Причина неснижаемости - Casus irreducibilis

В алгебра, казус несокрушимый (латинский для «неприводимого случая») является одним из случаев, которые могут возникнуть при попытке решить многочлены от степень 3 или выше с целое число коэффициентов, чтобы получить корни, которые выражаются с помощью радикалы. Это показывает, что многие алгебраические числа являются действительными, но не могут быть выражены в радикалах без введения комплексных чисел. Наиболее заметное появление казус несокрушимый в случае кубических многочленов, которые несводимый (не может быть учтен в полиномы низшей степени) по рациональное число и иметь три настоящий корни, что было доказано Пьер Ванцель в 1843 г.^[1]Можно решить, принадлежит ли данный неприводимый кубический многочлен казус несокрушимый с использованием дискриминант Δ, через Формула Кардано.^[2] Пусть кубическое уравнение имеет вид

${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.,}$

с а≠ 0. Тогда дискриминант фигурирующая в алгебраическом решении, задается формулой

${displaystyle Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.,}$

• Если Δ < 0, то у многочлена два комплексных невещественных корня, поэтому казус несокрушимый не применяется.
• Если Δ = 0, то существует три действительных корня, два из которых равны и могут быть найдены Евклидов алгоритм, и квадратичная формула. Все корни реальны и выражаются настоящими радикалами. Многочлен неприводимый.
• Если Δ > 0, то есть три различных действительных корня. Либо рациональный корень существует, и его можно найти с помощью рациональный корень, и в этом случае кубический многочлен может быть разложен на произведение линейного многочлена и квадратичного многочлена, последний из которых может быть решен с помощью квадратной формулы; или такая факторизация не может произойти, поэтому многочлен казус несокрушимый: все корни действительны, но для выражения их в корнях требуются комплексные числа.

Официальное заявление и доказательство

В более общем плане предположим, что F это формально реальное поле, и это п(Икс) ∈ F[Икс] - кубический многочлен, неприводимый над F, но имеющий три настоящих корня (корни в реальное закрытие из F). потом казус несокрушимый заявляет, что невозможно найти какое-либо решение п(Икс) = 0 вещественными радикалами.

Чтобы доказать это,^[3] обратите внимание, что дискриминант D положительный. Сформировать расширение поля F(√D). Поскольку это F или квадратичное расширение из F (в зависимости от того, D квадрат в F), п(Икс) остается в нем неприводимым. Следовательно, Группа Галуа из п(Икс) над F(√D) циклическая группа C₃. Предположим, что п(Икс) = 0 решаются настоящими радикалами. потом п(Икс) может быть разделен на башню из циклические расширения

${displaystyle Fsubset F({sqrt {D}})subset F({sqrt {D}},{sqrt[{p_{1}}]{alpha _{1}}})subset cdots subset Ksubset K({sqrt[{3}]{alpha }})}$

На последней ступеньке башни, п(Икс) неприводима в предпоследнем поле K, но распадается на K(³√α) для некоторых α. Но это расширение циклического поля, поэтому оно должно содержать первобытный корень единства.

Однако в реальном замкнутом поле нет примитивных 3-х корней из единицы. Предположим, что ω - примитивный корень третьей степени из единицы. Тогда по аксиомам, определяющим упорядоченное поле, ω, ω², и 1 все положительны. Но если ω²> ω, то кубирование обеих сторон дает 1> 1; противоречие; аналогично, если ω> ω².

