Pentagramma mirificum - Pentagramma mirificum

Примеры конфигураций пентаграмма mirificum
Соотношения между углами и сторонами пяти прямоугольных треугольников, примыкающих к внутреннему пятиугольнику. Их Круги Напьера содержать круговые смены частей

Pentagramma mirificum (Латинское для чудесная пентаграмма) это звездный многоугольник на сфера, состоящий из пяти большой круг дуги, все чьи внутренние углы находятся прямые углы. Эта форма была описана Джон Напье в его книге 1614 года Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание замечательной таблицы логарифмов) вместе с правила которые связывают ценности тригонометрические функции из пяти частей верно сферический треугольник (два угла и три стороны). Свойства пентаграмма mirificum были изучены, среди прочего, Карл Фридрих Гаусс.[1]

Геометрические свойства

На сфере углы и стороны треугольника (дуги больших окружностей) измеряются как углы.

Есть пять прямых углов, каждый измеряет в , , , , и

Есть десять дуг, каждая измеряющая , , , , , , , , , и

В сферическом пятиугольнике , каждая вершина - полюс противоположной стороны. Например, точка это полюс экватора , точка - полюс экватора , так далее.

В каждой вершине пятиугольника , то внешний угол равняется по мере противоположной стороне. Например, и Т. Д.

Круги Напьера сферических треугольников , , , , и находятся вращения друг друга.

Формулы Гаусса

Гаусс ввел обозначение

Имеются следующие тождества, позволяющие определить любые три из указанных выше величин из двух оставшихся:[2]

Гаусс доказал следующее «красивое равенство» (schöne Gleichung):[2]

Его удовлетворяют, например, числа , чей продукт равно .

Доказательство первой части равенства:

Доказательство второй части равенства:

От Гаусса также исходит формула[2]

куда это площадь пятиугольника .

Гномоническая проекция

Изображение сферического пятиугольника в гномоническая проекция (проекция из центра сферы) на любую плоскость, касательную к сфере, представляет собой прямолинейный пятиугольник. Его пять вершин однозначно определить а коническая секция; в этом случае - эллипс. Гаусс показал, что высота пентаграммы (прямые, проходящие через вершины и перпендикулярные противоположным сторонам) пересекаются в одной точке , которое является изображением точки касания плоскости к сфере.

Артур Кэли заметил, что если мы зададим начало координат Декартова система координат в точке , то координаты вершин : удовлетворять равенствам , куда - длина радиуса сферы.[3]

Рекомендации

  1. ^ Гаусс, Карл Фридрих (1866). "Pentagramma mirificum". Верке, группа III: анализ. Геттинген: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften. С. 481–490.
  2. ^ а б c Кокстер, Х. С. М. (1971). «Фризовые узоры» (PDF). Acta Arithmetica. 18: 297–310. Дои:10.4064 / aa-18-1-297-310.
  3. ^ Кэли, Артур (1871). "По Гауссу пентаграмма mirificum". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 42 (280): 311–312. Дои:10.1080/14786447108640572.

внешняя ссылка