Теорема Эйлера в геометрии - Eulers theorem in geometry - Wikipedia

Теорема Эйлера:
${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

В геометрия, Теорема Эйлера заявляет, что расстояние d между окружность и incentre из треугольник дан кем-то^[1][2]

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$

куда р и р обозначают радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно (радиусы окружности описанный круг и вписанный круг соответственно). Теорема названа в честь Леонард Эйлер, опубликовавший его в 1765 году.^[3] Однако такой же результат ранее опубликовал Уильям Чаппл в 1746 г.^[4]

Из теоремы следует Неравенство Эйлера:^[5][6]

${\displaystyle R\geq 2r,}$

которое с равенством выполняется только в равносторонний дело.^{[7]:п. 198}

Доказательство

Доказательство теоремы Эйлера в геометрии

Сдача О быть центром описанной окружности треугольника ABC, и я быть его центром, продолжением AI пересекает описанную окружность в точке L. потом L это середина дуги до н.э. Присоединиться LO и вытяните его так, чтобы он пересекал описанную окружность в M. Из я построить перпендикуляр к AB, и пусть D будет его основанием, поэтому Я БЫ = р. Нетрудно доказать, что треугольник ADI похож на треугольник MBL, так Я БЫ / BL = AI / ML, т.е. Я БЫ × ML = AI × BL. Поэтому 2Rr = AI × BL. Присоединиться БИ. Потому что

∠ BIL = ∠ А / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ А / 2,

у нас есть ∠ BIL = ∠ IBL, так BL = IL, и AI × IL = 2Rr. Продлевать OI так, чтобы он пересекал описанную окружность в п и Q; тогда ЧИСЛО ПИ × QI = AI × IL = 2Rr, так (р + d)(р − d) = 2Rr, т.е. d² = р(р − 2р).

Более сильная версия неравенства

Более сильная версия^{[7]:п. 198} является

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$

куда а, б, в - стороны треугольника.

Теорема Эйлера для вписанной окружности

Если ${\displaystyle r_{a}}$ и ${\displaystyle d_{a}}$ обозначим соответственно радиус выписанный круг напротив вершины ${\displaystyle A}$ и расстояние между его центром и центром описанной окружности, тогда ${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$.

Неравенство Эйлера в абсолютной геометрии

Неравенство Эйлера в форме, гласящей, что для всех треугольников, вписанных в данную окружность, максимум радиуса вписанной окружности достигается для равностороннего треугольника и только для него, справедливо в абсолютная геометрия.^[8]

Смотрите также

• Теорема Фусса для отношения одних и тех же трех переменных в бицентрических четырехугольниках
• Теорема Понселе о замыкании, показывая, что существует бесконечное количество треугольников с одинаковыми двумя окружностями (и, следовательно, с одинаковыми р, р, и d)
• Список неравенств треугольника

Рекомендации

1. Джонсон, Роджер А. (2007) [1929], Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., Стр. 186.
2. Данэм, Уильям (2007), Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве, Серия Spectrum, 2, Математическая ассоциация Америки, стр. 300, ISBN  9780883855584.
3. Джерри Леверша, Дж. К. Смит: Эйлер и геометрия треугольника. В: Математический вестник, Vol. 91, № 522, ноябрь 2007 г., С. 436–452 (JSTOR  40378417 )
4. Чаппл, Уильям (1746), «Очерк свойств треугольников, вписанных и описанных вокруг двух данных кругов», Разное Curiosa Mathematica, 4: 117–124. Формула для расстояния находится внизу страницы 123.
5. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств, Математические экспозиции Дольчиани, 36, Математическая ассоциация Америки, стр. 56, ISBN  9780883853429.
6. Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия, World Scientific, стр. 124, ISBN  9781848165250.
7. Свртан, Драгутин; Вельян, Дарко (2012), «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Форум Геометрикорум, 12: 197–209.
8. Памбуччиан, Виктор; Шахт, Селия (2018), «Неравенство Эйлера в абсолютной геометрии», Журнал геометрии, 109 (ст. 8): 1–11, Дои:10.1007 / s00022-018-0414-6.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Формула треугольника Эйлера». MathWorld.