История алгебры - History of algebra

Алгебра можно по существу рассматривать как выполнение вычислений, аналогичных вычислениям арифметика но с нечисловыми математическими объектами. Однако до XIX века алгебра по существу состояла из теория уравнений. Например, основная теорема алгебры принадлежит теории уравнений и в настоящее время не рассматривается как принадлежащая к алгебре (фактически, каждое доказательство должно использовать полнота действительных чисел, что не является алгебраическим свойством).

В статье описывается история теории уравнений, называемой здесь «алгеброй», от истоков до возникновения алгебры как отдельной области математики.

Этимология

Слово «алгебра» происходит от арабский слово الجبر Аль-Джабр, и это происходит из трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком, Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми, чье арабское название, Китаб аль-Мухтагар фи Шисаб аль-Табр ва-ль-мукабала, можно перевести как Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки. Трактат предусматривал систематическое решение линейный и квадратные уравнения. Согласно одной истории, "[я] не уверен, какие термины Аль-Джабр и мукабала означают, но обычное толкование аналогично тому, что подразумевается в предыдущем переводе. Слово «аль-джабр» предположительно означало что-то вроде «восстановление» или «завершение» и, кажется, относилось к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; слово «мукабала» относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть отмене одинаковых терминов в противоположных частях уравнения. Арабское влияние в Испании намного позже времен аль-Хорезми обнаруживается в Дон Кихот, где слово «algebrista» используется для обозначения костоправ, то есть «реставратор».^[1] Этот термин используется аль-Хорезми для описания операций, которые он ввел: "снижение «и« уравновешивание », относящееся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмену одинаковых членов в противоположных частях уравнения.^[2]

Этапы алгебры

Смотрите также: Хронология алгебры

Алгебраическое выражение

Алгебра не всегда использовала символизм, который теперь повсеместно используется в математике; вместо этого он прошел три отдельных этапа. Этапы развития символической алгебры примерно следующие:^[3]

• Риторическая алгебра, в котором уравнения записываются полными предложениями. Например, риторическая форма Икс + 1 = 2 - это «Вещь плюс один равняется двум» или, возможно, «Вещь плюс 1 равняется 2». Риторическая алгебра была впервые разработана древними Вавилоняне и оставался доминирующим до 16 века.

• Синкопированная алгебра, в котором используется некоторый символизм, но который не содержит всех характеристик символической алгебры. Например, может быть ограничение, что вычитание может использоваться только один раз в пределах одной стороны уравнения, что не относится к символьной алгебре. Синкопированные алгебраические выражения впервые появились в Диофант ' Арифметика (3 век нашей эры), за которым следует Брахмагупта с Брахма Сфута Сиддханта (7 век).

• Символическая алгебра, в котором используется полная символика. Первые шаги к этому можно увидеть в работе нескольких Исламские математики Такие как Ибн аль-Банна (13-14 вв.) И аль-Каласади (15 век), хотя полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виет (16-ый век). Потом, Рене Декарт (17 век) ввел современные обозначения (например, использование Икс—Смотри ниже ) и показал, что проблемы, возникающие в геометрии, могут быть выражены и решены в терминах алгебры (Декартова геометрия ).

Не менее важным, чем использование или отсутствие символики в алгебре, была степень решаемых уравнений. Квадратные уравнения играл важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего современного периода, все квадратные уравнения относились к одной из трех категорий.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

где p и q положительны. Эта трихотомия возникает из-за квадратных уравнений вида ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, с положительными p и q, не имеют положительных корней.^[4]

Между риторическим и синкопированным этапами символической алгебры геометрическая конструктивная алгебра был разработан классическим Греческий и Ведические индийские математики в котором алгебраические уравнения решались через геометрию. Например, уравнение вида ${\displaystyle x^{2}=A}$ было решено путем нахождения стороны квадрата площади А.

Концептуальные этапы

В дополнение к трем стадиям выражения алгебраических идей некоторые авторы выделяли четыре концептуальных стадии в развитии алгебры, которые произошли вместе с изменениями в выражении. Эти четыре этапа были следующими:^{[5][неосновной источник необходим ]}

• Геометрический этап, где понятия алгебры геометрический. Это восходит к Вавилоняне и продолжил Греки, а позже был возрожден Омар Хайям.
• Этап решения статического уравнения, где цель состоит в том, чтобы найти числа, удовлетворяющие определенным отношениям. Отход от геометрической алгебры восходит к Диофант и Брахмагупта, но алгебра решительно не перешла к стадии решения статических уравнений до тех пор, пока Аль-Хорезми представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Стадия динамической функции, где движение является основной идеей. Идея функция начал появляться с Шараф ад-Дин ат-Туси, но алгебра решительно не перешла к стадии динамических функций до тех пор, пока Готфрид Лейбниц.
• Абстрактная сцена, где математическая структура играет центральную роль. Абстрактная алгебра в значительной степени продукт XIX и XX веков.

Вавилон

Смотрите также: Вавилонская математика

В Плимптон 322 планшет.

Истоки алгебры восходят к древним Вавилоняне,^{[нужна цитата ]} которые разработали позиционную систему счисления, которая очень помогла им в решении их риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне интересовали не точные решения, а приближения, поэтому они обычно использовали линейная интерполяция для приближения промежуточных значений.^[6] Один из самых известных планшетов - Плимптон 322 таблетка, созданный около 1900–1600 гг. до н.э., что дает таблицу Пифагорейские тройки и представляет собой одну из самых передовых математических систем до греческой математики.^[7]

Вавилонская алгебра была намного более развитой, чем египетская алгебра того времени; тогда как египтян в основном интересовали линейные уравнения, вавилоняне больше интересовались квадратными и кубическими уравнениями.^[6] Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, с помощью которых они могли добавлять равные к равным и умножать обе части уравнения на одинаковые величины, чтобы исключить дроби и множители.^[6] Они были знакомы со многими простыми формами факторинга,^[6] трехчленные квадратные уравнения с положительными корнями,^[8] и многие кубические уравнения^[9] хотя неизвестно, смогли ли они уменьшить общее кубическое уравнение.^[9]

Древний Египет

Часть Ринд Папирус.

Смотрите также: Египетская математика

Древнеегипетская алгебра имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику на более высоком уровне, чем египтяне.^[6]

Папирус Ринда, также известный как Папирус Ахмеса, - это древнеегипетский папирус, написанный ок. 1650 г. до н.э. Ахмесом, который переписал его из более ранней работы, датированной между 2000 и 1800 гг.^[10] Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам.^[11] Папирус Райнда содержит задачи, в которых линейные уравнения вида ${\displaystyle x+ax=b}$ и ${\displaystyle x+ax+bx=c}$ решены, где а, б, и c известны и Икс, который называют «ага» или куча, неизвестно.^[12] Возможно, но маловероятно, что решения были получены с помощью «метода ложного положения», или Regula Falsi, где сначала конкретное значение подставляется в левую часть уравнения, затем выполняются необходимые арифметические вычисления, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения, и, наконец, правильный ответ находится с использованием пропорции. В некоторых задачах автор «проверяет» свое решение, тем самым записывая одно из первых известных простых доказательств.^[12]

Греческая математика

Смотрите также: Греческая математика

Один из старейших сохранившихся фрагментов Евклид с Элементы, найденный в Оксиринхе и датированный примерно 100 годом нашей эры (П. Окси. 29 ). Диаграмма прилагается к книге II, предложение 5.^[13]

Иногда утверждается, что Греки не было алгебры, но это неточно.^[14] Ко времени Платон Греческая математика претерпела коренные изменения. Греки создали геометрическая алгебра где термины были представлены сторонами геометрических объектов,^[15] обычно строки, с которыми связаны буквы,^[16] и с помощью этой новой формы алгебры они смогли найти решения уравнений, используя изобретенный ими процесс, известный как «приложение областей».^[15] «Применение площадей» - это только часть геометрической алгебры, и она подробно рассматривается в Евклид с Элементы.

Примером геометрической алгебры может быть решение линейного уравнения ax = bc. Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство между отношениями a: b и c: x. Греки строили прямоугольник со сторонами длиной b и c, затем удлиняли сторону прямоугольника до длины a, и, наконец, они завершали расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая является решением.^[15]

Цветение Тимаридаса

Ямблих в Introductio arithmatica Говорит, что Тимаридас (ок. 400 г. до н. э. - ок. 350 г. до н. э.) работал с одновременными линейными уравнениями.^[17] В частности, он создал известное тогда правило, которое было известно как «цветение Тимиарида» или «цветок Тимарида», которое гласит:

Если сумма п количества, а также суммы каждой пары, содержащей определенное количество, тогда эта конкретная величина равна 1 / (n - 2) разности между суммами этих пар и первой данной суммой.^[18]

Доказательство Евклида Элементы что для данного отрезка существует равносторонний треугольник, который включает отрезок как одну из его сторон.

или, используя современные представления, решение следующей системы п линейные уравнения в п неизвестные,^[17]

х + х₁ + х₂ + ... + х_п-1 = s
х + х₁ = м₁
х + х₂ = м₂
.
.
.
х + х_п-1 = м_п-1

является,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}}$

Ямблихус продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, которые не находятся в этой форме, могут быть помещены в эту форму.^[17]

Евклид Александрийский

Эллинистический математик Евклид Детали геометрический алгебра.

Евклид (Греческий: Εὐκλείδης) был Греческий математик, который процветал в Александрия, Египет, почти наверняка во время правления Птолемей I (323–283 гг. До н. Э.).^[19][20] Ни год, ни место его рождения^[19] не установлены, ни обстоятельства его смерти.

Евклид считается «отцом геометрия ". Его Элементы самый успешный учебник в история математики.^[19] Хотя он является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают никаких новых открытий, скорее, его помнят за его прекрасные объяснительные способности.^[21] В Элементы это не собрание всех греческих математических знаний на сегодняшний день, как иногда думают, скорее, это элементарное введение в него.^[22]

Элементы

Геометрические работы греков, представленные в Евклида Элементы, обеспечил основу для обобщения формул за пределами решения частных задач в более общие системы формулировки и решения уравнений.

