Функция Гудермана - Gudermannian function

График функции Гудермана

В Функция Гудермана, названный в честь Кристоф Гудерманн (1798–1852) связывает круговые функции и гиперболические функции без явного использования сложные числа.

Он определен для всех Икс к^[1][2][3]

${\displaystyle \operatorname {gd} x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cosh t}}\,dt.}$

 

Характеристики

Альтернативные определения

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)=\operatorname {arccsc} (\coth x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \arccos \left(\operatorname {sech} x\right)=\operatorname {sgn} (x)\cdot \operatorname {arcsec} (\cosh x)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right]\\&=2\arctan(e^{x})-{\tfrac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}}$

Некоторые личности

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\operatorname {gd} x)=\tanh x;\quad &\csc(\operatorname {gd} x)=\coth x;\\\cos(\operatorname {gd} x)=\operatorname {sech} x;\quad &\sec(\operatorname {gd} x)=\cosh x;\\\tan(\operatorname {gd} x)=\sinh x;\quad &\cot(\operatorname {gd} x)=\operatorname {csch} x;\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {gd} x\right)=\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right).\end{aligned}}}$

Обратный

График обратной функции Гудермана

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x&=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cos t}}\,dt\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|=\ln \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)\\&=2\operatorname {arctanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&=\operatorname {arcoth} (\csc x)=\operatorname {arcsch} (\cot x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arsech} (\cos x)\\&=-i\operatorname {gd} (ix)\end{aligned}}}$

(Видеть обратные гиперболические функции.)

Некоторые личности

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\tan x;\quad &\operatorname {csch} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cot x;\\\cosh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sec x;\quad &\operatorname {sech} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cos x;\\\tanh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sin x;\quad &\coth(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\csc x.\end{aligned}}}$

Производные

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x;\quad {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} ^{-1}x=\sec x.}$

История

Функция была введена Иоганн Генрих Ламберт в 1760-х годах одновременно с гиперболические функции. Он назвал его «трансцендентным углом», и он носил различные названия до 1862 года, когда Артур Кэли предложил дать ему нынешнее название как дань уважения работам Гудермана в 1830-х годах по теории специальных функций.^[4] Гудерманн опубликовал статьи в Журнал Крелля которые были собраны в Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), книга, в которой грех и шиш широкой аудитории (под видом ${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {Cos}}}$).

Обозначение б-г был представлен Кэли^[5] где он начинает с звонка gd. ты противоположность интеграл секущей функции:

${\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi \right)\right)}$

а затем выводит «определение» трансцендентного:

${\displaystyle \operatorname {gd} u=i^{-1}\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui\right)\right)}$

сразу заметив, что это реальная функция ты.

Приложения

• В угол параллельности функционировать в гиперболическая геометрия определяется

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} x}$

• На Проекция Меркатора линия постоянной широты параллельна экватору (на проекции) и смещена на величину, пропорциональную обратному гудерманиану широты.
• Гудерманиан (со сложным аргументом) может использоваться в определении поперечная проекция Меркатора.^[6]

• Гудерманиан появляется в непериодическом решении задачи перевернутый маятник.^[7]

• Гудерманиан также появляется в решении динамической Эффект Казимира.^[8]

Смотрите также

• Распределение гиперболического секанса
• Проекция Меркатора
• Формула касательного полуугла
• Tractrix
• Тригонометрическая идентичность

Рекомендации

1. Olver, F. W.J .; Lozier, D.W .; Boisvert, R.F .; Кларк, C.W., ред. (2010), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета. Раздел 4.23 (viii).
2. CRC Справочник по математическим наукам 5-е изд. стр. 323–325
3. Вайсштейн, Эрик В. «Гудерманниан». MathWorld.
4. Джордж Ф. Беккер, К. Э. Ван Орстранд. Гиперболические функции. Прочтите книги, 1931 г. Страница xlix. Отсканированная копия доступна по адресу archive.org
5. Кэли, А. (1862). "О трансцендентном Б-г. U". Философский журнал. 4-я серия. 24 (158): 19–21. Дои:10.1080/14786446208643307.
6. Осборн, П (2013), Проекции Меркатора, стр. 74
7. Джон С. Робертсон (1997). «Гудерманн и простой маятник». Математический журнал колледжа. 28 (4): 271–276. Дои:10.2307/2687148. JSTOR  2687148. Рассмотрение.
8. Хорошо, Майкл Р. Р .; Андерсон, Пол Р .; Эванс, Чарльз Р. (2013). «Зависимость от времени рождения частиц от ускоряющих зеркал». Физический обзор D. 88 (2): 025023. arXiv:1303.6756. Bibcode:2013ПхРвД..88б5023Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.88.025023.