Тригонометрия - Trigonometry

"Триггер" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Триг (значения).

Тригонометрия (из Греческий тригон, "треугольник" и метрон, "мера"^[1]) является ветвью математика который изучает отношения между длинами сторон и углы из треугольники. Поле появилось в Эллинистический мир в III веке до нашей эры из приложений геометрия к астрономические исследования.^[2] Греки сосредоточили свое внимание на расчет аккордов, в то время как математики в Индии создали самые ранние известные таблицы значений для тригонометрических соотношений (также называемые тригонометрические функции ) Такие как синус.^[3]

На протяжении всей истории тригонометрия применялась в таких областях, как геодезия, геодезия, небесная механика, и навигация.^[4]

Тригонометрия известна его многие личности,^[5][6] которые представляют собой уравнения, используемые для переписывания тригонометрических выражений для решения уравнений, поиска более полезных выражений или открытия новых взаимосвязей.^[7]

История

Основная статья: История тригонометрии

Гиппарх, которому приписывают составление первого тригонометрическая таблица, был описан как «отец тригонометрии».^[8]

Шумерский астрономы изучали измерение углов, используя разделение окружностей на 360 градусов.^[9] Они, а позже и Вавилоняне, изучили соотношение сторон похожий треугольников и обнаружил некоторые свойства этих соотношений, но не превратил это в систематический метод нахождения сторон и углов треугольников. В древние нубийцы использовал аналогичный метод.^[10]

В 3 веке до нашей эры Эллинистические математики Такие как Евклид и Архимед изучил свойства аккорды и вписанные углы в кругах, и они доказали теоремы, которые эквивалентны современным тригонометрическим формулам, хотя они представили их геометрически, а не алгебраически. В 140 г. до н.э. Гиппарх (из Никее, Малая Азия) дали первые таблицы аккордов, аналогичные современным таблицы значений синуса, и использовал их для решения задач по тригонометрии и сферическая тригонометрия.^[11] Во II веке нашей эры греко-египетский астроном Птолемей (из Александрии, Египет) построили подробные тригонометрические таблицы (Таблица аккордов Птолемея ) в Книге 1, главе 11 его Альмагест.^[12] Птолемей использовал аккорд длина для определения его тригонометрических функций, незначительное отличие от синус конвенция, которую мы используем сегодня.^[13] (Значение, которое мы называем sin (θ), можно найти, посмотрев длину хорды для удвоенного угла интереса (2θ) в таблице Птолемея, а затем разделив это значение на два.) Прошли столетия, прежде чем были составлены более подробные таблицы, и Трактат Птолемея продолжал использоваться для выполнения тригонометрических вычислений в астрономии в течение следующих 1200 лет в средневековье. византийский, Исламский, а затем и западноевропейские миры.

Современное синусоидальное соглашение впервые засвидетельствовано в Сурья Сиддханта, и его свойства были дополнительно задокументированы в 5 веке (н.э.) Индийский математик и астроном Арьябхата.^[14] Эти греческие и индийские труды были переведены и дополнены средневековые исламские математики. К 10 веку исламские математики использовали все шесть тригонометрических функций, составили таблицы своих значений и применяли их к задачам сферическая геометрия.^[15][16] В Персидский эрудит Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины.^[17][18][19] Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто стал рассматривать тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешней форме.^[20] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей На секторном рисунке, он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников и предоставил доказательства обоих этих законов.^[21] Достигнуто знание тригонометрических функций и методов. западная Европа через Латинские переводы греческого языка Птолемея Альмагест а также работы Персидские и арабские астрономы Такие как Аль Баттани и Насир ад-Дин ат-Туси.^[22] Одна из самых ранних работ по тригонометрии математика из Северной Европы - De Triangulis к 15 веку Немецкий математик Региомонтан, которому было предложено написать и предоставили копию Альмагест, посредством Византийский греческий ученый кардинал Basilios Bessarion с которым прожил несколько лет.^[23] В то же время еще один перевод Альмагест с греческого на латынь был завершен критским Георгий Трапезундский.^[24] Тригонометрия была еще так мало известна в Северной Европе XVI века, что Николай Коперник посвящены две главы De Revolutionibus orbium coelestium объяснить его основные понятия.