Книга II Элементы содержит четырнадцать предложений, которые во времена Евклида были чрезвычайно важны для изучения геометрической алгебры. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символической алгебры и тригонометрии.^[14] Сегодня, используя современную символьную алгебру, мы позволяем символам представлять известные и неизвестные величины (то есть числа), а затем применяем к ним алгебраические операции. В то время как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки прямых, а затем результаты выводились с использованием аксиом или теорем геометрии.^[14]

Многие основные законы сложения и умножения включены или геометрически доказаны в Элементы. Например, предложение 1 Книги II гласит:

Если есть две прямые линии, и одна из них разрезана на любое количество сегментов, прямоугольник, содержащийся между двумя прямыми линиями, равен прямоугольникам, содержащимся в неразрезанной прямой линии и в каждом из сегментов.

Но это не более чем геометрическая версия (слева) распределительный закон, ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$; и в книгах V и VII Элементы то коммутативный и ассоциативный показаны законы умножения.^[14]

Многие основные уравнения также были доказаны геометрически. Например, предложение 5 из Книги II доказывает, что ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$,^[23] и предложение 4 из Книги II доказывает, что ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$.^[14]

Кроме того, многие уравнения имеют геометрические решения. Например, предложение 6 Книги II дает решение квадратного уравнения топор + Икс² = б², а предложение 11 Книги II дает решение топор + Икс² = а².^[24]

Данные

Данные это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии, и она должна была использоваться в качестве дополнительного тома к первым шести книгам Элементы. Книга содержит около пятнадцати определений и девяноста пяти утверждений, из которых около двух десятков утверждений служат алгебраическими правилами или формулами.^[25] Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратных уравнений.^[25] Например, Данные содержит решения уравнений dx² - adx + б²c = 0 и знакомое вавилонское уравнение ху = а², Икс ± у = б.^[25]

Конические секции

А коническая секция кривая, образованная пересечением конуса с плоскостью. Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая круги ), параболы, и гиперболы. Считается, что конические сечения были открыты Менахм^[26] (ок. 380 г. до н. э. - ок. 320 г. до н. э.), и поскольку работа с коническими секциями эквивалентна работе с их соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим уравнениям более высокого порядка.

Менехм знал, что в параболе уравнение y² = лx, где л константа, называемая прямая кишка, хотя он не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую.^[27] Он, по-видимому, получил эти свойства конических сечений и другие. Используя эту информацию, теперь можно было найти решение проблемы дублирование куба путем решения для точек, в которых пересекаются две параболы, решение, эквивалентное решению кубического уравнения.^[27]

Нас информирует Евтокий что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, был обусловлен Дионисодор (250 г. до н.э. - 190 г. до н.э.). Дионисодор решил кубику с помощью пересечения прямоугольной гипербола и парабола. Это было связано с проблемой в Архимед ' На сфере и цилиндре. Конические сечения будут изучаться и использоваться в течение тысяч лет греческими, а затем исламскими и европейскими математиками. Особенно Аполлоний Пергский знаменитый Коники касается, среди прочего, конических сечений.

Китай

Смотрите также: Китайская математика

Китайская математика датируется по крайней мере 300 г. до н.э. Чжуби Суаньцзин, обычно считается одним из старейших китайских математических документов.^[28]

Девять глав по математическому искусству

Девять глав по математическому искусству

Чиу-чанг суань-шу или же Девять глав математического искусства, написанная около 250 г. до н.э., является одной из самых влиятельных из всех китайских книг по математике и состоит примерно из 246 задач. В восьмой главе рассматривается решение определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, при этом одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными.^[28]

Морское зеркало круговых измерений

Цэ-юань хай-цзин, или же Морское зеркало круговых измерений, представляет собой сборник из 170 задач, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192 - 1279 н.э.). Он использовал фан фа, или метод Хорнера, для решения уравнений степени до шести, хотя он не описал свой метод решения уравнений.^[29]

Математический трактат в девяти разделах

Шу-шу чиу-чанг, или же Математический трактат в девяти разделах, был написан богатым губернатором и министром Цинь Чиу-шао (ок. 1202 - ок. 1261) и с изобретением метода решения одновременных сравнений, теперь называемого Китайская теорема об остатках, он является кульминацией неопределенного анализа Китая.^[29]

Магические квадраты

Ян Хуэй Треугольник (Паскаля), изображенный древними китайцами с помощью стержневые цифры.

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае.^[30] В Девять глав автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные члены линейных уравнений в магический квадрат (то есть матрицу) и выполняя операции уменьшения столбцов на магическом квадрате.^[30] Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех относятся к Ян Хуэй (fl. c. 1261 - 1275), которые работали с магическими квадратами порядка десяти.^[31]

Драгоценное зеркало четырех стихий

Ssy-yüan yü-chien《四 元 玉 鑒》, или Драгоценное зеркало четырех стихий, был написан Чу Ши-чжи в 1303 году, и это знаменует пик развития китайской алгебры. В четыре элемента, называемый небом, землей, человеком и материей, представлял четыре неизвестных величины в его алгебраических уравнениях. В Ssy-yüan yü-chien занимается одновременными уравнениями и уравнениями степени до четырнадцати. Автор использует метод фан фа, сегодня звонил Метод Хорнера, чтобы решить эти уравнения.^[32]

В Драгоценное зеркало открывается диаграммой арифметического треугольника (Треугольник Паскаля ) с использованием символа круглого нуля, но Чу Ши-цзе отрицает это. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без символа нуля.^[33]

Многие уравнения суммирующих рядов без доказательства приведены в Драгоценное зеркало. Некоторые из суммирующих рядов:^[33]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Диофант

Смотрите также: Диофантово уравнение

Обложка Диофанта издания 1621 г. Арифметика, переведено на латинский к Клод Гаспар Баше де Мезириак.

Диофант был Эллинистический математик, живший c. 250 г. н. Э., Но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отличаться более чем на столетие. Он известен тем, что написал Арифметика, трактат, который первоначально состоял из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть.^[34] Арифметика имеет очень мало общего с традиционной греческой математикой, поскольку она отделена от геометрических методов, и она отличается от вавилонской математики тем, что Диофант занимается в первую очередь точными решениями, как определенными, так и неопределенными, а не простыми приближениями.^[35]

Обычно довольно трудно сказать, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Нет никаких свидетельств того, что Диофант вообще понимал, что может быть два решения квадратного уравнения. Он также рассматривал одновременные квадратные уравнения.^[36] Кроме того, из всех решений Диофанта нельзя абстрагироваться ни один общий метод.^[37]

В Арифметика, Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также аббревиатуры для степеней чисел, отношений и операций;^[35] таким образом он использовал то, что теперь известно как синкопированный алгебра. Основное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент.^[38] Так, например, что мы могли бы написать как

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5}$

Диофант написал бы это как

Κ^Υ α̅ς ι̅ ⫛ Δ^Υ β̅ Μ α̅ ἴσ Μ ε̅

где символы означают следующее:^[39][40]

Символ	Представление
α̅	представляет 1
β̅	представляет 2
ε̅	представляет 5
ι̅	представляет 10
ς	представляет неизвестную величину (т.е. переменную)
ἴσ	(Короче для ἴσος) представляет собой "равных"
⫛	представляет собой вычитание всего, что следует за ним до ἴσ
Μ	представляет собой нулевую степень переменной (т.е. постоянный член)
Δ^Υ	представляет вторую степень переменной от греческого δύναμις, что означает сила или мощь
Κ^Υ	представляет третью степень переменной от греческого κύβος, что означает куб
Δ^ΥΔ	представляет четвертую степень переменной
ΔΚ^Υ	представляет пятую степень переменной
Κ^ΥΚ	представляет шестую степень переменной

Коэффициенты идут после переменных, и это дополнение представлено сопоставлением терминов. Буквальный символьный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим:^[39]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

и, чтобы уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как:^[39]

${\displaystyle ({x^{3}}1+{x}10)-({x^{2}}2+{x^{0}}1)={x^{0}}5}$

Арифметика представляет собой набор из примерно 150 решенных задач с конкретными числами, и в нем нет никаких постулатов и явного объяснения общего метода, хотя общий метод, возможно, предполагался, и не было попытки найти все решения уравнений.^[35] Арифметика действительно содержит решенные задачи, включающие несколько неизвестных величин, которые решаются, если возможно, выражением неизвестных величин через только одну из них.^[35] Арифметика также использует личности:^[41]

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

Индия

Смотрите также: Индийская математика

Индийские математики активно изучали системы счисления. Самый ранний из известных Индийская математика документы датируются примерно серединой первого тысячелетия до нашей эры (около VI века до нашей эры).^[42]

Постоянными темами в индийской математике являются, среди прочего, определенные и неопределенные линейные и квадратные уравнения, простое измерение и пифагоровы тройки.^[43]

Арьябхата

Арьябхата (476–550) был индийским математиком, автором Арьябхатия. В нем он дал правила,^[44]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

и

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Брахма Сфута Сиддханта

Брахмагупта (fl. 628) был индийским математиком, автором Брахма Сфута Сиддханта. В своей работе Брахмагупта решает общее квадратное уравнение как для положительных, так и для отрицательных корней.^[45] В неопределенном анализе Брахмагупта дает пифагорейские триады ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle {1 \over 2}({m^{2} \over n}-n)}$, ${\displaystyle {1 \over 2}({m^{2} \over n}+n)}$, но это модифицированная форма старого вавилонского правила, с которым, возможно, был знаком Брахмагупта.^[46] Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c, где a, b и c - целые числа. В отличие от Диофанта, который дал только одно решение неопределенного уравнения, Брахмагупта дал все целочисленные решения; но то, что Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, побудило некоторых историков рассмотреть возможность греческого влияния на работы Брахмагупты или, по крайней мере, на общий вавилонский источник.^[47]

Подобно алгебре Диофанта, алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым, деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без полосы. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов.^[47] Степень греческого влияния на это синкопирование, если таковое имеется, неизвестна, и возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут происходить из общего вавилонского источника.^[47]

Бхаскара II

Бхаскара II (1114 - ок. 1185) был ведущим математиком 12 века. В алгебре он дал общее решение Уравнение Пелла.^[47] Он автор Лилавати и Вия-Ганита, которые содержат задачи, связанные с определенными и неопределенными линейными и квадратными уравнениями, а также пифагоровыми тройками^[43] и он не умеет различать точные и приблизительные утверждения.^[48] Многие проблемы в Лилавати и Вия-Ганита взяты из других индуистских источников, и поэтому Бхаскара лучше всех справляется с неопределенным анализом.^[48]

Бхаскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, то, что мы сегодня написали бы как

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Бхаскара написал бы как

. _ .

