Естественный вычет - Natural deduction

В логика и теория доказательств, естественный вычет это своего рода исчисление доказательств в котором Логическое объяснение выражается правила вывода тесно связан с «естественным» способом рассуждений. Это контрастирует с Системы гильбертова, которые вместо этого используют аксиомы насколько это возможно, чтобы выразить логические законы дедуктивное мышление.

Мотивация

Естественная дедукция выросла из контекста неудовлетворенности аксиоматизацией дедуктивного мышления, общей для систем Гильберта, Фреге, и Рассел (см., например, Система гильберта ). Такие аксиоматизации наиболее широко использовались Рассел и Уайтхед в их математическом трактате Principia Mathematica. Вдохновленный серией семинаров в Польше в 1926 г. Лукасевич который выступал за более естественное отношение к логике, Яськовский сделал первые попытки определить более естественный вывод, сначала в 1929 году, используя схематические обозначения, а затем обновив свое предложение в серии статей в 1934 и 1935 годах.^[1] Его предложения привели к различным обозначениям, таким как Расчет в стиле Fitch (или диаграммы Fitch) или Suppes 'метод, для которого Лимон дал вариант под названием система L.

Естественная дедукция в ее современной форме была независимо предложена немецким математиком. Герхард Гентцен в 1934 г. защитил диссертацию на факультете математических наук Геттингенского университета.^[2] Период, термин естественный вычет (точнее, его немецкий эквивалент natürliches Schließen) был придуман в этой статье:

Ich wollte nun zunächst einmal einen Formalismus aufstellen, der dem wirklichen Schließen möglichst nahe kommt. So ergab sich ein "Kalkül des natürlichen Schließens".^[3]
(Сначала я хотел построить формализм, максимально приближенный к реальным рассуждениям. Так возникло «исчисление естественной дедукции».)

Гентцен руководствовался желанием установить последовательность теория чисел. Он не смог доказать основной результат, требуемый для получения согласованности, теорема исключения сокращения - гаупцац - непосредственно для естественной дедукции. По этой причине он представил свою альтернативную систему, последовательное исчисление, для которого он доказал Хаупцац как для классический и интуиционистская логика. В серии семинаров в 1961 и 1962 гг. Prawitz дал исчерпывающий обзор исчислений естественной дедукции и перенес большую часть работы Гентцена с последовательными исчислениями в рамки естественной дедукции. Его монография 1965 г. Естественная дедукция: теоретико-доказательное исследование^[4] должен был стать справочником по естественному вычету и включал приложения для модальный и логика второго порядка.

В естественном дедукции предложение выводится из набора посылок путем многократного применения правил вывода. Система, представленная в этой статье, является незначительным вариантом формулировки Генцена или Правица, но с более близким соответствием Мартин-Лёф Описание логических суждений и связок.^[5]

Суждения и предложения

А суждение есть нечто познаваемое, то есть объект познания. это очевидный если кто-то действительно это знает.^[6] Таким образом "идет дождь"- суждение, которое очевидно для того, кто знает, что на самом деле идет дождь; в этом случае можно легко найти доказательства этого приговора, посмотрев в окно или выйдя из дома. Однако в математической логике доказательства часто оказываются не как непосредственно наблюдаемые, а скорее выводимые из более основных очевидных суждений. Процесс дедукции - это то, что составляет доказательство; иными словами, приговор очевиден, если есть доказательства.

Наиболее важные суждения в логике имеют форму "А правда". Письмо А обозначает любое выражение, представляющее предложение; Таким образом, суждения об истине требуют более примитивного суждения: "А - предложение". Были изучены многие другие суждения; например,"А ложно" (увидеть классическая логика ), "A истинно в момент t" (увидеть темпоральная логика ), "A обязательно верно" или "Возможно, правда" (увидеть модальная логика ), "программа M имеет тип τ" (увидеть языки программирования и теория типов ), "A можно получить из доступных ресурсов" (увидеть линейная логика ), и многие другие. Для начала рассмотрим два простейших суждения "А - предложение" и "А правда", сокращенно"А опора "и"А true "соответственно.

Судебное решение "А prop "определяет структуру действительных доказательств А, что, в свою очередь, определяет структуру предложений. По этой причине правила вывода потому что это суждение иногда называют правила формирования. Чтобы проиллюстрировать, если у нас есть два предложения А и B (то есть суждения "А опора "и"B prop "очевидны), то формируем составное суждение А и В, записывается символически как "${\displaystyle A\wedge B}$". Мы можем записать это в виде правила вывода:

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ prop}}\qquad B{\hbox{ prop}}}{(A\wedge B){\hbox{ prop}}}}\ \wedge _{F}}$

где скобки опущены, чтобы сделать правило вывода более лаконичным:

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ prop}}\qquad B{\hbox{ prop}}}{A\wedge B{\hbox{ prop}}}}\ \wedge _{F}}$

Это правило вывода схематический: А и B можно создать с любым выражением. Общая форма правила вывода:

${\displaystyle {\frac {J_{1}\qquad J_{2}\qquad \cdots \qquad J_{n}}{J}}\ {\hbox{name}}}$

где каждый ${\displaystyle J_{i}}$ является суждением, а правило вывода называется «имя». Суждения над линией известны как предпосылки, а те, что ниже линии, выводы. Другими распространенными логическими предложениями являются дизъюнкция (${\displaystyle A\vee B}$), отрицание (${\displaystyle \neg A}$), импликация (${\displaystyle A\supset B}$), а логические константы истина (${\displaystyle \top }$) и ложь (${\displaystyle \bot }$). Правила их формирования ниже.