Руководствуясь требованиями навигация и растущая потребность в точных картах больших географических областей, тригонометрия превратилась в важный раздел математики.^[25] Bartholomaeus Pitiscus был первым, кто употребил это слово, опубликовав свой Тригонометрия в 1595 г.^[26] Джемма Фризиус впервые описал метод триангуляция все еще используется сегодня в геодезии. Это было Леонард Эйлер кто полностью включил сложные числа в тригонометрию. Работы шотландских математиков Джеймс Грегори в 17 веке и Колин Маклорен в 18 веке оказали влияние на развитие тригонометрический ряд.^[27] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий Серия Тейлор.^[28]

Тригонометрические отношения

Основная статья: Тригонометрическая функция

В этом прямоугольном треугольнике: грех А = а/c; потому что А = б/c; загар А = а/б.

Тригонометрические отношения - это отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Эти отношения даются следующими тригонометрические функции известного угла А, куда а, б и c см. длины сторон на прилагаемом рисунке:

• Синус функция (sin), определяемая как отношение стороны, противоположной углу, к гипотенуза.

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{c}}.}$

• Косинус функция (cos), определяемая как отношение соседний катет (сторона треугольника, соединяющая угол с прямым углом) к гипотенузе.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{c}}.}$

• Касательная функция (tan), определяемая как отношение противоположной ноги к соседней ноге.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

В гипотенуза сторона, противоположная углу 90 градусов в прямоугольном треугольнике; это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон, прилегающих к углу А. В соседняя нога другая сторона, примыкающая к углу А. В Обратная сторона сторона, противоположная углу А. Условия перпендикуляр и основание иногда используются для противоположных и смежных сторон соответственно. См. Ниже под Мнемоника.

Поскольку любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом А находятся похожий^[29], значение тригонометрического соотношения зависит только от угла А.

В взаимные из этих функций называются косеканс (csc), секущий (сек), и котангенс (детская кроватка) соответственно:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Косинус, котангенс и косеканс названы так, потому что они соответственно являются синусом, тангенсом и секансом дополнительного угла, сокращенного до «со-».^[30]

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синуса и закон косинусов.^[31] Эти законы можно использовать для вычисления оставшихся углов и сторон любого треугольника, как только известны две стороны и их угол, или два угла, и сторона, или три стороны.

Мнемоника

Основная статья: Мнемоника в тригонометрии

Обычное использование мнемоника это помнить факты и отношения в тригонометрии. Например, синус, косинус, и касательная соотношения в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их и соответствующие им стороны в виде цепочек букв. Например, мнемоника SOH-CAH-TOA:^[32]

Sine = Оpposite ÷ ЧАСипотенуза

Cосин = Аdjacent ÷ ЧАСипотенуза

Тangent = Оpposite ÷ Аdjacent

Один из способов запомнить буквы - это произнести их фонетически (т. Е. SOH-CAH-TOA, которое произносится как 'со-ка-палец-Эм-м-м' /soʊkæˈтoʊə/). Другой способ - преобразовать буквы в предложение, например "Sом Оld ЧАСиппи Cчто-нибудь Аеще ЧАСиппи Триппин Оп Аcid ".^[33]

Единичный круг и общие тригонометрические значения

Основная статья: Единичный круг

Рис. 1a - Синус и косинус угла θ, определенного с помощью единичной окружности.

Тригонометрические отношения также можно представить с помощью единичный круг, который представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости.^[34] В этой настройке сторона терминала угла А помещен в стандартное положение будет пересекать единичный круг в точке (x, y), где ${\displaystyle x=\cos A}$ и ${\displaystyle y=\sin A}$.^[34] Это представление позволяет вычислять часто встречающиеся тригонометрические значения, например, в следующей таблице:^[35]

Функция	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
синус	0	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0
косинус	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	-1
касательная	0	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	неопределенный	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	0
секущий	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	неопределенный	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	-1
косеканс	неопределенный	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	неопределенный
котангенс	неопределенный	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	0	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	неопределенный

Тригонометрические функции действительных или комплексных переменных

Основная статья: Тригонометрическая функция

С использованием единичный круг, можно распространить определения тригонометрических отношений на все положительные и отрицательные аргументы^[36] (видеть тригонометрическая функция ).

