Список тригонометрических тождеств - List of trigonometric identities

Косинусы и синусы вокруг единичный круг

В математика, тригонометрические тождества находятся равенства которые включают тригонометрические функции и верны для любого значения происходящего переменные где определены обе части равенства. Геометрически это идентичности включающие определенные функции одного или нескольких углы. Они отличаются от тождества треугольников, которые являются тождествами, потенциально включающими углы, но также включающие длины сторон или другие длины треугольник.

Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, содержащие тригонометрические функции. Важным приложением является интеграция нетригонометрических функций: распространенный метод включает в себя сначала использование правило подстановки с тригонометрической функцией, а затем упростить полученный интеграл с помощью тригонометрического тождества.

Обозначение

Углы

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемоника "Все Sнаука Тeachers (есть) Crazy "перечисляет основные функции ('Все', sв, тан, cos), положительные от квадрантов I до IV.^[1] Это вариант мнемоники "Все студенты сдают расчет ".

В этой статье используется Греческие буквы Такие как альфа (α), бета (β), гамма (γ), и тета (θ) представлять углы. Несколько разных единицы измерения угла широко используются, в том числе степень, радиан, и Градиан (углы ):

1 полный круг (повернуть ) = 360 градусов = 2π радиан = 400 гон.

Если специально не обозначено (°) для степени или (${\displaystyle ^{\mathrm {g} }}$) для градиана все значения углов в этой статье предполагаются в радианах.

В следующей таблице для некоторых распространенных углов показаны их преобразования и значения основных тригонометрических функций:

Преобразования общих углов

Повернуть	Степень	Радиан	Градиан	синус	косинус	касательная
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{12}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 33{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{8}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{6}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 66{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Неопределенный
${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 133{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {3}{8}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{12}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 166{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\dfrac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	Неопределенный
${\displaystyle {\dfrac {5}{6}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 333{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {7}{8}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\dfrac {11}{12}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 366{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Результаты для других углов можно найти на Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах. За Теорема Нивена, ${\displaystyle (0,\;30,\;90,\;150,\;180,\;210,\;270,\;330,\;360)}$ являются единственными рациональными числами, которые в градусах дают рациональное значение синуса для соответствующего угла в пределах первого поворота, что может объяснить их популярность в примерах.^[2][3] Аналогичное условие для единичного радиана требует, чтобы аргумент делился на π рационально и дает решения 0, π/6, π/2, 5π/6, π, 7π/6, 3π/2, 11π/6(, 2π).

Тригонометрические функции

График шести тригонометрических функций, единичный круг и линия угла θ = 0,7 радианы. Точки, помеченные 1, Сек (θ), Csc (θ) представляют длину отрезка от начала координат до этой точки. Грех (θ), Загар (θ), и 1 высота линии, начинающейся от Иксось, а Cos (θ), 1, и Детская кроватка (θ) длины по Икс- ось, начиная с начала координат.

Функции синус, косинус и касательная угла иногда называют начальный или же базовый тригонометрические функции. Их обычные сокращения: грех (θ), cos (θ) и загар (θ)соответственно, где θ обозначает угол. Скобки вокруг аргумента функций часто опускаются, например, грех θ и потому что θ, если интерпретация однозначно возможна.

Синус угла определяется в контексте прямоугольный треугольник, как отношение длины стороны, противоположной углу, к длине самой длинной стороны треугольника ( гипотенуза ).

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}.}$

Косинус угла в этом контексте - это отношение длины стороны, которая примыкает к углу, деленное на длину гипотенузы.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$

В касательная Угол в данном контексте - это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, прилегающей к углу. Это то же самое, что и соотношение синуса на косинус этого угла, как можно увидеть, подставив определения грех и потому что сверху:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.}$

Остальные тригонометрические функции секущие (сек), косеканс (csc) и котангенс (детская кроватка) определяются как взаимные функции косинуса, синуса и тангенса соответственно. Редко их называют вторичными тригонометрическими функциями:

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}$

Эти определения иногда называют соотношение идентичностей.

Прочие функции

${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ указывает на функция знака, который определяется как:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

Обратные функции

Основная статья: Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции являются частичными обратные функции для тригонометрических функций. Например, обратная функция для синуса, известная как обратный синус (грех⁻¹) или же арксинус (Arcsin или же как в), удовлетворяет

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1}$

и

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}$

В этой статье используются следующие обозначения для обратных тригонометрических функций:

Функция	грех	потому что	загар	сек	csc	детская кроватка
Обратный	Arcsin	arccos	арктан	arcsec	arccsc	арккот

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции могут использоваться для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций. Предполагается, что р, s, Икс, и у все находятся в соответствующем диапазоне. Обратите внимание, что "для некоторых k ∈ ℤ "это просто другой способ сказать" для некоторых целое число k."

