Incenter - Incenter

Точка пересечения биссектрис трех углов треугольника ABC является центром (обозначается I). Вписанная окружность (центр которой - I) касается каждой стороны треугольника.

В геометрия, то стимулятор треугольника - это центр треугольника, точка, определенная для любого треугольника способом, который не зависит от расположения или масштаба треугольника. Инцентратор может быть эквивалентно определен как точка, в которой внутренний биссектриса угла треугольника креста, как точка равноудаленный от сторон треугольника, как точку соединения медиальная ось и самая сокровенная точка преобразование травы треугольника, и как центральная точка вписанный круг треугольника.

Вместе с центроид, центр окружности, и ортоцентр, это один из четырех треугольных центров, известных древним грекам, и единственный, который вообще не лежит на Линия Эйлера. Это первый в списке центр, X (1), в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников, а элемент идентичности из мультипликативная группа центров треугольников.^[1][2]

За полигоны с более чем тремя сторонами, инцентр существует только для касательные многоугольники - те, у кого есть вписанная окружность касательная с каждой стороны многоугольника. В этом случае центр инкорпорации является центром этого круга и одинаково удален со всех сторон.

Определение и конструкция

Это теорема в Евклидова геометрия что три интерьера биссектриса угла треугольника встречаются в одной точке. В Евклид с Элементы Предложение 4 книги IV доказывает, что эта точка также является центром вписанной окружности треугольника. Сама вписанная окружность может быть построена путем опускания перпендикуляра от центра к одной из сторон треугольника и рисования окружности с этим сегментом в качестве радиуса.^[3]

Центр центра расположен на одинаковом расстоянии от трех отрезков, образующих стороны треугольника, а также от трех отрезков, содержащих эти отрезки. Это единственная точка, одинаково удаленная от отрезков линии, но есть еще три точки, равно удаленные от линий, эксцентры, которые образуют центры отрезков. вне окружности данного треугольника. Incenter и excenters вместе образуют ортоцентрическая система.^[4]

В медиальная ось многоугольника - это набор точек, ближайший сосед которых на многоугольнике не уникален: эти точки равноудалены от двух или более сторон многоугольника. Один из методов вычисления средней оси - это использование преобразование травы, в котором образуется непрерывная последовательность кривые смещения, каждый на некотором фиксированном расстоянии от многоугольника; медиальная ось проходит по вершинам этих кривых. В случае треугольника средняя ось состоит из трех сегментов биссектрис угла, соединяющих вершины треугольника с центром, который является единственной точкой на самой внутренней кривой смещения.^[5] В прямой скелет, определенная аналогичным образом из другого типа кривой смещения, совпадает со средней осью для выпуклых многоугольников и, таким образом, также имеет свое соединение в центре.^[6]

Доказательство

Пусть пополам ${\displaystyle \angle {BAC}}$ и ${\displaystyle {\overline {BC}}}$встретиться в ${\displaystyle D}$, и деление пополам ${\displaystyle \angle {ABC}}$ и ${\displaystyle {\overline {AC}}}$встретиться в ${\displaystyle E}$, и ${\displaystyle {\overline {AD}}}$и ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ встретиться в ${\displaystyle {I}}$.

И разреши ${\displaystyle {\overrightarrow {CI}}}$и ${\displaystyle {\overline {AB}}}$встретиться в ${\displaystyle {F}}$.

Затем мы должны доказать, что ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ это деление пополам ${\displaystyle \angle {ACB}}$.

В ${\displaystyle \triangle {ACF}}$, ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$.

В ${\displaystyle \triangle {BCF}}$, ${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$.

Следовательно, ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$, так что ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$.

Так ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ это деление пополам ${\displaystyle \angle {ACB}}$.

Связь со сторонами и вершинами треугольника

Трилинейные координаты

В трилинейные координаты для точки в треугольнике задайте отношение расстояний к сторонам треугольника. Трехлинейные координаты инцентратора определяются выражением^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Совокупность центров треугольников может быть задана структурой группа при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе инсульт образует элемент идентичности.^[2]

Барицентрические координаты

В барицентрические координаты для точки в треугольнике задайте такие веса, что точка является средневзвешенным положением вершин треугольника. Барицентрические координаты центра задаются формулой

${\displaystyle \ a:b:c}$

куда ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$ - длины сторон треугольника или, что эквивалентно (используя закон синуса ) к

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

куда ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$ - углы при трех вершинах.

Декартовы координаты

В Декартовы координаты центра центра - это средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра, т. е. с использованием барицентрических координат, приведенных выше, нормированных на сумму до единицы, в качестве весов. (Веса положительны, поэтому центр находится внутри треугольника, как указано выше.) Если три вершины расположены в ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$, и ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$, а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$, то инцентр находится на

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Расстояния до вершин

Обозначение центра треугольника ABC в качестве я, расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Кроме того,^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

куда р и р треугольник по окружности и inradius соответственно.

