Противоречие Брауэра-Гильберта - Brouwer–Hilbert controversy

В фундаментальном споре в математика двадцатого века, Л. Э. Дж. Брауэр, сторонник конструктивист Школа интуиционизм, против Дэвид Гильберт, сторонник формализм. Дебаты касались фундаментальных вопросов о согласованности аксиомы и роль семантика и синтаксис по математике. Большая часть споров произошла, когда оба были вовлечены в престижную Mathematische Annalen журнал, с Гильбертом как Главный редактор и Брауэр как член редакционной коллегии.

Фон

Фон для полемики был установлен Дэвид Гильберт аксиоматизация геометрии в конце 1890-х гг. В своей биографии Курт Гёдель, Джон В. Доусон младший Резюмирует результат следующим образом: "В ходе иногда ожесточенных споров предметом обсуждения было отношение математики к логике, а также фундаментальные вопросы методологии, такие как, как должны быть истолкованы кванторы, в какой степени, если вообще, неконструктивные методы были оправдано, и существуют ли важные связи между синтаксическими и семантическими понятиями ».^[1]

Доусон отмечает, что «в дебатах приняли участие сторонники трех основных философских позиций».^[1] - логики (Готтлоб Фреге и Бертран Рассел ), формалисты (Дэвид Гильберт и его «школа» сотрудников), конструктивисты (Анри Пуанкаре и Герман Вейль ); внутри этой конструктивистской школы был радикальный самоназванный «интуиционист» L.E.J. Брауэр.

Краткая история Брауэра и интуиционизма

По сути, Брауэр основал математическую философию интуиционизм как вызов господствовавшей в то время формализм Дэвида Гильберта и его сотрудников Пол Бернейс, Вильгельм Аккерманн, Джон фон Нейман и другие.^[2] Как множество конструктивная математика интуиционизм - это, по сути, философия основы математики. Иногда его довольно упрощенно характеризуют, говоря, что его приверженцы отказываются использовать закон исключенного среднего в математических рассуждениях.

В 1908 году: «... Брауэр в статье, озаглавленной« Ненадежность принципов логики », оспаривал веру в то, что правила классической логики, которые дошли до нас по существу от Аристотеля (384–322 до н.э.), имеют абсолютная действительность, независимо от предмета, к которому они применяются ".^[3]

«После завершения диссертации (1907: см. Ван Дален) Брауэр принял сознательное решение временно скрыть свои спорные идеи и сосредоточиться на демонстрации своего математического мастерства» (Дэвис (2000), стр. 95); к 1910 г. он опубликовал ряд важных статей, в частности Теорема о неподвижной точке. Гильберт - формалист, с которым интуиционист Брауэр в конечном итоге провел годы в конфликте, - восхищался молодым человеком и помог ему получить регулярное академическое назначение (1912 г.) в Амстердамском университете.^[4] Именно тогда Брауэр почувствовал себя вправе вернуться к своему революционному проекту, который он теперь называл интуиционизм".^[4]

В конце 1920-х Брауэр стал вовлечен в публичный и унизительный спор с Гильбертом по поводу редакционной политики в Mathematische Annalen, в то время ведущий выученный журнал.^[5] Он стал относительно изолированным; Развитие интуиционизма в его истоках занялось его учеником Аренд Хейтинг.

Истоки разногласий

Природа доказательства Гильберта Теорема Гильберта о базисе (датируемый 1888 годом) оказался более противоречивым, чем Гильберт мог представить в то время. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил бы на аналогичную критику других, что «многие различные конструкции объединены в одну фундаментальную идею» - другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт смог получить строительство"; «доказательство» (т.е. символы на странице) было «объектом».^[6]

Не все были убеждены. Пока Кронекер скоро умрет, его конструктивист знамя будет нести резкая критика со стороны Пуанкаре, а затем с криком молодых Брауэр и его развитие интуиционист «школа» - в частности, Вейль, что очень мучило Гильберта в его последние годы (Reid 1996, стр. 148–149). Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма: «Гильберт был обеспокоен увлечением его бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере».^[7]

