Āryabhaṭas sine таблица - Āryabhaṭas sine table - Wikipedia

Астрономический трактат Ryabhaīya был составлен в пятом веке Индийский математик и астроном Ryabhaa (476–550 CE), для расчета полуаккорды определенного набора дуг окружности. Это не таблица в современном смысле математической таблицы; то есть это не набор чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.^[1][2]

Дуга и хорда круга

Таблица Рьябханы также не является набором значений тригонометрической функции синуса в общепринятом смысле; это таблица первые отличия ценностей тригонометрические синусы выражено в угловые минуты, поэтому таблица также называется Таблица синус-разностей Арьябханы.^[3][4]

Таблица Арьябханы была первой таблицей синусов, когда-либо построенных в история математики.^[5] Теперь потерянные таблицы Гиппарх (около 190 г. до н.э. - около 120 г. до н.э.) и Менелай (около 70–140 гг. н. э.) и те из Птолемей (ок. 90 - ок. 168 г.) аккорды а не полуаккордов.^[5]Таблица Арьябханы оставалась стандартной синусоидальной таблицей древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы. Эти усилия привели к открытию расширения степенного ряда функций синуса и косинуса на Мадхава Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425), основатель Керальская школа астрономии и математики, и табулирование таблица синусов Мадхавы со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.

Некоторые историки математики утверждали, что таблица синусов, приведенная в ryabhaṭiya, была адаптацией более ранних подобных таблиц, построенных математиками и астрономами Древней Греции.^[6] Дэвид Пингри, один из ведущих американских историков точных наук в древности, был сторонником такой точки зрения. Принимая эту гипотезу, Дж. Дж. Тумер^[7][8][9] пишет: «Едва ли существует какая-либо документация о самом раннем появлении греческих астрономических моделей в Индии или, в этом отношении, о том, как эти модели выглядели бы. Поэтому очень трудно установить, в какой степени то, что дошло до нас, представляет собой переданные знания. , и то, что является оригинальным у индийских ученых ... Правда, вероятно, представляет собой запутанную смесь обоих ».^[10]

Стол

Оригинальный стол

Строфа в Арьябхатия, описывающая таблицу синусов, воспроизводится ниже:

मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व |
घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ-अर्ध-ज्यास् ||

В современных обозначениях

Значения, закодированные в санскритском стихе Арьябханы, можно расшифровать с помощью числовая схема объяснено в Ryabhaīya, а декодированные числа перечислены в таблице ниже. В таблице угловые меры, относящиеся к таблице синусов Арьябханы, перечислены во втором столбце. Третий столбец содержит список чисел, содержащихся в стихе на санскрите, приведенном выше в Деванагари сценарий. Для удобства пользователей, не умеющих читать деванагари, эти числительные слова воспроизводятся в четвертом столбце в ISO 15919 транслитерация. Следующий столбец содержит эти числа в Индуистско-арабские цифры. Числа Арьябханы - это первое различие значений синусов. Соответствующее значение синуса (точнее, Джя ) можно получить, суммируя различия до этой разницы. Таким образом, ценность Джя соответствует 18 ° 45 ′, это сумма 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Для оценки точности вычислений Арьябханы современные значения Джяs указаны в последнем столбце таблицы.

В индийской математической традиции синус (или Джя) угла не является соотношением чисел. Это длина определенного отрезка прямой, определенной полухорды. Радиус базовой окружности является основным параметром для построения таких таблиц. Исторически сложилось так, что несколько таблиц были построены с использованием разных значений этого параметра. Арьябхана выбрал число 3438 в качестве значения радиуса основной окружности для вычисления своей таблицы синусов. Обоснованием выбора этого параметра является идея измерения длины окружности в угловых мерах. В астрономических расчетах расстояния измеряются в градусы, минут, секунды и т.д. В этом случае длина окружности равна 360 ° = (60 × 360) минут = 21600 минут. Радиус круга, длина окружности которого составляет 21600 минут, равен 21600 / 2π минут. Вычисляя это, используя значение π = 3,1416 известно Арьябхата можно получить радиус круга примерно как 3438 минут. Таблица синусов Рьябханы основана на этом значении радиуса основной окружности. Пока не установлено, кто первым использовал это значение для радиуса основания. Но Арьябхатия это самый ранний сохранившийся текст, содержащий ссылку на эту основную константу.^[11]

