Пифагорейская тройка - Pythagorean triple

Анимация, демонстрирующая простейшую тройку Пифагора, 3² + 4² = 5².

А Пифагорейская тройка состоит из трех положительных целые числа а, б, и c, так что а² + б² = c². Такая тройка обычно пишется (а, б, c), и хорошо известный пример (3, 4, 5). Если (а, б, c) пифагорова тройка, то и (ка, kb, kc) для любого положительного целого числа k. А примитивная пифагорейская тройка тот, в котором а, б и c находятся совмещать (то есть у них нет общего делителя больше 1).^[1] Треугольник, стороны которого образуют пифагорову тройку, называется Пифагоров треугольник, и обязательно является прямоугольный треугольник.

Название происходит от теорема Пифагора, утверждая, что каждый прямоугольный треугольник имеет длину стороны, удовлетворяющую формуле а² + б² = c²; таким образом, тройки Пифагора описывают три целые длины сторон прямоугольного треугольника. Однако прямоугольные треугольники с нецелыми сторонами не образуют пифагоровых троек. Например, треугольник с боков а = б = 1 и c = √2 это прямоугольный треугольник, но (1, 1, √2) не пифагорова тройка, потому что √2 не является целым числом. Более того, 1 и √2 не имеют целого общего кратного, потому что √2 является иррациональный.

Пифагорейские тройки известны с давних времен. Самая старая известная запись происходит от Плимптон 322, вавилонская глиняная табличка примерно 1800 г. до н.э., написанная на шестидесятеричный система счисления. Это было обнаружено Эдгар Джеймс Бэнкс вскоре после 1900 года и продан Джордж Артур Плимптон в 1922 году за 10 долларов.^[2]

При поиске целочисленных решений уравнение а² + б² = c² это Диофантово уравнение. Таким образом, тройки Пифагора являются одними из самых старых известных решений нелинейный Диофантово уравнение.

Примеры

Диаграмма разброса отрезков (a, b) первых троек Пифагора с a и b меньше 6000. Отрицательные значения включены для иллюстрации параболических паттернов. «Лучи» являются результатом того факта, что если (a, b, c) является тройкой Пифагора, то также (2a, 2b, 2c) и (3a, 3b, 3c) и, в более общем смысле, (sa, sb, sc) для любого натурального s.

Есть 16 примитивных пифагорейских троек с c ≤ 100:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Отметим, например, что (6, 8, 10) - это нет примитивная пифагорова тройка, так как она кратна (3, 4, 5). Каждая из этих точек с низким c образует одну из наиболее легко узнаваемых излучающих линий на диаграмме рассеяния.

Кроме того, это все примитивные пифагоровы тройки с 100 < c ≤ 300:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Создание тройки

Основная статья: Формулы генерации пифагоровых троек

Примитивные пифагорейские тройки. Странная нога а По горизонтальной оси отложена ровная нога б по вертикали. Криволинейная сетка состоит из кривых постоянного м − п и постоянного м + п в формуле Евклида.

График троек, созданный по формуле Евклида, отображает часть z² = Икс² + у² конус. Постоянная м или же п отслеживает часть парабола на конусе.

Формула евклида^[3] фундаментальная формула для генерации пифагоровых троек по произвольной паре целых чисел м и п с м > п > 0. Формула утверждает, что целые числа

${displaystyle a=m^{2}-n^{2}, ,b=2mn, ,c=m^{2}+n^{2}}$

образуют пифагорейскую тройку. Тройка, порожденная Евклид формула примитивна тогда и только тогда, когда м и п находятся совмещать и не оба лишние. Когда оба м и п нечетные, то а, б, и c будет четным, а тройка примитивной не будет; однако, разделив а, б, и c на 2 даст примитивную тройку, когда м и п взаимно просты и оба нечетны.^[4]

Каждый возникает примитивная тройка (после обмена а и б, если а четное) из уникальная пара взаимно простых чисел м, п, один из которых четный. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек. Это отношение а, б и c к м и п от формулы Евклида упоминается в остальной части этой статьи.

Несмотря на генерацию всех примитивных троек, формула Евклида не дает всех троек - например, (9, 12, 15) не может быть сгенерировано с использованием целых чисел м и п. Это можно исправить, добавив дополнительный параметр k к формуле. Следующее будет генерировать все тройки Пифагора однозначно:

${displaystyle a=kcdot (m^{2}-n^{2}), ,b=kcdot (2mn), ,c=kcdot (m^{2}+n^{2})}$

куда м, п, и k положительные целые числа с м > п, и с м и п взаимно простые, а не оба нечетные.

