Алгебраическое решение - Algebraic solution

Не путать с Алгебраическое число.

An алгебраическое решение или раствор в радикалах это выражение в закрытой форме, а точнее закрытая форма алгебраическое выражение, то есть решение алгебраическое уравнение с точки зрения коэффициентов, полагаясь только на дополнение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени и извлечение энные корни (квадратные корни, кубические корни и другие целочисленные корни).

Известный пример - решение

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$

из квадратное уровненеие

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Существуют более сложные алгебраические решения для кубические уравнения^[1] и уравнения четвертой степени.^[2] В Теорема Абеля – Руффини,^[3]:211 и, в более общем плане Теория Галуа, заявляют, что некоторые уравнения пятой степени, такие как

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,}$

не имеют алгебраического решения. То же верно для всех высших степеней. Однако для любой степени существуют полиномиальные уравнения, имеющие алгебраические решения; например, уравнение ${\displaystyle x^{10}=2}$ можно решить как ${\displaystyle x={\sqrt[{10}]{2}}.}$ Смотрите также Квинтическая функция § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.

Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий решать, какие уравнения разрешимы в радикалах. Увидеть Радикальное расширение за точную формулировку своего результата.

Алгебраические решения образуют подмножество выражения в закрытой форме, потому что последние позволяют трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как экспоненциальная функция, логарифмическая функция, а также тригонометрические функции и их обратные.

Смотрите также

• Решаемые квинтики
• Решаемые секстики
• Решаемые септики

использованная литература

1. Никалс, Р. В. Д. "Новый подход к решению кубики: раскрыто решение Кардано," Математический вестник 77, ноябрь 1993 г., 354-359.
2. Карпентер, Уильям, «О решении реальной квартики», Математический журнал 39, 1966, 28-30.
3. Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра 1 (2-е изд.), Dover, ISBN  978-0-486-47189-1