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ prop}}\qquad B{\hbox{ prop}}}{A\vee B{\hbox{ prop}}}}\ \vee _{F}\qquad {\frac {A{\hbox{ prop}}\qquad B{\hbox{ prop}}}{A\supset B{\hbox{ prop}}}}\ \supset _{F}}$

${\displaystyle {\frac {\hbox{ }}{\top {\hbox{ prop}}}}\ \top _{F}\qquad {\frac {\hbox{ }}{\bot {\hbox{ prop}}}}\ \bot _{F}\qquad {\frac {A{\hbox{ prop}}}{\neg A{\hbox{ prop}}}}\ \neg _{F}}$

Введение и устранение

Теперь обсудим "А истинное суждение. Правила вывода, которые вводят логическая связка в заключении известны как правила введения. Чтобы ввести союзы, т.е., заключить "А и В правда "для предложений А и B, требуется доказательство "А правда "и"B истина ". В качестве правила вывода:

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ true}}\qquad B{\hbox{ true}}}{(A\wedge B){\hbox{ true}}}}\ \wedge _{I}}$

Следует понимать, что в таких правилах объектами являются предложения. То есть приведенное выше правило на самом деле является сокращением для:

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ prop}}\qquad B{\hbox{ prop}}\qquad A{\hbox{ true}}\qquad B{\hbox{ true}}}{(A\wedge B){\hbox{ true}}}}\ \wedge _{I}}$

Это также можно записать:

${\displaystyle {\frac {A\wedge B{\hbox{ prop}}\qquad A{\hbox{ true}}\qquad B{\hbox{ true}}}{(A\wedge B){\hbox{ true}}}}\ \wedge _{I}}$

В этой форме первая посылка может быть удовлетворена ${\displaystyle \wedge _{F}}$ правило формирования, дающее первые две посылки предыдущей формы. В этой статье мы опустим «опорные» суждения, в которых они понимаются. В нулевом случае истину нельзя вывести ни из каких предпосылок.

${\displaystyle {\frac {\ }{\top {\hbox{ true}}}}\ \top _{I}}$

Если истинность предложения может быть установлена ​​более чем одним способом, соответствующая связка имеет несколько правил введения.

${\displaystyle {\frac {A{\hbox{ true}}}{A\vee B{\hbox{ true}}}}\ \vee _{I1}\qquad {\frac {B{\hbox{ true}}}{A\vee B{\hbox{ true}}}}\ \vee _{I2}}$

Обратите внимание, что в нулевом случае т.е., для лжи есть нет правила введения. Таким образом, из более простых суждений невозможно вывести ложь.

Двойные правила введения правила исключения чтобы описать, как разложить информацию о составном предложении на информацию о его составляющих. Таким образом, от "А ∧ Б правда "можно сделать вывод"А правда "и"B правда":

${\displaystyle {\frac {A\wedge B{\hbox{ true}}}{A{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{E1}\qquad {\frac {A\wedge B{\hbox{ true}}}{B{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{E2}}$

В качестве примера использования правил вывода рассмотрим коммутативность конъюнкции. Если А ∧ B верно, тогда B ∧ А правда; этот вывод можно сделать, составив правила вывода таким образом, чтобы посылки более низкого вывода совпадали с выводом следующего более высокого вывода.

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {A\wedge B{\hbox{ true}}}{B{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{E2}\qquad {\cfrac {A\wedge B{\hbox{ true}}}{A{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{E1}}{B\wedge A{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{I}}$

Цифры вывода, которые мы видели до сих пор, недостаточны, чтобы сформулировать правила введение импликации или устранение дизъюнкции; для них нам понадобится более общее понятие гипотетический вывод.

Гипотетические выводы

Распространенная операция в математической логике рассуждения на основе предположений. Например, рассмотрим следующий вывод:

${\displaystyle {\cfrac {A\wedge \left(B\wedge C\right){\hbox{ true}}}{{\cfrac {B\wedge C{\hbox{ true}}}{B{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{E1}}}\ \wedge _{E2}}$

Этот вывод не устанавливает истинность B как таковой; скорее, он устанавливает следующий факт:

Если A ∧ (B ∧ C) верно тогда B верно.

В логике говорится: "предполагая, что A ∧ (B ∧ C) истинно, мы показываем, что B истинно"; другими словами, приговор"B истина "зависит от предполагаемого суждения"A ∧ (B ∧ C) правда ". Это гипотетический вывод, который запишем следующим образом:

${\displaystyle {\begin{matrix}A\wedge \left(B\wedge C\right){\hbox{ true}}\\\vdots \\B{\hbox{ true}}\end{matrix}}}$

Интерпретация такова: "B верно выводится из A ∧ (B ∧ C) верно". Конечно, в этом конкретном примере мы действительно знаем происхождение"B правда "от"A ∧ (B ∧ C) правда ", но в целом мы не можем априори знать происхождение. Общая форма гипотетического вывода:

${\displaystyle {\begin{matrix}D_{1}\quad D_{2}\ \cdots \ D_{n}\\\vdots \\J\end{matrix}}}$

Каждый гипотетический вывод имеет набор предшествующий выводов ( D_я) написано в верхней строке, а преемник приговор (J) написано в нижней строке. Каждое из посылок само по себе может быть гипотетическим производным. (Для простоты мы рассматриваем суждение как вывод без предпосылок.)

Понятие гипотетического суждения усвоенный как связующее звено импликации. Правила введения и исключения следующие.

${\displaystyle {\cfrac {\begin{matrix}{\cfrac {}{A{\hbox{ true}}}}\ u\\\vdots \\B{\hbox{ true}}\end{matrix}}{A\supset B{\hbox{ true}}}}\ \supset _{I^{u}}\qquad {\cfrac {A\supset B{\hbox{ true}}\quad A{\hbox{ true}}}{B{\hbox{ true}}}}\ \supset _{E}}$

В правиле введения антецедент назвал ты является выписан в заключении. Это механизм для разграничения объем гипотезы: ее единственная причина существования - установить "B true "; он не может использоваться для каких-либо других целей, в частности, его нельзя использовать ниже введения. В качестве примера рассмотрим вывод"A ⊃ (B ⊃ (A ∧ B)) правда":

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {}{A{\hbox{ true}}}}\ u\quad {\cfrac {}{B{\hbox{ true}}}}\ w}{A\wedge B{\hbox{ true}}}}\ \wedge _{I}}{{\cfrac {B\supset \left(A\wedge B\right){\hbox{ true}}}{A\supset \left(B\supset \left(A\wedge B\right)\right){\hbox{ true}}}}\ \supset _{I^{u}}}}\ \supset _{I^{w}}}$

В этом полном выводе нет неудовлетворенных предпосылок; однако суб-производные находятся гипотетический. Например, вывод "B ⊃ (A ∧ B) истина "гипотетически с антецедентом"А правда "(по имени ты).