Графики тригонометрических функций

В следующей таблице приведены свойства графиков шести основных тригонометрических функций:^[37][38]

Функция	Период	Домен	Классифицировать	График
синус	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
косинус	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
касательная	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
секущий	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
косеканс	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
котангенс	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Обратные тригонометрические функции

Основная статья: Обратные тригонометрические функции

Поскольку шесть основных тригонометрических функций периодичны, они не инъективный (или от 1 к 1), и поэтому не обратимы. К ограничение области определения тригонометрической функции, однако их можно сделать обратимыми.^[39]:48ff

Названия обратных тригонометрических функций вместе с их доменами и диапазоном можно найти в следующей таблице:^{[39]:48ff[40]:521ff}

Имя	Обычное обозначение	Определение	Домен Икс для реального результата	Диапазон обычной основной стоимости (радианы )	Диапазон обычной основной стоимости (градусы )
арксинус	у = arcsin (Икс)	Икс = грех (у)	−1 ≤ Икс ≤ 1	−π/2 ≤ у ≤ π/2	−90° ≤ у ≤ 90°
арккозин	у = arccos (Икс)	Икс = потому что (у)	−1 ≤ Икс ≤ 1	0 ≤ у ≤ π	0° ≤ у ≤ 180°
арктангенс	у = арктан (Икс)	Икс = загар (у)	все реальные числа	−π/2 < у < π/2	−90° < у < 90°
арккотангенс	у = арккот (Икс)	Икс = детская кроватка (у)	все реальные числа	0 < у < π	0° < у < 180°
арксеканс	у = arcsec (Икс)	Икс = сек (у)	Икс ≤ −1 или 1 ≤ Икс	0 ≤ у < π/2 или же π/2 < у ≤ π	0° ≤ у <90 ° или 90 ° < у ≤ 180°
аркосеканс	у = arccsc (Икс)	Икс = csc (у)	Икс ≤ −1 или 1 ≤ Икс	−π/2 ≤ у <0 или 0 < у ≤ π/2	−90° ≤ у <0 ° или 0 ° < у ≤ 90°

Представления степенного ряда

Если рассматривать тригонометрические отношения как функции действительной переменной, их можно представить в виде бесконечная серия. Например, синус и косинус имеют следующие представления:^[41]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

С помощью этих определений тригонометрические функции могут быть определены для сложные числа.^[42] При расширении как функции действительных или комплексных переменных следующие формула выполняется для комплексной экспоненты:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Эта сложная экспоненциальная функция, записанная в терминах тригонометрических функций, особенно полезна.^[43][44]

Расчет тригонометрических функций

Основная статья: Тригонометрические таблицы

Тригонометрические функции были одними из первых применений для математические таблицы.^[45] Такие таблицы были включены в учебники по математике, и студентов учили искать значения и то, как интерполировать между перечисленными значениями, чтобы получить более высокую точность.^[46] Правила слайдов были специальные шкалы для тригонометрических функций.^[47]

Научные калькуляторы есть кнопки для вычисления основных тригонометрических функций (sin, cos, tan, а иногда и СНГ и их обратные).^[48] Большинство из них позволяют выбирать методы измерения угла: градусы, радианы, а иногда грады. Большинство компьютеров языки программирования предоставить библиотеки функций, которые включают тригонометрические функции.^[49] В блок с плавающей запятой аппаратные средства, встроенные в микросхемы микропроцессоров, используемых в большинстве персональных компьютеров, имеют встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций.^[50]

Другие тригонометрические функции

Основная статья: Тригонометрические функции § История

В дополнение к шести коэффициентам, перечисленным ранее, существуют дополнительные тригонометрические функции, которые имели историческое значение, хотя сегодня редко используются. К ним относятся аккорд (crd (θ) = 2 грех (θ/2)), Версина (Версин (θ) = 1 - cos (θ) = 2 греха²(θ/2)) (который появился в самых ранних таблицах^[51]), Coverine (покрывает (θ) = 1 - грех (θ) = версия (π/2 − θ)), гаверсин (хаверсин (θ) = 1/2Версин (θ) = грех²(θ/2)),^[52] то эксцентричный (exsec (θ) = сек (θ) − 1), а excosecant (исключая (θ) = exsec (π/2 − θ) = csc (θ) − 1). Видеть Список тригонометрических тождеств для получения дополнительных сведений о взаимосвязях между этими функциями.