То, что эти формулы порождают пифагоровы тройки, можно проверить, расширив а² + б² с помощью элементарная алгебра и убедившись, что результат равен c². Поскольку каждую тройку Пифагора можно разделить на некоторое целое число k чтобы получить примитивную тройку, каждая тройка может быть сгенерирована однозначно с помощью формулы с м и п чтобы сгенерировать его примитивный аналог, а затем умножить на k как в последнем уравнении.

Выбор м и п из определенных целочисленных последовательностей дает интересные результаты. Например, если м и п последовательные Числа Пелла, а и б будет отличаться на 1.^[5]

Многие формулы для генерации троек с определенными свойствами были разработаны со времен Евклида.

Доказательство формулы Евклида

Это удовлетворение формулы Евклида а, б, в является достаточный Пифагоровость треугольника очевидна из того факта, что для положительных целых чисел м и п, м > п, то а, б, и c заданные формулой, все положительные целые числа, и из того факта, что

${displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$

Доказательство необходимость который а, б, в быть выраженным формулой Евклида для любой примитивной пифагоровой тройки следующим образом.^[6] Все такие тройки можно записать как (а, б, c) куда а² + б² = c² и а, б, c находятся совмещать. Таким образом а, б, c находятся попарно взаимно просты (если простое число делит два из них, оно также вынуждено делить третье). В качестве а и б взаимно просты, хотя бы один из них нечетный, поэтому можно предположить, что а нечетно, заменив, если нужно, а и б. Отсюда следует, что б даже и c нечетное (если б были странными, c будет даже, и c² будет кратно 4, а а² + б² было бы конгруэнтный до 2 по модулю 4, поскольку нечетный квадрат сравним с 1 по модулю 4).

Из ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ мы получаем ${displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$ и поэтому ${displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}}$. потом ${displaystyle { frac {(c+a)}{b}}={ frac {b}{(c-a)}}}$. С ${displaystyle { frac {(c+a)}{b}}}$ рационально, полагаем равным ${displaystyle { frac {m}{n}}}$ в самые низкие сроки. Таким образом ${displaystyle { frac {(c-a)}{b}}={ frac {n}{m}}}$, являясь обратным ${displaystyle { frac {(c+a)}{b}}}$. Затем решение

${displaystyle {frac {c}{b}}+{frac {a}{b}}={frac {m}{n}},quad quad {frac {c}{b}}-{frac {a}{b}}={frac {n}{m}}}$

за ${displaystyle { frac {c}{b}}}$ и ${displaystyle { frac {a}{b}}}$ дает

${displaystyle {frac {c}{b}}={frac {1}{2}}left({frac {m}{n}}+{frac {n}{m}}ight)={frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},quad quad {frac {a}{b}}={frac {1}{2}}left({frac {m}{n}}-{frac {n}{m}}ight)={frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

В качестве ${displaystyle { frac {m}{n}}}$ полностью сокращается, м и п взаимно просты, и они не могут быть одинаковыми. Если бы они оба были нечетными, числитель ${displaystyle { frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$ будет кратно 4 (поскольку нечетный квадрат сравним с 1 по модулю 4), а знаменатель 2млн не будет кратно 4. Поскольку 4 будет минимально возможным четным множителем в числителе, а 2 будет максимально возможным четным множителем в знаменателе, это будет означать а быть даже несмотря на определение его как нечетного. Таким образом, один из м и п нечетное, а второе четное, а числители двух дробей со знаминателем 2млн странные. Таким образом, эти дроби полностью сокращаются (нечетное простое число, делящее этот знаменатель, делит одно из м и п но не другой; таким образом, он не разделяет м² ± п²). Таким образом, можно приравнять числители к числителям, а знаменатели - к знаменателям, получив формулу Евклида

${displaystyle a=m^{2}-n^{2}, ,b=2mn, ,c=m^{2}+n^{2}}$ с м и п взаимно простой и противоположной четности.

Более длинное, но более банальное доказательство дано в Maor (2007).^[7] и Серпинский (2003).^[8] Другое доказательство дано в Диофантово уравнение § Пример пифагоровых троек, как пример общего метода, который применяется к каждому однородный Диофантово уравнение второй степени.

Интерпретация параметров в формуле Евклида

Предположим, что стороны треугольника Пифагора имеют длины м² − п², 2млн, и м² + п², и предположим, что угол между ножками длины м² − п² и гипотенуза длины м² + п² обозначается как β. потом ${displaystyle an { frac {eta }{2}}={ frac {n}{m}}}$ а тригонометрические значения для полного угла: ${displaystyle sin {eta }={ frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$, ${displaystyle cos {eta }={ frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$, и ${displaystyle an {eta }={ frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$.^[9]

Вариант

Следующий вариант формулы Евклида иногда более удобен, так как он более симметричен по м и п (такое же условие четности на м и п).