Равенство		Решение						куда...
грех θ = у	⇔	θ =	(-1) k	arcsin (у)	+		π k	для некоторых k ∈ ℤ
cos θ = Икс	⇔	θ =	±	arccos (Икс)	+	2	π k	для некоторых k ∈ ℤ
загар θ = s	⇔	θ =		арктан (s)	+		π k	для некоторых k ∈ ℤ
csc θ = р	⇔	θ =	(-1) k	arccsc (р)	+		π k	для некоторых k ∈ ℤ
сек θ = р	⇔	θ =	±	arcsec (р)	+	2	π k	для некоторых k ∈ ℤ
детская кроватка θ = р	⇔	θ =		арккот (р)	+		π k	для некоторых k ∈ ℤ

В таблице ниже показано, как два угла θ и φ должны быть связаны, если их значения для данной тригонометрической функции равны или отрицательны друг другу.

Равенство				Решение							куда...	Также решение для
грех θ	=	грех φ	⇔	θ =	(-1) k	φ	+		π k		для некоторых k ∈ ℤ	csc θ = csc φ
cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k		для некоторых k ∈ ℤ	сек θ = сек φ
загар θ	=	загар φ	⇔	θ =		φ	+		π k		для некоторых k ∈ ℤ	детская кроватка θ = детская кроватка φ
- грех θ	=	грех φ	⇔	θ =	(-1) k+1	φ	+		π k		для некоторых k ∈ ℤ	csc θ = - csc φ
- cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k	+ π	для некоторых k ∈ ℤ	сек θ = - сек φ
- тангенс θ	=	загар φ	⇔	θ =	-	φ	+		π k		для некоторых k ∈ ℤ	детская кроватка θ = - детская кроватка φ
|грех θ|	=	|грех φ|	⇔	θ =	±	φ	+		π k		для некоторых k ∈ ℤ	|загар θ| = |загар φ|
	⇕											|csc θ| = |csc φ|
|cos θ|	=	|cos φ|										|сек θ| = |сек φ|
												|детская кроватка θ| = |детская кроватка φ|

Пифагорейские тождества

Основная статья: Пифагорейская тригонометрическая идентичность

В тригонометрии основные отношения между синусом и косинусом задаются тождеством Пифагора:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$

куда грех² θ средства (грех θ)² и потому что² θ средства (потому что θ)².

Это можно рассматривать как версию теорема Пифагора, и следует из уравнения Икс² + у² = 1 для единичный круг. Это уравнение может быть решено как для синуса, так и для косинуса:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

где знак зависит от квадрант из θ.

Разделив эту идентичность на грех² θ или же потому что² θ дает два других пифагоровых тождества:

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta .}$

Используя эти тождества вместе с тождествами отношений, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую (вплоть до знак плюс или минус):

Каждая тригонометрическая функция в терминах каждой из пяти других.^[4]

с точки зрения	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \cot \theta }$

Исторические сокращения

Все тригонометрические функции угла θ можно построить геометрически в терминах единичного круга с центром вО. Многие из этих терминов больше не используются; однако эта диаграмма не является исчерпывающей.

В Версина, Coverine, гаверсин, и эксцентричный использовались в навигации. Например, формула гаверсина использовался для расчета расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко.

Имя	Сокращение	Ценить[5][6]
(правый) дополнительный угол, со-угол	${\displaystyle \operatorname {co} \theta }$	${\displaystyle {\pi \over 2}-\theta }$
разбирающийся синус, Версина	${\displaystyle \operatorname {versin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {ver} \theta }$	${\displaystyle 1-\cos \theta }$
разбирающийся косинус, веркозин	${\displaystyle \operatorname {vercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {vcs} \theta }$	${\displaystyle 1+\cos \theta }$
покрытый синус, Coverine	${\displaystyle \operatorname {coversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {covers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {cvs} \theta }$	${\displaystyle 1-\sin \theta }$
закрытый косинус, покровный козин	${\displaystyle \operatorname {covercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {covercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {cvc} \theta }$	${\displaystyle 1+\sin \theta }$
полусведенный синус, гаверсин	${\displaystyle \operatorname {haversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hav} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {sem} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
полусинус косинус, гаверкозин	${\displaystyle \operatorname {havercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {havercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hvc} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
полузакрытый синус, hacoversine cohaversine	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hacovers} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hcv} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1-\sin \theta }{2}}}$
полупрозрачный косинус, hacovercosine когаверкозин	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hacovercos} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {hcc} \theta }$	${\displaystyle {\frac {1+\sin \theta }{2}}}$
внешний секанс, эксцентричный	${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {exs} \theta }$	${\displaystyle \sec \theta -1}$
внешний косеканс, excosecant	${\displaystyle \operatorname {excosec} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {excsc} \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {exc} \theta }$	${\displaystyle \csc \theta -1}$
аккорд	${\displaystyle \operatorname {crd} \theta }$	${\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Размышления, сдвиги и периодичность

Отражая θ в α = 0 (α =π)

Изучая единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления

Когда направление евклидова вектора представлено углом ${\displaystyle \theta }$, это угол, определяемый свободным вектором (начиная с начала координат) и положительным Икс-единичный вектор. Та же концепция может быть применена к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллелью данной прямой через начало координат и положительным Икс-ось. Если линия (вектор) с направлением ${\displaystyle \theta }$ отражается о линии с направлением ${\displaystyle \alpha ,}$ тогда угол направления ${\displaystyle \theta '}$ этой отраженной линии (вектора) имеет значение

${\displaystyle \theta '=2\alpha -\theta .}$

Значения тригонометрических функций этих углов ${\displaystyle \theta ,\;\theta '}$ для определенных углов ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворяют простым тождествам: либо они равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы приведения.^[7]

θ отражено в α = 0[8] нечетный / четный идентичности	θ отражено в α = π/4	θ отражено в α = π/2	θ отражено в α = π сравнить с α = 0
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}$

Сдвиги и периодичность

Путем смещения аргументов тригонометрических функций на определенные углы, изменения знака или применения дополнительных тригонометрических функций иногда можно более просто выразить определенные результаты. Некоторые примеры смен показаны ниже в таблице.