Приложения

Основная статья: Использование тригонометрии

Астрономия

Основная статья: Астрономия

На протяжении веков сферическая тригонометрия использовалась для определения положения Солнца, Луны и звезд.^[53] предсказание затмений и описание орбит планет.^[54]

В наше время техника триангуляция используется в астрономия измерить расстояние до ближайших звезд,^[55] а также в системы спутниковой навигации.^[16]

Навигация

Основная статья: Навигация

Секстанты используются для измерения угла наклона солнца или звезд по отношению к горизонту. Используя тригонометрию и морской хронометр по таким измерениям можно определить положение корабля.

Исторически тригонометрия использовалась для определения широты и долготы парусных судов, построения курсов и расчета расстояний во время навигации.^[56]

Тригонометрия до сих пор используется в навигации с помощью таких средств, как спутниковая система навигации и искусственный интеллект за автономные автомобили.^[57]

Геодезия

Основная статья: Геодезия

В земле геодезия, тригонометрия используется при вычислении длины, площади и относительных углов между объектами.^[58]

В более широком масштабе тригонометрия используется в география для измерения расстояний между ориентирами.^[59]

Периодические функции

Основные статьи: Ряд Фурье и преобразование Фурье

Функция ${\displaystyle s(x)}$ (красный) - это сумма шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье, ${\displaystyle S(f)}$ (синим цветом), который отображает амплитуду в зависимости от частоты, показывает 6 частот (на нечетных гармониках) и их амплитуды (1 / нечетное число).

Функции синуса и косинуса являются фундаментальными для теории периодические функции,^[60] например, те, которые описывают звук и свет волны. Фурье обнаружил, что каждый непрерывный, периодическая функция можно было бы охарактеризовать как бесконечная сумма тригонометрических функций.

Даже непериодические функции можно представить в виде интеграл синусов и косинусов через преобразование Фурье. Это имеет приложение к квантовой механике.^[61] и коммуникации^[62], среди других областей.

Оптика и акустика

Основные статьи: оптика и акустика

Тригонометрия полезна во многих физические науки,^[63] включая акустика,^[64] и оптика^[64]. В этих областях они используются для описания звук и световые волны, а также для решения проблем, связанных с границами и передачей.^[65]

Другие приложения

Другие поля, которые используют тригонометрию или тригонометрические функции, включают теория музыки,^[66] геодезия, синтез звука,^[67] архитектура,^[68] электроника,^[66] биология,^[69] медицинская визуализация (Компьютерная томография и УЗИ ),^[70] химия,^[71] теория чисел (и поэтому криптология ),^[72] сейсмология,^[64] метеорология,^[73] океанография,^[74] сжатие изображений,^[75] фонетика,^[76] экономика,^[77] электротехника, машиностроение, гражданское строительство,^[66] компьютерная графика,^[78] картография,^[66] кристаллография^[79] и разработка игр.^[78]

Идентичности

Основная статья: Список тригонометрических тождеств

Треугольник со сторонами а,б,c и соответственно противоположные углы А,B,C

Тригонометрия известна своими многочисленными идентичностями, то есть уравнениями, которые верны для всех возможных входных данных.^[80]

Идентичности, включающие только углы, известны как тригонометрические тождества. Другие уравнения, известные как тождества треугольников,^[81] соотнести стороны и углы данного треугольника.

Тождества треугольников

В следующих тождествах А, B и C - углы треугольника и а, б и c - длины сторон треугольника, противоположных соответствующим углам (как показано на схеме).^[82]

Закон синусов

В закон синуса (также известное как «правило синуса») для произвольного состояния треугольника:^[83]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

куда ${\displaystyle \Delta }$ это площадь треугольника и р это радиус описанный круг треугольника:

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Закон косинусов

В закон косинусов (известная как формула косинуса или «правило косинуса») является расширением теоремы Пифагора на произвольные треугольники:^[83]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Закон касательных

В закон касательных, разработан Франсуа Виет, является альтернативой Закону косинусов при поиске неизвестных ребер треугольника, обеспечивая более простые вычисления при использовании тригонометрических таблиц.^[84] Выдается:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Площадь

Учитывая две стороны а и б и угол между сторонами C, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон и синуса угла между двумя сторонами:^[83]

Формула Герона - еще один метод, который можно использовать для вычисления площади треугольника. Эта формула утверждает, что если у треугольника есть стороны длины а, б, и c, а если полупериметр

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c),}$

тогда площадь треугольника равна:^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}}$,

где R - радиус описанный круг треугольника.