С помощью гипотетических выводов мы теперь можем написать правило исключения для дизъюнкции:

${\displaystyle {\cfrac {A\vee B{\hbox{ true}}\quad {\begin{matrix}{\cfrac {}{A{\hbox{ true}}}}\ u\\\vdots \\C{\hbox{ true}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\cfrac {}{B{\hbox{ true}}}}\ w\\\vdots \\C{\hbox{ true}}\end{matrix}}}{C{\hbox{ true}}}}\ \vee _{E^{u,w}}}$

На словах, если А ∨ Б верно, и мы можем получить "C правда "оба от"А правда "и от"B правда ", тогда C действительно правда. Обратите внимание, что это правило не обязывает "А истина "или"B истина ". В нулевом случае т.е. для лжи получаем следующее правило исключения:

${\displaystyle {\frac {\perp {\hbox{ true}}}{C{\hbox{ true}}}}\ \perp _{E}}$

Это читается так: если ложь истинна, то любое предложение C правда.

Отрицание похоже на импликацию.

${\displaystyle {\cfrac {\begin{matrix}{\cfrac {}{A{\hbox{ true}}}}\ u\\\vdots \\p{\hbox{ true}}\end{matrix}}{\lnot A{\hbox{ true}}}}\ \lnot _{I^{u,p}}\qquad {\cfrac {\lnot A{\hbox{ true}}\quad A{\hbox{ true}}}{C{\hbox{ true}}}}\ \lnot _{E}}$

Правило введения опровергает название гипотезы. ты, и преемник п, т.е., предложение п не должно быть в заключении А. Поскольку эти правила схематичны, интерпретация правила введения следующая: если от "А истина "мы можем вывести для каждого предложения п это "п правда ", тогда А должно быть ложным, т.е., "не А true ". Для исключения, если оба А и не А доказана истинность, то возникает противоречие, и в этом случае каждое предложение C правда. Поскольку правила импликации и отрицания очень похожи, довольно легко увидеть, что не А и А ⊃ ⊥ эквивалентны, т. е. одно выводится из другого.

Последовательность, полнота и нормальные формы

А теория называется непротиворечивой, если ложность не доказуема (без предположений), и полной, если каждая теорема или ее отрицание доказуемы с использованием правил вывода логики. Эти утверждения касаются всей логики и обычно связаны с каким-то понятием модель. Однако существуют местные понятия согласованности и полноты, которые представляют собой чисто синтаксические проверки правил вывода и не требуют обращения к моделям. Первым из них является локальная согласованность, также известная как локальная сводимость, которая гласит, что любой вывод, содержащий введение связки с последующим ее удалением, может быть превращен в эквивалентный вывод без этого обходного пути. Это проверка на прочность правил исключения: они не должны быть настолько сильными, чтобы включать в себя знания, которых еще нет в их предпосылках. В качестве примера рассмотрим союзы.

────── u ────── wA true B true─────────────────── ∧IA B true ─────────── ∧E1 Правда

⇒

────── uA правда

Соответственно, локальная полнота говорит о том, что правила исключения достаточно сильны, чтобы разложить связку на формы, подходящие для ее правила введения. Снова для союзов:

────────── uA ∧ B правда

⇒

────────── u ────────── uA ∧ B истинно A ∧ B истинно─────────── ∧E1 ────────── ∧E2 A true B true ───────────────────────── I A ∧ B true

Эти понятия в точности соответствуют β-редукция (бета-редукция) и η-преобразование (эта-преобразование) в лямбда-исчисление, с использованием Изоморфизм Карри – Ховарда. По локальной полноте мы видим, что любой вывод может быть преобразован в эквивалентный вывод, в котором вводится главная связка. Фактически, если весь вывод подчиняется этому порядку исключения, за которым следуют введения, то говорят, что он нормальный. При нормальном выводе все исключения происходят выше введения. В большинстве логик каждый вывод имеет эквивалентный нормальный вывод, называемый нормальная форма. Существование нормальных форм, как правило, трудно доказать с помощью одного естественного вывода, хотя такие объяснения действительно существуют в литературе, в первую очередь Даг Правиц в 1961 г.^[7] Косвенно это показать гораздо проще с помощью без обрезков последовательное исчисление презентация.

Расширения первого и более высокого порядка

Краткое изложение системы первого порядка

Логика предыдущего раздела является примером односортированный логика т.е., логика с единственным типом объекта: предложения. Было предложено множество расширений этой простой структуры; в этом разделе мы расширим его вторым видом отдельные лица или термины. Точнее, мы добавим новый вид суждения ",t - термин" (или "t термин") где т схематично. Мы исправим счетный набор V из переменные, еще один счетный набор F из функциональные символы, и построим термины со следующими правилами формирования:

${\displaystyle {\frac {v\in V}{v{\hbox{ term}}}}{\hbox{ var}}_{F}}$

и

${\displaystyle {\frac {f\in F\qquad t_{1}{\hbox{ term}}\qquad t_{2}{\hbox{ term}}\qquad \cdots \qquad t_{n}{\hbox{ term}}}{f(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{n}){\hbox{ term}}}}{\hbox{ app}}_{F}}$

Для предложений рассмотрим третье счетное множество п из предикаты, и определим атомарные предикаты над терминами со следующим правилом формирования:

${\displaystyle {\frac {\phi \in P\qquad t_{1}{\hbox{ term}}\qquad t_{2}{\hbox{ term}}\qquad \cdots \qquad t_{n}{\hbox{ term}}}{\phi (t_{1},t_{2},\cdots ,t_{n}){\hbox{ prop}}}}{\hbox{ pred}}_{F}}$

Первые два правила образования дают определение термина, которое фактически совпадает с тем, что определено в алгебра терминов и теория моделей, хотя фокус этих областей исследования сильно отличается от естественного вывода. Третье правило формирования эффективно определяет атомная формула, как в логика первого порядка, и снова в теории моделей.