Если м и п два нечетных целых числа такие, что м > п, тогда

${displaystyle a=mn, ,b={frac {m^{2}-n^{2}}{2}}, ,c={frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$

- три целых числа, которые образуют тройку Пифагора, которая является примитивной тогда и только тогда, когда м и п взаимно просты. И наоборот, каждая примитивная пифагорова тройка возникает (после обмена а и б, если а четно) из единственной пары м > п > 0 взаимно простых нечетных чисел.

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек

Общие свойства

Свойства примитивной пифагорейской тройки (а, б, c) с а < б < c (без указания, какой из а или же б четное и нечетное) включают:

• ${displaystyle { frac {(c-a)(c-b)}{2}}}$ всегда идеальный квадрат.^[10] Поскольку это только необходимое условие, но не достаточное, его можно использовать для проверки того, является ли данная тройка чисел нет тройка Пифагора, когда они не пройдут тест. Например, тройной {6, 12, 18} проходит тест, который (c − а)(c − б)/2 идеальный квадрат, но не пифагорова тройка.
• Когда тройка чисел а, б и c образует примитивную пифагорову тройку, тогда (c минус ровная нога) и половина (c минус нечетная нога) оба являются полными квадратами; однако это недостаточное условие, поскольку числа {1, 8, 9} пройти тест на идеальные квадраты, но не являются тройкой Пифагора, поскольку 1² + 8² ≠ 9².
• Максимум один из а, б, c это квадрат.^[11]
• Площадь треугольника Пифагора не может быть квадратом.^{[12]:п. 17} или вдвое больше квадрата^{[12]:п. 21 год} натурального числа.
• Ровно один из а, б является странный; c странно.^[13]
• Ровно один из а, б делится на 3.^[8]:23–25
• Ровно один из а, б делится на 4.^[8]
• Ровно один из а, б, c делится на 5.^[8]
• Наибольшее число, которое всегда делит abc 60 лет.^[14]
• Все основные факторы c находятся простые числа формы 4п + 1.^[15] Следовательно, c имеет вид 4п + 1.
• Площадь (K = ab/ 2) является конгруэнтное число^[16] делится на 6.
• В каждом треугольнике Пифагора радиус окружать а радиусы трех вневписанных окружностей - натуральные числа. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен р = п(м − п), а радиусы вневписанных окружностей, противоположных сторонам м² − п², 2мин, а гипотенуза м² + п² соответственно м(м − п), п(м + п), и м(м + п).^[17]
• Как и в любом прямоугольном треугольнике, обратное Теорема Фалеса говорит, что диаметр описанный круг равен гипотенузе; следовательно, для примитивных троек диаметр описанной окружности равен м² + п², а окружной радиус составляет половину этого и, следовательно, является рациональным, но не целым числом (так как м и п имеют противоположный паритет).
• Когда площадь треугольника Пифагора умножается на искривления его вписанной окружности и 3 вневписанных окружностей, результат - четыре положительных целых числа ш > Икс > у > z, соответственно. Целые числа −ш, Икс, у, z удовлетворить Уравнение окружности Декарта.^[18] Эквивалентно радиус Внешний круг Содди любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен по адресу D, куда ACBD это прямоугольник, ACB прямоугольный треугольник и AB его гипотенуза.^{[18]:п. 6}
• Только две стороны примитивной пифагоровой тройки могут быть одновременно простыми, потому что по Формула евклида для создания примитивной пифагоровой тройки одна из ножек должна быть составной и четной.^[19] Однако только одна сторона может быть целым числом совершенной мощности. ${displaystyle pgeq 2}$ потому что, если бы две стороны были целыми числами совершенной степени с равным показателем ${displaystyle p}$ это противоречило бы тому факту, что нет целочисленных решений для Диофантово уравнение ${displaystyle x^{2p}pm y^{2p}=z^{2}}$, с ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ и ${displaystyle z}$ попарно взаимно просты.^[20]
• Не существует треугольников Пифагора, в которых гипотенуза и один катет являются катетами другого треугольника Пифагора; это одна из эквивалентных форм Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике.^{[12]:п. 14}
• Каждый примитивный треугольник Пифагора имеет отношение площади, K, в квадрат полупериметр, s, который уникален сам по себе и задается^[21]

${displaystyle { frac {K}{s^{2}}}={ frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{ frac {c}{s}}.}$

• Никакой примитивный треугольник Пифагора не имеет целой высоты от гипотенузы; то есть каждый примитивный треугольник Пифагора неразложим.^[22]
• Множество всех примитивных пифагоровых троек образует корневую тройное дерево естественным образом; видеть Древо первобытных пифагорейских троек.
• Ни один из острые углы треугольника Пифагора может быть Рациональное число из градусы.^[23] (Это следует из Теорема Нивена.)