• А полный оборот, или же 360°, или 2π радиан оставляет единичный круг фиксированным и представляет собой наименьший интервал, для которого sin, cos, sec и csc повторяют их ценности и, следовательно, их период. Сдвиг аргументов любой периодической функции на любое целое число, кратное полному периоду, сохраняет значение функции несмещенного аргумента.
• А пол-оборота, или же 180°, или же π радиан - период загар (Икс) = грех (Икс)/cos (Икс) и детская кроватка (Икс) = cos (Икс)/грех (Икс), как видно из этих определений и периода определяющих тригонометрических функций. Следовательно, смещая аргументы загар (Икс) и детская кроватка (Икс) любым кратным π не меняет значения их функций.

Для функций sin, cos, sec и csc с периодом 2π, половина оборота - это половина их периода. Для этого сдвига они меняют знак своих значений, что снова можно увидеть на единичном круге. Это новое значение повторяется после любого дополнительного сдвига на 2π, поэтому все вместе они меняют знак сдвига на любое нечетное кратное π, т.е. (2k + 1)⋅π, с k произвольное целое число. Любое, даже кратное π это, конечно, всего лишь полный период, а сдвиг назад на половину периода аналогичен сдвигу назад на один полный период плюс один сдвиг вперед на половину периода.

• А четверть оборота, или же 90°, или же π/2 радиан - сдвиг на полупериод для загар (Икс) и детская кроватка (Икс) с периодом π (180°), что дает значение функции применения дополнительной функции к несмещенному аргументу. Согласно приведенным выше рассуждениям это также верно для сдвига на любое нечетное кратное (2k + 1)⋅π/2 полупериода.

Для четырех других тригонометрических функций четверть оборота также представляет четверть периода. Сдвиг на произвольное кратное четверти периода, которое не покрывается кратным полупериодам, можно разложить на целое кратное периодов плюс или минус одну четверть периода. Термины, выражающие эти кратные, следующие: (4k ± 1)⋅π/2. Сдвиги вперед / назад на один квартал отражены в таблице ниже. Опять же, эти сдвиги дают значения функции, используя соответствующую дополнительную функцию, применяемую к несмещенному аргументу.

Сдвиг аргументов загар (Икс) и детская кроватка (Икс) к своему квартальному периоду (π/4) не дает таких простых результатов.

Сдвиг на одну четверть периода	Сдвиг на половину периода[9]	Сдвиг на полные периоды[10]	Период
${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}}$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \pi }$

Сумма углов и тождества разностей

Иллюстрация формул сложения углов для синуса и косинуса. Выделенный сегмент единичной длины.

Смотрите также: § Идентификаторы "продукт-сумма" и "сумма-продукт", и Малоугловая аппроксимация § Сумма и разность углов

Они также известны как теоремы о сложении и вычитании углов (или же формулыТождества могут быть получены путем объединения прямоугольных треугольников, таких как на соседней диаграмме, или путем рассмотрения неизменности длины хорды на единичной окружности при заданном центральном угле. Наиболее интуитивно понятный вывод использует матрицы вращения (см. Ниже).

Иллюстрация формулы сложения углов для тангенса. Выделенные сегменты имеют единичную длину.

Для острых углов α и β, сумма которого не является тупой, краткая диаграмма (показана) иллюстрирует формулы суммы углов для синуса и косинуса: жирный сегмент, обозначенный «1», имеет единичную длину и служит гипотенузой прямоугольного треугольника с углом β; противоположные и соседние ножки для этого угла имеют соответствующие длины грех β и потому что β. В потому что β катет сам по себе гипотенуза прямоугольного треугольника с углом α; стороны этого треугольника, следовательно, имеют длину, равную грех α и потому что α, умножается на потому что β. В грех β катет, как гипотенуза другого прямоугольного треугольника с углом α, аналогично приводит к отрезкам длины потому что α грех β и грех α грех β. Теперь заметим, что отрезок «1» также является гипотенузой прямоугольного треугольника с углом α + β; нога напротив этого угла обязательно имеет длину грех (α + β), а прилегающая нога имеет длину cos (α + β). Следовательно, поскольку противоположные стороны внешнего прямоугольника диаграммы равны, мы выводим

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$

Перемещение одного из названных углов дает вариант диаграммы, демонстрирующий формулы угловой разности для синуса и косинуса.^[11] (Диаграмма допускает другие варианты, учитывающие углы и суммы, превышающие прямой угол.) Разделив все элементы диаграммы на потому что α потому что β предоставляет еще один вариант (показан), иллюстрирующий формулу суммы углов для тангенса.