я 1 RU 1

.

я 2 RU 8

.

Сумма я 1 ru 9

куда я указывает на первый слог слова для чернить, и RU взято из слова разновидность. Точки над числами означают вычитание.

Исламский мир

Страница из Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки.

Смотрите также: Исламская математика

Первый век Исламский Арабская империя не видели почти никаких научных или математических достижений, поскольку арабы с их недавно завоеванной империей еще не приобрели интеллектуального потенциала, а исследования в других частях мира прекратились. Во второй половине 8-го века ислам пережил культурное пробуждение, и исследования в области математики и естественных наук расширились.^[49] Мусульманин Аббасид калиф аль-Мамун (809–833), как говорят, видел сон, в котором ему явился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун приказал сделать арабский перевод как можно большего числа греческих работ, включая сочинение Птолемея. Альмагест и Евклида Элементы. Греческие произведения будут переданы мусульманам Византийская империя в обмен на договоры, поскольку между двумя империями был непростой мир.^[49] Многие из этих греческих произведений были переведены Сабит ибн Курра (826–901), который перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Аполлонием, Птолемеем и Евтокием.^[50]

Арабские математики установили алгебру как самостоятельную дисциплину и дали ей название «алгебра» (Аль-Джабр). Они первыми начали преподавать алгебру в элементарная форма и ради него самого.^[51] Существует три теории происхождения арабской алгебры. Первый подчеркивает влияние индуизма, второй - месопотамского или персидско-сирийского влияния, а третий - греческого влияния. Многие ученые считают, что это результат сочетания всех трех источников.^[52]

На протяжении всего своего пребывания у власти арабы использовали чисто риторическую алгебру, где часто даже числа выражались словами. В конечном итоге арабы заменили записанные числа (например, двадцать два) на арабские цифры (например, 22), но арабы не приняли и не разработали синкопируемую или символическую алгебру^[50] до работы Ибн аль-Банна, который разработал символическую алгебру в 13 веке, а затем Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади в 15 веке.

Аль-Джабр Валь Мукабала

Смотрите также: Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки

Слева: оригинальная арабская печатная рукопись Книги алгебры автора Аль-Хорезми. Справа: страница из "Алгебры Аль-Хорезми Фредерик Розен, в английский.

Мусульманин^[53] Персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми был членом факультета "Дом Мудрости " (Байт аль-Хикма) в Багдаде, основанный Аль-Мамуном. Аль-Хорезми, умерший около 850 г. н.э., написал более полудюжины математических и астрономических работ, некоторые из которых были основаны на индийских книгах. Sindhind.^[49] Одна из самых известных книг аль-Хорезми называется Аль-Джабр Валь Мукабала или же Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки, и дает исчерпывающее описание решения многочленов до второй степени.^[54] В книге также представлена ​​фундаментальная концепция "снижение "и" уравновешивание ", относящееся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмене одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую Аль-Хорезми первоначально описал как Аль-Джабр.^[55] Название «алгебра» происходит от слова «Аль-Джабр"в названии его книги.

Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:

"Текст аль-Хорезми можно увидеть отличным не только от Вавилонские таблички, но и из Диофант ' Арифметика. Это уже не касается серии проблемы предстоит решить, но экспозиция который начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования. С другой стороны, идея уравнения как такового возникает с самого начала и, можно сказать, в общем, постольку, поскольку оно не просто возникает в процессе решения проблемы, но специально призвано определить бесконечный класс проблем ».^[56]

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых посвящена различным типам формул. Первая глава Аль-Джабр имеет дело с уравнениями, квадраты которых равны его корням (ax² = bx), во второй главе рассматриваются квадраты, равные числу (ax² = c), в третьей главе рассматриваются корни, равные числу (bx = c), в четвертой главе рассматриваются квадраты и корни, равные числу (ax² + bx = c), пятая глава посвящена квадратам и числам равных корней (ax² + c = bx), а в шестой и последней главе рассматриваются корни и числа, равные квадратам (bx + c = ax²).^[57]

Страницы из арабской копии книги XIV века, показывающие геометрические решения двух квадратных уравнений

В Аль-Джабр, аль-Хорезми использует геометрические доказательства,^[16] он не распознает корень x = 0,^[57] и он имеет дело только с положительными корнями.^[58] Он также признает, что дискриминант должен быть положительным и описывать метод завершение квадрата, хотя процедуру он не оправдывает.^[59] Греческое влияние показано Аль-Джабрs геометрические основы^[52][60] и по одной проблеме, взятой у Герона.^[61] Он использует буквенные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях являются конкретными числами, так как у него не было способа выразить с помощью параметров то, что он мог бы выразить геометрически; хотя предполагается универсальность метода.^[16]

Аль-Хорезми, скорее всего, не знал о Диофанте. Арифметика,^[62] который стал известен арабам примерно до X века.^[63] И хотя аль-Хорезми, скорее всего, знал о работе Брахмагупты, Аль-Джабр полностью риторический, с числами, даже написанными словами.^[62] Так, например, что мы могли бы написать как

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Диофант написал бы как^[64]

Δ^Υα̅ ςι̅ 'ίσ Μ λ̅θ̅

И аль-Хорезми написал бы как^[64]

Один квадрат и десять корней из того же числа, что и тридцать девять дирхемы; то есть, каков должен быть квадрат, который, если умножить его на десять собственных корней, даст тридцать девять?

Логическая необходимость в смешанных уравнениях

'Абд аль-Хамид ибн Тюрк написал рукопись под названием Логические необходимости в смешанных уравнениях, что очень похоже на книгу аль-Хварзими Аль-Джабр и был опубликован примерно в то же время или даже раньше, Аль-Джабр.^[63] Рукопись дает точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, что и в Аль-Джабр, и в одном случае тот же пример, что и в Аль-Джабр, и даже выходит за рамки Аль-Джабр путем предоставления геометрического доказательства того, что если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет решения.^[63] Сходство между этими двумя работами привело некоторых историков к выводу, что арабская алгебра могла быть хорошо развита ко времени аль-Хорезми и 'Абд аль-Хамида.^[63]

Абу Камиль и аль-Кархи

Арабских математиков лечили иррациональные числа в качестве алгебраический объекты.^[65] В Египтянин математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратный корень, кубический корень или же четвертый корень ) как решения квадратные уравнения или как коэффициенты в уравнение.^[66] Он также первым решил три нелинейных одновременные уравнения с тремя неизвестными переменные.^[67]

Аль-Кархи (953–1029), также известный как Аль-Караджи, был преемником Абу аль-Вафа аль-Бузджани (940–998), и он открыл первое численное решение уравнений вида ax²ⁿ + bx^п = с.^[68] Аль-Кархи считал только положительные корни.^[68] Аль-Кархи также считается первым человеком, освободившим алгебру от геометрический операций и заменить их типом арифметика операции, которые сегодня лежат в основе алгебры. Его работы по алгебре и многочлены, дал правила арифметических операций для манипулирования многочленами. В историк математики Ф. Вёпке, в Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi (Париж, 1853), похвалил Аль-Караджи за то, что он «первым ввел теорию алгебраических исчисление ". Исходя из этого, аль-Караджи расследовал биномиальные коэффициенты и Треугольник Паскаля.^[69]

Омар Хайям, Шараф ад-Дин и аль-Каши

Омар Хайям

Чтобы решить уравнение третьей степени Икс³ + а²Икс = б Хайям построил парабола Икс² = ай, а круг с диаметром б/а², и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и Икс-ось.

Омар Хайям (ок. 1050 - 1123) написал книгу по алгебре, которая вышла за рамки Аль-Джабр включить уравнения третьей степени.^[70] Омар Хайям дал как арифметические, так и геометрические решения квадратных уравнений, но он дал только геометрические решения для общих кубические уравнения поскольку он ошибочно полагал, что арифметические решения невозможны.^[70] Его метод решения кубических уравнений с использованием пересекающихся коник был использован Менахм, Архимед, и Ибн аль-Хайтам (Альхазен), но Омар Хайям обобщил метод, чтобы покрыть все кубические уравнения с положительными корнями.^[70] Он рассматривал только положительные корни и не перешел третьей степени.^[70] Он также увидел сильную связь между геометрией и алгеброй.^[70]

В 12 веке Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213) написал Аль-Муадалат (Трактат об уравнениях), в котором рассматриваются восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он использовал то, что позже будет известно как "Руффини -Хорнер метод "к численно приблизительно корень кубического уравнения. Он также разработал концепции максимумы и минимумы кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений.^[71] Он понимал важность дискриминант кубического уравнения и использовал раннюю версию Кардано формула^[72] найти алгебраические решения некоторых типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Рошди Рашед, утверждают, что Шараф ад-Дин открыл производная кубических многочленов и осознал его значение, в то время как другие ученые связывают его решение с идеями Евклида и Архимеда.^[73]

Шараф ад-Дин также разработал концепцию функция.^{[нужна цитата ]} В своем анализе уравнения ${\displaystyle \ x^{3}+d=bx^{2}}$ например, он начинает с изменения формы уравнения на ${\displaystyle \ x^{2}(b-x)=d}$. He then states that the question of whether the equation has a solution depends on whether or not the “function” on the left side reaches the value ${\displaystyle \ d}$. To determine this, he finds a maximum value for the function. He proves that the maximum value occurs when ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$, which gives the functional value ${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$. Sharaf al-Din then states that if this value is less than ${\displaystyle \ d}$, there are no positive solutions; if it is equal to ${\displaystyle \ d}$, then there is one solution at ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$; and if it is greater than ${\displaystyle \ d}$, then there are two solutions, one between ${\displaystyle \ 0}$ и ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ and one between ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ и ${\displaystyle \ b}$.^[74]

В начале 15 века Джамшид аль-Каши developed an early form of Метод Ньютона to numerically solve the equation ${\displaystyle \ x^{P}-N=0}$ to find roots of ${\displaystyle \ N}$.^[75] Al-Kāshī also developed decimal fractions and claimed to have discovered it himself. However, J. Lennart Berggrenn notes that he was mistaken, as decimal fractions were first used five centuries before him by the Багдади математик Абу'л-Хасан аль-Уклидиси еще в 10 веке.^[67]