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

Тригонометрические тождества

Пифагорейские тождества

Следующие тригонометрические идентичности связаны с теорема Пифагора и удерживайте для любого значения:^[86]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

Формула Эйлера

Формула Эйлера, в котором говорится, что ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$, дает следующие аналитический тождества для синуса, косинуса и тангенса с точки зрения е и мнимая единица я:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Другие тригонометрические тождества

Основная статья: Список тригонометрических тождеств

Другие часто используемые тригонометрические тождества включают тождества половинного угла, тождества суммы углов и разностей, а также тождества произведения к сумме.^[29]

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Обобщенная тригонометрия
• Ленарт сфера
• Список тем треугольника
• Список тригонометрических тождеств
• Рациональная тригонометрия
• Тонкий треугольник
• Малоугловое приближение
• Тригонометрические функции
• Единичный круг
• Использование тригонометрии

Рекомендации

1. «тригонометрия». Интернет-словарь этимологии.
2. Р. Нагель (ред.), Энциклопедия науки, 2-е изд., The Gale Group (2002)
3. Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-54397-8.
4. Чарльз Уильям Хэкли (1853 г.). Трактат по тригонометрии, плоской и сферической: с его применением к навигации и геодезии, морской и практической астрономии и геодезии, с логарифмическими, тригонометрическими и морскими таблицами. Дж. П. Патнэм.
5. Мэри Джейн Стерлинг (24 февраля 2014 г.). Тригонометрия для чайников. Джон Вили и сыновья. п. 185. ISBN  978-1-118-82741-3.
6. П.Р. Халмос (1 декабря 2013 г.). Я хочу быть математиком: автоматография. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-1084-9.
7. Рон Ларсон; Роберт П. Хостетлер (10 марта 2006 г.). Тригонометрия. Cengage Learning. п. 230. ISBN  0-618-64332-X.
8. Boyer (1991). «Греческая тригонометрия и измерение». История математики. п.162.
9. Обое, Асгер (2001). Эпизоды из ранней истории астрономии. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95136-9
10. Отто Нойгебауэр (1975). История древней математической астрономии. 1. Springer-Verlag. п. 744. ISBN  978-3-540-06995-9.
11. Терстон, стр. 235–236.
12. Тумер, Г. (1998), Альмагест Птолемея, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-00260-6
13. Терстон, стр. 239–243.
14. Бойер П. 215
15. Gingerich, Оуэн. «Исламская астрономия». Scientific American 254.4 (1986): 74-83
16. Майкл Виллерс (13 февраля 2018 г.). Кресельная алгебра: все, что вам нужно знать, от целых чисел до уравнений. Книжные продажи. п. 37. ISBN  978-0-7858-3595-0.
17. "Биография Ат-Туси_насир". Архив истории математики MacTutor. Получено 2018-08-05. Одним из наиболее важных вкладов ат-Туси в математику было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В «Трактате о четырехугольнике» ат-Туси впервые изложил всю систему плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно первая в истории по тригонометрии как независимому разделу чистой математики и первая, в которой изложены все шесть случаев для прямоугольного сферического треугольника.
18. "Кембриджская история науки". Октябрь 2013.
19. electricpulp.com. "USI, NAṢIR-AL-DIN i. Биография - Encyclopaedia Iranica". www.iranicaonline.org. Получено 2018-08-05. Его главный вклад в математику (Nasr, 1996, стр. 208-214), как говорят, был в тригонометрии, которая впервые была составлена ​​им как самостоятельная дисциплина. Сферическая тригонометрия также обязана своим развитием его усилиям, и это включает в себя концепцию шести фундаментальных формул для решения сферических прямоугольных треугольников.