Брауэр-интуиционист, в частности, возражал против использования закона исключенного среднего над бесконечными множествами (поскольку Гильберт действительно использовал его). Гильберт ответил бы: «« Взять принцип исключенного среднего от математика ... то же самое, что ... запретить боксеру использовать свои кулаки ».^[8] «Возможная потеря, похоже, не беспокоила Вейля».^[9]

Действие закона исключенного третьего

В той же газете - текст обращения 1927 г.^[10] - Гильберт ясно выражается. Сначала он пытается защитить свою аксиоматическую систему как имеющую «важное общефилософское значение».^[11] Для него формулировка «определенных правил» выражает «технику нашего мышления». Ничего не скрыто, нет молчаливые предположения признаются: «в конце концов, это часть задачи науки - освободить нас от произвола, сантиментов и привычек и защитить нас от субъективизма, который ... находит свою кульминацию в интуиционизме».^[11]

Но затем Гильберт доходит до сути - запрета закон исключенного среднего (LoEM): «Самый резкий и страстный вызов интуиционизму - это тот, который он бросает против законности принципа исключенного среднего ...».^[11]

Сомневаться в LoEM - когда он распространяется на законченную бесконечность - означал сомневаться в аксиоматической системе Гильберта, в частности в его «логической ε-аксиоме».^[12] Убрать LoEM означало уничтожить «науку математику».^[8] Наконец, Гильберт выделяет одного человека - косвенно, а не по имени - в качестве причины его нынешнего бедствия: «... Меня удивляет, что математик усомнился в том, что принцип исключенного третьего строго действителен как способ вывода. Меня еще больше удивляет то, что, похоже, целое сообщество математиков, которые делают то же самое, сформировало себя таким образом. Меня больше всего удивляет тот факт, что даже в математических кругах сила внушения одного человека, каким бы сильным он ни была, и изобретательность, способна иметь самые невероятные и эксцентричные эффекты ».^[13]

Брауэр отвечает раздраженно с обидой: «... формализм не получил ничего, кроме благодеяний от интуиционизма, и может ожидать дальнейших благ. Поэтому формалистическая школа должна в некоторой степени признать интуиционизм, вместо того чтобы полемизировать с ним в насмешливом тоне, даже не соблюдая должного упоминания. авторства ".^[14]

Более глубокие философские различия

Философское поражение в поисках «истины» в выборе аксиом.

Как бы то ни было, «истина» окончательно определена, некоторым математикам формализм Гильберта, казалось, избегал этого понятия. И, по крайней мере, в отношении его выбора аксиом, можно утверждать, что он действительно делает воздержитесь от этого понятия. Основной вопрос просто как выбирают ли «аксиомы»? Пока Гильберт не предложил свой формализм, аксиомы выбирались на «интуитивной» (экспериментальной) основе. Аристотелевская логика является хорошим примером - исходя из жизненного опыта, кажется «логичным», что объект дискурса либо обладает заявленным свойством (например, «Этот грузовик желтый»), либо не имеет этого свойства («Этот грузовик не желтый "), но не оба одновременно (Аристотелевский закон непротиворечия). Примитивная форма аксиомы индукции - другая: если предикат P (n) истинен для n = 0 и если для всех натуральных чисел n, если истинность P (n) влечет истинность P (n + 1), то P (n) верно для всех натуральных чисел n.

Аксиоматическая система Гильберта - его формализм - отличается. Вначале он декларирует свои аксиомы.^[15] Но он не требует, чтобы выбор этих аксиом был основан на «здравом смысле», априорное знание (интуитивно полученное понимание или осознание, врожденное знание, рассматриваемое как «истина, не требующая каких-либо доказательств из опыта»^[16] ) или наблюдательный опыт (эмпирические данные). Скорее, математик так же, как и физик-теоретик^[17][18] волен принять любой (произвольный, абстрактный) набор аксиом по своему выбору. В самом деле, Вейль утверждает, что Гильберт «формализовал [редактировал] ее [классическую математику], тем самым превратив ее в принципе из системы интуитивных результатов в игру с формулами, которая происходит по фиксированным правилам».^[19] Итак, спрашивает Вейль, чем можно руководствоваться при выборе этих правил? «Что побуждает нас взять за основу именно ту систему аксиом, которую разработал Гильберт?».^[19] Вейль предлагает «согласованность действительно является необходимым, но недостаточным условием», но он не может ответить более полно, за исключением того, что отмечает, что «конструкция» Гильберта «произвольна и смелая».^[19] Наконец, он отмечает курсивом, что философский результат «конструкции» Гильберта будет следующим: «Если точка зрения Гильберта преобладает над интуиционизмом, как кажется, то я вижу в этом решительное поражение философской позиции чистой феноменологии., что, таким образом, оказывается недостаточным для понимания творческой науки даже в той области познания, которая наиболее первична и наиболее открыта для доказательств - математике ».^[19]

