Плимптон 322 - Plimpton 322 - Wikipedia

Глиняная табличка Плимптон 322 с числами, написанными клинописью.

Плимптон 322 это Вавилонский глиняная табличка, примечателен тем, что содержит пример Вавилонская математика. Он имеет номер 322 в G.A. Коллекция Плимптона в Колумбийский университет.^[1] Эта табличка, предположительно написанная около 1800 г. до н.э., содержит таблицу из четырех столбцов и 15 рядов чисел в клинопись периода.

В этой таблице перечислены два из трех чисел, которые сейчас называются Пифагорейские тройки, т.е. целые числа а, б, и c удовлетворение а² + б² = c². С современной точки зрения, метод построения таких троек - значительное раннее достижение, известное задолго до Греческий и Индийский математики нашли решения этой проблемы. В то же время следует помнить, что автором таблички был писец, а не профессиональный математик; Было высказано предположение, что одной из его целей могло быть создание примеров школьных задач.

Существуют серьезные научные дебаты о природе и назначении таблички. Для чтения популярных методов лечения этого планшета см. Робсон (2002) или, короче, Конвей и Гай (1996). Робсон (2001) представляет собой более подробное техническое обсуждение интерпретации чисел на планшете с обширной библиографией.

Происхождение и датировка

Плимптон 322 частично сломан, примерно 13 см шириной, 9 см высотой и 2 см толщиной. Нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон купил планшет у археологического дилера, Эдгар Дж. Бэнкс примерно в 1922 году и завещал его вместе с остальной частью своей коллекции Колумбийский университет в середине 1930-х гг. По словам Бэнкса, табличка прибыла из Сенкерех, места на юге Ирака, соответствующего древнему городу Ларса.^[2]

Считается, что табличка была написана около 1800 г. до н.э. с использованием средняя хронология,^[3] частично основанный на стиле почерка, использованном для его клинопись: Робсон (2002) пишет, что этот почерк «типичен для документов из южного Ирака 4000–3500 лет назад». В частности, основываясь на сходстве форматирования с другими таблицами из Ларсы, на которых написаны явные даты, Плимптон 322 вполне может относиться к периоду 1822–1784 гг. До н.э.^[4] Робсон указывает, что Plimpton 322 был написан в том же формате, что и другие административные, а не математические документы того периода.^[5]

Содержание

Основное содержание Plimpton 322 - это таблица чисел с четырьмя столбцами и пятнадцатью строками на вавилонском языке. шестидесятеричный обозначение. Четвертый столбец - это просто номер строки в порядке от 1 до 15. Второй и третий столбцы полностью видны на сохранившейся табличке. Однако край первого столбца был обломан, и есть две последовательные экстраполяции того, что могут быть пропущенные цифры; эти интерпретации различаются только тем, начинается ли каждое число с дополнительной цифры, равной 1. С разными экстраполяциями, показанными в круглых скобках, поврежденные части первого и четвертого столбцов, содержание которых предположительно показано курсивом, и шесть предполагаемых ошибок, выделенных жирным шрифтом. вместе с обычно предлагаемыми исправлениями в квадратных скобках внизу эти числа

такилт диагонали из которых 1 разорванный так что ширина подходит	ÍB.SI8 из ширина	ÍB.SI8 из диагональ	это линия
(1) 59 00 15	1 59	2 49	1-й
(1) 56 56 58 14 56 15 (1) 56 56 58 14 [50 06] 15	56 07	3 12 01 [1 20 25]	2-й
(1) 55 07 41 15 33 45	1 16 41	1 50 49	3-й
(1) 53 10 29 32 52 16	3 31 49	5 09 01	4-й
(1) 48 54 01 40	1 05	1 37	5th
(1) 47 06 41 40	5 19	8 01	Шестой
(1) 43 11 56 28 26 40	38 11	59 01	7-е
(1) 41 33 59 03 45 (1) 41 33 [45 14] 03 45	13 19	20 49	8-е
(1) 38 33 36 36	9 01 [8] 01	12 49	9-е
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40	1 22 41	2 16 01	10-е
(1) 33 45	45	1 15	11-е
(1) 29 21 54 02 15	27 59	48 49	12-е
(1) 27 00 03 45	7 12 01 [2 41]	4 49	13-е
(1) 25 48 51 35 06 40	29 31	53 49	14-е
(1) 23 13 46 40	56 56 [28] (альтернативный вариант)	53 [1 46] 53 (альтернативный)	15th

Обратите внимание, что показаны два возможных варианта исправления в строке 15: либо 53 в третьем столбце следует заменить удвоенным значением, 1 46, либо 56 во втором столбце следует заменить половиной его значения, 28.