Связанные конструкции

Другие центры

Расстояние от центра до центроид составляет менее одной трети длины самого длинного медиана треугольника.^[9]

К Теорема Эйлера в геометрии, квадрат расстояния от центра я до центра окружности О дан кем-то^[10][11]

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

куда р и р - радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно; таким образом, радиус описанной окружности как минимум в два раза больше inradius, с равенством только в равносторонний дело.^{[12]:п. 198}

Расстояние от центра до центра N из девять точек круга является^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

Квадрат расстояния от центра до ортоцентр ЧАС является^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

К неравенству относятся:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Стимулятор - это Точка Нагеля из средний треугольник (треугольник, вершины которого являются серединами сторон) и, следовательно, лежит внутри этого треугольника. И наоборот, точка Нагеля любого треугольника - это центр его антикомплементарный треугольник.^[14]

Курсор должен находиться внутри диск чей диаметр соединяет центр тяжести грамм и ортоцентр ЧАС (в ортоцентроидный диск ), но он не может совпадать с центр девяти точек, положение которого фиксируется на 1/4 пути по диаметру (ближе к грамм). Любая другая точка в ортоцентроидном диске является центром уникального треугольника.^[15]

Линия Эйлера

В Линия Эйлера треугольника - это прямая, проходящая через его центр окружности, центроид, и ортоцентр, среди прочего. Инцентр обычно не лежит на линии Эйлера;^[16] он находится на линии Эйлера только для равнобедренные треугольники,^[17] для которого линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольников.

Обозначая расстояние от центра до линии Эйлера как d, длина самой длинной медианы как v, длина самой длинной стороны как ты, радиус описанной окружности как р, длина отрезка Эйлера от ортоцентра до центра описанной окружности равна е, а полупериметр - как s, выполняются следующие неравенства:^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Разделители площади и периметра

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника; каждая линия, проходящая через центр, которая разделяет область пополам, также разделяет периметр пополам. Для любого треугольника есть одна, две или три таких линии.^[19]

Относительные расстояния от биссектрисы угла

Позволять Икс - переменная точка на биссектрисе внутреннего угла А. потом Икс = я (стимулятор) максимизирует или минимизирует соотношение ${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$ по биссектрисе этого угла.^[20][21]

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математический журнал, 67 (3): 163–187, JSTOR  2690608, МИСТЕР  1573021.
2. Энциклопедия центров треугольников В архиве 2012-04-19 в Wayback Machine, дата обращения 28.10.2014.
3. Евклида Элементы, Книга IV, предложение 4: вписать круг в данный треугольник. Дэвид Джойс, Университет Кларка, получено 28 октября 2014 г.
4. Джонсон, Р. А. (1929), Современная геометрия, Бостон: Houghton Mifflin, стр. 182.
5. Блюм, Гарри (1967), «Преобразование для извлечения новых дескрипторов формы», в Wathen-Dunn, Weiant (ed.), Модели восприятия речи и визуальной формы (PDF), Кембридж: MIT Press, стр. 362–380, В треугольнике три угла начинают распространяться и исчезают в центре самого большого вписанного круга..
6. Айхольцер, Освин; Ауренхаммер, Франц; Альбертс, Дэвид; Гертнер, Бернд (1995), «Новый тип каркаса для многоугольников», Журнал универсальных компьютерных наук, 1 (12): 752–761, Дои:10.1007/978-3-642-80350-5_65, МИСТЕР  1392429.
7. Allaire, Patricia R .; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Математический вестник, 96: 161–165.
8. Альтшиллер-Корт, Натан (1980), Колледж Геометрия, Dover Publications. №84, с. 121.
9. Францсен, Уильям Н. (2011), «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 231–236, МИСТЕР  2877263. Лемма 3, с. 233.
10. Джонсон (1929), п. 186
11. Францсен (2011), п. 232.
12. Драгутин Свртан и Дарко Вельян, «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Форум Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
13. Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами» Форум Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
14. Францсен (2011), Лемма 1, с. 233.
15. Францсен (2011), п. 232.
16. Шатчнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997), Включение геометрии: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях, The Mathematical Association of America, стр. 3–4, ISBN  978-0883850992
17. Эдмондс, Аллан Л .; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), "Ортоцентрические симплексы и бирегулярность", Результаты по математике, 52 (1–2): 41–50, Дои:10.1007 / s00025-008-0294-4, МИСТЕР  2430410, Хорошо известно, что центр евклидова треугольника лежит на его линии Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..
18. Францсен (2011) С. 232–234.
19. Кодокостас, Димитриос (апрель 2010 г.), «Треугольные эквалайзеры», Математический журнал, 83: 141–146, Дои:10.4169 / 002557010X482916.
20. Ари Бялостоцки и Дора Бялостоцки, «Incenter и an excenter как решения экстремальной задачи», Форум Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
21. Hajja, Mowaffaq, Экстремальные свойства центра и концов треугольника ", Математический вестник 96, июль 2012 г., 315-317.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Инцентр». MathWorld.