Радикальное расширение - Radical extension

В математика и более конкретно в теория поля, а радикальное расширение из поле K является расширение из K который получается присоединением последовательности пкорни элементов.

Определение

А простое радикальное расширение это простое расширение F/K генерируется одним элементом ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворение ${\displaystyle \alpha ^{n}=b}$ для элемента б из K. В характеристика п, мы также берем расширение корнем Многочлен Артина – Шрайера быть простым радикальным расширением. А радикальная серия это башня ${\displaystyle K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}}$ где каждое расширение ${\displaystyle F_{i}/F_{i-1}}$ простое радикальное расширение.

Характеристики

1. Если E является радикальным продолжением F и F является радикальным продолжением K тогда E является радикальным продолжением K.
2. Если E и F радикальные расширения K в общем поле C, то композитум EF является радикальным продолжением K.
3. Если E является радикальным продолжением F и E > K > F тогда E является радикальным продолжениемK.

Эти три свойства показывают, что класс радикальных расширений выделенный класс расширений полей.

Разрешимость радикалами

Радикальные расширения возникают естественным образом при решении полиномиальные уравнения в радикалы. Фактически раствор в радикалах есть выражение решения как элемент радикального ряда: многочлен ж над полем K называется разрешимой в радикалах, если существует поле расщепления из ж над K содержится в радикальном расширении K.

В Теорема Абеля – Руффини утверждает, что такого решения с помощью радикалов, вообще говоря, не существует для уравнений степени не ниже пятой. Эварист Галуа показал, что уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его Группа Галуа является разрешимый. Доказательство основано на основная теорема теории Галуа и следующая теорема.

Позволять K быть полем, содержащим п отчетливый пкорни единства. Расширение K из степень п является радикальным расширением, порожденным пкорень th элемента K если и только если это Расширение Галуа чья группа Галуа является циклическая группа порядка п.

Доказательство связано с Резольвенты Лагранжа. Позволять ${\displaystyle \omega }$ быть примитивный пй корень единства (принадлежащий K). Если расширение создано ${\displaystyle \alpha }$ с ${\displaystyle x^{n}-a}$ как минимальный многочлен отображение ${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha }$ вызывает K-автоморфизм расширения, порождающего группу Галуа, демонстрирующий импликацию «только если». Наоборот, если ${\displaystyle \phi }$ это K-автоморфизм, порождающий группу Галуа, и ${\displaystyle \beta }$ является генератором расширения, пусть

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

Соотношение ${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$ означает, что продукт конъюгирует из ${\displaystyle \alpha }$ (это изображения ${\displaystyle \alpha }$ посредством K-автоморфизмы) принадлежит K, и равно произведению ${\displaystyle \alpha ^{n}}$ по продукту пкорни единицы. Как продукт пкорни единиц ${\displaystyle \pm 1}$, это означает, что ${\displaystyle \alpha ^{n}\in K,}$ и, таким образом, расширение является радикальным расширением.

Из этой теоремы следует, что расширение Галуа может быть выражено в виде радикального ряда тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Это, в современной терминологии, критерий разрешимости радикалами, предложенный Галуа. Доказательство использует тот факт, что Замыкание Галуа простого радикального расширения степени п является его продолжением примитивным пкорень единства, и что группа Галуа пкорни из единицы циклические.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556
• Роман, Стивен (2006). Теория поля. Тексты для выпускников по математике. 158 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-27677-7. Zbl  1172.12001.