Не исключено, что в отломанной части планшета слева от этих столбцов присутствовали дополнительные столбцы. В вавилонской шестидесятеричной системе счисления не указывалась степень умножения 60 каждого числа, что делает неоднозначную интерпретацию этих чисел. Числа во втором и третьем столбцах обычно считаются целыми. Числа в первом столбце можно понимать только как дроби, и все их значения лежат между 1 и 2 (при условии, что начальная 1 присутствует - они лежат между 0 и 1, если она отсутствует). Эти дроби являются точными, а не округленными или округленными значениями. Десятичный перевод таблицы при этих предположениях показан ниже. Большинство точных шестидесятеричных дробей в первом столбце не имеют завершающих десятичных разложений и были округлены до семи десятичных знаков.

${\displaystyle d^{2}/\ell ^{2}}$ или же ${\displaystyle s^{2}/\ell ^{2}}$	Короткая сторона ${\displaystyle s}$	Диагональ ${\displaystyle d}$	Ряд #
(1).9834028	119	169	1
(1).9491586	3,367	4,825	2
(1).9188021	4,601	6,649	3
(1).8862479	12,709	18,541	4
(1).8150077	65	97	5
(1).7851929	319	481	6
(1).7199837	2,291	3,541	7
(1).6927094	799	1,249	8
(1).6426694	481	769	9
(1).5861226	4,961	8,161	10
(1).5625	45^*	75^*	11
(1).4894168	1,679	2,929	12
(1).4500174	161	289	13
(1).4302388	1,771	3,229	14
(1).3871605	56^*	106^*	15

^*Как и раньше, альтернативная возможная коррекция в строке 15 содержит 28 во втором столбце и 53 в третьем столбце. Записи во втором и третьем столбцах строки 11, в отличие от записей всех других строк, за исключением, возможно, строки 15, содержат общий множитель. Возможно, что 45 и 1115 следует понимать как 3/4 и 5/4, что согласуется со стандартным (0,75,1,1,25) масштабированием знакомого (3,4,5) прямоугольный треугольник в вавилонской математике.

В каждой строке число во втором столбце можно интерпретировать как более короткую сторону ${\displaystyle s}$ прямоугольного треугольника, а число в третьем столбце можно интерпретировать как гипотенуза ${\displaystyle d}$ треугольника. Во всех случаях более длинная сторона ${\displaystyle \ell }$ также является целым числом, поэтому ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle d}$ два элемента Пифагорейская тройка. Число в первом столбце - это дробь ${\textstyle s^{2}/\ell ^{2}}$ (если "1" не указана) или ${\textstyle {\tfrac {d^{2}}{\ell ^{2}}}\,=\,1+{\tfrac {s^{2}}{\ell ^{2}}}}$ (если стоит "1"). В любом случае длинная сторона ${\displaystyle \ell }$ это обычный номер, то есть целочисленный делитель степени 60 или, что то же самое, произведение степеней 2, 3 и 5. Именно по этой причине числа в первом столбце точны, так как деление целого числа на регулярное Число производит завершающее шестидесятеричное число. Например, строку 1 таблицы можно интерпретировать как описание треугольника с короткой стороной 119 и гипотенузой 169, подразумевающей длинную сторону. ${\displaystyle {\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120}$, которое является обычным числом (2³· 3 · 5). Число в столбце 1 либо (169/120)² или (119/120)².

Заголовки столбцов

У каждого столбца есть заголовок, записанный в Аккадский язык. Некоторые слова Шумерские логотипы, который читатели могли бы понять как аккадские слова. К ним относятся ÍB.SI₈, для аккадского митхартум («квадрат»), MU.BI.IM, для аккадского. Шумшу («своя линия») и САГ для аккадского путум ("ширина"). Каждому числу в четвертом столбце предшествует шумерограмма KI, которая, согласно Нойгебауэр и Закс (1945), "придает им характер порядковых чисел". В приведенной выше шестидесятеричной таблице слова и части слов, выделенные курсивом, представляют собой части текста, которые нечитаемы из-за повреждения таблички или неразборчивости, и которые были реконструированы современными учеными. Условия ÍB.SI₈ и takiltum остались непереведенными, поскольку их точное значение продолжаются.

Заголовки столбцов 2 и 3 можно перевести как «квадрат ширины» и «квадрат диагонали», но Робсон (2001) (стр. 173–174) утверждает, что термин ÍB.SI₈ может относиться либо к площади квадрата, либо к стороне квадрата, и в этом случае его следует понимать как «сторона квадрата» или, возможно, «квадратный корень». по аналогии Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) (стр. 526) заметьте, что этот термин часто встречается в задачах, где завершение квадрата используется для решения того, что теперь понимается как квадратные уравнения, в этом контексте он относится к стороне завершенного квадрата, но он также может служить чтобы указать, «что имеется в виду линейный размер или линейный сегмент». Нойгебауэр и Закс (1945) (стр. 35, 39), с другой стороны, демонстрируют случаи, когда термин относится к результатам широкого спектра различных математических операций и предлагает перевод «решающее число ширины (или диагонали)». Фриберг (1981) (с. 300) предлагает перевод «корень».