Al-Hassār, Ibn al-Banna, and al-Qalasadi

Аль-Хассар, математик из Марокко специализируясь на Исламское наследство юриспруденции during the 12th century, developed the modern symbolic математическая запись за фракции, где числитель и знаменатель разделены горизонтальной полосой. This same fractional notation appeared soon after in the work of Фибоначчи в 13 веке.^{[нужна цитата ]}

Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади (1412–1486) was the last major medieval Араб algebraist, who made the first attempt at creating an алгебраическая запись поскольку Ibn al-Banna two centuries earlier, who was himself the first to make such an attempt since Диофант и Брахмагупта в древние времена.^[76] The syncopated notations of his predecessors, however, lacked symbols for mathematical operations.^[38] Al-Qalasadi "took the first steps toward the introduction of algebraic symbolism by using letters in place of numbers"^[76] and by "using short Arabic words, or just their initial letters, as mathematical symbols."^[76]

Europe and the Mediterranean region

Just as the death of Гипатия signals the close of the Библиотека Александрии as a mathematical center, so does the death of Боэций signal the end of mathematics in the Западная Римская Империя. Although there was some work being done at Афины, it came to a close when in 529 the византийский император Юстиниан закрыл язычник philosophical schools. The year 529 is now taken to be the beginning of the medieval period. Scholars fled the West towards the more hospitable East, particularly towards Персия, where they found haven under King Chosroes and established what might be termed an "Athenian Academy in Exile".^[77] Under a treaty with Justinian, Chosroes would eventually return the scholars to the Восточная Империя. During the Dark Ages, European mathematics was at its nadir with mathematical research consisting mainly of commentaries on ancient treatises; and most of this research was centered in the Византийская империя. The end of the medieval period is set as the fall of Константинополь к Турки в 1453 г.

Позднее средневековье

The 12th century saw a flood of translations из арабский в латинский and by the 13th century, European mathematics was beginning to rival the mathematics of other lands. In the 13th century, the solution of a cubic equation by Фибоначчи is representative of the beginning of a revival in European algebra.

As the Islamic world was declining after the 15th century, the European world was ascending. And it is here that Algebra was further developed.

Symbolic algebra

Modern notation for arithmetic operations was introduced between the end of the 15th century and the beginning of the 16th century by Йоханнес Видманн и Майкл Стифель. At the end of 16th century, François Viète introduced symbols, presently called переменные, for representing indeterminate or unknown numbers. This created a new algebra consisting of computing with symbolic expressions as if they were numbers.

Another key event in the further development of algebra was the general algebraic solution of the cubic and quartic equations, developed in the mid-16th century. The idea of a детерминант был разработан Японский математик Kowa Seki in the 17th century, followed by Готфрид Лейбниц ten years later, for the purpose of solving systems of simultaneous linear equations using матрицы. Габриэль Крамер also did some work on matrices and determinants in the 18th century.

Символ Икс

By tradition, the first unknown Переменная in an algebraic problem is nowadays represented by the символ ${\displaystyle {\mathit {x}}}$; if there is a second or a third unknown, these are labeled ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ и ${\displaystyle {\mathit {z}}}$ соответственно. Алгебраический Икс is conventionally printed in курсив to distinguish it from the sign of multiplication.

Mathematical historians^[78] generally agree that the use of Икс in algebra was introduced by Рене Декарт and was first published in his treatise La Géométrie (1637).^[79][80] In that work, he used letters from the beginning of the alphabet (а, б, c,...) for known quantities, and letters from the end of the alphabet (z, у, Икс,...) for unknowns.^[81] It has been suggested that he later settled on Икс (in place of z) for the first unknown because of its relatively greater abundance in the French and Latin typographical fonts of the time.^[82]

Three alternative theories of the origin of algebraic Икс were suggested in the 19th century: (1) a symbol used by German algebraists and thought to be derived from a cursive letter р, mistaken for Икс;^[83] (2) the numeral 1 with oblique зачеркивание;^[84] and (3) an Arabic/Spanish source (see below). But the Swiss-American historian of mathematics Флориан Каджори examined these and found all three lacking in concrete evidence; Cajori credited Descartes as the originator, and described his Икс, у, и z as "free from tradition[,] and their choice purely arbitrary."^[85]

Nevertheless, the Hispano-Arabic hypothesis continues to have a presence in популярная культура сегодня.^[86] It is the claim that algebraic Икс is the abbreviation of a supposed заимствованное слово from Arabic in Old Spanish. The theory originated in 1884 with the German востоковед Поль де Лагард, shortly after he published his edition of a 1505 Spanish/Arabic bilingual glossary^[87] in which Spanish Cosa ("thing") was paired with its Arabic equivalent, شىء (Шай^ʔ), transcribed as xei. (The "sh" sound in Старый испанский was routinely spelled Икс.) Evidently Lagarde was aware that Arab mathematicians, in the "rhetorical" stage of algebra's development, often used that word to represent the unknown quantity. He surmised that "nothing could be more natural" (Nichts war also natürlicher...) than for the initial of the Arabic word—романизированный as the Old Spanish Икс—to be adopted for use in algebra.^[88] A later reader reinterpreted Lagarde's conjecture as having "proven" the point.^[89] Lagarde was unaware that early Spanish mathematicians used, not a транскрипция of the Arabic word, but rather its перевод in their own language, "cosa".^[90] There is no instance of xei or similar forms in several compiled historical vocabularies of Spanish.^[91][92]

Готфрид Лейбниц

Although the mathematical notion of функция was implicit in trigonometric and logarithmic tables, which existed in his day, Готфрид Лейбниц was the first, in 1692 and 1694, to employ it explicitly, to denote any of several geometric concepts derived from a curve, such as абсцисса, ordinate, касательная, аккорд, а перпендикуляр.^[93] In the 18th century, "function" lost these geometrical associations.

Leibniz realized that the coefficients of a system of линейные уравнения could be arranged into an array, now called a матрица, which can be manipulated to find the solution of the system, if any. This method was later called Гауссово исключение. Leibniz also discovered Булева алгебра и symbolic logic, also relevant to algebra.

Абстрактная алгебра

The ability to do algebra is a skill cultivated in математическое образование. As explained by Andrew Warwick, Кембриджский университет students in the early 19th century practiced "mixed mathematics",^[94] делает упражнения based on physical variables such as space, time, and weight. Over time the association of переменные with physical quantities faded away as mathematical technique grew. Eventually mathematics was concerned completely with abstract многочлены, сложные числа, hypercomplex numbers and other concepts. Application to physical situations was then called Прикладная математика или же математическая физика, and the field of mathematics expanded to include абстрактная алгебра. For instance, the issue of constructible numbers showed some mathematical limitations, and the field of Теория Галуа был развит.

The father of algebra

The title of "the father of algebra" is frequently credited to the Persian mathematician Аль-Хорезми,^[95][96][97] при поддержке historians of mathematics, Такие как Карл Бенджамин Бойер,^[95] Solomon Gandz и Бартель Леендерт ван дер Варден.^[98] However, the point is debatable and the title is sometimes credited to the Эллинистический математик Диофант.^[95][99] Those who support Diophantus point to the algebra found in Al-Jabr being more элементарный than the algebra found in Arithmetica, и Arithmetica being syncopated while Al-Jabr is fully rhetorical.^[95] However, the mathematics historian Kurt Vogel argues against Diophantus holding this title,^[100] as his mathematics was not much more algebraic than that of the ancient Вавилоняне.^[101]

Those who support Al-Khwarizmi point to the fact that he gave an exhaustive explanation for the algebraic solution of quadratic equations with positive roots,^[102] and was the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, whereas Diophantus was primarily concerned with the theory of numbers.^[51] Al-Khwarizmi also introduced the fundamental concept of "reduction" and "balancing" (which he originally used the term Аль-Джабр to refer to), referring to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation.^[55] Other supporters of Al-Khwarizmi point to his algebra no longer being concerned "with a series of проблемы to be resolved, but an экспозиция which starts with primitive terms in which the combinations must give all possible prototypes for equations, which henceforward explicitly constitute the true object of study." They also point to his treatment of an equation for its own sake and "in a generic manner, insofar as it does not simply emerge in the course of solving a problem, but is specifically called on to define an infinite class of problems."^[56] Виктор Дж. Кац С уважением Al-Jabr as the first true algebra text that is still extant.^[103]