Другими словами: роль врожденных чувств и тенденций (интуиция) и наблюдательного опыта (эмпиризм) в выборе аксиом будет удалена, за исключением глобального смысла - «конструкция» лучше сработает, если подвергнуть ее проверке: «только теоретическая система в целом ... может быть противопоставлена ​​опыту ".^[19]

Закон исключенного среднего распространяется до бесконечности

Кантор (1897) расширил интуитивное понятие «бесконечности» - одна ступня за другой в нескончаемом марше к горизонту - до понятия «завершенная бесконечность» - прибытие «полностью, далеко оттуда. "одним махом, и он символизировал это понятие одним знаком ℵ₀ (алеф-ноль). Брауэр считал, что принятие Гильбертом понятия «оптовая торговля» было «бездумным». Брауэр в своей работе (1927a) «Интуиционистские размышления о формализме» утверждает: «ВТОРОЕ ЗНАНИЕ Отказ от бездумного использования логического принципа исключенного третьего, а также признание, во-первых, того факта, что исследование вопроса« почему? упомянутый принцип оправдан и насколько он действителен, составляет существенный объект исследования в области основ математики, и, во-вторых, из того факта, что в интуитивной (содержательной) математике этот принцип действителен только для конечных систем. Отождествление принципа исключенного третьего с принципом разрешимости любой математической задачи ».^[20]

Это третье понимание относится к Вторая проблема Гильберта и продолжающаяся попытка Гильберта аксиоматизировать всю арифметику и с помощью этой системы открыть «доказательство непротиворечивости» для всей математики - подробнее см. ниже. Итак, в эту схватку (начатую Пуанкаре) Брауэр с головой погрузился с Вейлем в качестве подстраховки.

Их первая жалоба (Второе понимание Брауэра, см. Выше) возникла из-за расширения Гильбертом «Закона исключенного среднего» (и «двойного отрицания») Аристотеля - до сих пор ограниченного конечными областями аристотелевского дискурса - до бесконечный области дискурса^[21]". В конце 1890-х годов Гильберт успешно аксиоматизировал геометрию.^[22] Затем он продолжил успешно (по крайней мере, так думал Гильберт) использовать вдохновленное Канторианством понятие завершенная бесконечность для получения элегантных, радикально сокращенных доказательств в анализе (1896 г. и позже).^[23] По его собственным словам защиты Гильберт считал себя вполне оправданным в том, что он сделал (в дальнейшем он называет этот тип доказательства доказательство существования ): «... Я сформулировал общую теорему (1896 г.) об алгебраических формах, которая является чистым утверждением существования и по самой своей природе не может быть преобразована в утверждение, предполагающее конструктивность. Чисто с помощью этой теоремы существования я избежал длинных и неясных аргументация Вейерштрасса и чрезвычайно сложные вычисления Дедекинда, и, кроме того, я полагаю, только мое доказательство раскрывает внутреннюю причину справедливости утверждений, сформулированных Гауссом.^[24] и сформулирован Вейерштрассом и Дедекиндом ».^[25] "Ценность чистых доказательств существования состоит именно в том, что они исключают индивидуальную конструкцию и что множество различных построений объединяются в одну фундаментальную идею, так что ясно выделяется только то, что существенно для доказательства; краткость и экономия мысли являются смысл доказательств существования ".^[26]

От чего Гильберту пришлось отказаться, так это от «конструктивности» - его доказательства не порождали бы «объекты» (за исключением самих доказательств - т. Е. Цепочек символов), а скорее они производили бы противоречия в предпосылках и должны были бы продолжить сокращение до абсурда распространяется на бесконечность.

