Закон котангенсов - Law of cotangents

Треугольник, показывающий «вписанную окружность» и разделение сторон. Биссектрисы угла пересекаются стимулятор, который является центром окружать.

По приведенным выше соображениям все шесть частей такие, как показано.

В тригонометрия, то закон котангенсов^[1] представляет собой отношение между длинами сторон треугольника и котангенсом половин трех углов.

Так же, как три величины, равенство которых выражается закон синуса равны диаметру описанный круг треугольника (или его обратной величины, в зависимости от того, как выражается закон), поэтому закон котангенсов связывает радиус треугольника вписанный круг из треугольник (в inradius ) к его сторонам и углам.

Заявление

Используя обычные обозначения для треугольника (см. Рисунок вверху справа), где а, б, c длины трех сторон, А, B, C - вершины, противоположные этим трем сторонам, α, β, γ - соответствующие углы в этих вершинах, s полупериметр, то есть s = а + б + c/2, и р - радиус вписанной окружности, закон котангенсы утверждает, что

${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,}$

и, кроме того, что inradius определяется как

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}$

Доказательство

На верхнем рисунке точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают периметр на 6 отрезков, по 3 пары. В каждой паре отрезки одинаковой длины. Например, 2 сегмента, смежных с вершиной А равны. Если мы выберем по одному отрезку из каждой пары, их сумма будет полупериметром s. Примером этого являются сегменты, показанные на рисунке цветом. Два сегмента, составляющих красную линию, в сумме дают а, поэтому синий сегмент должен иметь длину s − а. Очевидно, что остальные пять сегментов также должны иметь длину s − а, s − б, или же s − c, как показано на нижнем рисунке.

Изучив рисунок и используя определение функции котангенса, мы имеем

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}$

и аналогично для двух других углов, доказывая первое утверждение.

Для второго - формулы inradius - мы начинаем с общая формула сложения:

${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$

Применение к детская кроватка(α/2 + β/2 + γ/2) = детская кроватка π/2 = 0, мы получаем:

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

(Это также тройной котангенс )

Подставляя значения, полученные в первой части, получаем:

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

Умножение на р³/s дает значение р², доказывая второе утверждение.

Некоторые доказательства с использованием закона котангенсов

Ряд других результатов можно получить из закона котангенсов.

• Формула Герона. Обратите внимание, что площадь треугольника ABC также делится на 6 меньших треугольников, также на 3 пары, причем треугольники в каждой паре имеют одинаковую площадь. Например, два треугольника возле вершины А, являясь прямоугольными треугольниками шириной s − а и высота р, каждый имеет площадь 1/2р(s − а). Итак, эти два треугольника вместе имеют площадь р(s − а), а площадь S всего треугольника поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}$

Это дает результат

S = √s(s − а)(s − б)(s − c)

как требуется.

• Первая формула Моллвейде. Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$

Это дает результат

${\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

как требуется.

• Вторая формула Моллвейде. Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$

Здесь требуется дополнительный шаг для преобразования продукта в сумму в соответствии с формулой сумма / продукт.

Это дает результат

${\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

как требуется.

• В закон касательных также можно вывести из этого (Сильвестр 2001, п. 99).

Смотрите также

• Закон синусов
• Закон косинусов
• Закон касательных
• Формула Моллвейде

Рекомендации

1. Универсальная энциклопедия математики, Справочные книги, 1976, стр. 530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.

• Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древнее и современное. Издательство Оксфордского университета. п. 313. ISBN  9780198508250.