Смотрите также

• Математический портал

• Timeline of algebra

Footnotes and citations

1. Бойер (1991:229)
2. Jeffrey A. Oaks, Haitham M. Alkhateeb, Simplifying equations in Arabic algebra, Historia Mathematica, 34 (2007), 45-61, ISSN  0315-0860, [1]
3. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "It has been said that three stages of in the historical development of algebra can be recognized: (1) the rhetorical or early stage, in which everything is written out fully in words; (2) a syncopated or intermediate state, in which some abbreviations are adopted; and (3) a symbolic or final stage. Such an arbitrary division of the development of algebra into three stages is, of course, a facile oversimplification; but it can serve effectively as a first approximation to what has happened""
4. (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 32) "Until modern times there was no thought of solving a quadratic equation of the form ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, where p and q are positive, for the equation has no positive root. Consequently, quadratic equations in ancient and Medieval times—and even in the early modern period—were classified under three types: (1)${\displaystyle x^{2}+px=q}$ (2)${\displaystyle x^{2}=px+q}$ (3)${\displaystyle x^{2}+q=px}$"
5. Katz, Victor J.; Barton, Bill (October 2007), "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching", Educational Studies in Mathematics, 66 (2): 185–201, Дои:10.1007/s10649-006-9023-7, S2CID  120363574
6. (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 30) "Babylonian mathematicians did not hesitate to interpolate by proportional parts to approximate intermediate values. Linear interpolation seems to have been a commonplace procedure in ancient Mesopotamia, and the positional notation lent itself conveniently to the rile of three. [...] a table essential in Babylonian algebra; this subject reached a considerably higher level in Mesopotamia than in Egypt. Many problem texts from the Old Babylonian period show that the solution of the complete three-term quadratic equation afforded the Babylonians no serious difficulty, for flexible algebraic operations had been developed. They could transpose terms in an equations by adding equals to equals, and they could multiply both sides by like quantities to remove fractions or to eliminate factors. By adding 4ab to (a − b) ² they could obtain (a + b) ² for they were familiar with many simple forms of factoring. [...]Egyptian algebra had been much concerned with linear equations, but the Babylonians evidently found these too elementary for much attention. [...] In another problem in an Old Babylonian text we find two simultaneous linear equations in two unknown quantities, called respectively the "first silver ring" and the "second silver ring.""
7. Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". The clay tablet with the catalog number 322 in the G. A. Plimpton Collection at Columbia University may be the most well known mathematical tablet, certainly the most photographed one, but it deserves even greater renown. It was scribed in the Old Babylonian period between -1900 and -1600 and shows the most advanced mathematics before the development of Greek mathematics.
8. (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 31) "The solution of a three-term quadratic equation seems to have exceeded by far the algebraic capabilities of the Egyptians, but Neugebauer in 1930 disclosed that such equations had been handled effectively by the Babylonians in some of the oldest problem texts."
9. (Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33) "There is no record in Egypt of the solution of a cubic equations, but among the Babylonians there are many instances of this. [...] Whether or not the Babylonians were able to reduce the general four-term cubic, ax³ + bx² + cx = d, to their normal form is not known."
10. (Boyer 1991, "Egypt" p. 11) "It had been bought in 1959 in a Nile resort town by a Scottish antiquary, Henry Rhind; hence, it often is known as the Rhind Papyrus or, less frequently, as the Ahmes Papyrus in honor of the scribe by whose hand it had been copied in about 1650 BC. The scribe tells us that the material is derived from a prototype from the Middle Kingdom of about 2000 to 1800 BCE."
11. (Boyer 1991, "Egypt" p. 19) "Much of our information about Egyptian mathematics has been derived from the Rhind or Ahmes Papyrus, the most extensive mathematical document from ancient Egypt; but there are other sources as well."
12. (Boyer 1991, "Egypt" pp. 15–16) "The Egyptian problems so far described are best classified as arithmetic, but there are others that fall into a class to which the term algebraic is appropriately applied. These do not concern specific concrete objects such as bread and beer, nor do they call for operations on known numbers. Instead they require the equivalent of solutions of linear equations of the form ${\displaystyle x+ax=b}$ или же ${\displaystyle x+ax+bx=c}$, where a and b and c are known and x is unknown. The unknown is referred to as "aha," or heap. [...] The solution given by Ahmes is not that of modern textbooks, but one proposed characteristic of a procedure now known as the "method of false position," or the "rule of false." A specific false value has been proposed by 1920s scholars and the operations indicated on the left hand side of the equality sign are performed on this assumed number. Recent scholarship shows that scribes had not guessed in these situations. Exact rational number answers written in Egyptian fraction series had confused the 1920s scholars. The attested result shows that Ahmes "checked" result by showing that 16 + 1/2 + 1/8 exactly added to a seventh of this (which is 2 + 1/4 + 1/8), does obtain 19. Here we see another significant step in the development of mathematics, for the check is a simple instance of a proof."
13. Bill Casselman. «Одна из старейших сохранившихся диаграмм Евклида». Университет Британской Колумбии. Получено 2008-09-26.
14. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p.109) "Book II of the Элементы is a short one, containing only fourteen propositions, not one of which plays any role in modern textbooks; yet in Euclid's day this book was of great significance. This sharp discrepancy between ancient and modern views is easily explained—today we have symbolic algebra and trigonometry that have replaced the geometric equivalents from Greece. For instance, Proposition 1 of Book II states that "If there be two straight lines, and one of them be cut into any number of segments whatever, the rectangle contained by the two straight lines is equal to the rectangles contained by the uncut straight line and each of the segments." This theorem, which asserts (Fig. 7.5) that AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB, is nothing more than a geometric statement of one of the fundamental laws of arithmetic known today as the distributive law: a (b + c + d) = ab + ac + ad. In later books of the Элементы (V and VII) we find demonstrations of the commutative and associative laws for multiplication. Whereas in our time magnitudes are represented by letters that are understood to be numbers (either known or unknown) on which we operate with algorithmic rules of algebra, in Euclid's day magnitudes were pictured as line segments satisfying the axions and theorems of geometry. It is sometimes asserted that the Greeks had no algebra, but this is patently false. They had Book II of the Элементы, which is geometric algebra and served much the same purpose as does our symbolic algebra. There can be little doubt that modern algebra greatly facilitates the manipulation of relationships among magnitudes. But it is undoubtedly also true that a Greek geometer versed in the fourteen theorems of Euclid's "algebra" was far more adept in applying these theorems to practical mensuration than is an experienced geometer of today. Ancient geometric "algebra" was not an ideal tool, but it was far from ineffective. Euclid's statement (Proposition 4), "If a straight line be cut at random, the square on the whole is equal to the squares on the segments and twice the rectangle contained by the segments, is a verbose way of saying that ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$,"
15. (Boyer 1991, "The Heroic Age" pp. 77–78) "Whether deduction came into mathematics in the sixth century BCE or the fourth and whether incommensurability was discovered before or after 400 BCE, there can be no doubt that Greek mathematics had undergone drastic changes by the time of Plato. [...] A "geometric algebra" had to take the place of the older "arithmetic algebra," and in this new algebra there could be no adding of lines to areas or of areas to volumes. From now on there had to be strict homogeneity of terms in equations, and the Mesopotamian normal form, xy = A, x ± y = b, were to be interpreted geometrically. [...] In this way the Greeks built up the solution of quadratic equations by their process known as "the application of areas," a portion of geometric algebra that is fully covered by Euclid's Элементы. [...] The linear equation ax = bc, for example, was looked upon as an equality of the areas ax and bc, rather than as a proportion—an equality between the two ratios a:b and c:x. Consequently, in constructing the fourth proportion Икс in this case, it was usual to construct a rectangle OCDB with the sides b = OB and c = OC (Fig 5.9) and then along OC to lay off OA = a. One completes the rectangle OCDB and draws the diagonal OE cutting CD in P. It is now clear that CP is the desired line x, for rectangle OARS is equal in area to rectangle OCDB"
16. (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258) "In the arithmetical theorems in Euclid's Элементы VII–IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Алгебра made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Алгебра are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
17. (Heath 1981a, "The ('Bloom') of Thymaridas" pp. 94–96) Thymaridas of Paros, an ancient Pythagorean already mentioned (p. 69), was the author of a rule for solving a certain set of п simultaneous simple equations connecting п unknown quantities. The rule was evidently well known, for it was called by the special name [...] the 'flower' or 'bloom' of Thymaridas. [...] The rule is very obscurely worded, but it states in effect that, if we have the following п equations connecting п неизвестные количества Икс, Икс₁, Икс₂ ... Икс_п-1, namely [...] Iamblichus, our informant on this subject, goes on to show that other types of equations can be reduced to this, so that they rule does not 'leave us in the lurch' in those cases either."
18. (Flegg 1983, "Unknown Numbers" p. 205) "Thymaridas (fourth century) is said to have had this rule for solving a particular set of п linear equations in п unknowns:
    If the sum of п quantities be given, and also the sum of every pair containing a particular quantity, then this particular quantity is equal to 1/ (n - 2) of the difference between the sums of these pairs and the first given sum."
19. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100) "but by 306 BCE control of the Egyptian portion of the empire was firmly in the hands of Ptolemy I, and this enlightened ruler was able to turn his attention to constructive efforts. Among his early acts was the establishment at Alexandria of a school or institute, known as the Museum, second to none in its day. As teachers at the school he called a band of leading scholars, among whom was the author of the most fabulously successful mathematics textbook ever written—the Элементы (Stoichia) of Euclid. Considering the fame of the author and of his best seller, remarkably little is known of Euclid's life. So obscure was his life that no birthplace is associated with his name."
20. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 101) "The tale related above in connection with a request of Alexander the Great for an easy introduction to geometry is repeated in the case of Ptolemy, who Euclid is reported to have assured that "there is no royal road to geometry.""
21. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "Some of the faculty probably excelled in research, others were better fitted to be administrators, and still some others were noted for teaching ability. It would appear, from the reports we have, that Euclid very definitely fitted into the last category. There is no new discovery attributed to him, but he was noted for expository skills."
22. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104) "The Элементы was not, as is sometimes thought, a compendium of all geometric knowledge; it was instead an introductory textbook covering all элементарный mathematics."
23. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 110) "The same holds true for Элементы II.5, which contains what we should regard as an impractical circumlocution for ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$"
24. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 111) "In an exactly analogous manner the quadratic equation топор + Икс² = б² is solved through the use of II.6: If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight line, the rectangle contained by the whole (with the added straight line) and the added straight line together with the square on the half is equal to the square on the straight line made up of the half and the added straight line. [...] with II.11 being an important special case of II.6. Here Euclid solves the equation топор + Икс² = а²"
25. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 103) "Euclid's Данные, a work that has come down to us through both Greek and the Arabic. It seems to have been composed for use at the schools of Alexandria, serving as a companion volume to the first six books of the Элементы in much the same way that a manual of tables supplements a textbook. [...] It opens with fifteen definitions concerning magnitudes and loci. The body of the text comprises ninety-five statements concerning the implications of conditions and magnitudes that may be given in a problem. [...] There are about two dozen similar statements serving as algebraic rules or formulas. [...] Some of the statements are geometric equivalents of the solution of quadratic equations. For example[...] Eliminating у у нас есть (а - Икс)dx = б²c или же dx² - adx + б²с = 0, откуда Икс = а/2 ± √(а/2)² - б²(c/d). The geometric solution given by Euclid is equivalent to this, except that the negative sign before the radical is used. Statements 84 and 85 in the Data are geometric replacements of the familiar Babylonian algebraic solutions of the systems ху = а², Икс ± у = б, which again are the equivalents of solutions of simultaneous equations."