В графе 1 повреждены первые части обеих строк заголовка. Нойгебауэр и Закс (1945) реконструировал первое слово как такилти (форма такилтум), чтение, которое было принято большинством последующих исследователей. Заголовок обычно считался непереводимым до Робсон (2001) предложил вставить 1 в оторванную часть строки 2 и сумел расшифровать неразборчивое последнее слово, получив значение, указанное в таблице выше. Основываясь на подробном лингвистическом анализе, Робсон предлагает перевод такилтум как "холдинг".^[6] Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) сделайте обзор относительно немногих известных употреблений этого слова в древневавилонской математике. Хотя они отмечают, что почти во всех случаях это относится к линейному размеру вспомогательного квадрата, добавляемому к фигуре в процессе завершения квадрата, и является величиной, вычтенной на последнем этапе решения квадратичной, они согласны с Робсоном. что в данном случае следует понимать как относящуюся к площади квадрата. Фриберг (2007), с другой стороны, предлагает, чтобы в отрывной части товарной позиции такилтум возможно, предшествовал как ("площадь"). В настоящее время широко распространено мнение о том, что заголовок описывает соотношение между квадратами по ширине (короткая сторона) и диагональю прямоугольника длиной (длинная сторона) 1: вычитание («вырывание») площади 1 из квадрата на диагональных листах. площадь квадрата по ширине.

Ошибки

Как указано в таблице выше, большинство ученых считают, что табличка содержит шесть ошибок, и, за исключением двух возможных исправлений в строке 15, существует широкое согласие относительно того, какими должны быть правильные значения. Меньше согласия относительно того, как произошли ошибки и что они означают в отношении метода вычисления планшета. Ниже приводится сводка ошибок.

Ошибки в строке 2, столбце 1 (пренебрежение оставлением пробелов между 50 и 6 для отсутствующих единиц и десятков) и в строке 9, столбце 2 (запись 9 вместо 8) повсеместно рассматриваются как незначительные ошибки при копировании с рабочего планшета (или, возможно, из более ранней копии таблицы). Ошибка в строке 8, столбце 1 (замена двух шестидесятеричных цифр 45 14 их суммой 59), похоже, не была замечена в некоторых ранних статьях на табличке. Иногда это рассматривалось (например, в Робсон (2001) ) как простая ошибка писца в процессе копирования с рабочего планшета. Как обсуждалось в Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) Однако ряд ученых предположили, что эта ошибка гораздо более правдоподобно объяснена как ошибка в вычислении, ведущем к числу, например, писец пропускает средний ноль (пустое пространство, представляющее нулевую цифру) при выполнении умножения . Такое объяснение ошибки совместимо с обоими основными предложениями по способу построения таблицы. (Смотри ниже.)

Остальные три ошибки влияют на способ вычисления планшета. Число 7 12 1 в строке 13 столбца 2 является квадратом правильного значения 2 41. Предполагая, что либо длины в столбце 2 были вычислены путем извлечения квадратного корня из площади соответствующего квадрата, либо длина и площадь рассчитывалась вместе, эту ошибку можно объяснить либо игнорированием извлечения квадратного корня, либо копированием неправильного числа с рабочего планшета.^[7]

Если под ошибкой в ​​строке 15 следует понимать, что в столбце 2 написано 56 вместо 28, то ошибка может быть объяснена как результат неправильного применения алгоритма конечной части, который требуется, если таблица была вычислена с помощью взаимных пар. как описано ниже. Эта ошибка сводится к применению итерационной процедуры для удаления обычных факторов, общих для чисел в столбцах 2 и 3, неправильное количество раз в одном из столбцов.^[8]

Число в строке 2, столбце 3 не имеет очевидного отношения к правильному числу, и все объяснения того, как это число было получено, предполагают множественные ошибки. Брюинз (1957) заметил, что 3 12 01 могло быть простым неверным копированием 3 13. Если бы это было так, то объяснение неправильного числа 3 13 аналогично объяснению ошибки в строке 15.^[9]

