Бхаскара - формула приближения синуса - Bhaskara Is sine approximation formula - Wikipedia

В математика, Формула приближения синуса Бхаскары I. это рациональное выражение в одной Переменная для вычисление из приблизительные значения из тригонометрические синусы обнаружен Бхаскара I (ок. 600 - ок. 680), индиец седьмого века математик.^[1]Этот формула дан в его трактате под названием Махабхаскария. Неизвестно, как Бхаскара I пришел к своей формуле приближения. Однако несколько историки из математика выдвинули различные гипотезы относительно метода, который Бхаскара мог использовать, чтобы прийти к своей формуле. Формула элегантна, проста и позволяет вычислить достаточно точные значения тригонометрических синусов без использования какой-либо геометрии.^[2]

Формула аппроксимации

Формула дана в стихах 17-19 главы VII Махабхаскарии Бхаскары I. Перевод этих стихов приведен ниже:^[3]

• (Теперь) я кратко изложу правило (для поиска бхуджапхала и Котифалаи т. д.) без использования разностей Рисина 225 и т. д. Вычтите степени бхуджа (или же Коти) от градусов полукруга (то есть 180 градусов). Затем умножьте остаток на степени бхуджа или же Коти и запишите результат в двух местах. В одном месте вычтите результат из 40500. На одну четверть остатка (полученного таким образом) разделите результат в другом месте, умноженный на 'антьяфала (то есть эпициклический радиус). Таким образом получается весь бахупала (или же, Котифала) для Солнца, Луны или звездных планет. Так же получаются прямой и обратный синусы.

(Ссылка "Rsine-Difference 225" является намеком на Таблица синусов Арьябхаты.)

В современных математических обозначениях для угла Икс в градусах эта формула дает^[3]

${\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

Эквивалентные формы формулы

Формула приближения синуса Бхаскары I может быть выражена с помощью радиан Мера углы следующее.^[1]

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}$

Для положительного целого числа п это принимает следующую форму:^[4]

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}$

Формула приобретает еще более простую форму, когда выражается через косинус, а не синус. Используя радиан для угла и положив ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}$, получается

${\displaystyle \cos y\approx {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}$

Ассонанс "${\displaystyle \pi }$" и "${\displaystyle y}$"делает это выражение особенно приятным как мнемоническое.

Чтобы выразить предыдущую формулу с константой ${\displaystyle \tau =2\pi }$ можно использовать

$${\displaystyle \cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}}$$

Эквивалентные формы формулы Бхаскары I были даны почти всеми последующими астрономами и математиками Индии. Например, Брахмагупта (598 - 668 CE )Брахма-сфута-сиддханта (стихи 23-24, Глава XIV)^[3] дает формулу в следующем виде:

${\displaystyle R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}}$

Также, Бхаскара II (1114 – 1185 CE ) дал эту формулу в своей Лилавати (Кшетра-вьявахара, Сока № 48) в следующей форме:

${\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}}$

Точность формулы

На рисунке показан уровень точности формулы синусоидального приближения Бхаскары I. Сдвинутые кривые 4 Икс ( 180 - Икс ) / ( 40500 - Икс ( 180 - Икс )) - 0,2 и sin ( Икс ) + 0.2 выглядят как точные копии кривой sin ( Икс ).

Формула применима для значений Икс° в диапазоне от 0 до 180. Формула очень точна в этом диапазоне. Графики греха ( Икс ) и формула аппроксимации неотличимы и практически идентичны. На одном из сопровождающих рисунков приведен график функции ошибок, а именно функции,

${\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

в использовании формулы. Он показывает, что максимальная абсолютная ошибка при использовании формулы составляет около 0,0016. Из графика процентного значения абсолютной ошибки ясно, что максимальная процентная ошибка меньше 1,8. Таким образом, аппроксимационная формула дает достаточно точные значения синусов для большинства практических целей. Однако этого было недостаточно для более точных вычислительных требований астрономии. Поиски индийскими астрономами более точных формул в конечном итоге привели к открытию степенной ряд расширения греха Икс и потому Икс к Мадхава Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425), основатель Керальская школа астрономии и математики.

График ошибки в формуле синусоидального приближения Бхаскары I.

График процентной ошибки в формуле синусоидального приближения Бхаскары I.