26. (Boyer 1991, "The Euclidean Synthesis" p. 103) "Eutocius and Proclus both attribute the discovery of the conic sections to Menaechmus, who lived in Athens in the late fourth century BC. Proclus, quoting Eratosthenes, refers to "the conic section triads of Menaechmus." Since this quotation comes just after a discussion of "the section of a right-angled cone" and "the section of an acute-angled cone," it is inferred that the conic sections were produced by cutting a cone with a plane perpendicular to one of its elements. Then if the vertex angle of the cone is acute, the resulting section (calledокситом) представляет собой эллипс. Если угол правильный, сечение (Ортотом) is a parabola, and if the angle is obtuse, the section (amblytome) is a hyperbola (see Fig. 5.7)."
27. (Boyer 1991, "The age of Plato and Aristotle" p. 94–95) "If OP=y and OD = x are coordinates of point P, we have y² = R).OV, or, on substituting equals,
    у²=R'D.OV=AR'.BC/AB.DO.BC/AB=AR'.BC²/ AB².Икс
    Inasmuch as segments AR', BC, and AB are the same for all points P on the curve EQDPG, we can write the equation of the curve, a "section of a right-angled cone," as y²=lx, where l is a constant, later to be known as the latus rectum of the curve. [...] Менехм, по-видимому, получил эти свойства конических сечений и другие. Since this material has a string resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintains that Menaechmus had analytic geometry. Такое суждение оправдано лишь отчасти, поскольку Менахм, конечно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общая концепция уравнения в неизвестных величинах была чуждой греческой мысли. [...] Он натолкнулся на коники в успешном поиске кривых со свойствами, соответствующими дублированию куба. С точки зрения современных обозначений решение легко достижимо. By shifting the curring plane (Gig. 6.2), we can find a parabola with any latus rectum. Если мы хотим продублировать куб с ребром a, мы размещаем на прямоугольном конусе две параболы, одну с прямой кишкой. а и еще один с прямой кишкой 2а. [...] It is probable that Menaechmus knew that the duplication could be achieved also by the use of a rectangular hyperbola and a parabola."
28. (Boyer 1991, "China and India" pp. 195–197) "estimates concerning the Chou Pei Suan Ching, generally considered to be the oldest of the mathematical classics, differ by almost a thousand years. [...] A date of about 300 B.C. would appear reasonable, thus placing it in close competition with another treatise, the Chiu-chang suan-shu, composed about 250 B.C., that is, shortly before the Han dynasty (202 B.C.). [...] Almost as old at the Chou Pei, and perhaps the most influential of all Chinese mathematical books, was the Chui-chang suan-shu, или же Nine Chapters on the Mathematical Art. This book includes 246 problems on surveying, agriculture, partnerships, engineering, taxation, calculation, the solution of equations, and the properties of right triangles. [...] Chapter eight of the Nine chapters is significant for its solution of problems of simultaneous linear equations, using both positive and negative numbers. The last problem in the chapter involves four equations in five unknowns, and the topic of indeterminate equations was to remain a favorite among Oriental peoples."
29. (Boyer 1991, "China and India" p. 204) «Ли Чжи (или Ли Йе, 1192–1279), математик из Пекина, которому Хубилай Хан предложил в 1206 году правительственный пост, но вежливо нашел предлог, чтобы отклонить его. Цэ-юань хай-цзин (Морское зеркало круговых измерений) включает 170 задач, [...] относящихся к некоторым из задач, приводящих к уравнениям четвертой степени. Хотя он не описал свой метод решения уравнений, включая некоторые уравнения шестой степени, похоже, что это не сильно отличалась от формы, используемой Чу Ши-цзе и Хорнером. Другими, кто использовал метод Хорнера, были Цинь Цзю-шао (ок. 1202 - ок. 1261) и Ян Хуэй (ок. 1261 - 1275). Первый был беспринципным губернатором и министром, который приобрел огромное состояние в течение ста дней после вступления в должность. Его Шу-шу чиу-чанг (Математический трактат в девяти разделах) знаменует собой кульминационный момент китайского неопределенного анализа с изобретением процедур для решения одновременных сравнений ".
30. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 197) «Китайцы особенно любили узоры, поэтому неудивительно, что там появилась первая запись (древнего, но неизвестного происхождения) о магическом квадрате. [...] Забота о таких узорах покинула автора книги. Девять глав для решения системы одновременных линейных уравнений [...] путем выполнения [...] операций с столбцами матрицы, чтобы [...] свести ее к [...] Вторая форма представляла уравнения 36z = 99, 5y + z = 24, и 3x + 2y + z = 39, из которых легко последовательно находятся значения z, y и x ".
31. (Бойер 1991, «Китай и Индия», стр. 204–205). «То же устройство« Хорнера »использовал Ян Хуэй, о жизни которого почти ничего не известно, а работы сохранились лишь частично. Среди его работ, которые дошли до наших дней, есть самые ранние. Китайские магические квадраты порядка больше трех, включая по два порядка с четвертого по восьмой и по одному порядка девятого и десятого ».
32. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 203) «Последним и величайшим из математиков Сун был Чу Чжи-цзе (эт. 1280–1303), но мы мало знаем о нем - [...] Больший исторический и математический интерес представляет Ssy-yüan yü-chien (Драгоценное зеркало четырех стихий) 1303 года. В восемнадцатом веке это тоже исчезло в Китае, чтобы быть вновь обнаруженным в следующем столетии. Четыре элемента, называемые небом, землей, человеком и материей, являются представлениями четырех неизвестных величин в одном уравнении. Эта книга знаменует собой вершину развития китайской алгебры, поскольку она имеет дело с одновременными уравнениями и уравнениями с четырнадцатью степенями. В нем автор описывает метод преобразования, который он называет фан фа, элементы которого возникли задолго до этого в Китае, но обычно носят имя Хорнера, жившего на полтысячелетия позже ».
33. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 205) «Некоторые из множества суммирований рядов, найденных в Драгоценное зеркало таковы: [...] Однако никаких доказательств не приводится, и, похоже, эта тема не продолжалась снова в Китае примерно до девятнадцатого века. [...] Драгоценное зеркало открывается диаграммой арифметического треугольника, некстати известного на Западе как «треугольник Паскаля». (См. Иллюстрацию.) [...] Чу отказывается от признания треугольника, ссылаясь на него как на «схему старого метода нахождения восьмой и более низких степеней». Подобное расположение коэффициентов в шестой степени появилось в работе Ян Хуэя, но без символа круглого нуля ».
34. (Бойер 1991, "Возрождение и упадок греческой математики" с. 178) Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не можем точно знать, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он процветал около 250 г. н.э., но иногда предполагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главная известная нам диофантова работа - это Арифметика, трактат, первоначально состоящий из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть ".
35. (Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», с. 180–182) «В этом отношении его можно сравнить с великими классиками более раннего периода. Александрийский век; тем не менее, она не имеет практически ничего общего с этой или, по сути, с любой традиционной греческой математикой. По сути, он представляет собой новую ветвь и использует другой подход. В отличие от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики интересовались в первую очередь приблизительный решения определенный уравнений до третьей степени Арифметика Диофанта (в том виде, в каком он есть у нас) почти полностью посвящен точный решение уравнений, как определенный и неопределенный. [...] На протяжении шести сохранившихся книг Арифметика Существует систематическое использование сокращений для степеней чисел, отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву ζ (возможно, последнюю букву арифмоса). [...] Вместо этого это сборник примерно из 150 задач, все решенных на конкретных численных примерах, хотя, возможно, предполагалась общая методика. Постулирования не развиваются, и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший, а отрицательные корни не распознаются. Нет четкого различия между определенными и неопределенными проблемами, и даже для последних, для которых количество решений обычно неограниченно, дается только один ответ. Диофант решил задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, в терминах только одного из них ".
36. "Биография Диофанта". www-history.mcs.st-and.ac.uk. Получено 2017-12-18.
37. Герман Ганкель писал: «У нашего автора [Диофанта] не просматривается ни малейшего следа общего всеобъемлющего метода; каждая проблема требует какого-то особого метода, который отказывается работать даже для самых тесно связанных проблем. По этой причине это трудно для современного ученого решить 101-ю задачу даже после изучения 100 решений Диофанта ». (Ханкель Х.,Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874, переведено и процитировано на английском языке в Ulrich Lirecht. Китайская математика в тринадцатом веке, Dover публикации, Нью-Йорк, 1973).
38. (Бойер 1991, "Возрождение и упадок греческой математики" с. 178) «Главное отличие диофантовой синкопы от современной алгебраической записи состоит в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
39. (Дербишир 2006, "Отец алгебры" стр. 35–36)
40. (Кук 1997, «Математика в Римской империи», стр. 167–168)
41. (Бойер 1991, «Европа в средневековье» с. 257) «В книге часто используются отождествления [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».
42. (Бойер 1991, «Математика индусов» с. 197) «Самые старые из сохранившихся документов по индуистской математике - это копии работ, написанных в середине первого тысячелетия до нашей эры, примерно в то время, когда жили Фалес и Пифагор. [...] с шестого века до нашей эры».
43. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 222) " Ливаванти, словно Вия-Ганита, содержит множество задач, посвященных любимым индуистским темам; линейные и квадратные уравнения, как определенные, так и неопределенные, простые измерения, арифметические и геометрические прогрессии, сурды, триады Пифагора и другие ».
44. (Бойер 1991, «Математика индусов» с. 207) «Он дал более изящные правила для суммы квадратов и кубиков начального отрезка натуральных чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящая из количества членов, количества членов плюс один и удвоения. число членов плюс один - это сумма квадратов. Квадрат суммы ряда - это сумма кубиков ».
45. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 219) "Брахмагупта (фл. 628), который жил в Центральной Индии несколько более чем через столетие после Арьябхаты [...] в тригонометрии его самого известного труда, Брахмаспхута Сиддханта, [...] здесь мы находим общие решения квадратных уравнений, включая два корня, даже в случаях, когда одно из них отрицательно ».
46. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 220) «Индийская алгебра особенно примечательна своим развитием неопределенного анализа, в который Брахмагупта внес несколько вкладов. Во-первых, в его работе мы находим правило образования пифагорейских триад, выраженное в форме m, 1/2 (m²/ п - п), 1/2 (м²/ п + п); но это всего лишь видоизмененная форма старого вавилонского правила, с которым он, возможно, познакомился ».
47. (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 221) "он был первым, кто дал Общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c, где a, b и c - целые числа. [...] Большая заслуга Брахмагупты в том, что он дал все интегральные решения линейного диофантова уравнения, тогда как сам Диофант удовлетворился тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии - или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопирована. Сложение обозначалось сопоставлением, вычитание - помещением точки над вычитаемым и делением - помещением делителя под делимым, как в нашей дробной системе счисления, но без черты. Операции умножения и эволюции (извлечения корней), а также неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих слов. [...] Бхаскара (1114 - ок. 1185), ведущий математик двенадцатого века. Именно он заполнил некоторые пробелы в работе Брахмагупты, например, дав общее решение уравнения Пелла и рассмотрев проблему деления на ноль ".
48. (Бойер 1991, «Китай и Индия», с. 222–223) «В трактовке круга и сферы Лилавати не может также различить точные и приблизительные утверждения. [...] Многие проблемы Бхаскары в Ливавати и Вия-Ганита очевидно, были получены из более ранних индуистских источников; поэтому неудивительно, что автор лучше всех справляется с неопределенным анализом ».
49. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 227) «Первый век мусульманской империи был лишен научных достижений. Этот период (примерно с 650 по 750 год) был, по сути, надиром в развитии математики, поскольку арабы еще не достигли интеллектуального развития. , и беспокойство об обучении в других частях мира исчезло. Если бы не внезапное культурное пробуждение в исламе во второй половине восьмого века, значительно большая часть древней науки и математики была бы потеряна. [... ] Однако именно во время халифата аль-Мамуна (809–833) арабы полностью потакали своей страсти к переводам. Говорят, что халифу приснился сон, в котором явился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун определил иметь арабские версии всех греческих произведений, которые он мог достать, в том числе Птолемея Альмагест и полная версия Евклида Элементы. Из Византийской империи, с которой арабы поддерживали непростой мир, греческие рукописи были получены по мирным договорам. Аль-Мамун основал в Багдаде «Дом мудрости» (Байт аль-хикма), сопоставимый с древним музеем в Александрии. Среди преподавателей был математик и астроном Мохаммед ибн-Муса аль-Хорезми, имя которого, как и имя Евклида, впоследствии стало нарицательным в Западной Европе. Ученый, умерший примерно в 850 г., написал более полудюжины астрономических и математических работ, самые ранние из которых, вероятно, были основаны на Синдхад происходит из Индии ".
50. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 234), но работа аль-Хорезми имела серьезный недостаток, который необходимо было устранить, прежде чем она могла эффективно служить своей цели в современном мире: необходимо было разработать символические обозначения, чтобы заменить риторическую форму. Арабы так и не пошли, за исключением за замену числовых слов числовыми знаками. [...] Сабит был основателем школы переводчиков, особенно с греческого и сирийского языков, и ему мы в огромном долгу за переводы на арабский язык работ Евклида, Архимеда, Аполлоний, Птолемей и Евтокий ".
51. Гандз и Саломан (1936), Источники алгебры аль-Хорезми, Осирис I, стр. 263–277: «В каком-то смысле Хорезми имеет большее право называться« отцом алгебры », чем Диофант, потому что Хорезми первым преподает алгебру в элементарной форме, а Диофант в первую очередь занимается теорией алгебры. числа ".
52. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 230) "Аль-Хорезми продолжил:" Мы уже сказали достаточно, что касается чисел, о шести типах уравнений. Теперь, однако, необходимо, чтобы мы продемонстрировали геометрически истинность тех же проблем, которые мы объяснили в числах ». Кольцо этого отрывка явно греческое, а не вавилонское или индийское. Таким образом, существует три основных направления мысли. о происхождении арабской алгебры: один подчеркивает влияние индуизма, другой подчеркивает месопотамскую или сирийско-персидскую традицию, а третий указывает на греческое вдохновение. Истина, вероятно, будет достигнута, если мы объединим три теории ».
53. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», с. 228–229) «в предисловии автора на арабском языке была дана полная похвала пророку Мухаммеду и аль-Мамуну,« полководцу верных ».
54. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 228) «Арабы в целом любили хорошие ясные аргументы от посылки до заключения, а также систематическую организацию - в отношениях, в которых ни Диофант, ни индусы не преуспели».
55. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 229) «Неясно, какие термины Аль-Джабр и мукабала означают, но обычная интерпретация аналогична той, что подразумевается в переводе выше. Слово Аль-Джабр предположительно означало что-то вроде «восстановление» или «завершение» и, кажется, относилось к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, что очевидно в трактате; слово мукабала как говорят, относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть к отмене одинаковых членов в противоположных частях уравнения ».
56. Rashed, R .; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики, Springer, стр. 11–2, ISBN  978-0-7923-2565-9, OCLC  29181926
57. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 229) »в шести коротких главах шести типов уравнений, составленных из трех видов величин: корней, квадратов и чисел (то есть x, x², и числа). В главе I в трех коротких абзацах рассматривается случай квадратов, равных корням, выраженным в современных обозначениях как x.² = 5x, х²/ 3 = 4x и 5x² = 10x, что дает ответы x = 5, x = 12 и x = 2 соответственно. (Корень x = 0 не распознавался.) В главе II рассматривается случай квадратов, равных числам, а в главе III решаются случаи, когда корни равны числам, опять же с тремя иллюстрациями в каждой главе, чтобы охватить случаи, когда коэффициент при переменный член равен, больше или меньше единицы. Главы IV, V и VI более интересны, поскольку они, в свою очередь, охватывают три классических случая трехчленных квадратных уравнений: (1) квадраты и корни, равные числам, (2) квадраты и числа, равные корням, и (3) ) корни и числа равны квадратам ".
58. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 229–230) «Решения - это правила« поваренной книги »для« завершения квадрата », применяемые к конкретным случаям. [...] В каждом случае дается только положительный ответ. [... ] Снова дан только один корень, так как другой является отрицательным. [...] Шесть случаев приведенных выше уравнений исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительные корни ».
59. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 230) «Аль-Хорезми здесь обращает внимание на тот факт, что то, что мы обозначаем как дискриминант, должно быть положительным:« Вы также должны понимать, что когда вы берете половину корней в этой форме уравнения, а затем умножаете половину на себя ; если то, что происходит или является результатом умножения, меньше, чем единицы, упомянутые выше как сопровождающие квадрат, у вас есть уравнение. «[...] Еще раз шаги в завершении квадрата тщательно указаны, без обоснования»,
60. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 231) " Алгебра аль-Хорезми предает безошибочные эллинские элементы ",
61. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 233) «Некоторые проблемы аль-Хорезми дают довольно ясное свидетельство зависимости арабского языка от вавилонско-геронского направления математики. Одна из них, по-видимому, была взята непосредственно у Герона, поскольку фигура и размеры совпадают».
62. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 228) «Алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без синкопии, найденной в греческом Арифметика или в работе Брахмагупты. Четные числа записывались не символами, а словами! Маловероятно, что аль-Хорезми знал о работе Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономической и вычислительной частью Брахмагупты; однако ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопию или отрицательные числа ».
63. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 234) " Алгебра Аль-Хорезми обычно рассматривается как первая работа по этому вопросу, но недавняя публикация в Турции вызывает некоторые вопросы по этому поводу. Рукопись работы Абд-аль-Хамида ибн-Турка под названием «Логические необходимости в смешанных уравнениях» была частью книги по Аль-Джабр Валь Мукабала который, очевидно, был во многом таким же, как у аль-Хорезми, и был опубликован примерно в то же время - возможно, даже раньше. Сохранившиеся главы о «Логической необходимости» дают точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, что и ал-Хорезми. Алгебра и в одном случае тот же иллюстративный пример x² + 21 = 10х. В одном отношении изложение Абд-аль-Хамада более обстоятельно, чем изложение аль-Хорезми, поскольку он приводит геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решения. Сходства в трудах этих двух людей и систематическая организация, обнаруженная в них, похоже, указывают на то, что алгебра в их время не была столь недавним развитием, как обычно предполагалось. Когда одновременно появляются учебники с условным и упорядоченным изложением, предмет, скорее всего, значительно выходит за рамки стадии формирования. [...] Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофант Арифметика стали известны до конца десятого века ».
64. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» с. 49)
65. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Арабская математика: забытый талант?", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет. «Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. Д. Как« алгебраические объекты »».
66. Жак Сезиано, "Исламская математика", стр. 148, дюйм Селин, Хелайн; Д'Амброзио, Убиратан, ред. (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики, Springer, ISBN  978-1-4020-0260-1
67. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник. Издательство Принстонского университета. п. 518. ISBN  978-0-691-11485-9.
68. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 239) «Абу'л Вефа был способным алгебраистом, а также трионометром. [...] Его преемник аль-Кархи, очевидно, использовал этот перевод, чтобы стать арабским учеником Диофанта - но без диофантового анализа! [...] В В частности, аль-Кархи приписывают первое численное решение уравнений вида ax²ⁿ + bx^п = c (рассматривались только уравнения с положительными корнями), "
69. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
70. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 241–242) «Омар Хайям (ок. 1050 - 1123),« создатель палаток », написал Алгебра это вышло за рамки того, что было у аль-Хорезми, и включило уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предложил квадратные уравнения как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений, как он полагал (ошибочно, как позже показал XVI век), арифметические решения невозможны; поэтому он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубиков ранее использовалась Менахмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям предпринял похвальный шаг, обобщив метод на все уравнения третьей степени (имеющие положительные корни). .. Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не предполагал подобных геометрических методов, поскольку пространство не содержит более трех измерений, [...] Одним из наиболее плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция к закрытию разрыв между числовой и геометрической алгеброй. Решительный шаг в этом направлении был сделан намного позже Декартом, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Тот, кто думает, что алгебра - это трюк для получения неизвестных, думал об этом напрасно. Не следует обращать внимания на то, что алгебра и геометрия различны по внешнему виду. Алгебры - это геометрические факты, которые доказаны ».
71. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Шараф ад-Дин аль-Музаффар ат-Туси", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
72. Рашед, Рошди; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики, Springer, стр. 342–3, ISBN  978-0-7923-2565-9
73. Берггрен, Дж. Л. (1990), «Инновации и традиции в Муадалате Шараф ад-Дин ат-Туси», Журнал Американского восточного общества, 110 (2): 304–9, Дои:10.2307/604533, JSTOR  604533, Рашед утверждал, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение для исследования условий, при которых кубические уравнения были разрешимы; однако другие ученые предложили совершенно разные объяснения мышления Шараф ад-Дина, которые связывают его с математикой, найденной у Евклида или Архимеда.
74. Виктор Дж. Кац, Билл Бартон (октябрь 2007 г.), «Этапы истории алгебры, имеющие значение для преподавания», Образовательные исследования по математике, 66 (2): 185–201 [192], Дои:10.1007 / s10649-006-9023-7, S2CID  120363574
75. Тьяллинг Дж. Ипма (1995), "Историческое развитие метода Ньютона-Рафсона", SIAM Обзор 37 (4): 531–51, Дои:10.1137/1037125
76. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Абу'л Хасан ибн Али аль Каласади», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
77. (Бойер 1991, "Евклид Александрийский, стр. 192–193)" Смерть Боэция можно считать знаменателем конца древней математики в Западной Римской империи, поскольку смерть Гипатии ознаменовала конец Александрии как математического центра; но работа продолжалась еще несколько лет в Афинах. [...] Когда в 527 году Юстиниан стал императором на Востоке, он, очевидно, почувствовал, что языческое обучение Академии и других философских школ в Афинах представляет угрозу для ортодоксального христианства; поэтому в 529 г. философские школы были закрыты, а ученые разошлись. Рим в то время вряд ли был очень гостеприимным домом для ученых, и Симплиций и некоторые другие философы искали убежища на Востоке. Они нашли это в Персии, где при царе Хосроусе они основали то, что можно было бы назвать «Афинской академией в изгнании» (Sarton 1952; p. 400) ».
78. Например. Башмакова и Смирнова (2000 г.:78) Ошибка harvcoltxt: нет цели: CITEREFBashmakovaSmirnova2000 (помощь), Бойер (1991:180), Бертон (1995:319), Дербишир (2006 г.:93), Кац и Паршалл (2014):238), Сезиано (1999): 125), и Свец (2013):110)
79. Декарт (1637:301–303)
80. Декарт (1925 г.:9–14)
81. Кахори (1919 г.:698); Кахори (1928 г.:381–382)
82. Энестрем (1905 г.:317)
83. Например. Тропфке (1902 г.: 150). Но Густав Энестрем (1905: 316-317) показал, что Декарт в письме, написанном в 1619 году, использовал немецкий символ в явном контрасте со своим собственным. Икс.
84. Перекрещенная цифра 1 использовался Пьетро Катальди для первой силы неизвестного. Связь между этим соглашением и Икс Каджори приписывает Густав Вертхайм, но Каджори (1919: 699; 1928: 382) не находит доказательств, подтверждающих это.
85. Кахори (1919 г.:699)
86. См., Например, Выступление на TED Терри Мур, озаглавленный "Почему 'x' Неизвестный?", выпущенный в 2012 году.
87. Алькала (1505)
88. Лагард (1884).
89. Иаков (1903 г.:519).
90. Райдер (1982) перечисляет пять трактатов по алгебре, опубликованных на испанском языке в шестнадцатом веке, в каждом из которых используется слово «cosa»: Аурел (1552), Ортега (1552), Диес (1556), Перес де Мойя (1562), и Нуньес (1567). Последние две работы также сокращают Cosa в качестве "co."-так же как и Пуч (1672).
91. Формы отсутствуют в Алонсо (1986), Кастен и Коди (2001), Ольшлегер (1940), то Испанская королевская академия Онлайн-диахронический корпус испанского языка (КОРД ), и Дэвис с Corpus del Español.
92. "Почему х?". Получено 2019-05-30.
93. Струик (1969), 367
94. Эндрю Уорвик (2003) Магистр теории: Кембридж и рост математической физики, Чикаго: Издательство Чикагского университета ISBN  0-226-87374-9
95. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 228) «Диофанта иногда называют« отцом алгебры », но этот титул более уместно принадлежит Абу Абдулле бин мирсми аль-Хорезми. Это правда, что в двух отношениях работа аль-Хорезми представляла собой отход от работы Диофанта. Во-первых, она находится на гораздо более элементарном уровне, чем та, что содержится в диофантовых проблемах, и, во-вторых, алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без синкопии, обнаруженной в греческом языке. Арифметика или в работе Брахмагупты. Четные числа записывались не символами, а словами! Маловероятно, что аль-Хорезми знал о работе Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономической и вычислительной частью Брахмагупты; однако ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопирование или отрицательные числа ».
96. Herscovics, Николас; Линчевски, Лиора (1 июля 1994 г.). «Познавательный разрыв между арифметикой и алгеброй». Образовательные исследования по математике. 27 (1): 59–78. Дои:10.1007 / BF01284528. ISSN  1573-0816. S2CID  119624121. Это стало бы неожиданностью для аль-Хорезми, которого считают отцом алгебры (Boyer / Merzbach, 1991), который представил ее средиземноморскому миру примерно в девятом веке.
97. Додж, Ядола (2008). Краткая энциклопедия статистики. Springer Science & Business Media. п.1. ISBN  9780387317427. Термин «алгоритм» происходит от латинского произношения имени математика IX века аль-Хорезми, который жил в Багдаде и был отцом алгебры.
98. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» с. 31) «Ван дер Варден продвигает происхождение алгебры к более позднему моменту времени, начиная с математика аль-Хорезми»
99. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» с. 31) «Диофант, отец алгебры, в честь которого я назвал эту главу, жил в Александрии, в римском Египте, в I, II или III веках нашей эры».
100. Дж. Сезиано, К. Фогель, «Диофант», Словарь научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990): «Диофант не был, как его часто называют, отцом алгебры».
101. (Дербишир 2006, «Отец алгебры» с. 31) «Курт Фогель, например, пишет в Словарь научной биографии, считает работу Диофанта не намного более алгебраической, чем у старых вавилонян "
102. (Бойер 1991, "Арабская гегемония" с. 230) «Приведенные выше шесть случаев уравнений исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хорезми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читатели, должно быть, не испытывали особых трудностей в освоении решений».
103. Кац, Виктор Дж. (2006). «ЭТАПЫ ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ С ПРИМЕНЕНИЯМИ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ» (PDF). ВИКТОР КАЦ, Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США: 190. Архивировано с оригинал (PDF) на 2019-03-27. Получено 2019-08-06 - через Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США. Первый настоящий текст по алгебре, который до сих пор сохранился, - это работа Мохаммада ибн Мусы аль-Хорезми по аль-Джабр и аль-Мукабала, написанная в Багдаде около 825 года.