Решение в ненастоящих радикалах

Решение Кардано

Дальнейшая информация: Кубическое уравнение § Формула Кардано

Уравнение топор³ + bx² + сх + d = 0 может быть подавлен до моник трехчленный разделив на ${displaystyle a}$ и заменяя Икс = т − б/3а (в Трансформация Чирнхауса ), что дает уравнение т³ + pt + q = 0 куда

${displaystyle p={frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}$

${displaystyle q={frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Тогда независимо от количества настоящих корней по Решение Кардано три корня даны

${displaystyle t_{k}=omega _{k}{sqrt[{3}]{-{q over 2}+{sqrt {{q^{2} over 4}+{p^{3} over 27}}}}}+omega _{k}^{2}{sqrt[{3}]{-{q over 2}-{sqrt {{q^{2} over 4}+{p^{3} over 27}}}}}}$

куда ${displaystyle omega _{k}}$ (k= 1, 2, 3) является кубическим корнем из 1 (${displaystyle omega _{1}=1}$, ${displaystyle omega _{2}=-{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {3}}{2}}i}$, и ${displaystyle omega _{3}=-{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{2}}i}$, куда я это мнимая единица ). Здесь, если подкормки если кубические корни не являются действительными, кубические корни, выраженные радикалами, определяются как любая пара комплексно сопряженных кубических корней, в то время как, если они действительны, эти кубические корни определяются как действительные кубические корни.

Причина неснижаемости возникает, когда ни один из корней не является рациональным и когда все три корня различны и реальны; случай трех различных действительных корней имеет место тогда и только тогда, когда q²/4 + п³/27 < 0, и в этом случае формула Кардано сначала извлекает квадратный корень из отрицательного числа, которое воображаемый, а затем извлечение кубического корня из комплексного числа (кубический корень сам по себе не может быть помещен в форму α + βi с конкретно заданными выражениями в реальном радикалы за α и β, поскольку для этого потребуется самостоятельно решить исходную кубику). Даже в приводимом случае, когда один из трех действительных корней является рациональным и, следовательно, может быть исключен с помощью полиномиальное деление в столбик, Формула Кардано (без необходимости в данном случае) выражает этот корень (и другие) в терминах ненастоящих радикалов.

пример

Угнетенное кубическое уравнение

${displaystyle 2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0}$

является неприводимым, потому что, если бы его можно было разложить на множители, существовал бы линейный фактор, дающий рациональное решение, в то время как ни один из возможных корней, заданных рациональный корень на самом деле корни. Поскольку его дискриминант положительный, он имеет три действительных корня, поэтому он является примером казус неснижибилис. Эти корни можно выразить как

${displaystyle t_{k}={frac {3-omega _{k}{sqrt[{3}]{39-26i}}-omega _{k}^{2}{sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}}$

за ${displaystyle kin left{1,2,3ight}}$. Решения находятся в радикалах и включают кубические корни из комплексно сопряженный числа.

Тригонометрическое решение в реальных величинах

Основная статья: Кубическое уравнение § Тригонометрические и гиперболические решения

В то время как казус несокрушимый не может быть решено в радикалах в натуральном выражении это может решить тригонометрически в натуральном выражении.^[4] В частности, депрессивное моническое кубическое уравнение ${displaystyle t^{3}+pt+q=0}$ решается

${displaystyle t_{k}=2{sqrt {-{frac {p}{3}}}}cos left({frac {1}{3}}arccos left({frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}}ight)-k{frac {2pi }{3}}ight)quad { ext{for}}quad k=0,1,2,.}$

Эти решения выражаются в реальных количествах тогда и только тогда, когда ${displaystyle {q^{2} over 4}+{p^{3} over 27}<0}$ - т.е. тогда и только тогда, когда существует три действительных корня. Формула включает в себя начало с угла, косинус которого известен, деление угла пополам путем умножения его на 1/3, взятие косинуса полученного угла и поправку на масштаб.

Хотя косинус и его обратная функция (арккосинус) трансцендентные функции, это решение является алгебраическим в том смысле, что ${displaystyle cos left(arccos left(xight)/3ight)}$ является алгебраическая функция, что эквивалентно трисекция угла.