20. «тригонометрия». Британская энциклопедия. Получено 2008-07-21.
21. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник. Издательство Принстонского университета. п. 518. ISBN  978-0-691-11485-9.
22. Бойер стр. 237, 274
23. "Биография Региомонтана". History.mcs.st-and.ac.uk. Получено 2017-03-08.
24. Н.Г. Уилсон (1992). От Византии до Италии. Греческие исследования в итальянском Возрождении, Лондон. ISBN  0-7156-2418-0
25. Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук. W.W. Нортон. ISBN  978-0-393-32030-5.
26. Роберт Э. Кребс (2004). Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия средневековья и эпохи Возрождения. Издательская группа «Гринвуд». п. 153. ISBN  978-0-313-32433-8.
27. Уильям Брэгг Эвальд (2007). От Канта до Гильберта: справочник по основам математики. Oxford University Press, США. п. 93. ISBN  0-19-850535-3
28. Келли Демпски (2002). Сосредоточьтесь на кривых и поверхностях. п. 29. ISBN  1-59200-007-X
29. Джеймс Стюарт; Лотар Редлин; Салим Уотсон (16 января 2015 г.). Алгебра и тригонометрия. Cengage Learning. п. 448. ISBN  978-1-305-53703-3.
30. Дик Джардин; Эми Шелл-Геллаш (2011). Математические капсулы времени: исторические модули для математического класса. MAA. п. 182. ISBN  978-0-88385-984-1.
31. Кристл Роуз Форсет; Кристофер Бургер; Мишель Роуз Гилман; Дебора Дж. Рамси (7 апреля 2008 г.). Предварительный расчет для чайников. Джон Вили и сыновья. п. 218. ISBN  978-0-470-16984-1.
32. Вайсштейн, Эрик В. "СОХЧАХТОА". MathWorld.
33. Предложение, более подходящее для средней школы: ""Sом Оld ЧАСOrse Cаме А ''ЧАСпротивостояние Тчерез Оур Аlley ". Фостер, Джонатан К. (2008). Память: очень краткое введение. Оксфорд. п. 128. ISBN  978-0-19-280675-8.
34. Дэвид Коэн; Ли Б. Теодор; Дэвид Склар (17 июля 2009 г.). Precalculus: проблемно-ориентированный подход, расширенное издание. Cengage Learning. ISBN  978-1-4390-4460-5.
35. В. Майкл Келли (2002). Полное руководство идиота по исчислению. Альфа-книги. п. 45. ISBN  978-0-02-864365-6.
36. Дженни Олив (18 сентября 2003 г.). Математика: Руководство по выживанию для студентов: Рабочая тетрадь для студентов естественных и технических специальностей. Издательство Кембриджского университета. п. 175. ISBN  978-0-521-01707-7.
37. Мэри П. Аттенборо (30 июня 2003 г.). Математика для электротехники и вычислительной техники. Эльзевир. п. 418. ISBN  978-0-08-047340-6.
38. Рон Ларсон; Брюс Х. Эдвардс (10 ноября 2008 г.). Исчисление одной переменной. Cengage Learning. п. 21. ISBN  978-0-547-20998-2.
39. Элизабет Дж. Бремиган; Ральф Дж. Бремиган; Джон Д. Лорч (2011). Математика для учителей средней школы. MAA. ISBN  978-0-88385-773-1.
40. Мартин Брокате; Памми Манчанда; Абул Хасан Сиддики (3 августа 2019 г.). Расчет для ученых и инженеров. Springer. ISBN  9789811384646.
41. Серж Ланг (14 марта 2013 г.). Комплексный анализ. Springer. п. 63. ISBN  978-3-642-59273-7.
42. Сильвия Мария Алессио (9 декабря 2015 г.). Цифровая обработка сигналов и спектральный анализ для ученых: концепции и приложения. Springer. п. 339. ISBN  978-3-319-25468-5.
43. К. РАДЖА РАДЖЕСВАРИ; Б. ВИСВЕСВАРА РАО (24 марта 2014 г.). СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ. PHI Learning. п. 263. ISBN  978-81-203-4941-4.
44. Джон Стиллвелл (23 июля 2010 г.). Математика и ее история. Springer Science & Business Media. п. 313. ISBN  978-1-4419-6053-5.