Особые случаи

Кроме того, может быть гарантировано существование особых пифагоровых троек с некоторыми дополнительными свойствами:

• Каждое целое число больше 2, которое не конгруэнтно 2 по модулю 4 (другими словами, каждое целое число больше 2, которое нет формы 4k + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки. (Если целое число имеет вид 4k, можно взять п =1 и м = 2k в формуле Евклида; если целое число 2k + 1, можно взять п = k и м = k + 1.)
• Каждое целое число больше 2 является частью примитивной или непримитивной тройки Пифагора. Например, целые числа 6, 10, 14 и 18 не являются частью примитивных троек, но являются частью непримитивных троек. (6, 8, 10), (14, 48, 50) и (18, 80, 82).
• Существует бесконечно много троек Пифагора, в которых гипотенуза и самый длинный катет отличаются ровно на единицу. Такие тройки обязательно примитивны и имеют вид (2п + 1, 2п² + 2п, 2п² + 2п +1). Это следует из формулы Евклида, поскольку из этого условия следует, что тройка примитивна и должна проверять (м² + п²) - 2млн = 1. Из этого следует (м – п)² = 1, и поэтому м = п + 1. Приведенная выше форма троек, таким образом, заменяет м за п + 1 в формуле Евклида.
• Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и самый длинный катет отличаются ровно на два. Все они примитивны, и их можно получить, положив п = 1 в формуле Евклида. В более общем плане для каждого целого числа k > 0 существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечетный катет отличаются на 2k². Их можно получить, положив п = k в формуле Евклида.
• Существует бесконечно много троек Пифагора, в которых два катета отличаются ровно на один. Например, 20² + 21² = 29²; они порождаются формулой Евклида, когда ${displaystyle { frac {m-n}{n}}}$ это сходящийся к √2.
• Для каждого натурального числа k, существуют k Пифагоровы тройки с разными гипотенусами и одинаковой площадью.
• Для каждого натурального числа k, существует как минимум k разные примитивные пифагорейские тройки с одной ногой а, куда а некоторое натуральное число (длина четной ножки 2млн, и достаточно выбрать а со многими факторизациями, например а = 4б, куда б продукт k разные нечетные простые числа; это дает как минимум 2^k разные примитивные тройки).^[8]:30
• Для каждого натурального числа п, существует как минимум п разные пифагоровы тройки с одинаковой гипотенузой.^[8]:31
• Существует бесконечно много пифагоровых троек с квадратными числами для обеих гипотенуз. c и сумма ног а + б. По словам Ферма, самый маленький такая тройка^[24] имеет стороны а = 4,565,486,027,761; б = 1 061 652 293 520; и c = 4 687 298 610 289. Здесь а + б = 2,372,159² и c = 2,165,017². Это генерируется формулой Евклида со значениями параметров м = 2 150 905 и п = 246,792.
• Существуют непримитивные Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы.^[25][26] Такие треугольники Пифагора известны как разложимый так как они могут быть разделены вдоль этой высоты на два отдельных пифагоровых треугольника меньшего размера.^[22]

Геометрия формулы Евклида

Рациональные точки на единичной окружности

3,4,5 сопоставляется с точкой x, y (4 / 5,3 / 5) на единичной окружности

В рациональные точки по кругу соответствуют, под стереографическая проекция, к рациональным точкам прямой.

Формула Евклида для пифагорейской тройки

${displaystyle a=2mn,quad b=m^{2}-n^{2},quad c=m^{2}+n^{2}}$

можно понять с точки зрения геометрии рациональные точки на единичный круг (Траутман 1998 ).

Фактически, точка в Декартова плоскость с координатами (Икс, у) принадлежит единичной окружности, если Икс² + у² = 1. Дело в том рациональный если Икс и у находятся рациональное число, то есть если есть взаимно простые целые числа а, б, c такой, что

${displaystyle {iggl (}{frac {a}{c}}{iggr )}^{2}+{iggl (}{frac {b}{c}}{iggr )}^{2}=1.}$

Умножив оба члена на c², можно видеть, что рациональные точки на окружности находятся во взаимно однозначном соответствии с примитивными пифагоровыми тройками.

Единичный круг также может быть определен параметрическое уравнение

${displaystyle x={frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}quad y={frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Формула Евклида для троек Пифагора означает, что, за исключением (−1, 0), точка на окружности рациональна тогда и только тогда, когда соответствующее значение т - рациональное число.