Исключением из общего консенсуса является Фриберг (2007), где в отличие от более раннего анализа того же автора (Фриберг (1981) ) предполагается, что числа в строке 15 не ошибочны, а написаны так, как предполагалось, и что единственная ошибка в строке 2, столбец 3 заключалась в неправильном написании 3 13 как 3 12 01. Согласно этой гипотезе необходимо, чтобы переинтерпретировать столбцы 2 и 3 как «стержни с уменьшенным коэффициентом переднего и диагонального». Ядро числа с уменьшенным множителем - это число, из которого удалены регулярные множители полного квадрата; Вычисление ядра с уменьшенным коэффициентом было частью процесса вычисления квадратных корней в древневавилонской математике. По словам Фриберга, «автор Plimpton 322 никогда не намеревался сокращать свою серию нормализованный диагональные тройки (с длиной, равной 1 в каждой тройке) в соответствующую серию примитивный диагональные тройки (передняя часть, длина и диагональ равны целым числам без общих делителей) ".^[10]

Строительство стола

Ученые до сих пор расходятся во мнениях относительно того, как были получены эти числа. Бак (1980) и Робсон (2001) оба выделяют два основных предложения по способу построения таблицы: метод генерации пар, предложенный в Нойгебауэр и Закс (1945), и метод взаимных пар, предложенный Брюинсом^[11] и разработан Voils,^[12] Шмидт (1980), и Фриберг.^[13]

Генерация пар

Используя современную терминологию, если п и q натуральные числа такие, что п>q тогда (п² − q², 2pq, п² + q²) образует пифагорову тройку. Тройка примитивна, то есть три стороны треугольника не имеют общего делителя, если п и q находятся совмещать и не оба лишние. Нойгебауэр и Сакс предполагают, что планшет был создан путем выбора п и q быть взаимно простыми регулярными числами (но оба могут быть нечетными - см. строку 15) и вычисление d = п² + q², s = п² − q², и л = 2pq (так что л тоже обычное число). Например, строка 1 будет сгенерирована путем установки п = 12 и q = 5. Бак и Робсон оба отмечают, что присутствие столбца 1 в этом предложении загадочно, поскольку оно не играет никакой роли в построении, и что предложение не объясняет, почему строки таблицы упорядочены так, как они есть, а не , скажем, по значению ${\displaystyle p}$ или же ${\displaystyle q}$, которые, согласно этой гипотезе, могли быть перечислены в столбцах слева в оторванной части таблички. Робсон также утверждает, что это предложение не объясняет, как могли возникнуть ошибки в таблице, и не соответствует математической культуре того времени.

Взаимные пары

В предложении взаимных пар отправной точкой является обычная шестидесятеричная дробь. Икс вместе с его обратной, 1 /Икс. «Правильная шестидесятеричная дробь» означает, что Икс является произведением (возможно, отрицательных) степеней 2, 3 и 5. Величины (Икс−1/Икс) / 2, 1 и (Икс+1/Икс) / 2 образуют то, что теперь назвали бы рациональной пифагоровой тройкой. Более того, все три стороны имеют конечные шестидесятеричные представления.

Сторонники этого предложения указывают, что обычные взаимные пары (Икс,1/Икс) появляются в другой задаче примерно из того же времени и в том же месте, что и Плимптон 322, а именно в задаче поиска сторон прямоугольника области 1, длинная сторона которого превышает его короткую сторону на заданную длину. c (которые в настоящее время могут быть вычислены как решения квадратное уровненеие ${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$). Робсон (2002) анализирует планшет YBC 6967, в котором такая задача решена путем вычисления последовательности промежуточных значений v₁ = c/2, v₂ = v₁², v₃ = 1 + v₂, и v₄ = v₃^1/2, из которого можно вычислить Икс = v₄ + v₁ и 1 /Икс = v₄ − v₁. Хотя необходимость вычисления квадратного корня из v₃ будет, как правило, приводить к ответам, не имеющим конечных шестидесятеричных представлений, проблема на YBC 6967 была поставлена, то есть значение c был выбран подходящим образом - чтобы дать хороший ответ. Фактически, это происхождение спецификации выше, Икс быть правильной шестидесятеричной дробью: выбирая Икс таким образом гарантирует, что оба Икс и 1 /Икс имеют конечные шестидесятеричные представления. Чтобы разработать проблему с хорошим ответом, установщику задачи просто нужно выбрать такой Икс и пусть исходные данные c равный Икс − 1/Икс. В качестве побочного эффекта получается рациональная тройка Пифагора с ножками v₁ а 1 и гипотенуза v₄.

Следует отметить, что задача на YBC 6967 фактически решает уравнение ${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$, что влечет за собой замену выражения для v₃ выше с v₃ = 60 + v₂. Таким образом, побочный эффект получения рациональной тройки теряется, поскольку стороны становятся v₁, ${\displaystyle {\sqrt {60}}}$, и v₄. В этом предложении следует исходить из того, что вавилоняне были знакомы с обоими вариантами проблемы.