Поиски Гильберта обобщенного доказательства непротиворечивости аксиом арифметики

Брауэр считал эту потерю конструктивности плохой, но еще хуже применительно к обобщенному «доказательству непротиворечивости» для всей математики. В своем обращении 1900 года Гильберт указал в качестве второй из своих 23 проблем для двадцатого века поиск обобщенного доказательства (процедуры определения) непротиворечивости аксиом арифметики. Гильберт, в отличие от Брауэра, считал, что формализованное понятие математической индукции может быть применено для поиска обобщенный доказательство согласованности.

Следствием этого изумительного доказательства / процедуры P будет следующее: для любой произвольной математической теоремы T (формулы, процедуры, доказательства) положить в P (таким образом, P (T)) включая сам P (таким образом, P (P)), P окончательно определит, была ли теорема T (и P) доказуемо - т.е. выводимые из его посылок аксиомы арифметики. Таким образом, для всех T, T будет доказуемо на P или нет доказуемо пользователем P и при любых условиях (т.е. для любого присвоения числовых значений переменным T.) Это прекрасная иллюстрация использования закона исключенного среднего, распространенного на бесконечность, фактически расширенного. дважды - во-первых, по всем теоремам (формулам, процедурам, доказательствам), а во-вторых, по данной теореме, по всем присвоениям ее переменных. На этот момент, упущенный Гильбертом, сначала указал ему Пуанкаре, а затем Вейль в своих комментариях 1927 года к лекции Гильберта: «В конце концов, Гильберт тоже не просто озабочен, скажем, 0 'или 0', но с любым 0 ' ^... ', с произвольно конкретно данный цифра. Здесь можно подчеркнуть «конкретно данное»; с другой стороны, столь же важно, чтобы содержательные аргументы в теории доказательств выполнялись в гипотетической общности, на любой доказательство, на любой цифра. ... Мне кажется, что теория доказательств Гильберта показывает, что Пуанкаре был полностью прав в этом вопросе ".^[27]

В своем обсуждении, предшествовавшем комментариям Вейля 1927 года, ван Хейеноорт объясняет, что Гильберт настаивал на том, что он обращался к вопросу о том, «приводит ли формула, взятая в качестве аксиомы, к противоречию, вопрос в том, можно ли представить доказательство, ведущее к противоречию. мне".^[28]

«Но [пишет ван Хейеноорт] в доказательстве непротиворечивости аргумент не касается одной конкретной формулы; его нужно распространить на все формулы. Это то, что имеет в виду Вейль ...».^[28][29]

В случае успеха поиск приведет к замечательному результату: при таком обобщенном доказательстве вся математика может быть заменена автоматом, состоящим из двух частей: (i) генератора формул для создания формул одну за другой, а затем (ii) обобщенное доказательство непротиворечивости, которое дало бы «Да - действительно (то есть доказуемо)» или «Нет - недействительно (не доказуемо)» для каждой представленной ему формулы (и каждого возможного присвоения чисел ее переменным). Другими словами: математика перестала бы заниматься творчеством и превратилась бы в машину.^[30]

Проблема закона исключенного среднего по индукции

В комментарии ван Хейеноорта, предшествовавшем работе Вейля (1927) «Комментарии к второй лекции Гильберта об основах математики», Пуанкаре указывает Гильберту (1905), что существует два типа «индукции» (1) интуитивная логика животных - следование ногам - версия ноги, которая дает нам ощущение, что всегда есть еще один шаг после последнего шага, и (2) формальная версия - например, Версия Пеано: цепочка символов.^[31] Группа из трех человек - Пуанкаре, Вейль и Брауэр - утверждала, что Гильберт молчаливо и необоснованно принял в качестве одной из своих предпосылок формальную индукцию (строку Kleensymbol). Пуанкаре (1905) утверждал, что, поступив так, рассуждения Гильберта стали круговыми.^[32] Согласие Вейля (1927) и полемика Брауэра в конечном итоге вынудили Гильберта и его учеников Хербранда, Бернейса и Аккермана пересмотреть свое понятие «индукции» - отказаться от предположения о «совокупности всех объектов x бесконечного набора» и (интуитивно) Предположим, что общие аргументы повторяются один за другим, до бесконечности (van Heijenoort, стр. 481, сноска а). Фактически это так называемая «схема индукции», используемая в понятии «рекурсия», которое все еще находилось в разработке в то время (ср. van Heijenoort p. 493)^[33] - эта схема была приемлема для интуиционистов, потому что она была выведена из «интуиции».