Эти удостоверения применяются, например, в синфазные и квадратурные составляющие.

Иллюстрация формулы сложения углов для котангенса. Правый верхний сегмент единичной длины.

Синус	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$[12][13]
Косинус	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$[13][14]
Касательная	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$[13][15]
Косеканс	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}$[16]
Секант	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}$[16]
Котангенс	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$[13][17]
Арксинус	${\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$[18]
Арккосин	${\displaystyle \arccos x\pm \arccos y=\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}$[19]
Арктангенс	${\displaystyle \arctan x\pm \arctan y=\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}$[20]
Арккотангенс	${\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}$

Матричная форма

Смотрите также: Умножение матриц

Формулы суммы и разности для синуса и косинуса следуют из того факта, что поворот плоскости на угол α, следующий за поворотом на β, равен повороту на α + β. С точки зрения матрицы вращения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}}$

В матрица обратная для вращения - это вращение с отрицательным углом

${\displaystyle \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{rr}\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\,,}$

который также является матрица транспонировать.

Эти формулы показывают, что эти матрицы образуют представление группы вращения в плоскости (технически специальная ортогональная группа ТАК (2)), так как закон композиции выполняется и существуют обратные. Кроме того, матричное умножение матрицы вращения на угол α с вектором-столбцом будет вращать вектор-столбец против часовой стрелки на угол α.

Поскольку умножение на комплексное число единицы длины вращает комплексную плоскость на аргумент числа, указанное выше умножение матриц вращения эквивалентно умножению комплексных чисел:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )&=&(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=&\cos(\alpha {+}\beta )+i\sin(\alpha {+}\beta ).\end{array}}}$

С точки зрения Формула Эйлера, это просто говорит ${\displaystyle e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}}$, показывая, что ${\displaystyle \theta \ \mapsto \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ - одномерное комплексное представление ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$.

Синусы и косинусы сумм бесконечно многих углов

Когда сериал ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ сходится абсолютно тогда

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.}$

Потому что сериал ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ converges absolutely, it is necessarily the case that ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\theta _{i}=0}$, ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\sin \,\theta _{i}=0}$, и ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\cos \theta _{i}=1}$. In particular, in these two identities an asymmetry appears that is not seen in the case of sums of finitely many angles: in each product, there are only finitely many sine factors but there are cofinitely many cosine factors. Terms with infinitely many sine factors would necessarily be equal to zero.

When only finitely many of the angles θ_я are nonzero then only finitely many of the terms on the right side are nonzero because all but finitely many sine factors vanish. Furthermore, in each term all but finitely many of the cosine factors are unity.

Tangents and cotangents of sums

Позволять е_k (for k = 0, 1, 2, 3, ...) be the kth-degree elementary symmetric polynomial in the variables

${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$

за я = 0, 1, 2, 3, ..., i.e.,

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$

using the sine and cosine sum formulae above.

The number of terms on the right side depends on the number of terms on the left side.

For example:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$

and so on. The case of only finitely many terms can be proved by mathematical induction.^[21]

Secants and cosecants of sums

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$

куда е_k это kth-degree elementary symmetric polynomial в п variables Икс_я = tan θ_я, я = 1, ..., п, and the number of terms in the denominator and the number of factors in the product in the numerator depend on the number of terms in the sum on the left.^[22] The case of only finitely many terms can be proved by mathematical induction on the number of such terms.

Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$

Multiple-angle formulae

Тп это пth Chebyshev polynomial	${\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$  [23]
de Moivre's formula, я это imaginary unit	${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}$    [24]

Double-angle, triple-angle, and half-angle formulae

Double-angle formulae

Formulae for twice an angle.^[25]

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$

${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}$

Triple-angle formulae

Formulae for triple angles.^[25]

${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$

${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Half-angle formulae

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}}$

^[26][27]

Также

${\displaystyle \tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta }$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}}$

Стол

Смотрите также: Tangent half-angle formula

These can be shown by using either the sum and difference identities or the multiple-angle formulae.

	Sine	Cosine	Tangent	Cotangent
Double-angle formulae[28][29]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$
Triple-angle formulae[23][30]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )\!&=\!-\sin ^{3}\theta \!+\!3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )\!&=\!\cos ^{3}\theta \!-\!3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(3\theta )\!=\!{\frac {3\cot \theta \!-\!\cot ^{3}\theta }{1\!-\!3\cot ^{2}\theta }}}$
Half-angle formulae[26][27]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(A)\,{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or}}\,\,\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}\!&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left(\!{\frac {\theta }{2}}\!+\!{\frac {\pi }{4}}\!\right)\!&=\!\sec \theta \!+\!\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}\\[8pt]\tan {\frac {\theta }{2}}\!&=\!{\frac {\tan \theta }{1\!+\!{\sqrt {1\!+\!\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1\!+\!\cos \theta }{1\!-\!\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1\!-\!\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1\!+\!\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

The fact that the triple-angle formula for sine and cosine only involves powers of a single function allows one to relate the geometric problem of a compass and straightedge construction из angle trisection to the algebraic problem of solving a cubic equation, which allows one to prove that trisection is in general impossible using the given tools, by field theory.