Робсон утверждает, что колонки Плимптона 322 можно интерпретировать как:

v₃ = ((Икс + 1/Икс)/2)² = 1 + (c/2)² в первом столбце

а·v₁ = а·(Икс − 1/Икс) / 2 для подходящего множителя а во втором столбце и

а·v₄ = а·(Икс + 1/Икс) / 2 в третьем столбце.

В этой интерпретации Икс и 1 /Икс (или возможно v₁ и v₄) появилось бы на планшете в отломке слева от первой колонки. Таким образом, наличие столбца 1 объясняется как промежуточный шаг в вычислении, а порядок строк осуществляется по убыванию значений Икс (или же v₁). Множитель а используется для вычисления значений в столбцах 2 и 3, которые можно рассматривать как масштабирование длин сторон, возникает в результате применения «алгоритма конечной части», в котором оба значения многократно умножаются на обратную величину любого обычного общего множителя. до последних шестидесятеричных цифр обеих, пока не останется такого общего множителя.^[14] Как обсуждалось выше, все ошибки в табличке имеют естественное объяснение в предложении взаимных пар. С другой стороны, Робсон указывает, что роль столбцов 2 и 3 и необходимость множителя а остаются необъясненными этим предложением и предполагают, что целью автора планшета было предоставить параметры не для квадратичных задач того типа, который решен на YBC 6967, а, скорее, «для некоторого вида задач прямоугольного треугольника». Она также отмечает, что метод, использованный для создания таблицы, и использование, для которого она предназначена, не обязательно должны совпадать.^[15]

Сильная дополнительная поддержка идеи о том, что числа на планшете были сгенерированы с использованием обратных пар, исходит от двух планшетов, MS 3052 и MS 3971, из Коллекция Schøyen. Йоран Фриберг перевел и проанализировал две таблички и обнаружил, что обе содержат примеры расчета диагонали и длины сторон прямоугольника с использованием взаимных пар в качестве отправной точки. Обе таблички являются древневавилонскими, примерно того же возраста, что и Плимптон 322, и обе, как полагают, происходят из Урука, недалеко от Ларсы.^[16] Дальнейший анализ двух таблеток был проведен в Бриттон, Пруст и Шнидер (2011). MS 3971 содержит список из пяти задач, третья из которых начинается с «Чтобы вы видели пять диагоналей» и заканчивается «пятью диагоналями». Приведенные данные для каждой из пяти частей задачи состоят из обратной пары. Для каждой части вычисляется длина диагонали и ширина (короткая сторона) прямоугольника. Длина (длинная сторона) не указана, но расчет подразумевает, что она принята равной 1. В современных условиях расчет происходит следующим образом: Икс и 1 /Икс, сначала вычислить (Икс+1/Икс) / 2, диагональ. Затем вычислите

${\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}$

ширина. Из-за повреждения той части планшета, которая содержит первую из пяти частей, постановка задачи для этой части, кроме следов исходных данных, и решение были утеряны. Остальные четыре части по большей части не повреждены и содержат очень похожий текст. Причина, по которой диагональ принимается за половину суммы обратной пары, не указана в неизменном тексте. Обратите внимание, что вычисление ширины эквивалентно (Икс−1/Икс) / 2, но этот более прямой метод вычисления не использовался, предпочтение было отдано правилу, связывающему квадрат диагонали с суммой квадратов сторон.

Текст второй задачи MS 3052 также был сильно поврежден, но то, что осталось, структурировано аналогично пяти частям MS 3971, Задача 3. Задача содержит фигуру, которая, по мнению Фриберга, вероятно, представляет собой «прямоугольник». без любые диагонали ».^[17] Бриттон, Пруст и Шнидер (2011) Подчеркните, что в сохраненных частях текста явно указывается, что длина равна 1, и явно вычисляется 1, которая вычитается из квадрата диагонали в процессе вычисления ширины как квадрата длины. Исходные данные, а также расчетная ширина и диагональ для шести задач на двух планшетах приведены в таблице ниже.

Проблема	Икс	1/Икс	ширина	длина	диагональ
MS 3052 § 2	2	1/2	3/4	1	5/4
MS 3971 § 3a	16/15(?)	15/16(?)	31/480(?)	1	481/480(?)
MS 3971 § 3b	5/3	3/5	8/15	1	17/15
MS 3971 § 3c	3/2	2/3	5/12	1	13/12
MS 3971 § 3d	4/3	3/4	7/24	1	25/24
MS 3971 § 3e	6/5	5/6	11/60	1	61/60

Параметры MS 3971 § 3a сомнительны из-за повреждения планшета. Обратите внимание, что параметры задачи из MS 3052 соответствуют изменению масштаба стандартного (3,4,5) прямоугольного треугольника, который отображается как строка 11 в Plimpton 322. Ни один из параметров в задачах из MS 3971 не соответствует ни одному из строк Плимптона 322. Как обсуждается ниже, все строки Плимптона 322 имеют Икс≥9 / 5, в то время как все проблемы на MS 3971 имеют Икс<9/5. Однако все параметры MS 3971 соответствуют строкам предложенного де Солла Прайсом расширения таблицы Plimpton 322, также обсуждаемого ниже.