Чтобы продолжить это различие, Клини 1952/1977 различает три типы математической индукции - (1) формальная Правило индукции (Аксиома Пеано, см. Пример в следующем разделе), (2) индуктивное определение (примеры: подсчет, «Доказательство по индукции») и (3) определение по индукции (рекурсивное определение "теоретико-числовых функций или предикатов). Что касается (3), Клини считает, что примитивные рекурсивные функции:

«интуитивная теория об определенном классе теоретико-числовых функций и предикатов ... В этой теории, как и в метаматематике, мы будем использовать только финитарные методы.

Ряд натуральных чисел 0, 0 ', 0'', 0''', ..., или 0, 1, 2, 3, ... мы описали как класс объектов, созданных из одного примитивного объекта 0 с помощью одной примитивной операции 'или +1. Это составляет индуктивное определение класса натуральных чисел.

Доказательство по индукции ... непосредственно соответствует этому способу генерации чисел. Определение по индукции (не путать с «индуктивным определением» ...) - это аналогичный метод определения теоретико-числовой функции φ (y) или предиката P (y). [Теоретико-числовая функция или предикат принимает в качестве переменных только выборку из натуральных чисел и в свою очередь производит только одно натуральное число]. Сначала задается φ (0) или P (0) (значение функции или предиката для 0 в качестве аргумента). Тогда для любого натурального числа y φ (y ') или P (y') (следующее значение после y) выражается через y и φ (y) или P (y) (значение y) . ... Две части определения позволяют нам, генерируя любое натуральное число y, одновременно определять значение φ (y) или P (y) »(стр. 217).

Отголоски полемики

Настаивание Брауэра на «конструктивности» в поисках «доказательства непротиворечивости арифметики» привело к чувствительности к этому вопросу, что отражено в работе Финслер и Гёдель.^[34] В конечном итоге Гёдель «оцифровал» свои формулы; Затем Гёдель использовал примитивную рекурсию (и ее реализацию интуитивной конструктивной формы индукции - то есть подсчет и пошаговое вычисление), а не строку символов, которые представляют формальную индукцию. Гёдель был настолько чувствителен к этому вопросу, что в 1931 году он приложил немало усилий, чтобы указать, что его теорема VI (так называемая «Первая теорема о неполноте») «конструктивна;^45а, то есть следующее было доказано интуиционистски не вызывающим возражений образом ... »Затем он демонстрирует то, что, по его мнению, является конструктивным характером своей« формулы обобщения »17. Сноска 45a усиливает его точку зрения.

Гедель 1931 года действительно включает в себя формалистскую символьную версию аксиомы индукции Пеано; это выглядит так, где "." логическое И, f знак-преемник, x₂ - функция, x₁ переменная, x₁Π обозначает "для всех значений переменной x₁":

(Икс₂(0) .x₁Π (х₂(Икс₁) ⊃x₂(FX₁)) ⊃x₁Π (х₂(Икс₁))

Но он, похоже, не использует это в формалистическом смысле.

Обратите внимание, что по этому поводу есть разногласия. Гёдель определяет эту символьную строку в своем I.3.,^[35] т.е. формализованная аксиома индукции выглядит так, как показано выше, но даже эту строку можно "пронумеровать" с помощью метода Гёделя. С другой стороны, он, похоже, не использует эту аксиому. Скорее, его рекурсия проходит через целые числа, присвоенные переменной k (см. Его (2) на стр. 602). Его скелетное доказательство теоремы V, однако, «использует индукцию по степени φ» и использует «предположение индукции». Без полного доказательства этого нам остается предположить, что использование им «гипотезы индукции» является интуитивной версией, а не символической аксиомой. Его рекурсия просто увеличивает степень функций, интуитивный акт, до бесконечности. Но Нагель и Ньюман отмечают, что доказательства Гёделя бесконечны по своей природе,^[36] не финитный, как требовал Гильберт Вторая проблема Гильберта ), в то время как Гёдель настаивал, что они интуитивно удовлетворительны. Это не несовместимые истины, если только LoEM над бесконечностью нигде не упоминается в доказательствах.