45. Мартин Кэмпбелл-Келли; Заслуженный профессор компьютерных наук Мартин Кэмпбелл-Келли; Приглашенный научный сотрудник отдела компьютерных наук Мэри Кроаркен; Раймонд Флуд; Элеонора Робсон (2 октября 2003 г.). История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц. ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-850841-0.
46. Джордж С. Донован; Беверли Бейройтер Гимместад (1980). Тригонометрия с калькуляторами. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN  978-0-87150-284-1.
47. Росс Раймонд Миддлмисс (1945). Инструкции для правил слайдов после триггера и триггера Мангейма. Компания Фредерик Пост.
48. Bonnier Corporation (апрель 1974 г.). Популярная наука. Bonnier Corporation. п. 125.
49. Стивен С. Скиена; Мигель А. Ревилья (18 апреля 2006 г.). Задачи по программированию: Учебное пособие по программированию. Springer Science & Business Media. п. 302. ISBN  978-0-387-22081-9.
50. Объединенные тома Руководства разработчика программного обеспечения для архитектур Intel® 64 и IA-32: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B и 3C (PDF). Intel. 2013.
51. Бойер (1991, стр. xxiii – xxiv) Ошибка harvtxt: несколько целей (3 ×): CITEREFBoyer1991 (помощь)
52. Нильсен (1966 г., стр. xxiii – xxiv)
53. Олинтус Григорий (1816 г.). Элементы плоской и сферической тригонометрии: их приложения к проекциям высот и расстояний сферы, набор номера, астрономия, решение уравнений и геодезические операции. Болдуин, Крэдок и Джой.
54. Нойгебауэр, Отто. «Математические методы в древней астрономии». Бюллетень Американского математического общества 54.11 (1948): 1013-1041.
55. Майкл Сидс; Дана Бэкман (5 января 2009 г.). Астрономия: Солнечная система и за ее пределами. Cengage Learning. п. 254. ISBN  978-0-495-56203-0.
56. Джон Сабин (1800). Практический математик, логарифмы, геометрия, тригонометрия, измерение, алгебра, навигация, сферика и естественная философия и т. Д.. п. 1.
57. Мордехай Бен-Ари; Франческо Мондада (25 октября 2017 г.). Элементы робототехники. Springer. п. 16. ISBN  978-3-319-62533-1.
58. Джордж Робертс Перкинс (1853 г.). Плоская тригонометрия и ее применение для измерения и топографической съемки: вместе со всеми необходимыми логарифмическими и тригонометрическими таблицами. Д. Эпплтон и компания.
59. Чарльз У. Дж. Уизерс; Хайден Лоример (14 декабря 2015 г.). Географы: биобиблиографические исследования. A&C Black. п. 6. ISBN  978-1-4411-0785-5.
60. Х. Г. тер Морше; Дж. К. ван ден Берг; Э. М. ван де Ври (7 августа 2003 г.). Преобразования Фурье и Лапласа. Издательство Кембриджского университета. п. 61. ISBN  978-0-521-53441-3.
61. Бернд Таллер (8 мая 2007 г.). Визуальная квантовая механика: избранные темы с компьютерной анимацией квантово-механических явлений. Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN  978-0-387-22770-2.
62. М. Рахман (2011). Приложения преобразований Фурье к обобщенным функциям. WIT Нажмите. ISBN  978-1-84564-564-9.
63. Лоуренс Борнштейн; Основные системы, Inc. (1966). Тригонометрия для физических наук. Appleton-Century-Crofts.
64. Джон Дж. Шиллер; Мари А. Вурстер (1988). Студенческая алгебра и тригонометрия: основы через предварительное вычисление. Скотт, Foresman. ISBN  978-0-673-18393-4.
65. Дадли Х. Таун (5 мая 2014 г.). Волновые явления. Dover Publications. ISBN  978-0-486-14515-0.
66. Э. Ричард Хейнеман; Дж. Далтон Таруотер (1 ноября 1992 г.). Плоская тригонометрия. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-028187-5.
67. Марк Карс; Карлхайнц Бранденбург (18 апреля 2006 г.). Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике. Springer Science & Business Media. п. 404. ISBN  978-0-306-47042-4.
68. Ким Уильямс; Майкл Дж. Оствальд (9 февраля 2015 г.). Архитектура и математика от античности до будущего: том I: от древности до 1500-х годов. Birkhäuser. п. 260. ISBN  978-3-319-00137-1.