Стереографический подход

Стереографическая проекция единичного круга на Икс-ось. Учитывая точку п на единичном круге проведите линию от п к точке N = (0, 1) (в Северный полюс). Смысл п′ Где прямая пересекает Икс- ось - стереографическая проекция п. И наоборот, начиная с точки п' на Икс-оси и рисование линии от п' к Nобратная стереографическая проекция - это точка п где прямая пересекает единичный круг.

Есть соответствие между точки на единичной окружности с рациональными координатами и примитивные пифагорейские тройки. На этом этапе формулы Евклида могут быть выведены либо методами тригонометрия или, что то же самое, с помощью стереографическая проекция.

Для стереографического подхода предположим, что п′ - точка на Иксось с рациональными координатами

${displaystyle P'=left({frac {m}{n}},0ight).}$

Тогда с помощью базовой алгебры можно показать, что точка п имеет координаты

${displaystyle P=left({frac {2left({frac {m}{n}}ight)}{left({frac {m}{n}}ight)^{2}+1}},{frac {left({frac {m}{n}}ight)^{2}-1}{left({frac {m}{n}}ight)^{2}+1}}ight)=left({frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}ight).}$

Это устанавливает, что каждый рациональная точка из Икс- ось переходит в рациональную точку единичной окружности. И наоборот, каждая рациональная точка единичной окружности происходит из такой точки Иксось, следует с применением обратной стереографической проекции. Предположим, что п(Икс, у) - точка единичной окружности с Икс и у рациональное число. Тогда точка п′ Полученные стереографической проекцией на Икс-ось имеет координаты

${displaystyle left({frac {x}{1-y}},0ight)}$

что рационально.

С точки зрения алгебраическая геометрия, то алгебраическое многообразие рациональных точек на единичной окружности равно бирациональный к аффинная линия над рациональными числами. Таким образом, единичная окружность называется рациональная кривая, и именно этот факт позволяет явно параметризовать точки (рациональное число) на нем с помощью рациональных функций.

Пифагоровы треугольники в двумерной решетке

2D решетка является регулярным массивом изолированных точек, где, если любая одна точка выбрана как декартово начало координат (0, 0), то все остальные точки находятся в (Икс, у) куда Икс и у диапазон по всем положительным и отрицательным целым числам. Любой треугольник Пифагора с тройным (а, б, c) можно нарисовать внутри двумерной решетки с вершинами в координатах (0, 0), (а, 0) и (0, б). Количество точек решетки, лежащих строго в пределах треугольника, определяется выражением ${displaystyle { frac {(a-1)(b-1)-gcd {(a,b)}+1}{2}};}$^[27] для примитивных пифагоровых троек это количество внутренней решетки равно${displaystyle { frac {(a-1)(b-1)}{2}}.}$ Площадь (по Теорема Пика на единицу меньше, чем количество внутренних решеток плюс половина количества граничных решеток) равно${displaystyle { frac {ab}{2}}}$ .

Первое появление двух примитивных пифагоровых троек, разделяющих одну и ту же площадь, происходит с треугольниками со сторонами (20, 21, 29), (12, 35, 37) и общей площадью 210 (последовательность A093536 в OEIS ). Первое появление двух примитивных пифагоровых троек с одним и тем же числом внутренней решетки происходит с (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) и числом внутренней решетки 2287674594 (последовательность A225760 в OEIS ). Были обнаружены три примитивных пифагорейских тройки в одной и той же области: (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069) с площадью 13123110. На данный момент ни один набор из трех примитивных пифагоровых троек не имеет было обнаружено, что они имеют одинаковое количество внутренних решеток.

Перечисление примитивных пифагоровых троек

По формуле Евклида все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из целых чисел ${displaystyle m}$ и ${displaystyle n}$ с ${displaystyle m>n>0}$, ${displaystyle m+n}$ странно и ${displaystyle gcd(m,n)=1}$. Следовательно, существует отображение 1: 1 рациональных чисел (в низших терминах) в примитивные пифагоровы тройки, где ${displaystyle { frac {n}{m}}}$ находится в интервале ${displaystyle (0,1)}$ и ${displaystyle m+n}$ странный.

Обратное отображение примитивной тройки ${displaystyle (a,b,c)}$ куда ${displaystyle c>b>a>0}$ к рациональному ${displaystyle { frac {n}{m}}}$ достигается изучением двух сумм ${displaystyle a+c}$ и ${displaystyle b+c}$. Одна из этих сумм будет квадратом, который можно приравнять к ${displaystyle (m+n)^{2}}$ а другой будет дважды квадратом, который можно приравнять к ${displaystyle 2m^{2}}$. Затем можно определить рациональное ${displaystyle { frac {n}{m}}}$.