Несмотря на продолжающуюся абстракцию математики в последней половине двадцатого века,^[37] проблема не исчезла полностью. Вот два примера. Во-первых, посылки аргумента - даже те, которые считаются бесспорными - всегда справедливы. Внимательный взгляд на предпосылки работ Тьюринга 1936–1937 годов привел Робина Ганди (1980) к предложению своих «принципов для механизмов», которые ограничивают скорость света. Во-вторых, Брегер (2000) в своем «Неявном знании и математическом прогрессе» глубоко разбирается в вопросе «семантика против синтаксиса» - в своей статье должным образом появляются Гильберт, Пуанкаре, Фреге и Вейль. Он исследует основную проблему: в аксиоматических доказательствах молчаливое допущение опытного, мыслящего ума: чтобы добиться успеха, он должен прийти к аргументу, снабженному предварительным знанием символов и их использования (семантика, лежащая в основе бессмысленного синтаксиса): «Математика как чисто формальная система символов без человека, обладающего ноу-хау для работы с символами, невозможна [согласно химику Поланьи (1969, 195), идеал формы знания, который является строго явным, противоречив, потому что без молчаливого знание всех формул, слов и иллюстраций стало бы бессмысленным] »(скобки в оригинале, Breger 2000: 229).

Клини о Брауэре – Гильберте

Серьезное исследование этого фундаментального противоречия можно найти в книге Стивена Клини. Введение в метаматематику, особенно в главе III: критика математических рассуждений. Он обсуждает §11. Парадоксы, §12. Первые выводы из парадоксов [непредикативные определения, Логицизм и т. д.], §13. Интуиционизм, §14. Формализм, §15. Формализация теории. Клини серьезно относится к дискуссии и на протяжении всей своей книги фактически строит две «формальные системы», например на странице 119 он показывает те логические законы, такие как двойное отрицание, которые запрещены в интуиционистской системе.