Рекомендации

• Алькала, Педро де (1505 г.), De lingua arabica, Гранада (издание Поля де Лагарда, Геттинген: Арнольд Хойер, 1883)
• Алонсо, Мартин (1986), Diccionario del español средневековый, Саламанка: Понтификационный университет Саламанки
• Аурел, Марко (1552), Libro primero de arithmetica algebratica, Валенсия: Жоан де Мей
• Башмакова, я, и Смирнова, Г. (2000) Истоки и эволюция алгебры, Dolciani Mathematical Expositions 23. Перевод Эйба Шеницера. Математическая ассоциация Америки.
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики (Второе изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-54397-8
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона: Введение (3-е изд.), Dubuque: Wm. К. Браун
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: введение (Третье изд.), McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN  978-0-07-009465-9
• Кахори, Флориан (1919), «Как x стал обозначать неизвестное количество», Школьные науки и математика, 19 (8): 698–699, Дои:10.1111 / j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Кахори, Флориан (1928), История математических обозначений, Чикаго: Издательство Open Court, ISBN  9780486161167
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-18082-1
• Дербишир, Джон (2006), Неизвестное количество: реальная и воображаемая история алгебры, Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс, ISBN  978-0-309-09657-7
• Декарт, Рене (1637), La Géométrie, Лейде: Ян Мэр. Онлайн 2008 изд. Л. Херманна, Проект Гутенберг.
• Декарт, Рене (1925), Геометрия Рене Декарта, Чикаго: Открытый суд, ISBN  9781602066922
• Диес, Хуан (1556 г.), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son needsarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica, Мехико
• Энестрем, Густав (1905), "Kleine Mitteilungen", Bibliotheca Mathematica, Сер. 3, 6 (онлайн-доступ только в США)
• Флегг, Грэм (1983), Числа: их история и значение, Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-42165-0
• Хит, Томас Литтл (1981a), История греческой математики, том I, Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-24073-2
• Хит, Томас Литтл (1981b), История греческой математики, том II, Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-24074-9
• Иаков, Георг (1903), «Восточные элементы культуры Запада», Годовой отчет попечительского совета Смитсоновского института [...] за год, закончившийся 30 июня 1902 г.: 509–529
• Кастен, Ллойд А.; Коди, Флориан Дж. (2001), Предварительный словарь средневекового испанского языка (2-е изд.), Нью-Йорк: латиноамериканская семинария средневековых исследований
• Кац, Виктор Дж .; Паршалл, Карен Хунг (2014), Укрощение неизвестного: история алгебры от античности до начала двадцатого века, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  978-1-400-85052-5
• Лагард, Поль де (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?", Mittheilungen, 1, Goettingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, стр. 134–137.
• Нуньес, Педро (1567), Библиотека алгебры и арифметики и геометрии, Антверпен: Арнольдо Биркман
• Ольшлегер, Виктор Р. Б. (1940), Средневековый испанский список слов, Мэдисон: Висконсинский университет Press
• Ортега, Хуан де (1552 г.), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria, Гранада: Рене Рабут
• Перес де Мойя, Хуан (1562), Aritmética práctica y especulativa, Саламанка: Матиас Гаст
• Пуч, Андрес (1672 г.), Arithmetica especulativa y Practica; y arte de algebra, Барселона: Антонио Лакаваллерия
• Райдер, Робин Э. (1982), Библиография ранней современной алгебры, 1500-1800 гг., Беркли: Статьи Беркли по истории науки
• Сезиано, Жак (1999), Введение в историю алгебры: решение уравнений от месопотамских времен до эпохи Возрождения, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  9780821844731
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (Второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN  978-0-387-95336-6
• Свец, Фрэнк Дж. (2013), Европейское математическое пробуждение: путешествие по истории математики, 1000-1800 гг. (2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  9780486498058
• Тропфке, Йоханнес (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, 1, Лейпциг: Von Veit & Comp.

внешняя ссылка

• «Комментарий шейха Ислама Закария аль-Ансари на стихотворение Ибн аль-Хаима о науке алгебры и равновесия, названный Богоявлением Творца в объяснении убедительного» с основными понятиями алгебры, восходящими к 15 веку, от Всемирная цифровая библиотека.