К ним добавляется пара правил формирования, определяющих обозначения для количественно предложения; один для универсальной (∀) и экзистенциальной (∃) количественной оценки:

${\displaystyle {\frac {x\in V\qquad A{\hbox{ prop}}}{\forall x.A{\hbox{ prop}}}}\;\forall _{F}\qquad \qquad {\frac {x\in V\qquad A{\hbox{ prop}}}{\exists x.A{\hbox{ prop}}}}\;\exists _{F}}$

В универсальный квантор имеет правила введения и исключения:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {}{a{\hbox{ term}}}}{\hbox{ u}}\\\vdots \\{\cfrac {[a/x]A{\hbox{ true}}}{\forall x.A{\hbox{ true}}}}\;\forall _{I^{u,a}}\end{matrix}}\qquad \qquad {\frac {\forall x.A{\hbox{ true}}\qquad t{\hbox{ term}}}{[t/x]A{\hbox{ true}}}}\;\forall _{E}}$

В экзистенциальный квантор имеет правила введения и исключения:

${\displaystyle {\frac {[t/x]A{\hbox{ true}}}{\exists x.A{\hbox{ true}}}}\;\exists _{I}\qquad \qquad {\cfrac {{\begin{matrix}\\\\\\\\\exists x.A{\hbox{ true}}\\\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}{\cfrac {}{a{\hbox{ term}}}}{\hbox{ u}}\qquad {\cfrac {}{[a/x]A{\hbox{ true}}}}{\hbox{ v}}\\\vdots \\C{\hbox{ true}}\\\end{matrix}}}{C{\hbox{ true}}}}\exists _{E^{a,u,v}}}$

В этих правилах обозначение [т/Икс] А означает замену т для каждого (видимого) экземпляра Икс в А, избегая захвата.^[8] Как и прежде, верхние индексы в названии обозначают разряженные компоненты: термин а не может присутствовать в заключении ∀I (такие термины известны как собственные переменные или параметры), а гипотезы, названные ты и v в ∃E локализованы во второй посылке в гипотетическом выводе.Хотя логика высказываний предыдущих разделов была разрешимый добавление кванторов делает логику неразрешимой.

Пока что количественные расширения Первый заказ: они отличают предложения от видов объектов, которые количественно оцениваются. Логика высшего порядка использует другой подход и предлагает только один вид предложений. Кванторы имеют в качестве области количественной оценки те же самые суждения, которые отражены в правилах формирования:

${\displaystyle {\cfrac {\begin{matrix}{\cfrac {}{p{\hbox{ prop}}}}{\hbox{ u}}\\\vdots \\A{\hbox{ prop}}\\\end{matrix}}{\forall p.A{\hbox{ prop}}}}\;\forall _{F^{u}}\qquad \qquad {\cfrac {\begin{matrix}{\cfrac {}{p{\hbox{ prop}}}}{\hbox{ u}}\\\vdots \\A{\hbox{ prop}}\\\end{matrix}}{\exists p.A{\hbox{ prop}}}}\;\exists _{F^{u}}}$

Обсуждение форм введения и исключения для логики более высокого порядка выходит за рамки данной статьи. Возможно быть промежуточным между логикой первого и высшего порядка. Например, логика второго порядка имеет два вида предложений: один тип дает количественную оценку по условиям, а второй - по предложениям первого типа.

Различные представления естественного вывода

Древовидные презентации

Аннотаций Гентцена, используемых для усвоения гипотетических суждений, можно избежать, представив доказательства в виде дерева секвенты Γ ⊢A вместо дерева Правда суждения.

Последовательные презентации

Представления Яськовского о естественной дедукции привели к различным обозначениям, таким как Расчет в стиле Fitch (или диаграммы Fitch) или Suppes 'метод, из которых Лимон дал вариант под названием система L. Такие системы представления, которые более точно описываются как табличные, включают следующее.

• 1940: В учебнике Куайн^[9] указали предшествующие зависимости номерами строк в квадратных скобках, предвосхищая нотацию номеров строк Suppes 1957 года.
• 1950: В учебнике, Куайн (1982, pp. 241–255) продемонстрировал метод использования одной или нескольких звездочек слева от каждой строки доказательства для обозначения зависимостей. Это эквивалент вертикальных полос Клини. (Не совсем ясно, появилась ли звездочка Куайна в оригинальном издании 1950 года или была добавлена ​​в более позднем издании.)
• 1957: Введение в практическую логику доказательства теорем в учебнике Suppes (1999) С. 25–150). Это указывало на зависимости (т. Е. Предшествующие утверждения) номерами строк слева от каждой строки.
• 1963: Столл (1979), pp. 183–190, 215–219) использует наборы номеров строк, чтобы указать предшествующие зависимости строк последовательных логических аргументов, основанные на правилах вывода естественного вывода.
• 1965: Весь учебник Лимон (1965) представляет собой введение в логические доказательства с использованием метода, основанного на методе Suppes.
• 1967: В учебнике, Клини (2002), pp. 50–58, 128–130) вкратце продемонстрировали два вида доказательств практической логики: одна система использует явные цитаты предшествующих утверждений слева от каждой строки, другая система использует вертикальные черточки слева для обозначения зависимостей.^[10]

Доказательства и теория типов

Изложение естественной дедукции до сих пор концентрировалось на природе предложений, не давая формального определения понятия доказательство. Чтобы формализовать понятие доказательства, мы немного изменим представление гипотетических выводов. Мы помечаем антецеденты переменные доказательства (из некоторого счетного множества V переменных) и украсить последователя фактическим доказательством. Антецеденты или гипотезы отделены от преемника посредством турникет (⊢). Эта модификация иногда носит название локализованные гипотезы. На следующей диаграмме показаны изменения.