Примечания

1. Доусон 1997: 48
2. ср. Клини (1952), стр. 46–59.
3. Клини (1952), стр. 46
4. Дэвис, стр. 96
5. Ср. ван Дален (1990).
6. Рид 1996, стр. 37
7. Рид 1996, стр. 148
8. Эта цитата встречается во многих источниках. Перевод оригинала можно найти в van Heijenoort: Hilbert (1927) p. 476 и гласит следующее: «Принятие принципа исключенного среднего из математика было бы тем же самым, что, скажем, запретить телескоп астроному или боксеру использовать свои кулаки. Запретить утверждения о существовании и принцип исключенного среднего равносильно отказу от математики вообще ».
9. Рид 1996, стр. 150
10. ср. ван Хейеноорт: Гильберт (1927)
11. van Heijenoort: Hilbert 1927 p. 475
12. Он представляет ε-аксиому в своем обращении / статье 1927 года. Эта аксиома «существования» утверждает существование объекта дискурса: «A (a) → A (ε (A)). Здесь ε (A) обозначает объект, для которого утверждение A (a) безусловно выполняется, если оно удерживает любой объект вообще ... »(van Heijenoort, стр. 466). Сразу же он переходит к демонстрации того, как понятие «для всех» (современный универсальный квантор «∀») и «существует» (современный экзистенциальный квантификатор «∃») происходят из этой аксиомы.
13. van Heijenoort: Hilbert 1927 p. 476
14. van Heijenoort: Brouwer 1927b, опубликовано в 1928 г., стр. 492
15. Писания Гильберта чисты и доступны: список его аксиом и его «конструкции» см. На первых страницах книги van Heijenoort: Hilbert (1927).
16. Бертран Рассел 1912: 74
17. Одна из проблем Гильберта в двадцатом веке заключалась в том, чтобы «аксиоматизировать физику», предположительно таким же образом, как он пытался «аксиоматизировать» математику.
18. Вейль в своих комментариях 1927 года к выступлению Гильберта обсуждает теоретическую физику как науку с «отдельными допущениями и законами, [которые] не имеют значения, которое может быть немедленно реализовано интуицией ...] (van Heijenoort p. 484)
19. van Heijenoort p. 483
20. van Heijenoort, p. 491
21. См. Главные абзацы van Heijenoort: Brouwer (1923b) p. 335.
22. Брегер утверждает, что «современная математика начинается с теории Гильберта. Grundlagen der Geometrie"(стр. 226).
23. Брауэр откровенно перечисляет многие другие места, где, по его мнению, Гильберт ошибся: ср. van Heijenoort p. 491–492.
24. Это хитрый укол в адрес финитистов: «Философы-эмпирики, такие как Гоббс, Локк и Юм, убедили некоторых математиков, таких как Гаусс, в том, что в математике нет бесконечности» (Anglin p. 213).
25. Энглин, стр. 474
26. Энглин, стр. 475
27. Weyl 1927, van Heijenoort p. 483
28. Weyl 1927, van Heijenoort p. 481
29. Нагель и Ньюман отмечают: «В различных попытках решить проблему согласованности есть один постоянный источник трудностей. Он заключается в том, что аксиомы интерпретируются моделями, состоящими из бесконечного числа элементов. Это делает невозможным охват модели из конечного числа наблюдений ... вывод, который стремится установить аргумент, включает экстраполяцию от конечного к бесконечному набору данных. Как мы можем оправдать этот скачок? ... К сожалению, большинство систем постулатов, которые составляют основы важных разделов математики и не могут быть отражены в конечных моделях ». Нагель и Ньюман продолжают приводить пример функции-преемника '(Гёдель использовал f, староанглийский символ для s) - учитывая начальную точку 0, после этого 0', 0''и т.д. создает бесконечное количество целых чисел. (стр. 21–22) В ответ на это Гильберт попытался получить абсолютное доказательство непротиворечивости - он не предполагал бы непротиворечивость другой системы, не являющейся интересующей, а скорее система начиналась бы с [конечного] набора строк. дискретных символов (аксиом) и правил формирования для управления этими символами. (см. стр. 26 и далее) "
30. Брегер отмечает: «Пуанкаре был не единственным, кто сравнивал математику с машиной без оператора ... Фреге утверждал, что он не мог выяснить с помощью аксиом Гильберта [геометрии], был ли его брелок для часов острием или нет». (стр.227)
31. см. главу VI «Индукция» Рассела 1912 года, стр. 60–69, где он обсуждает логику животных и проблему познания истины и формулирования законов природы.
32. ср. Комментарий ван Хейеноорта к Вейлю (1927).
33. «Рекурсия» появилась, по крайней мере, с тех пор, как Пеано дал свое определение сложения чисел (ср. van Heijenoort p. 95, определение 18).
34. Доусон отмечает, что «роль Брауэра в стимулировании мысли Гёделя не вызывает сомнений, [но] как Гёдель узнал о работе Брауэра, остается неясным» (Dawson 1997: 55).
35. п. 600 в Ван Хейенорте
36. см. Nagel and Newman p. 98
37. Энглин говорит об этом так: «В двадцатом веке было много конкретной, практической математики ... С другой стороны, большая часть математики двадцатого века характеризовалась невиданной прежде степенью абстракции. Евклидова плоскость была изучена, но векторные пространства и топологические пространства, являющиеся ее абстракциями. Изучались не столько отдельные группы, сколько вся «категория» групп ». (Энглин 1994: 217)