Чтобы перечислить примитивные пифагоровы тройки, рациональное можно выразить в виде упорядоченной пары ${displaystyle (n,m)}$ и отображается в целое число с помощью функции сопряжения, например Функция сопряжения Кантора. Пример можно увидеть на (последовательность A277557 в OEIS ). Это начинается

${displaystyle 8,18,19,32,33,34,dots }$ и дает рациональные объяснения

${displaystyle { frac {1}{2}},{ frac {2}{3}},{ frac {1}{4}},{ frac {3}{4}},{ frac {2}{5}},{ frac {1}{6}},dots }$ они, в свою очередь, генерируют примитивные тройки

${displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),dots }$

Спиноры и модульная группа

Пифагоровы тройки также могут быть закодированы в квадратная матрица формы

${displaystyle X={egin{bmatrix}c+b&aa&c-bend{bmatrix}}.}$

Матрица такого вида есть симметричный. Кроме того, детерминант из Икс является

${displaystyle det X=c^{2}-a^{2}-b^{2},}$

который равен нулю именно тогда, когда (а,б,c) - пифагорова тройка. Если Икс соответствует тройке Пифагора, то в качестве матрицы она должна иметь классифицировать 1.

С Икс симметрично, то из результата линейная алгебра что есть вектор столбца ξ = [м п]^Т так что внешний продукт

${displaystyle X=2{egin{bmatrix}m end{bmatrix}}[m n]=2xi xi ^{T},}$

(1)

держится, где Т обозначает матрица транспонировать. Вектор ξ называется спинор (для Группа Лоренца SO (1, 2)). В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение спинора с целыми элементами на себя, как в (1).

В модульная группа Γ - это множество матриц 2 × 2 с целыми элементами

${displaystyle A={egin{bmatrix}alpha &eta gamma &delta end{bmatrix}}}$

с определителем, равным единице: αδ - βγ = 1. Этот набор образует группа, поскольку матрица, обратная матрице из Γ, снова находится в Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модульная группа действует на совокупности всех целочисленных спиноров. Кроме того, группа транзитивна на совокупности целочисленных спиноров с относительно простыми элементами. Ибо если [м п]^Т имеет относительно простые элементы, то

${displaystyle {egin{bmatrix}m&-v &uend{bmatrix}}{egin{bmatrix}1�end{bmatrix}}={egin{bmatrix}m end{bmatrix}}}$

куда ты и v выбраны ( Евклидов алгоритм ) так что му + NV = 1.

Действуя на спинор ξ в (1) действие группы Γ переходит в действие на пифагоровых троек, если допускаются тройки с возможно отрицательными компонентами. Таким образом, если А - матрица в Γ, то

${displaystyle 2(Axi )(Axi )^{T}=AXA^{T},}$

(2)

вызывает действие на матрицу Икс в (1). Это не дает четко определенного действия на примитивные тройки, поскольку может превратить примитивную тройку в импримитивную. На этом этапе удобно (на Траутман 1998 ) назвать тройку (а,б,c) стандарт если c > 0 и либо (а,б,c) взаимно просты или (а/2,б/2,c/ 2) взаимно просты с а/ 2 нечетное. Если спинор [м п]^Т имеет относительно простые элементы, то ассоциированная тройка (а,б,c) определяется по (1) - стандартная тройка. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Или же ограничьте внимание этими значениями м и п для которого м это странно и п даже. Пусть подгруппа Γ (2) графа Γ - ядро из групповой гомоморфизм

${displaystyle Gamma =mathrm {SL} (2,mathbf {Z} ) o mathrm {SL} (2,mathbf {Z} _{2})}$

где SL (2,Z₂) это специальная линейная группа над конечное поле Z₂ из целые числа по модулю 2. Тогда Γ (2) - это группа унимодулярных преобразований, сохраняющих четность каждого элемента. Таким образом, если первая запись ξ нечетная, а вторая четная, то то же самое верно и для Аξ для всех А ∈ Γ (2). Фактически под действием (2) группа Γ (2) транзитивно действует на совокупности примитивных пифагоровых троек (Альперин 2005 ).

Группа Γ (2) - это свободная группа генераторами которых являются матрицы

${displaystyle U={egin{bmatrix}1&2�&1end{bmatrix}},qquad L={egin{bmatrix}1&02&1end{bmatrix}}.}$

Следовательно, каждая примитивная пифагорова тройка может быть получена уникальным способом как произведение копий матриц U иL.