Следует подчеркнуть, что роль обратной пары в задаче на YBC 6967 иная, чем на MS 3052 и MS 3971 (и, соответственно, на Plimpton 322). В задаче YBC 6967 членами обратной пары являются длины сторон прямоугольника площади 1. Геометрический смысл Икс и 1 /Икс не указано в сохранившемся тексте задач по MS 3052 и MS 3971. Похоже, что целью было применить известную процедуру для создания прямоугольников с конечной шестидесятеричной шириной и диагональю.^[18] Следует также отметить, что алгоритм конечной точки не использовался для изменения масштаба сторон в этих задачах.

Сравнение предложений

Количество Икс в предложении взаимной пары соответствует отношению п / q в предложении производящей пары. В самом деле, хотя эти два предложения различаются по методам расчета, математическая разница между результатами незначительна, поскольку оба дают одни и те же тройки, за исключением общего коэффициента 2 в случае, когда п и q оба странные. (К сожалению, единственное место, где это происходит в таблице, - это строка 15, которая содержит ошибку и поэтому не может использоваться для различения предложений.) Сторонники предложения о взаимных парах расходятся во мнениях относительно того, является ли Икс был рассчитан из базового п и q, но только с комбинациями п / q и q / п используется в планшетных вычислениях^[19] или будь Икс был получен непосредственно из других источников, например из взаимных таблиц.^[20] Одна из трудностей с последней гипотезой заключается в том, что некоторые из необходимых значений Икс или 1 /Икс являются четырехзначными шестидесятеричными числами, и четырехзначные взаимные таблицы не известны. Фактически, Нойгебауэр и Закс отметили возможность использования взаимных пар в своей первоначальной работе и отвергли ее по этой причине. Робсон, однако, утверждает, что известные источники и вычислительные методы древневавилонского периода могут объяснить все значения Икс использовал.

Подбор пар

Нойгебауэр и Сакс отмечают, что размеры треугольника на табличке варьируются от размеров почти равнобедренного прямоугольного треугольника (с короткой ногой, 119, почти равной длинной ноге, 120) до размеров прямоугольного треугольника с острыми углами, близкими к 30 ° и 60 °. ° и угол уменьшается довольно равномерно с шагом примерно 1 °. Они предполагают, что пары п, q были выбраны сознательно с этой целью.

Это наблюдал де Солла Прайс (1964), работая в рамках структуры генерирующих пар, каждая строка таблицы генерируется q что удовлетворяет 1 ≤q<60, то есть q всегда однозначное шестидесятеричное число. Соотношение п/q принимает наибольшее значение, 12/5 = 2,4, в строке 1 таблицы, и поэтому всегда меньше ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1\approx 2.414}$, условие, гарантирующее, что п² − q² это длинная нога и 2pq является короткой стороной треугольника и, говоря современным языком, подразумевает, что угол, противоположный стороне длины п² − q²меньше 45 °. Наименьшее соотношение в строке 15, где п/q= 9/5 для угла около 31,9 °. Кроме того, существует ровно 15 обычных соотношений от 9/5 до 12/5 включительно, для которых q является однозначным шестидесятеричным числом, и они находятся во взаимно однозначном соответствии со строками таблички. Он также указывает, что четный интервал между числами мог быть не преднамеренным: он также мог возникнуть просто из-за плотности соотношений регулярных чисел в диапазоне чисел, рассматриваемом в таблице.

Де Солла Прайс утверждал, что естественной нижней границей отношения будет 1, что соответствует углу 0 °. Он обнаружил, что, сохраняя требование, чтобы q - однозначное шестидесятеричное число, то есть 23 пары помимо представленных на табличке, всего 38 пар. Он отмечает, что вертикальная отметка между столбцами на планшете была продолжена на обратной стороне, предполагая, что писец, возможно, намеревался расширить таблицу. Он утверждает, что на доступном месте можно было бы правильно разместить 23 дополнительных ряда. Сторонники предложения о взаимной паре также поддерживают эту схему.^[21]

Робсон (2001) не рассматривает это предложение напрямую, но соглашается с тем, что таблица не была «полной». Она отмечает, что в предложении взаимной пары каждый Икс На табличке представлено не более четырехзначное шестидесятеричное число с не более чем четырехзначным обратным числом, и что общее количество мест в Икс и 1 /Икс вместе никогда не превышает 7. Если эти свойства рассматривать как требования, имеется ровно три значения Икс "отсутствует" на табличке, что, по ее мнению, могло быть опущено, потому что они непривлекательны во многих отношениях. Она признает "шокирующе для этого случая"суть этой схемы, которая служит главным образом риторическим приемом критики всех попыток угадать критерии отбора автора таблички.^[22]

Цель и авторство

Отто Э. Нойгебауэр  (1957 ) выступал за теоретико-числовой интерпретации, но также полагал, что записи в таблице были результатом преднамеренного процесса выбора, направленного на достижение довольно регулярного уменьшения значений в столбце 1 в определенных пределах.