Sl. Нет	Угол (A) (в градусы, угловые минуты )	Стоимость в Арьябхана числовое обозначение (в Деванагари )	Стоимость в Арьябхана числовое обозначение (в ISO 15919 транслитерация)	Стоимость в Индуистско-арабские цифры	Арьябхана значение Джя (А)	Современная ценность из Джя (А) (3438 × грех (А))
1	03°   45′	मखि	Махи	225	225′	224.8560
2	07°   30′	भखि	бхакхи	224	449′	448.7490
3	11°   15′	फखि	пахи	222	671′	670.7205
4	15°   00′	धखि	дхакхи	219	890′	889.8199
5	18°   45′	णखि	akhi	215	1105′	1105.1089
6	22°   30′	ञखि	няхи	210	1315′	1315.6656
7	26°   15′	ङखि	akhi	205	1520′	1520.5885
8	30°   00′	हस्झ	хасжа	199	1719′	1719.0000
9	33°   45′	स्ककि	скаки	191	1910′	1910.0505
10	37°   30′	किष्ग	киṣга	183	2093′	2092.9218
11	41°   15′	श्घकि	шгаки	174	2267′	2266.8309
12	45°   00′	किघ्व	кигва	164	2431′	2431.0331
13	48°   45′	घ्लकि	глаки	154	2585′	2584.8253
14	52°   30′	किग्र	кигра	143	2728′	2727.5488
15	56°   15′	हक्य	хакья	131	2859′	2858.5925
16	60°   00′	धकि	дхаки	119	2978′	2977.3953
17	63°   45′	किच	Kica	106	3084′	3083.4485
18	67°   30′	स्ग	sga	93	3177′	3176.2978
19	71°   15′	झश	джхаша	79	3256′	3255.5458
20	75°   00′	ङ्व	ṅva	65	3321′	3320.8530
21	78°   45′	क्ल	кла	51	3372′	3371.9398
22	82°   30′	प्त	пта	37	3409′	3408.5874
23	86°   15′	फ	пха	22	3431′	3430.6390
24	90°   00′	छ	ча	7	3438′	3438.0000

Вычислительный метод Арьябханы

Второй раздел Арьябхатии под названием Ганитападда содержит строфу, указывающую метод вычисления таблицы синусов. Есть несколько неясностей в правильном толковании значения этого стиха. Например, ниже приведен перевод стиха, данного Кацем, в котором слова в квадратных скобках являются вставками переводчика, а не переводами текстов в стихе.^[11]

• "Когда вторая разделенная половина [хорда] меньше первой половины хорды, которая [приблизительно равна] [соответствующей] дуге, на определенную величину, оставшиеся [синусоидальные различия] меньше [, чем предыдущая ед.] каждый на количество деленных на первую половину аккорда ".

Это может относиться к тому факту, что вторая производная синусоидальной функции равна отрицательной величине синусоидальной функции.

Смотрите также

• Таблица синусов Мадхавы
• Формула приближения синуса Бхаскары I.

Рекомендации

1. Селин, Хелайн, изд. (2008). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах (2-е изд.). Springer. стр.986 –988. ISBN  978-1-4020-4425-0.
2. Юджин Кларк (1930). Астрономия. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
3. Такао Хаяси, Т. (ноябрь 1997 г.). «Правило Арьябханы и таблица синусоидальных различий». Historia Mathematica. 24 (4): 396–406. Дои:10.1006 / hmat.1997.2160.
4. Б. Л. ван дер Варден, Б. Л. (март 1988 г.). «Реконструкция греческой таблицы аккордов». Архив истории точных наук. 38 (1): 23–38. Дои:10.1007 / BF00329978.
5. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции». Получено 4 марта 2010.
6. «Гиппарх и тригонометрия». Получено 6 марта 2010.
7. Дж. Дж. Тумер, Дж. Дж. (Июль 2007 г.). «Таблица аккордов Гиппарха и ранняя история греческой тригонометрии». Центавр. 18 (1): 6–28. Дои:10.1111 / j.1600-0498.1974.tb00205.x.
8. Б.Н. Нарахари Ачар (2002). «Арьябхата и стол ришин» (PDF). Индийский журнал истории науки. 37 (2): 95–99. Получено 6 марта 2010.
9. Глен Ван Браммелен (март 2000 г.). "[HM] Радианная мера". Архив рассылки Historia Mathematica. Получено 6 марта 2010.
10. Глен Ван Браммелен. Математика неба и земли: начало 0.
11. Виктор Дж. Кац (редактор) (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник. Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 405–408. ISBN  978-0-691-11485-9.