69. Дэн Фоулдер (15 июля 2019 г.). Основные навыки для биологии GCSE. Hodder Education. п. 78. ISBN  978-1-5104-6003-4.
70. Лучано Беолки; Майкл Х. Кун (1995). Медицинская визуализация: анализ мультимодальных 2D / 3D изображений. IOS Press. п. 122. ISBN  978-90-5199-210-6.
71. Маркус Фредерик Чарльз Лэдд (2014). Симметрия кристаллов и молекул.. Издательство Оксфордского университета. п. 13. ISBN  978-0-19-967088-8.
72. Геннадий Иванович Архипов; Владимир Николаевич Чубариков; Анатолий Анатольевич Карацуба (22 августа 2008 г.). Тригонометрические суммы в теории и анализе чисел. Вальтер де Грюйтер. ISBN  978-3-11-019798-3.
73. Учебное пособие по курсу метеорологической математики: последнее издание, 1 февраля 1943 г.. 1943.
74. Мэри Сирс; Дэниел Мерриман; Океанографический институт Вудс-Хоул (1980 г.). Океанография, прошлое. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90497-9.
75. «Стандарт JPEG (JPEG ISO / IEC 10918-1 Рекомендация ITU-T T.81)» (PDF). Международный союз электросвязи. 1993. Получено 6 апреля 2019.
76. Кирстен Малмкьяер (4 декабря 2009 г.). Энциклопедия лингвистики Рутледж. Рутледж. п. 1. ISBN  978-1-134-10371-3.
77. Камран Дадхах (11 января 2011 г.). Основы математической и вычислительной экономики. Springer Science & Business Media. п. 46. ISBN  978-3-642-13748-8.
78. Кристофер Гриффит (12 ноября 2012 г.). Разработка флеш-игр в реальном мире: как следовать лучшим практикам и сохранять рассудок. CRC Press. п.153. ISBN  978-1-136-13702-0.
79. Джон Джозеф Гриффин (1841 г.). Система кристаллографии в применении к минералогии. Р. Гриффин. п.119.
80. Дугопольский (июль 2002 г.). Тригонометрия I / E Sup. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-78666-8.
81. РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ V&S (6 января 2015 г.). КРАТКИЙ СЛОВАРЬ МАТЕМАТИКИ. Издатели V&S. п. 288. ISBN  978-93-5057-414-0.
82. Лекция 3 | Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд, тригонометрия за пять минут, закон греха, соз, формула Эйлера 2006-10-09.
83. Синтия Ю. Янг (19 января 2010 г.). Precalculus. Джон Вили и сыновья. п. 435. ISBN  978-0-471-75684-2.
84. Рон Ларсон (29 января 2010 г.). Тригонометрия. Cengage Learning. п. 331. ISBN  978-1-4390-4907-5.
85. Ричард Н. Ауфманн; Вернон К. Баркер; Ричард Д. Нэйшн (5 февраля 2007 г.). Колледж тригонометрии. Cengage Learning. п. 306. ISBN  978-0-618-82507-3.
86. Петерсон, Джон С. (2004). Техническая математика с исчислением (Иллюстрированный ред.). Cengage Learning. п. 856. ISBN  978-0-7668-6189-3. Выдержка страницы 856

Библиография

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (Второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-54397-8.
• «Тригонометрические функции», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Кристофер М. Линтон (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Издательство Кембриджского университета.
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.), Нью-Йорк, США: Barnes & Noble, LCCN  61-9103
• Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». MathWorld.

внешняя ссылка

• Khan Academy: тригонометрия, бесплатные микролекции онлайн
• Тригонометрия Альфред Монро Кеньон и Луи Ингольд, компания «Макмиллан», 1914 г. На изображениях представлен полный текст.
• Тригонометрическая головоломка Бенджамина Баннекера в Конвергенция
• Краткий курс Дэйва по тригонометрии Дэвид Джойс из Университет Кларка
• Тригонометрия, Майкл Коррал, Охватывает элементарную тригонометрию, Распространяется под лицензией GNU Free Documentation License