Бак (1980) и Робсон (2002) оба упоминают о существовании тригонометрический объяснение, которое Робсон приписывает авторам различных общих историй и неопубликованных работ, но которое может вытекать из наблюдения в Нойгебауэр и Закс (1945) что значения первого столбца можно интерпретировать как квадрат секущая или касательная (в зависимости от пропущенной цифры) угла, противоположного короткой стороне прямоугольного треугольника, описываемого каждой строкой, и строки сортируются по этим углам с шагом примерно в один градус. Другими словами, если вы возьмете число в первом столбце без учета (1) и получите его квадратный корень, а затем разделите его на число во втором столбце, результатом будет длина длинной стороны треугольника. . Следовательно, квадратный корень из числа (минус один) в первом столбце - это то, что мы сегодня назвали бы касательная угла, противоположного короткой стороне. Если (1) включен, квадратный корень из этого числа является секущий.^[23]

В отличие от этих более ранних объяснений таблички,Робсон (2002) утверждает, что исторические, культурные и лингвистические данные показывают, что табличка, скорее всего, была построена из "список обычный взаимный пары."^[24] Робсон утверждает на лингвистических основаниях, что тригонометрическая теория «концептуально анахронична»: она зависит от слишком многих других идей, отсутствующих в записях вавилонской математики того времени. В 2003 году MAA наградило Робсона наградой Премия Лестера Р. Форда за свою работу, заявив, что это «Маловероятно, что автор Plimpton 322 был профессионалом или математиком-любителем. Более вероятно, что он, кажется, был учителем и Plimpton 322 - набором упражнений».^[25] Робсон придерживается подхода, который с современной точки зрения можно охарактеризовать как алгебраический, хотя она описывает это конкретно геометрический термины и утверждает, что вавилоняне также интерпретировали этот подход геометрически.

Таким образом, планшет можно интерпретировать как последовательность проработанных упражнений. В нем используются математические методы, типичные для писец школ того времени, и он написан в формате документа, который использовался администраторами того периода.^[26] Таким образом, Робсон утверждает, что автор, вероятно, был писцом, чиновником в Ларсе.^[27]Повторяющаяся математическая настройка планшета и аналогичных планшетов, таких как BM 80209, была бы полезна, если бы преподаватель мог ставить задачи в одном формате, но с разными данными.

Смотрите также

• Математический папирус Райнда
• YBC 7289
• IM 67118

Примечания

1. "158. Клинописная табличка. Ларса (Телль Сенкере), Ирак, ок. 1820-1762 гг. До н.э. - RBML, Плимптон клинопись 322", Драгоценности в ее короне: Сокровища специальных коллекций библиотек Колумбийского университета, Колумбийский университет, 2004.
2. Робсон (2002), п. 109.
3. Сравнивая даты из разных источников, обратите внимание, что во многих статьях Википедии о древнем мире используется краткая хронология, в то время как большая часть литературы по истории математики использует среднюю хронологию. Исключением является Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), в котором используется длинная хронология.
4. Робсон (2002), п. 111.
5. Робсон (2002), п. 110.
6. Робсон (2001), п. 191}}
7. Фриберг (1981), п. 298; Робсон (2001), п. 192; Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п, 538
8. Фриберг (1981), п. 298; Робсон (2001), п. 193; Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п, 538
9. Смотрите также Фриберг (1981), стр. 298–299; Робсон (2001), п. 193; Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), с., 537–538.
10. Фриберг (2007), п. 449}}
11. Брюинз (1949), Брюинз (1951), Брюинз (1957)
12. неопубликовано, но описано в Бак (1980)
13. Фриберг (1981), Фриберг (2007)
14. Фриберг (2007), п. 24
15. Робсон (2001), стр. 201–202}}
16. Фриберг (2007), стр.245, 255
17. Фриберг (2007), п. 275
18. Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 559
19. Фриберг (1981), Бриттон, Пруст и Шнидер (2011)
20. Брюинз (1957), Робсон (2001)
21. Фриберг (1981), Бриттон, Пруст и Шнидер (2011)
22. Робсон (2001), п. 199
23. Смотрите также Джойс, Дэвид Э. (1995), Плимптон 322 и Маор, Эли (1993), "Плимптон 322: самая ранняя тригонометрическая таблица?", Тригонометрические наслаждения, Princeton University Press, стр. 30–34, ISBN  978-0-691-09541-7, заархивировано из оригинал 5 августа 2010 г., получено 28 ноября, 2010.
24. Робсон (2002), п. 116.
25. Призы и награды MathFest 2003, Математическая ассоциация Америки, 2003.
26. Робсон (2002) С. 117–118.
27. Робсон (2002), п. 118.