Отношения родитель / ребенок

Основная статья: Дерево троек Пифагора

В результате Берггрен (1934), все примитивные пифагоровы тройки могут быть сгенерированы из треугольника (3, 4, 5) с помощью трех линейные преобразования Т₁, Т₂, Т₃ ниже, где а, б, c стороны тройки:

	новая сторона а	новая сторона б	новая сторона c
Т1:	а − 2б + 2c	2а − б + 2c	2а − 2б + 3c
Т2:	а + 2б + 2c	2а + б + 2c	2а + 2б + 3c
Т3:	−а + 2б + 2c	−2а + б + 2c	−2а + 2б + 3c

Другими словами, каждая примитивная тройка будет «родителем» для трех дополнительных примитивных троек. Начиная с начального узла с а = 3, б = 4 и c = 5, операция T₁ производит новую тройку

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13),

и аналогично T₂ и т₃ производят тройки (21, 20, 29) и (15, 8, 17).

Линейные преобразования T₁, Т₂, и т₃ иметь геометрическую интерпретацию на языке квадратичные формы. Они тесно связаны (но не равны) с отражениями, порождающими ортогональная группа из Икс² + у² − z² над целыми числами.^[28]

Отношение к гауссовским целым числам

В качестве альтернативы формулы Евклида можно проанализировать и доказать с помощью Гауссовские целые числа.^[29] Гауссовские целые числа сложные числа формы α = ты + vi, куда ты и v обычные целые числа и я это квадратный корень из отрицательного. В единицы целых гауссовских чисел равны ± 1 и ± i. Обычные целые числа называются рациональные целые числа и обозначается как Z. Целые гауссовы числа обозначаются как Z[я]. Правая часть теорема Пифагора может быть разложен на гауссовские целые числа:

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$

Примитивная тройка Пифагора - это та, в которой а и б находятся совмещать, т.е. у них нет общих делителей целых чисел. Для такой тройки либо а или же б четный, а другой - нечетный; отсюда следует, что c тоже странно.

Два фактора z := а + би и z * := а − би примитивной пифагоровой тройки каждая равна квадрату целого гауссовского числа. Это можно доказать с помощью того свойства, что каждое целое гауссовское число можно однозначно разложить на гауссовские простые числа. вплоть до единицы.^[30] (Эта уникальная факторизация следует из того, что, грубо говоря, одна из версий Евклидов алгоритм на них можно определить.) Доказательство состоит из трех шагов. Во-первых, если а и б не имеют общих делителей в целых числах, то они также не имеют общих делителей в гауссовых целых числах. (Предполагать а = гу и б = gv с гауссовыми целыми числами грамм, ты и v и грамм не единица. потом ты и v лежат на одной линии через начало координат. Все гауссовские целые числа в такой строке являются целыми кратными некоторому гауссовскому целому числу. час. Но тогда целое число gh ≠ ± 1 делит оба а и б.) Во-вторых, отсюда следует, что z и z * точно так же не делят простых делителей в гауссовских целых числах. Ведь если бы они это сделали, то их общий делитель δ также делил бы z + z * = 2а и z − z * = 2ib. С а и б взаимно просты, что означает, что δ делит 2 = (1 + i) (1 - i) = i (1 - i)². Из формулы c² = zz *, это, в свою очередь, означало бы, что c является четным, что противоречит гипотезе о примитивной пифагорейской тройке. В-третьих, поскольку c² является квадратом, каждое гауссовское простое число в его факторизации удваивается, т.е. появляется четное число раз. С z и z * не разделяют основных факторов, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z * квадраты.

Таким образом, первый множитель можно записать

${displaystyle a+bi=varepsilon left(m+niight)^{2},quad varepsilon in {pm 1,pm i}.}$

Действительная и мнимая части этого уравнения дают две формулы:

${displaystyle {egin{cases}varepsilon =+1,&quad a=+left(m^{2}-n^{2}ight),quad b=+2mn;varepsilon =-1,&quad a=-left(m^{2}-n^{2}ight),quad b=-2mn;varepsilon =+i,&quad a=-2mn,quad b=+left(m^{2}-n^{2}ight);varepsilon =-i,&quad a=+2mn,quad b=-left(m^{2}-n^{2}ight).end{cases}}}$

Для любой примитивной пифагоровой тройки должны быть целые числа м и п такие, что выполняются эти два уравнения. Следовательно, каждая тройка Пифагора может быть сгенерирована из некоторого выбора этих целых чисел.

Как гауссовские целые числа в виде полного квадрата

Если мы рассмотрим квадрат гауссовского целого числа, мы получим следующую прямую интерпретацию формулы Евклида как представляющую полный квадрат гауссовского целого числа.

${displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$

Используя тот факт, что гауссовские целые числа являются евклидовой областью и что для гауссовского целого числа p ${displaystyle |p|^{2}}$ всегда является квадратом, можно показать, что тройка Пифагора соответствует квадрату простого гауссовского целого числа, если гипотенуза простая.