A formula for computing the trigonometric identities for the one-third angle exists, but it requires finding the zeroes of the cubic equation 4Икс³ − 3Икс + d = 0, куда Икс is the value of the cosine function at the one-third angle and d is the known value of the cosine function at the full angle. Тем не менее discriminant of this equation is positive, so this equation has three real roots (of which only one is the solution for the cosine of the one-third angle). None of these solutions is reducible to a real algebraic expression, as they use intermediate complex numbers under the cube roots.

Sine, cosine, and tangent of multiple angles

For specific multiples, these follow from the angle addition formulae, while the general formula was given by 16th-century French mathematician François Viète.^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta ,\\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \,,\end{aligned}}}$

for nonnegative values of k up through п.^{[нужна цитата ]}

In each of these two equations, the first parenthesized term is a binomial coefficient, and the final trigonometric function equals one or minus one or zero so that half the entries in each of the sums are removed. The ratio of these formulae gives

${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\,.}$^{[нужна цитата ]}

Метод Чебышева

В Чебышев метод представляет собой рекурсивный алгоритм для поиска пформула нескольких углов, зная (п − 1)й и (п − 2)th значения.^[31]

cos (nx) можно вычислить из cos ((п − 1)Икс), cos ((п − 2)Икс), и cos (Икс) с

cos (nx) = 2 · cos Икс · Cos ((п − 1)Икс) - cos ((п − 2)Икс).

Это можно доказать, сложив формулы

cos ((п − 1)Икс + Икс) = cos ((п − 1)Икс) cos Икс - грех ((п − 1)Икс) грех Икс

cos ((п − 1)Икс − Икс) = cos ((п − 1)Икс) cos Икс + грех ((п − 1)Икс) грех Икс.

По индукции следует, что cos (nx) является полиномом от потому что Икс, так называемый многочлен Чебышева первого рода, см. Многочлены Чебышева # Тригонометрическое определение.

По аналогии, грех (nx) можно вычислить из грех ((п − 1)Икс), грех ((п − 2)Икс), и cos (Икс) с

грех (nx) = 2 · cos Икс · Грех ((п − 1)Икс) - грех ((п − 2)Икс).

Это можно доказать, добавив формулы для грех ((п − 1)Икс + Икс) и грех ((п − 1)Икс − Икс).

Для целей, аналогичных методу Чебышева, для касательной можно записать:

${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$

Тангенс среднего

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}$

Установка либо α или же β к 0 дает обычные формулы касательных полууглов.

Бесконечное произведение Вьете

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$

(Ссылаться на функция sinc.)

Формулы снижения мощности

Получено путем решения второго и третьего вариантов формулы двойного косинуса угла.

Синус	Косинус	Другой
${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}$

и в целом полномочия грех θ или же потому что θ верно следующее, и его можно вывести с помощью Формула де Муавра, Формула Эйлера и биномиальная теорема^{[нужна цитата ]}.

	Косинус	Синус
${\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$
${\displaystyle {\text{if }}n{\text{ is even}}}$	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$

Идентичность продукта к сумме и суммы к продукту

Идентификаторы продукта к сумме или формулы простафереза можно доказать, развернув их правые части с помощью теоремы сложения углов. Видеть амплитудная модуляция для применения формул произведения к сумме, и beat (акустика) и фазовый детектор для приложений формулы суммы к произведению.

Продукт к сумме[32]
${\displaystyle 2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\displaystyle 2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}}$
${\displaystyle 2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}}$
${\displaystyle 2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$
${\displaystyle \tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$

Сумма к продукту[33]
${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

Другие связанные личности

• ${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x.}$^[34]
• Если Икс + у + z = π (полукруг), затем

  ${\displaystyle \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin x\sin y\sin z.}$

• Тождество тройного касательного: Если Икс + у + z = π (полукруг), затем

  ${\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z.}$

В частности, формула верна, когда Икс, у, и z - это три угла любого треугольника.

(Если любой из Икс, у, z угол прямой, обе стороны должны быть ∞. Это ни то, ни другое +∞ ни −∞; для настоящих целей имеет смысл добавить только одну бесконечно удаленную точку к реальная линия, к которому подходит загар θ в качестве загар θ либо увеличивается на положительные значения, либо уменьшается на отрицательные значения. Это одноточечная компактификация реальной линии.)

• Тройной котангенс: Если Икс + у + z = π/2 (прямой угол или четверть круга), затем

  ${\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z.}$

Котангенсная идентичность Эрмита

Основная статья: Котангенсная идентичность Эрмита

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующую идентичность.^[35] Предполагать а₁, ..., а_п находятся сложные числа, никакие два из которых не отличаются на целое число, кратноеπ. Позволять

${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$

(особенно, А_1,1, будучи пустой продукт, равно 1). потом

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$

Простейший нетривиальный пример - случайп = 2:

${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$

Теорема Птолемея

Основная статья: Теорема Птолемея

Теорема Птолемея может быть выражена на языке современной тригонометрии как:

Если ш + Икс + у + z = π, тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(z+w)\sin(w+x)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin w\sin y+\sin x\sin z.&{\text{(significant)}}\end{aligned}}}$

(Первые три равенства представляют собой тривиальные перестановки; четвертое - суть этого тождества.)

