Математическая таблица - Mathematical table

Старая книга открыта для столбцов чисел, обозначенных синусом, тангенсом и секансом.
Развернув страницы из книги математических таблиц 1619 г. Маттиас Бернеггер, показывая значения синуса, тангенса и секанса тригонометрические функции. Углы менее 45 ° находятся на левой странице, а углы более 45 ° - на правой. Косинус, котангенс и косеканс можно найти, используя запись на противоположной странице.

Математические таблицы - это списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Столы тригонометрических функций использовались в Древней Греции и Индии для приложений к астрономия и небесная навигация. Они продолжали широко использоваться до электронные калькуляторы стал дешевым и доступным, чтобы упростить и значительно ускорить вычисление. Таблицы логарифмы и тригонометрические функции были распространены в учебниках по математике и естествознанию, а специализированные таблицы были опубликованы для множества приложений.

История и использование

Первые таблицы тригонометрические функции известно, что они были сделаны Гиппарх (190-120 гг. до н.э.) и Менелай (около 70–140 гг. н. э.), но оба были потеряны. Вместе с сохранившаяся таблица Птолемея (ок. 90 - ок. 168 г. н. э.), все они были таблицами аккордов, а не полуаккордов, то есть синус функция.[1] В таблица произведена индийским математиком Арьябхатой (476–550 гг. Н. Э.) Считается первой когда-либо построенной таблицей синусов.[1] Таблица Арьябханы оставалась стандартной таблицей синусов древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, что привело к открытию расширения степенного ряда функций синуса и косинуса на Мадхава Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425) и подведение итогов таблица синусов Мадхавы со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.

Эти математические таблицы 1925 г. были распространены Комиссия по вступительным экзаменам в колледж учащимся, сдающим части тестов по математике

Таблицы десятичный логарифм использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение пй корни.

Механические компьютеры специального назначения, известные как разностные двигатели были предложены в 19 веке для составления полиномиальных приближений логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было мотивировано в основном ошибками в логарифмических таблицах, сделанными человеческие компьютеры времени. Первые цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны отчасти для производства специализированных математических таблиц для прицеливания. артиллерия. Начиная с 1972 г., с запуском и расширением использования научные калькуляторы, большинство математических таблиц вышли из употребления.

Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц была Математические таблицы это было начато в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), в котором было задействовано 450 безработных клерков для составления таблиц высших математических функций. Это длилось всю Вторую мировую войну.[нужна цитата ]

Таблицы специальные функции все еще используются. Например, использование таблиц значений кумулятивная функция распределения из нормальное распределение - так называемый стандартные нормальные таблицы - сегодня остается обычным явлением, особенно в школах.

Создание таблиц, хранящихся в оперативная память это общий оптимизация кода техники в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно если рассматриваемый компьютер не имеет аппаратной реализации вычислений). По сути, один меняет скорость вычислений на объем памяти компьютера требуется для хранения таблиц.

Таблицы логарифмов

Страница из Генри Бриггс ' 1617 Logarithmorum Chilias Prima показывает десятичный (общий) логарифм целых чисел от 0 до 67 до четырнадцати десятичных знаков.
Часть таблицы ХХ века десятичный логарифм в справочнике Абрамовиц и Стегун.
Страница из таблицы логарифмов тригонометрические функции с 2002 Американский практический навигатор. Столбцы различий включены, чтобы помочь интерполяция.

Таблицы, содержащие десятичный логарифм (основание 10) широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, потому что логарифмы преобразовывают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Логарифмы с основанием 10 имеют дополнительное свойство, которое является уникальным и полезным: десятичный логарифм чисел больше единицы, которые различаются только в степени десяти, имеют одинаковую дробную часть, известную как мантисса. Таблицы десятичных логарифмов обычно включали только мантиссы; целая часть логарифма, известная как характеристика, можно легко определить, посчитав цифры в исходном номере. Подобный принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, для всего диапазона положительных десятичных чисел можно использовать единую таблицу десятичных чисел.[2] Видеть десятичный логарифм для получения подробной информации об использовании характеристик и мантисс.

История

Основная статья: История логарифмов

В 1544 г. Майкл Стифель опубликовано Арифметика интегра, который содержит таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией логарифмической таблицы.[3][4][5]

Метод логарифмов был публично предложен Джон Напье в 1614 г. в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов).[6] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительных материалов и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральные логарифмы. Английский математик Генри Бриггс посетил Napier в 1615 году и предложил изменить масштаб Логарифмы Напьера сформировать то, что сейчас известно как общий или десятичный логарифм. Напье поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы. В 1617 г. они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткое описание логарифмов и таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака.

Вычислительный прогресс, доступный через десятичный логарифм, обратное преобразование мощных чисел или экспоненциальная запись, была такова, что вычисления выполнялись вручную намного быстрее.

Тригонометрические таблицы

Основная статья: Тригонометрические таблицы

Тригонометрические вычисления сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы строились путем многократного применения тригонометрические тождества (например, тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений из старых.

Простой пример

Чтобы вычислить синус функция 75 градусов, 9 минут, 50 секунд с использованием таблицы тригонометрических функций, таких как таблица Бернеггера из 1619 года, показанная выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти 10-минутную запись на странице 75 градусов, показано вверху справа, что составляет 0,9666746.

Однако этот ответ точен только до четырех десятичных знаков. Если бы кто-то хотел большей точности, можно было бы интерполировать линейно следующим образом:

Из таблицы Бернеггера:

sin (75 ° 10 ′) = 0,9666746
sin (75 ° 9 ′) = 0,9666001

Разница между этими значениями составляет 0,0000745.

Поскольку в одной угловой минуте 60 секунд, мы умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60) * 0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавьте эту поправку к sin (75 ° 9 ′), чтобы получить:

sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622

Современный калькулятор дает sin (75 ° 9 '50 ″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7-значной точности таблицы Бернеггера.

Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) может потребоваться интерполяция более высокого порядка для получения полной точности.[7] В эпоху до появления электронных компьютеров интерполяция табличных данных таким образом была единственным практическим способом получения высокоточных значений математических функций, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.

Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, обратите внимание, что на уровень моря одна угловая минута вдоль земной экватор или меридиан (действительно, любой большой круг ) равно примерно одному морская миля (1,852 км или 1,151 миль).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции». Получено 4 марта 2010.
  2. ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
  3. ^ Стифелио, Михаэле (1544 г.), Арифметика Интегра, Лондон: Иоан Петрейум
  4. ^ Бухштаб, А.А .; Печаев, В. (2001) [1994], «Арифметика», Энциклопедия математики, EMS Press
  5. ^ Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Математика Precalculus, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, г. ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ^ Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 г., Кембридж: Издательство университета
  7. ^ Абрамовиц и Стегун Справочник по математическим функциям, Введение § 4

внешняя ссылка

  • LOCOMAT : Перепись математических и астрономических таблиц.