Отношение к трисекции угла

Различие между приводимыми и неприводимыми кубическими случаями с тремя действительными корнями связано с вопросом о том, является ли угол тройной классическими средствами компас и немаркированная линейка. Под любым углом θ, одна треть этого угла имеет косинус, который является одним из трех решений

${displaystyle 4x^{3}-3x-cos( heta )=0.}$

Точно так же ​^θ⁄₃ имеет синус, который является одним из трех реальных решений

${displaystyle 4y^{3}-3y+sin( heta )=0.}$

В любом случае, если проверка рационального корня обнаруживает рациональное решение, Икс или у минус, что корень может быть извлечен из многочлена в левой части, оставив квадратичный, который может быть решен для оставшихся двух корней в терминах квадратного корня; то все эти корни классически конструктивны, поскольку они выражаются не более чем квадратными корнями, так, в частности, cos (^θ⁄₃) или грех (^θ⁄₃) конструктивно, как и связанный с ним угол ​^θ⁄₃. С другой стороны, если проверка рационального корня показывает, что рационального корня не существует, то казус несокрушимый применяется, cos (^θ⁄₃) или грех (^θ⁄₃) не конструктивно, угол ​^θ⁄₃ не конструктивен, и угол θ не является классически тройным.

Например, в то время как угол 180 ° можно разделить на три угла по 60 °, угол 60 ° нельзя разделить на три части с помощью только циркуля и линейки. С помощью формулы тройного угла можно видеть, что потому что π/3 = 4Икс³ − 3Икс куда Икс = cos (20 °). Перестановка дает 8Икс³ − 6Икс − 1 = 0, который не проходит проверку рационального корня, поскольку ни одно из рациональных чисел, предложенных теоремой, на самом деле не является корнем. Следовательно, минимальный многочлен от cos (20 °) имеет степень 3, тогда как степень минимального многочлена любого конструктивного числа должна быть степенью двойки.

Выражая cos (20 °) в радикалах приводит к

${displaystyle cos left({frac {pi }{9}}ight)={frac {{sqrt[{3}]{1-i{sqrt {3}}}}+{sqrt[{3}]{1+i{sqrt {3}}}}}{2{sqrt[{3}]{2}}}}}$

который включает извлечение кубического корня из комплексных чисел. Обратите внимание на сходство с е^я/3 = 1+я√3/2 и е^−iπ/3 = 1−я√3/2.

Связь между рациональными корнями и тройностью также может быть распространена на некоторые случаи, когда синус и косинус данного угла иррациональны. Рассмотрим в качестве примера случай, когда заданный угол 3θ угол при вершине правильного пятиугольника, многоугольника, который можно построить классическим способом. Для этого угла 5θ равен 180 °, и стандартные тригонометрические тождества дают

${displaystyle cos(3 heta )+cos( heta )=2cos( heta )cos(2 heta )=-2cos( heta )cos(3 heta )}$

таким образом

${displaystyle cos( heta )=-cos(3 heta )/(1+2cos(3 heta )).}$

Косинус разрезанного угла представляется как рациональное выражение в терминах косинуса данного угла, поэтому угол при вершине правильного пятиугольника можно разделить на три части (механически, просто нарисовав диагональ).

Обобщение

Причина неснижаемости можно обобщить на многочлены более высокой степени следующим образом. Позволять п ∈ F[Икс] - неприводимый многочлен, распадающийся в формально вещественном расширении р из F (т.е. п имеет только настоящие корни). Предположить, что п имеет корень в ${displaystyle Ksubseteq R}$ который является продолжением F радикалами. Тогда степень п является степенью двойки, а его поле расщепления является повторным квадратичным расширением F.^{[5][6]:стр. 571–572}

Таким образом, для любого неприводимого многочлена, степень которого не является степенью двойки и у которого все корни действительны, ни один корень не может быть выражен исключительно через вещественные радикалы. Более того, если степень полинома является степень двойки и все корни действительны, тогда, если есть корень, который может быть выражен в действительных радикалах, он может быть выражен в терминах квадратных корней, а не корней более высокой степени, как и другие корни, и поэтому корни находятся классически построенный.