Конечные произведения тригонометрических функций

За совмещать целые числа п, м

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$

куда Т_п это Полином Чебышева.

Для синусоидальной функции выполняется следующее соотношение

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$

В более общем смысле ^[36]

${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).}$

Линейные комбинации

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн одного периода или частоты, но разных фазовые сдвиги также является синусоидой с тем же периодом или частотой, но с другим фазовым сдвигом. Это полезно в синусоида подбор данных, потому что измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с а и б неизвестные о синфазные и квадратурные составляющие ниже, что приводит к более простому Якобиан, по сравнению с c и φ.

Синус и косинус

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой,^[37][38]

${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$

куда c и φ определяются так:

${\displaystyle c=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right).}$

Произвольный фазовый сдвиг

В более общем смысле, для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$

куда c и φ удовлетворить:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),}$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.}$

Более двух синусоид

Общий случай гласит^[38]

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$

куда

${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$

и

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$

Смотрите также Добавление фазора.

Тригонометрические тождества Лагранжа

Эти личности, названные в честь Жозеф Луи Лагранж, находятся:^[39][40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {\cos \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\\[5pt]\sum _{n=1}^{N}\cos(n\theta )&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\end{aligned}}}$

Связанная функция - это следующая функция Икс, называется Ядро Дирихле.

${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

видеть доказательство.

Другие суммы тригонометрических функций

Сумма синусов и косинусов с аргументами в арифметической прогрессии:^[41] если α ≠ 0, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}\quad {\text{and}}\\[10pt]&\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sec x\pm \tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}$

Приведенную выше личность иногда удобно знать, когда думаешь о Функция Гудермана, что связывает круговой и гиперболический тригонометрические функции, не прибегая к сложные числа.

Если Икс, у, и z - три угла любого треугольника, т. е. если Икс + у + z = π, тогда

${\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1.}$

Некоторые дробно-линейные преобразования

Если ж(Икс) дается дробно-линейное преобразование

${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$

и аналогично

${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$

тогда

${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$

Короче говоря, если для всех α мы позволяем ж_α быть тем, что мы называли ж выше, тогда

${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$

Если Икс наклон прямой, тогда ж(Икс) крутизна его поворота на угол −α.

Обратные тригонометрические функции

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x+\arccos x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\operatorname {arccot} x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}=\arctan {\frac {1}{x+y}}+\arctan {\frac {y}{x^{2}+xy+1}}}$^[42]

Композиции триггерных и обратных триггерных функций

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cot(\arcsin x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cot(\arccos x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}}$

Связь с комплексной экспоненциальной функцией

С мнимое число я удовлетворение я² = −1,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$^[43] (Формула Эйлера ),

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x}$

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ (Тождество Эйлера ),

${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$^[44]

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$^[45]

${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\,.}$

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, чтое^я(θ+φ) = е^iθ е^iφ Значит это

cos (θ+φ) + я грех (θ+φ) = (cos θ + я грех θ) (cos φ + я грех φ) = (cos θ потому что φ - грех θ грех φ) + я (потому что θ грех φ + грех θ потому что φ).

То, что действительная часть левой части равна действительной части правой части, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

Бесконечные формулы продукта

Для приложений к специальные функции, следующее бесконечный продукт полезны формулы для тригонометрических функций:^[46][47]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\end{aligned}}\ \,{\begin{aligned}\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Личности без переменных

Что касается арктангенс функция у нас есть^[42]

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$

Любопытная личность, известная как Закон Морри,

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$

это частный случай идентичности, которая содержит одну переменную:

${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}.}$

Тот же косинус в радианах равен

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$

является частным случаем тождества со случаем x = 20:

${\displaystyle \sin x\cdot \sin(60^{\circ }-x)\cdot \sin(60^{\circ }+x)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$

По делу Икс = 15,

${\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},}$

${\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}$

По делу Икс = 10,

${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$

То же косинусное тождество

${\displaystyle \cos x\cdot \cos(60^{\circ }-x)\cdot \cos(60^{\circ }+x)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},}$

${\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},}$

${\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ },}$

${\displaystyle \tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }=\tan 10^{\circ }.}$

Следующее, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. Объяснение ниже):

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, когда мы рассматриваем это тождество с 21 в знаменателе:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Коэффициенты 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут прояснить шаблон: это целые числа меньше, чем 21/2 которые относительно простой (или не иметь главные факторы вместе с) 21. Последние несколько примеров являются следствием основного факта о неприводимости круговые полиномы: косинусы - это действительные части нулей этих многочленов; сумма нулей - это Функция Мёбиуса оценивается в (в самом последнем случае выше) 21; только половина нулей присутствует выше. Два тождества, предшествующие этому последнему, возникают таким же образом с заменой 21 на 10 и 15 соответственно.

