логику с упором на первую.
  • Стивен Коул Клини и Ричард Юджин Веслей, Основы интуиционистской математики, North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1965. В первом предложении все сказано: «Конструктивная тенденция в математике ...». Текст для специалистов, но написанный в удивительно ясном стиле Клини.
  • Хилари Патнэм и Пол Бенасерраф, Философия математики: избранные материалы, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1964. 2-е изд., Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Часть I. Основы математики, Симпозиум по основам математики
  • Рудольф Карнап, Логицистские основы математики, п. 41 год
  • Аренд Хейтинг, Интуиционистские основы математики, п. 52
  • Иоганн фон Нейман, Формалистические основы математики, п. 61
  • Аренд Хейтинг, Диспут, п. 66
  • Л. Э. Дж. Брауэр, Интуиционизм и формализм, п. 77
  • Л. Э. Дж. Брауэр, Сознание, философия и математика, п. 90
  • Констанс Рид, Гильберта, Коперник - Springer-Verlag, 1-е издание 1970 г., 2-е издание 1996 г.
Окончательная биография Гильберта помещает его «Программу» в исторический контекст вместе с последующей борьбой, иногда злобной, между интуиционистами и формалистами.
  • Пол Розенблум, Элементы математической логики, Dover Publications Inc., Минеола, Нью-Йорк, 1950.
В стиле, который больше похож на Principia Mathematica - много символов, некоторые из них старинные, некоторые написаны на немецком языке. Очень хорошее обсуждение интуиционизма в следующих местах: страницы 51–58 в Разделе 4 «Многозначная логика», «Модальная логика», «Интуиционизм»; страницы 69–73 Глава III Логика предполагаемых функций Раздел 1 Неформальное введение; и п. 146-151 Раздел 7 Аксиома выбора.
Переоценка интуиционизма с точки зрения (среди прочего) конструктивная математика и нестандартный анализ.

Вторичные ссылки

  • Марков А.А. (1954) Теория алгоритмов. [Перевод Жака Шорр-Кона и сотрудников PST] Выходные данные Москва, Академия наук СССР, 1954 [т.е. Иерусалим, Израильская программа научных переводов, 1961 г .; можно получить в Управлении технических служб Министерства торговли США, Вашингтон] Описание 444 стр. 28 см. Добавлен т.п. на русский перевод трудов Математического института АН СССР, т. 42. Первоначальное название: Теория алгоритмов. [QA248.M2943 Библиотека Дартмутского колледжа. Министерство торговли США, Управление технических служб, номер OTS 60–51085.]
Второстепенная ссылка для специалистов: Марков высказал мнение, что «все значение для математики более точной передачи концепции алгоритма возникает, однако, в связи с проблемой конструктивная основа математики....[п. 3, курсив добавлен.] Марков полагал, что дальнейшее применение его работы «заслуживает специальной книги, которую автор надеется написать в будущем» (стр. 3). К сожалению, указанная работа, по-видимому, так и не появилась.

внешняя ссылка