──── ты1 ──── ты2 ... ──── тып J1 J2 Jп ⋮ J

⇒

ты1: J1, ты2: J2, ..., тып: Jп ⊢ J

Набор гипотез будет записан как Γ, когда их точный состав не имеет значения. Чтобы сделать доказательства явными, мы переходим от суждения без доказательства "Правда"на суждение:" π является доказательством (Истина)", который символически записывается как" π: Правда". Следуя стандартному подходу, доказательства задаются своими собственными правилами формирования суждения" π доказательство". Простейшее возможное доказательство - это использование помеченной гипотезы; в этом случае свидетельство - это сам ярлык.

u ∈ V─────── proof-Fu proof

────────────────────── hypu: Истина ⊢ u: Истина

Для краткости опустим оценочную метку. правда в остальной части этой статьи т.е.напишите «Γ ⊢ π: А". Давайте еще раз рассмотрим некоторые связки с явными доказательствами. Что касается конъюнкции, мы рассмотрим вводное правило ∧I, чтобы узнать форму доказательств конъюнкции: они должны быть парой доказательств двух конъюнктов. Таким образом:

π1 доказательство π2 доказательство───────────────────── пара-F (π1, π2) доказательство

Γ ⊢ π1 : A Γ ⊢ π2 : B────────────────────────── ∧IΓ ⊢ (π1, π2): A ∧ B

Правила исключения ∧E₁ и ∧E₂ выберите левый или правый конъюнкт; таким образом, доказательства представляют собой пару проекций - сначала (первый) и второй (snd).

π proof──────────── первый-Fпервый π доказательство		Γ ⊢ π: A ∧ B─────────────── ∧E1Γ ⊢ первый π: А
π proof──────────── snd-Fsnd π доказательство		Γ ⊢ π: A ∧ B─────────────── ∧E2Γ ⊢ snd π: B

Для импликации вводная форма локализует или связывает гипотеза, записанная с использованием λ; это соответствует разряженной этикетке. В правиле "Γ, ты:А"обозначает набор гипотез Γ вместе с дополнительной гипотезой ты.

π proof──────────── λ-Fλu. π доказательство		Γ, u: A ⊢ π: B────────────────── ⊃IΓ ⊢ λu. π: А ⊃ В
π1 доказательство π2 доказательство─────────────────── app-Fπ1 π2 доказательство		Γ ⊢ π1 : A ⊃ B Γ ⊢ π2 : A───────────────────────────── ⊃EΓ ⊢ π1 π2 : B

Когда доказательства доступны явно, можно манипулировать доказательствами и рассуждать о них. Ключевой операцией при доказательствах является замена одного доказательства предположением, используемым в другом доказательстве. Это широко известно как теорема подстановки, и может быть доказано индукция о глубине (или структуре) второго приговора.

Теорема подстановки

Если Γ ⊢ π₁ : А и Γ, ты:А ⊢ π₂ : B, тогда Γ ⊢ [π₁/ты] π₂ : Б.

Пока что суждение «Γ ⊢ π: А"имеет чисто логическое толкование. В теория типов, логическое представление заменяется более вычислительным представлением объектов. Предложения в логической интерпретации теперь рассматриваются как типы, и доказательства как программы в лямбда-исчисление. Таким образом, интерпретация «π: А" является "программа π имеет тип А". Логические связки также читаются иначе: союз рассматривается как товар (×), импликация как функция стрелка (→) и т. Д. Различия носят чисто косметический характер. Теория типов имеет естественное представление вывода с точки зрения правил формирования, введения и исключения; на самом деле читатель может легко восстановить то, что известно как теория простых типов из предыдущих разделов.

Разница между логикой и теорией типов заключается, прежде всего, в смещении акцента с типов (предложений) на программы (доказательства). Теория типов в основном заинтересована в конвертируемости или сводимости программ. Для каждого типа существуют несводимые канонические программы этого типа; они известны как канонические формы или ценности. Если каждую программу можно привести к каноническому виду, то теория типов называется нормализация (или слабо нормализующий). Если каноническая форма единственна, то говорят, что теория сильно нормализующий. Нормализуемость - редкая черта большинства нетривиальных теорий типов, что сильно отличается от мира логики. (Напомним, что почти каждое логическое происхождение имеет эквивалентное нормальное происхождение.) Чтобы обрисовать причину: в теориях типов, допускающих рекурсивные определения, можно писать программы, которые никогда не сводятся к значению; таким программам цикла обычно можно присвоить любой тип. В частности, программа цикла имеет тип ⊥, хотя нет логического доказательства "⊥". правда". По этой причине предложения как типы; доказательства как программы парадигма работает только в одном направлении, если вообще работает: интерпретация теории типов как логики обычно дает непоследовательную логику.

Пример: теория зависимых типов

Подобно логике, теория типов имеет множество расширений и вариантов, включая версии первого и высшего порядка. Одна ветвь, известная как теория зависимых типов, используется в ряде компьютерное доказательство системы. Теория зависимых типов позволяет кванторам распространяться среди самих программ. Эти количественные типы записываются как Π и Σ вместо ∀ и ∃, и имеют следующие правила формирования:

Γ ⊢ Тип Γ, x: A ⊢ Тип B─────────────────────────────── Π-FΓ ⊢ Πx: A. Тип B

Γ ⊢ Тип Γ, x: A ⊢ Тип B────────────────────────────── Σ-FΓ ⊢ Σx: A. Тип B

Эти типы являются обобщениями типов стрелок и продуктов соответственно, о чем свидетельствуют их правила введения и исключения.