Другие тождества косинуса включают:^[48]

${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{3}}=1,}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}=1,}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}=1,}$

и так далее для всех нечетных чисел, и, следовательно,

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$

Многие из этих любопытных идентичностей проистекают из более общих фактов, таких как следующие:^[49]

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$

и

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}}$

Сочетание этого дает нам

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$

Если п нечетное число (п = 2м + 1) мы можем использовать симметрии, чтобы получить

${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$

Передаточная функция Фильтр нижних частот Баттерворта можно выразить через полином и полюса. Установив частоту в качестве частоты среза, можно доказать следующее:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$

Вычисление π

Эффективный способ вычислить π основан на следующем тождестве без переменных из-за Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

или, в качестве альтернативы, используя идентификатор Леонард Эйлер:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

или используя Пифагорейские тройки:

${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$

Другие включают

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}};}$^[50][42]

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}$^[50]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$^[42]

Обычно для чисел т₁, ..., т_п−1 ∈ (−1, 1) для которого θ_п = ∑^п−1
_k=1 арктан т_k ∈ (π/4, 3π/4), позволять т_п = загар (π/2 − θ_п) = детская кроватка θ_п. Это последнее выражение можно вычислить напрямую, используя формулу котангенса суммы углов, тангенсы которых равны т₁, ..., т_п−1 и его стоимость будет в (−1, 1). В частности, вычисленные т_п будет рациональным, когда все т₁, ..., т_п−1 ценности рациональны. С этими значениями

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sign} (t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы касательных полууглов. Первые две формулы работают, даже если одна или несколько т_k ценности не в пределах (−1, 1). Обратите внимание, что когда т = п/q рационально, то (2т, 1 − т², 1 + т²) значения в приведенных выше формулах пропорциональны тройке Пифагора (2pq, q² − п², q² + п²).

Например, для п = 3 термины,

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$

для любого а, б, c, d > 0.

Полезная мнемоника для определенных значений синусов и косинусов

Для некоторых простых углов синусы и косинусы принимают форму √п/2 за 0 ≤ п ≤ 4, благодаря чему их легко запомнить.

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}}$

Разное

С Золотое сечение φ:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}$

Также см тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах.

Личность Евклида

Евклид показано в Книге XIII, Предложение 10 его Элементы что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в круг, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника, вписанных в тот же круг. На языке современной тригонометрии это говорит:

${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в его таблица аккордов.

Состав тригонометрических функций

Это тождество включает тригонометрическую функцию тригонометрической функции:^[51]

${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

куда J_я находятся Функции Бесселя.

Исчисление

В исчисление указанные ниже соотношения требуют измерения углов в радианы; отношения усложнились бы, если бы углы измерялись в других единицах, например в градусах. Если тригонометрические функции определены в терминах геометрии, наряду с определениями длина дуги и площадь, их производные можно найти, проверив два предела. Первый:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}$

проверено с помощью единичный круг и теорема сжатия. Второй предел:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,}$

проверено с использованием личности загар Икс/2 = 1 - cos Икс/грех Икс. Установив эти два предела, можно использовать предельное определение производной и теоремы сложения, чтобы показать, что (грех Икс) ′ = Cos Икс и (потому что Икс) ′ = −sin Икс. Если функции синуса и косинуса определены их Серия Тейлор, то производные можно найти путем почленного дифференцирования степенного ряда.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

Остальные тригонометрические функции можно дифференцировать, используя указанные выше тождества и правила дифференциация:^[52][53][54]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}$

Интегральные тождества можно найти в Список интегралов от тригонометрических функций. Некоторые общие формы перечислены ниже.

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}$

Подразумеваемое

Тот факт, что дифференцирование тригонометрических функций (синуса и косинуса) приводит к линейные комбинации тех же двух функций имеет фундаментальное значение для многих областей математики, в том числе дифференциальные уравнения и Преобразования Фурье.

Некоторые дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет синусоидальная функция

Позволять я = √−1 - мнимая единица, а ∘ - композиция дифференциальных операторов. Тогда для каждого странный положительное числоп,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}&\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\&\qquad \cdots \circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}}$

(Когда k = 0, то число составляемых дифференциальных операторов равно 0, поэтому соответствующий член в сумме выше просто(грех Икс)^п.) Эта идентичность была обнаружена как побочный продукт исследования в медицинская визуализация.^[55]

Экспоненциальные определения

Смотрите также: гиперболические функции и обратные гиперболические функции

Функция	Обратная функция[56]
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}$	${\displaystyle \arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$
${\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$	${\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x}$

Дальнейшие «условные» тождества для случая α + β + γ = 180°

Следующие формулы применимы к произвольным плоским треугольникам и следуют из α + β + γ = 180 °, если функции, входящие в формулы, четко определены (последнее относится только к формулам, в которых встречаются касательные и котангенсы).

${\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,}$

${\displaystyle \cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1}$

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}$

${\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}$

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}$

${\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,}$

${\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,}$

${\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,}$

${\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,}$

${\displaystyle -\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}$

${\displaystyle -\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\sin(2\beta )\sin(2\gamma )}$

${\displaystyle -\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1}$

Разное

Ядро Дирихле

Основная статья: Ядро Дирихле

В Ядро Дирихле D_п(Икс) это функция, встречающаяся с обеих сторон следующего тождества:

${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

В свертка любой интегрируемая функция периода 2π с ядром Дирихле совпадает с функцией пприближение Фурье-й степени. То же самое верно для любого мера или же обобщенная функция.