Вывод формулы

Бхаскара I не указал никакого метода, которым он пришел к своей формуле. Историки размышляли о различных возможностях. Окончательных ответов пока нет. Помимо исторической важности того, что она является ярким примером математических достижений древних индийских астрономов, эта формула также имеет значение с современной точки зрения. Математики пытались вывести правило, используя современные концепции и инструменты. Было предложено около полудюжины методов, каждый из которых основан на отдельном наборе предпосылок.^[2][3] В большинстве этих выводов используются только элементарные понятия.

Вывод на основе элементарной геометрии ^[2][3]

Пусть длина окружности из круг быть измеренным в градусы и пусть радиус р из круг также измеряться в градусы. Выбор фиксированного диаметра AB и произвольная точка п на круг и опуская перпендикуляр ВЕЧЕРА к AB, мы можем вычислить площадь треугольника APB двумя способами. Приравнивая два выражения для площади, получаем (1/2) AB × ВЕЧЕРА = (1/2) AP × BP. Это дает

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}}$.

Сдача Икс быть длиной дуги AP, длина дуги BP 180 - Икс. Эти дуги намного больше, чем соответствующие хорды. Отсюда получается

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}}$.

Теперь ищем две константы α и β такие, что

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta }$

Действительно, получить такие константы невозможно. Однако можно выбрать значения для α и β так, чтобы вышеприведенное выражение действовало для двух выбранных значений длины дуги. Икс. Выбирая в качестве этих значений 30 ° и 90 ° и решая результирующие уравнения, можно сразу получить формулу синусоидального приближения Бхаскары I.

Вывод, начиная с общего рационального выражения

При условии, что Икс в радианах, можно искать приближение к sin (Икс) в следующем виде:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}}$

Константы а, б, c, п, q и р (только пять из них независимы) можно определить, если предположить, что формула должна быть точно действительной, когда Икс = 0, π / 6, π / 2, π, и далее предполагая, что он должен удовлетворять свойству sin (Икс) = sin (π - Икс).^[2][3] Эта процедура дает формулу, выраженную с помощью радиан мера углов.

Элементарный аргумент^[4]

Сравнение графиков парабол
Икс(180 − Икс) / 8100 и Икс(180 − Икс)/9000
с графиком греха (Икс) (Икс в градусах).

Часть графика греха (Икс) в диапазоне от 0 ° до 180 ° «выглядит» как часть параболы через точки (0, 0) и (180, 0). Общая такая парабола

${\displaystyle kx(180-x).}$

Парабола, которая также проходит через (90, 1) (которая является точкой, соответствующей значению sin (90 °) = 1), равна

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}$

Парабола, которая также проходит через (30, 1/2) (которая является точкой, соответствующей значению sin (30 °) = 1/2), равна

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}$

Эти выражения предполагают переменный знаменатель, который принимает значение 90 × 90, когда Икс = 90 и значение 2 × 30 × 150, когда Икс = 30. Это выражение также должно быть симметрично относительно линии ' Икс = 90 'исключает возможность выбора линейного выражения вИкс. Вычисления с участием Икс(180 − Икс) может сразу предположить, что выражение могло иметь форму

${\displaystyle 8100a+bx(180-x).}$

Немного поэкспериментируйте (или задав и решив два линейных уравнения в а и б) даст значения а = 5/4, б = −1/4. Это дает формулу синусоидального приближения Бхаскары I.

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Таблица синусов Мадхавы

Рекомендации

1. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Бхаскара I». Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. В архиве из оригинала 23 марта 2010 г.. Получено 22 апреля 2010.
2. Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-12973-0. (стр.104)
3. R.C. Гупта (1967). «Приближение Бхаскары I к синусу» (PDF). Индийский журнал истории науки. 2 (2). Архивировано из оригинал (PDF) 16 марта 2012 г.. Получено 20 апреля 2010.
4. Джордж Гевергезе Джозеф (2009). Переход в бесконечность: средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние. Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt. ООО ISBN  978-81-321-0168-0. (стр.60)

Дальнейшие ссылки

1. Р.С. Гупта, О выводе формулы Бхаскары I для синуса, Ганита Бхарати 8 (1-4) (1986), 39-41.
2. Т. Хаяши, Заметка о рациональном приближении Бхаскары I к синусу, Historia Sci. № 42 (1991), 45-48.
3. К. Строттофф, Приближение Бхаскары для синуса, The Mathematics Enthusiast, Vol. 11, № 3 (2014), 485-492.