Γ, x: A ⊢ π: B───────────────────── ΠIΓ ⊢ λx. π: Πx: A. B

Γ ⊢ π1 : Πx: А. B Γ ⊢ π2 : A────────────────────────────── ΠEΓ ⊢ π1 π2 : [π2/ x] B

Γ ⊢ π1 : A Γ, x: A ⊢ π2 : B────────────────────────────── ΣIΓ ⊢ (π1, π2): Σx: A. B

Γ ⊢ π: Σx: A. B───────────────── ΣE1Γ ⊢ первый π: А

Γ ⊢ π: Σx: A. B────────────────────────── ΣE2Γ ⊢ snd π: [первый π / x] B

Теория зависимых типов в полной общности очень мощна: она способна выразить практически любые мыслимые свойства программ непосредственно в типах программы. За такую ​​универсальность приходится платить - либо проверка типов неразрешима (теория экстенсионального типа ), или более сложным является экстенсиональное рассуждение (теория интенсионального типа ). По этой причине некоторые теории зависимых типов не допускают количественной оценки произвольных программ, а ограничиваются программами заданного разрешимого индексный домен, например целые числа, строки или линейные программы.

Поскольку теории зависимых типов позволяют типам зависеть от программ, возникает естественный вопрос, могут ли программы зависеть от типов или любой другой комбинации. На такие вопросы есть много разных ответов. Популярный подход в теории типов - позволить количественную оценку программ по типам, также известный как параметрический полиморфизм; из этого есть два основных вида: если типы и программы хранятся отдельно, то получается несколько более хорошо управляемая система, называемая предикативный полиморфизм; если различие между программой и типом стирается, получается теоретико-типовой аналог логики высшего порядка, также известный как импредикативный полиморфизм. В литературе рассматривались различные комбинации зависимости и полиморфизма, самая известная из которых - лямбда-куб из Хенк Барендрегт.

Пересечение логики и теории типов - обширная и активная область исследований. Новые логики обычно формализуются в рамках общей теории типов, известной как логическая структура. Популярные современные логические структуры, такие как расчет конструкций и LF основаны на теории зависимых типов более высокого порядка с различными компромиссами с точки зрения разрешимости и выразительной силы. Эти логические структуры сами всегда определяются как системы естественной дедукции, что свидетельствует о универсальности подхода естественной дедукции.

Классическая и модальная логика

Для простоты представленная до сих пор логика была интуиционистский. Классическая логика расширяет интуиционистскую логику дополнительным аксиома или принцип исключенный средний:

Для любого предложения p предложение p ∨ ¬p верно.

Это утверждение не является очевидным ни введением, ни устранением; действительно, он включает в себя две различные связки. Первоначальный подход Генцена к исключенному среднему предписывал одну из следующих трех (эквивалентных) формулировок, которые уже присутствовали в аналогичных формах в системах Гильберта и Heyting:

─────────────── XM1A ∨ ¬A правда

¬¬A true────────── XM2Правда

──────── ты¬А правда ⋮п правда────── XM3u, pПравда

(XM₃ это просто XM₂ выражается в терминах E.) Такой подход к исключенному среднему, помимо того, что он нежелателен с точки зрения пуриста, вносит дополнительные сложности в определение нормальных форм.

Сравнительно более удовлетворительная трактовка классической естественной дедукции только с точки зрения правил введения и исключения была впервые предложена Париго в 1992 году в виде классического лямбда-исчисление называется λμ. Ключевой идеей его подхода было заменить суждение, ориентированное на истину. Правда с более классическим понятием, напоминающим последовательное исчисление: в локализованном виде вместо Γ ⊢ А, он использовал Γ ⊢ ∆, где ∆ - набор предложений, подобных Γ. Γ рассматривался как конъюнкция, а ∆ как дизъюнкция. Эта структура по сути заимствована прямо из классической последовательные исчисления, но нововведение в λμ должно было придать вычислительный смысл классическим доказательствам естественного вывода в терминах callcc или механизм выброса / захвата, замеченный в LISP и его потомки. (Смотрите также: первоклассный контроль.)

Еще одно важное расширение было для модальный и другие логики, которым нужно больше, чем просто суждение об истине. Они были впервые описаны для модальной логики алетических S4 и S5, в стиле естественной дедукции Prawitz в 1965 г.,^[4] и с тех пор накопили большое количество связанных работ. Чтобы дать простой пример, модальная логика S4 требует одного нового суждения: "Действительный", что категорично по отношению к истине:

Если "А верно" без предположений формы "В верно", то "А верно".

Это категоричное суждение усвоено как унарная связка ◻А (читать "обязательно A") со следующими правилами введения и исключения:

Действительный──────── ◻I◻ Истинный

◻ Истина──────── EA правда

Обратите внимание, что предпосылка "Действительный"не имеет определяющих правил; вместо этого используется категориальное определение действительности. Этот режим становится более ясным в локализованной форме, когда гипотезы явны. Мы пишем" Ω; Γ ⊢ Правда«где Γ, как и раньше, содержит истинные гипотезы, а Ω содержит действительные гипотезы. Справа есть только одно суждение»Правда"; справедливость здесь не нужна, поскольку" Ω ⊢ Действительный"по определению то же самое, что" Ω; ⋅ ⊢ Правда". Формы введения и исключения:

Ω; ⋅ ⊢ π: Истина───────────────────── ◻IΩ; ⋅ ⊢ коробка π: ◻ Истинный

Ω; Γ ⊢ π: ◻ Истина─────────────────────── EΩ; Γ ⊢ распаковать π: Истинный

Модальные гипотезы имеют свою собственную версию правила гипотез и теоремы замещения.

──────────────────────────────── valid-hypΩ, u: (Действительный); Γ ⊢ u: истинное

Теорема модальной подстановки

Если Ω; ⋅ ⊢ π₁ : Правда и Ω, ты: (Действительный); Γ ⊢ π₂ : C правда, тогда Ω; Γ ⊢ [π₁/ты] π₂ : C правда.

Эта структура разделения суждений на отдельные наборы гипотез, также известная как многозонный или полиадический контексты, очень мощный и расширяемый; он применялся для множества различных модальных логик, а также для линейный и другие субструктурная логика, чтобы привести несколько примеров. Однако относительно немного систем модальной логики можно формализовать непосредственно с помощью естественной дедукции. Чтобы дать теоретико-доказательственные характеристики этих систем, расширения, такие как маркировка или системы глубокого вывода.