Причина неснижаемости за пятые полиномы обсуждается Даммитом.^{[7]:стр.17}

Отношение к пентасекции (квинтисекции) и выше

Различие между приводимыми и неприводимыми квинтическими случаями с пятью действительными корнями связано с вопросом о том, является ли угол с рациональным косинусом или рациональным синусом пентасборным (способным быть разделенным на пять равных частей) классическими средствами компаса и немаркированным прямая грань. Под любым углом θ, одна пятая этого угла имеет косинус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

${displaystyle 16x^{5}-20x^{3}+5x-cos( heta )=0.}$

Точно так же θ/5 имеет синус, который является одним из пяти действительных корней уравнения

${displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-sin( heta )=0.}$

В любом случае, если проверка рационального корня дает рациональный корень Икс₁, то квинтика приводима, так как ее можно записать как множитель (х — х₁) раз а полином четвертой степени. Но если проверка показывает, что рационального корня нет, то многочлен может быть неприводимым, и в этом случае казус несокрушимый применяется, cos (^θ⁄₅) и грех (^θ⁄₅) не конструктивны, угол ​^θ⁄₅ не конструктивен, и угол θ не подлежит классическому изъятию. Примером этого является попытка построить 25-угольник (икосипентагон) с помощью циркуля и линейки. В то время как пятиугольник относительно легко построить, 25-угольник требует углового пятиугольника в качестве минимального многочлена для cos (14,4 °) имеет степень 10:

${displaystyle {egin{aligned}cos left({frac {2pi }{5}}ight)&={frac {{sqrt {5}}-1}{4}}16x^{5}-20x^{3}+5x+{frac {1-{sqrt {5}}}{4}}&=0qquad qquad x=cos left({frac {2pi }{25}}ight)4left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{frac {1-{sqrt {5}}}{4}}ight)left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{frac {1+{sqrt {5}}}{4}}ight)&=04left(16x^{5}-20x^{3}+5xight)^{2}+2left(16x^{5}-20x^{3}+5xight)-1&=01024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.end{aligned}}}$

Таким образом,

${displaystyle {egin{aligned}e^{2pi i/5}&={frac {-1+{sqrt {5}}}{4}}+{frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}ie^{-2pi i/5}&={frac {-1+{sqrt {5}}}{4}}-{frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}icos left({frac {2pi }{25}}ight)&={frac {{sqrt[{5}]{-1+{sqrt {5}}-i{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}+{sqrt[{5}]{-1+{sqrt {5}}+i{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}}}}{2{sqrt[{5}]{4}}}}.end{aligned}}}$

Примечания

1. Вантзель, Пьер (1843), "Классификация несоизмеримых чисел оригинального алгоритма" (PDF), Nouvelles Annales de Mathématiques (На французском), 2: 117–127
2. Кокс (2012), Теорема 1.3.1, с. 15.
3. Б.Л. ван дер Варден, Современная алгебра (перевод с немецкого Фреда Блюма), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, стр. 180.
4. Кокс (2012), Раздел 1.3B Тригонометрическое решение кубики, стр. 18–19.
5. Кокс (2012), Теорема 8.6.5, с. 222.
6. И. М. Айзекс, "Решение многочленов вещественными радикалами", Американский математический ежемесячный журнал 92 (8), октябрь 1985 г., 571–575,
7. Дэвид С. Даммит Решение решаемых квинтик

Рекомендации

• Кокс, Дэвид А. (2012), Теория Галуа, Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, Дои:10.1002/9781118218457, ISBN  978-1-118-07205-9. См., В частности, раздел 1.3 Кубические уравнения над действительными числами (стр. 15–22) и раздел 8.6 «Casus Irreducibilis» (стр. 220–227).
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003), Современная алгебра I, Ф. Блюм, Дж. Р. Шуленберг, Спрингер, ISBN  978-0-387-40624-4

внешняя ссылка

• казус несокрушимый в PlanetMath.org.