Библиография

• W.S. Энглин 1994, Математика: краткая история и философия, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-94280-7.
• Герберт Брегер, 2000. «Неявные знания и математический прогресс», появившиеся у Э. Грошоза и Х. Брегера (ред.) 2000 г., Рост математических знаний, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды, ISBN  0-7923-6151-2, страницы 221–230.
• Мартин Дэвис, 1965. Неразрешимое: основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях, Raven Press, Нью-Йорк, без ISBN. Это включает в себя:
  • Эмиль Пост, 1936. «Конечный комбинаторный процесс. Формулировка I», с комментарием (стр. 288ff)
  • Эмиль Пост, 1941, не публиковалось до 1965 года. "Абсолютно неразрешимые проблемы и относительно неразрешимые предположения: отчет об ожидании", с комментарием (стр. 338ff)
• ван Дален, Дирк (1990). "Война лягушек и мышей, или кризис Mathematische Annalen". Математический интеллект. 12 (4): 17–31. Дои:10.1007 / BF03024028. О борьбе за редакторский контроль над журналом Mathematische Annalen между Гильбертом и Брауэром, отчасти из-за их фундаментальных различий. Название этой работы является ссылкой на Батрахомиомахия, классическая пародия на Илиада.
• Мартин Дэвис, 2000. Двигатели логики, У. В. Нортон, Лондон, ISBN  0-393-32229-7 пбк. Ср. Глава пятая: «Гильберт спешит на помощь», в которой Дэвис обсуждает Брауэра и его отношения с Гильбертом и Вейлем с краткой биографической информацией Брауэра.
• Джон В. Доусон младший, 1997. Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя, А. К. Питерс, Уэллсли, Массачусетс, ISBN  1-56881-256-6.
• Робин Ганди, 1980. "Тезис Черча и принципы механизмов", появляющийся в Дж. Барвайз, Х. Дж. Кейслер и К. Кунен, ред., 1980, Клини симпозиум, North-Holland Publishing Company, стр. 123–148.
• Стивен Хокинг, 2005. Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю: под редакцией Стивена Хокинга с комментариями, Running Press, Филадельфия, ISBN  978-0-7624-1922-7. Комментарий Хокинга и отрывок из книги Кантора «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» появляются на стр. 971ff.
• Дэвид Гильберт (1927), «Основы математики» http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/ge/hilbert.htm и очевидно происходит от Сохотра Саркар (ред.) 1996, Возникновение логического эмпиризма: от 1900 года до Венского кружка, Garland Publishing Inc, [без адреса издателя, без ISBN]. Знаменитый адрес Гильберта, в котором он представляет и подробно обсуждает свои аксиомы формализма, уделяя особое внимание двойному отрицанию, Закону исключенного среднего (LoEM) и его «электронной аксиоме». [Этот онлайн-документ содержит типографские ошибки; лучше версия - Гильберт ван Хейенорта (1927).]
• Стивен Клини, 1952 г. с исправлениями 1971 г., 10-е переиздание 1991 г., Введение в метаматематику, North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нидерланды, ISBN  0-7204-2103-9. Ср. особенно Глава III: Критика математических рассуждений, §13 «Интуиционизм» и §14 «Формализм».
• Жан ван Хейеноорт, 1976 (2-й тираж с исправлениями), От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8 (пбк.). Следующие статьи и комментарии имеют отношение к делу и предлагают краткий график публикации. (Важные дополнительные дополнения Гёделя относительно его принятия машин Тьюринга в качестве формальной логической системы, заменяющей его систему (Аксиомы Пеано + рекурсия), появляются у Мартина Дэвиса, Неразрешимый):
  • Гильберта (1904). Об основах логики и арифметики, стр. 129
  • Брауэр (1923, 1954, 1954a). О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций, с. 334
  • Брауэр (1927). Об областях определения функций с. 446
  • Гильберта (1927). Основы математики с. 464. (Знаменитая речь Гильберта).
  • Вейля (1927). Комментарии к второй лекции Гильберта об основах математики с. 480.
  • Бернейс (1927). Приложение к лекции Гильберта «Основы математики» с. 485
  • Брауэр (1927а). Интуиционистские размышления о формализме с. 490
  • Гёдель (1930а, 1931, 1931а). Некоторые метаматематические результаты о полноте и последовательности. О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем I, и о полноте и последовательности стр. 592
  • Брауэр (1954, 1954a). Дополнения и исправления, и Дополнительные дополнения и исправления, стр. 334ff
• Эрнест Нагель и Джеймс Ньюманн 1958, Доказательство Гёделя, New York University Press, без ISBN, номер карточки в каталоге Библиотеки Конгресса 58-5610.
• Констанс Рид 1996. Гильберта, Springer, ISBN  0-387-94674-8. В биография на английском языке.
• Бертран Рассел, первоначально опубликовано в 1912 году с комментариями Джона Перри в 1997 году. Проблемы философии, Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN  0-19-511552-X.