Добавление меток к формулам позволяет более точно контролировать условия применения правил, позволяя применять более гибкие методы аналитические таблицы применяться, как это было сделано в случае маркированный вычет. Метки также позволяют именовать миры в семантике Крипке; Симпсон (1993) представляет эффективный метод преобразования условий фрейма модальных логик в семантике Крипке в правила вывода в формализации естественного вывода гибридная логика. Ступпа (2004) исследует применение многих теорий доказательств, таких как Аврон и Поттингер. гиперсеквенты и Белнапа логика отображения таким модальным логикам, как S5 и B.

Сравнение с другими основополагающими подходами

Последовательное исчисление

Основная статья: Последовательное исчисление

Последовательное исчисление - главная альтернатива естественной дедукции как основа математическая логика. При естественной дедукции поток информации является двунаправленным: правила исключения передают информацию вниз путем деконструкции, а правила введения передают информацию вверх путем сборки. Таким образом, у доказательства естественного вывода нет чисто восходящего или нисходящего чтения, что делает его непригодным для автоматизации при поиске доказательства. Чтобы обратить внимание на этот факт, Gentzen в 1935 г. предложил свою последовательное исчисление, хотя изначально он задумывал это как техническое средство для выяснения последовательности логика предикатов. Клини в своей основополагающей книге 1952 г. Введение в метаматематику, дал первую формулировку секвенциального исчисления в стиле модерн.^[11]

В последовательном исчислении все правила вывода имеют чисто восходящее чтение. Правила вывода могут применяться к элементам по обе стороны от турникет. (Чтобы отличить от естественного вывода, в этой статье для секвенций используется двойная стрелка ⇒ вместо правильной линии ⊢.) Введение правил естественного вывода рассматривается как правильные правила в последовательном исчислении и структурно очень похожи. С другой стороны, правила исключения превращаются в оставленные правила в последовательном исчислении. В качестве примера рассмотрим дизъюнкцию; правильные правила знакомы:

Γ ⇒ A────────── ∨R1Γ ⇒ A ∨ B

Γ ⇒ B────────── ∨R2Γ ⇒ A ∨ B

Слева:

Γ, u: A ⇒ C Γ, v: B ⇒ C───────────────────────────── ∨LΓ, w: (A ∨ B ) ⇒ C

Вспомните правило естественного вывода E в локализованной форме:

Γ ⊢ A ∨ B Γ, u: A ⊢ C Γ, v: B ⊢ C───────────────────────────────── ──────── ∨EΓ ⊢ C

Предложение А ∨ Б, которая является преемником посылки в E, превращается в гипотезу заключения в левом правиле L. Таким образом, левые правила можно рассматривать как своего рода перевернутое правило исключения. Это наблюдение можно проиллюстрировать следующим образом:

естественный вычет		последовательное исчисление
────── hyp | | элим. правила | ↓ ─────────────────────── ↑ ↓ встретить ↑ | | вступление. правила | заключение	⇒	──────────────────────────── init ↑ ↑ | | | левые правила | правильные правила | | заключение

В последовательном исчислении левое и правое правила выполняются синхронно, пока не будет достигнута начальная последовательность, что соответствует точке пересечения правил исключения и введения в естественной дедукции. Эти исходные правила внешне похожи на правило гипотез естественного вывода, но в исчислении секвенции они описывают транспозиция или рукопожатие левого и правого предложения:

────────── initΓ, u: A ⇒ A

Соответствие между исчислением секвенций и естественной дедукцией - это пара теорем о правильности и полноте, которые доказываются с помощью индуктивного аргумента.

Обоснованность ⇒ ср. ⊢

Если Γ ⇒ А, тогда Γ ⊢ А.

Полнота ⇒ ср. ⊢

Если Γ ⊢ А, тогда Γ ⇒ А.

Из этих теорем ясно, что исчисление секвенций не меняет понятия истины, потому что тот же самый набор предложений остается верным. Таким образом, можно использовать те же объекты доказательства, что и раньше, при выводе последовательного исчисления. В качестве примера рассмотрим союзы. Правильное правило практически идентично правилу введения.

последовательное исчисление		естественный вычет
Γ ⇒ π1 : A Γ ⇒ π2 : B──────────────────────────── RΓ ⇒ (π1, π2): A ∧ B		Γ ⊢ π1 : A Γ ⊢ π2 : B────────────────────────── ∧IΓ ⊢ (π1, π2): A ∧ B

Однако левое правило выполняет некоторые дополнительные замены, которые не выполняются в соответствующих правилах исключения.

последовательное исчисление		естественный вычет
Γ, u: A ⇒ π: C────────────────────────────────── ∧L1Γ, v: (A ∧ B) ⇒ [первый v / u] π: C		Γ ⊢ π: A ∧ B─────────────── ∧E1Γ ⊢ первый π: А
Γ, u: B ⇒ π: C────────────────────────────────── ∧L2Γ, v: (A ∧ B) ⇒ [snd v / u] π: C		Γ ⊢ π: A ∧ B─────────────── ∧E2Γ ⊢ snd π: B

Таким образом, виды доказательств, полученные в исчислении секвенций, довольно сильно отличаются от доказательств естественного вывода. Последовательное исчисление дает доказательства в так называемом β-нормальный η-длинный форма, которая соответствует каноническому представлению нормальной формы доказательства естественного вывода. Если попытаться описать эти доказательства, используя саму естественную дедукцию, получится то, что называется интеркаляционный камень (впервые описанный Джоном Бирнсом), который можно использовать для формального определения понятия нормальная форма для естественного удержания.

Теорема подстановки естественного вывода принимает форму структурное правило или структурная теорема, известная как резать в последовательном исчислении.

Вырезать (замена)

Если Γ ⇒ π₁ : А и Γ, ты:А ⇒ π₂ : C, тогда Γ ⇒ [π₁/ u] π₂ : C.