Замена касательного полуугла

Основная статья: Замена касательного полуугла

Если мы установим

${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$

тогда^[57]

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}$

куда е^ix = cos Икс + я грех Икс, иногда сокращенноСНГ Икс.

Когда эта замена т за загар Икс/2 используется в исчисление, следует, что грех Икс заменяется на 2т/1 + т², потому что Икс заменяется на 1 − т²/1 + т² и дифференциал dИкс заменяется на 2 дн.т/1 + т². Тем самым преобразуются рациональные функции грех Икс и потому что Икс к рациональным функциям т чтобы найти их первообразные.

Смотрите также

• Неравенство Аристарха
• Производные тригонометрических функций
• Точные тригонометрические константы (значения синуса и косинуса выражены в сурдах)
• Exsecant
• Формула половинной стороны
• Гиперболическая функция
• Законы решения треугольников:
  • Закон косинусов
    • Сферический закон косинусов
  • Закон синусов
  • Закон касательных
  • Закон котангенсов
  • Формула Моллвейде
• Список интегралов от тригонометрических функций
• Мнемоника в тригонометрии
• Pentagramma mirificum
• Доказательства тригонометрических тождеств
• Простафаэрез
• теорема Пифагора
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическое число
• Тригонометрия
• Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах
• Использование тригонометрии
• Версин и гаверсин

Примечания

1. Хэн, Ченг и Тальберт, «Дополнительная математика», стр. 228
2. Шаумбергер Н. (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний колледж по математике. J. 5 (1): 73–76. Дои:10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Нивена». MathWorld.
4. Абрамовиц и Стегун, стр. 73, 4.3.45
5. Абрамовиц и Стегун, стр. 78, 4.3.147
6. Нильсен (1966 г., стр. xxiii – xxiv)
7. Селби 1970, п. 188
8. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.13–15
9. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.9
10. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.7–8
11. Тригонограф (28 сентября 2015 г.). «Сумма углов и разность для синуса и косинуса». Trigonography.com. Получено 28 мая 2017.
12. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.16
13. Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения». MathWorld.
14. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.17
15. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.18
16. «Сумма углов и тождества разности». www.milefoot.com. Получено 2019-10-12.
17. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.19
18. Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.32
19. Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.33
20. Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.34
21. Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение реальных элементарных функций». В Gonnet, G.H. (ред.). Материалы ACM-SIGSAM 1989 Международный симпозиум по символическим и алгебраическим вычислениям. ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM. С. 207–211. Дои:10.1145/74540.74566. ISBN  0-89791-325-6.
22. Майкл Харди (август – сентябрь 2016 г.). «О касательных и секущих бесконечных сумм». Американский математический ежемесячный журнал. 123 (7): 701–703. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.123.7.701.
23. Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольные формулы». MathWorld.
24. Абрамовиц и Стегун, стр. 74, 4.3.48
25. Селби 1970, стр. 190
26. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.20–22
27. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы полуугловой». MathWorld.
28. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.24–26
29. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы двойного угла». MathWorld.
30. Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.27–28
31. Уорд, Кен. "Multiple angles recursive formula". Ken Ward's Mathematics Pages.
32. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
33. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
34. Nelson, Roger. "Mathematics Without Words", The College Mathematics Journal 33(2), March 2002, p. 130.
35. Johnson, Warren P. (Apr 2010). "Trigonometric Identities à la Hermite". American Mathematical Monthly. 117 (4): 311–327. Дои:10.4169/000298910x480784.
36. "Product Identity Multiple Angle".
37. Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.
38. Weisstein, Eric W. "Harmonic Addition Theorem". MathWorld.
39. Ortiz Muñiz, Eddie (Feb 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". Американский журнал физики. 21 (2): 140. Bibcode:1953AmJPh..21..140M. Дои:10.1119/1.1933371.
40. Jeffrey, Alan; Dai, Hui-hui (2008). "Section 2.4.1.6". Handbook of Mathematical Formulas and Integrals (4-е изд.). Academic Press. ISBN  978-0-12-374288-9.
41. Knapp, Michael P. "Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression" (PDF).
42. Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", Mathematics Magazine 77(3), June 2004, p. 189.
43. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
44. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
45. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
46. Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
47. Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
48. Humble, Steve (Nov 2004). "Grandma's identity". Mathematical Gazette. 88: 524–525. Дои:10.1017/s0025557200176223.
49. Weisstein, Eric W. "Sine". MathWorld.
50. Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, Proofs Without Words (1993, Mathematical Association of America), p. 39.
51. Milton Abramowitz and Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45
52. Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
53. Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
54. Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic. Glenview, Illinois: Prentice Hall. стр.159–161. ISBN  0-13-063131-0.
55. Kuchment, Peter; Lvin, Sergey (Aug 2013). "Identities for sin Икс that Came from Medical Imaging". American Mathematical Monthly. 120: 609–621. arXiv:1110.6109. Дои:10.4169/amer.math.monthly.120.07.609.
56. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
57. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Рекомендации

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ред. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0.
• Nielsen, Kaj L. (1966), Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN  61-9103
• Selby, Samuel M., ed. (1970), Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

внешняя ссылка

• Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5+5/8°, and for the same angles csc and sec и загар