Рекомендации

• Бриттон, Джон П .; Пруст, Кристина; Шнидер, Стив (2011), «Плимптон 322: обзор и другая перспектива», Архив истории точных наук, 65 (5): 519–566, Дои:10.1007 / s00407-011-0083-4, S2CID  120417550.
• Брюинз, Эверт М. (1949), "О Плимптоне 322, числах Пифагора в вавилонской математике", Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings, 52: 629–632.
• Брюинз, Эверт М. (1951), «Пифагорейские триады в вавилонской математике: ошибки Плимптона 322», Шумер, 11: 117–121.
• Брюинз, Э. М. (1957), "Пифагорейские триады в вавилонской математике", Математический вестник, 41 (335): 25–28, Дои:10.2307/3611533, JSTOR  3611533.
• Бак, Р. Крейтон (1980), «Шерлок Холмс в Вавилоне» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 87 (5): 335–345, Дои:10.2307/2321200, JSTOR  2321200.
• Конвей, Джон Х.; Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел, Коперник, стр.172–176, ISBN  0-387-97993-X.
• Фриберг, Йоран (1981), "Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322. Пифагорейские тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника", Historia Mathematica, 8: 277–318, Дои:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
• Фриберг, Йоран (2007), Замечательная коллекция вавилонских математических текстов: рукописи из собрания Шёйена, клинописные тексты I, Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин: Springer.
• Нойгебауэр, Отто (1957), «Точные науки в древности», Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium, Dover Publications, 9: 36–40, ISBN  978-0-486-22332-2, PMID  14884919.
• Нойгебауэр, О.; Сакс, А. Дж. (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 38–41..
• Робсон, Элеонора (Август 2001 г.), «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math., 28 (3): 167–206, Дои:10.1006 / hmat.2001.2317, МИСТЕР  1849797.
• Робсон, Элеонора (Февраль 2002 г.), «Слова и картинки: новый свет на Plimpton 322» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 109 (2): 105–120, Дои:10.2307/2695324, JSTOR  2695324, МИСТЕР  1903149.
• де Солла Прайс, Дерек Дж. (Сентябрь 1964 г.), "Вавилонская" табличка с треугольником Пифагора ", Центавр, 10 (1): 1–13, Bibcode:1964Цент ... 10 .... 1Д, Дои:10.1111 / j.1600-0498.1964.tb00385.x, МИСТЕР  0172779.
• Шмидт, Олаф (1980), «О Плимптоне 322. Пифагоровы числа в вавилонской математике», Центавр, 24: 4–13, Дои:10.1111 / j.1600-0498.1980.tb00363.x.

внешняя ссылка

• Записи в Инициатива электронной клинописи (CDLI) каталог, включающий высококачественные цифровые изображения:
  • Плимптон 322, Статья вики CDLI
  • YBC 6967
  • MS 3052
  • MS 3971

дальнейшее чтение

• Абдулазиз, Абдулрахман Али (2010), Табличка Плимптон 322 и вавилонский метод создания пифагорейских троек, arXiv:1004.0025, Bibcode:2010arXiv1004.0025A.
• Кассельман, Билл (2003), Вавилонская табличка Плимптон 322, Университет Британской Колумбии.
• Кирби, Лоуренс (2011), Плимптон 322: Древние корни современной математики (Получасовой документальный фильм), Колледж Баруха, Городской университет Нью-Йорка.

Выставки

• «До Пифагора: культура древней вавилонской математики», Институт изучения древнего мира, Нью-Йоркский университет, 12 ноября - 17 декабря 2010 г. Включает фото и описание Плимптон 322 ).
• Ротштейн, Эдвард (27 ноября 2010 г.). "Мастера математики из старого Вавилона". Нью-Йорк Таймс. Получено 28 ноября 2010.. Обзор выставки «До Пифагора» с упоминанием разногласий по поводу Плимптона 322.
• «Драгоценности в ее короне: сокровища из особых коллекций библиотек Колумбии», Библиотека редких книг и рукописей, Колумбийский университет, 8 октября 2004 г. - 28 января 2005 г. Фото и описание из позиции 158: Плимптонская клинопись 322.