В большинстве хорошо продуманных логик сокращение не требуется как правило вывода, хотя его можно доказать как мета-теорема; Избыточность правила отсечения обычно представляется как вычислительный процесс, известный как вырезать устранение. Это интересное приложение для естественного вывода; обычно очень утомительно доказывать определенные свойства непосредственно с помощью естественного вывода из-за неограниченного числа случаев. Например, рассмотрите возможность показать, что данное предложение не доказуемо с помощью естественного вывода. Простой индуктивный аргумент не работает из-за таких правил, как ∨E или E, которые могут вводить произвольные предложения. Однако мы знаем, что исчисление секвенций полно по отношению к естественному выводу, поэтому достаточно показать эту недоказуемость в исчислении секвенций. Теперь, если сокращение недоступно в качестве правила вывода, тогда все правила секвенции вводят связку справа или слева, так что глубина вывода секвенции полностью ограничена связками в окончательном заключении. Таким образом, показать недоказуемость намного проще, потому что необходимо рассмотреть лишь конечное число случаев, и каждый случай полностью состоит из подпунктов вывода. Простым примером этого является глобальная согласованность теорема: "⋅ ⊢ ⊥ правда"не доказуемо. В версии исчисления секвенций это явно верно, потому что не существует правила, которое могло бы иметь" ⋅ ⇒ ⊥ "в качестве заключения! Теоретики доказательства часто предпочитают работать с формулировками исчисления секвенций без сечений из-за таких свойств.

Смотрите также

• Философский портал

• Математическая логика
• Последовательное исчисление
• Герхард Гентцен
• Система L (табличный естественный вычет)
• Карта аргументов, общий термин для обозначения древовидной логики

Заметки

1. Яськовский 1934.
2. Гентцен 1934, Гентцен 1935.
3. Гентцен 1934, п. 176.
4. Prawitz 1965, Prawitz 2006.
5. Мартин-Лёф 1996.
6. Это связано с Больцано, как цитирует Мартин-Лёф 1996, п. 15.
7. Также его книгу Prawitz 1965, Prawitz 2006.
8. См. Статью о лямбда-исчисление для более подробной информации о концепции замещения.
9. Куайн (1981). См., В частности, стр. 91–93, где представлена ​​нотация номеров строк Куайна для предшествующих зависимостей.
10. Особое преимущество табличных систем естественного вывода Клини состоит в том, что он доказывает справедливость правил вывода как для исчисления высказываний, так и для исчисления предикатов. Увидеть Клини 2002 С. 44–45, 118–119.
11. Клини 2009 С. 440–516. Смотрите также Клини 1980.

использованная литература

• Баркер-Пламмер, Дэйв; Барвайз, Джон; Этчменди, Джон (2011). Языковое доказательство и логика (2-е изд.). Публикации CSLI. ISBN  978-1575866321.
• Галье, Жан (2005). "Конструктивная логика. Часть I: Учебное пособие по системам доказательства и типизированным λ-исчислениям". Получено 12 июн 2014.
• Генцен, Герхард Карл Эрих (1934). "Untersuchungen über das logische Schließen. I". Mathematische Zeitschrift. 39 (2): 176–210. Дои:10.1007 / BF01201353. (Английский перевод Исследования логического вывода в М. Э. Сабо. Собрание сочинений Герхарда Гентцена. Издательство North-Holland Publishing Company, 1969.)
• Генцен, Герхард Карл Эрих (1935). "Untersuchungen über das logische Schließen. II". Mathematische Zeitschrift. 39 (3): 405–431. Дои:10.1007 / bf01201363.
• Жирар, Жан-Ив (1990). Доказательства и типы. Кембриджские трактаты в теоретической информатике. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Англия. Архивировано из оригинал на 2016-07-04. Получено 2006-04-20. Перевод и приложения Пола Тейлора и Ива Лафонта.
• Яськовский, Станислав (1934). О правилах предположений в формальной логике. Перепечатано в Польская логика 1920–39, изд. Сторрс МакКолл.
• Клини, Стивен Коул (1980) [1952]. Введение в метаматематику (Одиннадцатое изд.). Северная Голландия. ISBN  978-0-7204-2103-3.
• Клини, Стивен Коул (2009) [1952]. Введение в метаматематику. Ishi Press International. ISBN  978-0-923891-57-2.
• Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42533-7.
• Леммон, Эдвард Джон (1965). Начальная логика. Томас Нельсон. ISBN  978-0-17-712040-4.
• Мартин-Лёф, Пер (1996). «О значениях логических констант и обоснованиях логических законов» (PDF). Северный журнал философской логики. 1 (1): 11–60. Конспект лекций к короткому курсу в Università degli Studi di Siena, апрель 1983 г.
• Пфеннинг, Франк; Дэвис, Роуэн (2001). «Оценочная реконструкция модальной логики» (PDF). Математические структуры в компьютерных науках. 11 (4): 511–540. CiteSeerX  10.1.1.43.1611. Дои:10.1017 / S0960129501003322.
• Правиц, Даг (1965). Естественная дедукция: теоретико-доказательное исследование. Acta Universitatis Stockholmiensis, Стокгольмские исследования философии 3. Стокгольм, Гетеборг, Упсала: Almqvist & Wicksell.
• Правиц, Даг (2006) [1965]. Естественная дедукция: теоретико-доказательное исследование. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44655-4.
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1981) [1940]. Математическая логика (Пересмотренная ред.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-55451-1.
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1982) [1950]. Методы логики (Четвертое изд.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-57176-1.
• Симпсон, Алекс (1993). Теория доказательств и семантика интуиционистской модальной логики (PDF). Эдинбургский университет. Кандидатская диссертация.
• Столл, Роберт Рот (1979) [1963]. Теория множеств и логика. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-63829-4.
• Ступпа, Финики (2004). Дизайн модальных теорий доказательства: случай S5. Дрезденский университет. CiteSeerX  10.1.1.140.1858. Магистерская диссертация.
• Суппес, Патрик полковник (1999) [1957]. Введение в логику. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-40687-9.

внешние ссылки

• Лаборео, Даниэль Клементе "Введение в естественную дедукцию. "
• Домино на кислоте. Естественная дедукция визуализируется как игра в домино.
• Пеллетье, Джефф "История естественной дедукции и учебники элементарной логики. "
• Леви, Мишель, Доказательство высказываний.