Если гауссовское целое число не является простым, то это произведение двух гауссовских целых чисел p и q с ${displaystyle |p|^{2}}$ и ${displaystyle |q|^{2}}$ целые числа. Поскольку величины умножаются на целые гауссовские числа, произведение должно быть ${displaystyle |p||q|}$, который при возведении в квадрат, чтобы найти тройку Пифагора, должен быть составным. Контрапозитив завершает доказательство.

Связь с эллипсами с целыми размерами

Связь между пифагорейскими тройками и эллипсами с интегральным линейным эксцентриситетом, а также большой и малой осями для первых трех пифагоровых троек

Со ссылкой на рисунок и определение фокусы эллипса, F₁ и F₂, для любой точки P эллипса F₁P + PF₂ постоянно.

Поскольку точки A и B находятся на эллипсе, F₁A + AF₂ = F₁B + BF₂. В силу симметрии F₁A + AF₂ = F₂A '+ AF₂ = AA '= 2 AC и F₁B + BF₂ = 2 BF₂. Следовательно, AC = BF₂.

Таким образом, если BCF₂ представляет собой прямоугольный треугольник с целыми сторонами, расстояние между фокусами, линейный эксцентриситет, малая ось и большая ось также являются целыми числами.^[31]

Раздача троек

А диаграмма рассеяния ног (а,б) первых пифагоровых троек с а и б менее 4500.

Есть ряд результатов о распределении троек Пифагора. На диаграмме рассеяния уже виден ряд очевидных закономерностей. Когда ноги (а,б) примитивной тройки появляются на графике, все целые числа кратные (а,б) также должен присутствовать на графике, и это свойство создает вид линий, исходящих от начала координат на диаграмме.

Внутри разброса есть наборы параболический узоры с высокой плотностью точек и всеми их фокусами в начале координат, открывающимися во всех четырех направлениях. Различные параболы пересекаются на осях и, кажется, отражаются от оси с углом падения 45 градусов, при этом третья парабола входит перпендикулярно. Внутри этого квадранта каждая дуга с центром в начале координат показывает тот участок параболы, который находится между ее вершиной и пересечением с ее вершиной. полу-латусная прямая кишка.

Эти закономерности можно объяснить следующим образом. Если ${displaystyle a^{2}/4n}$ - целое число, то (а, ${displaystyle |n-a^{2}/4n|}$, ${displaystyle n+a^{2}/4n}$) - пифагорова тройка. (Фактически каждая пифагорейская тройка (а, б, c) можно записать таким образом с целым числом п, возможно, после обмена а и б, поскольку ${displaystyle n=(b+c)/2}$ и а и б оба не могут быть нечетными.) Пифагоровы тройки, таким образом, лежат на кривых, заданных формулой ${displaystyle b=|n-a^{2}/4n|}$, то есть параболы, отраженные от а-оси, а соответствующие кривые с а и б поменялись местами. Если а варьируется для данного п (т.е. по заданной параболе), целые значения б происходят относительно часто, если п квадрат или кратное квадрату. Если несколько таких значений оказываются близко друг к другу, соответствующие параболы приблизительно совпадают, и тройки группируются в узкую параболическую полосу. Например, 38² = 1444, 2 × 27² = 1458,3 × 22² = 1452, 5 × 17² = 1445 и 10 × 12² = 1440; соответствующая параболическая полоса вокруг п ≈ 1450 хорошо видна на диаграмме рассеяния.

Описанные выше угловые свойства непосредственно вытекают из функциональной формы парабол. Параболы отражаются на а-ось на а = 2п, а производная от б относительно а в этот момент –1; следовательно, угол падения составляет 45 °. Поскольку кластеры, как и все тройки, повторяются с целыми кратными числами, значение 2п также соответствует кластеру. Соответствующая парабола пересекает б-оси под прямым углом при б = 2п, и, следовательно, его отражение при обмене а и б пересекает а-оси под прямым углом при а = 2п, где именно парабола для п отражается на а-ось. (То же самое, конечно, верно для а и б поменяли местами.)

Альберт Фесслер и другие дают представление о значении этих парабол в контексте конформных отображений.^[32][33]

Частные случаи и родственные уравнения

Платоническая последовательность

Дело п = 1 более общей конструкции пифагоровых троек известна давно. Прокл в своем комментарии к 47-е предложение первой книги Элементы Евклида, описывает это следующим образом:

Некоторые методы открытия такого рода треугольников передаются по наследству, один из которых относится к Платону, а другой - к Пифагор. (Последний) начинается с нечетных чисел. Потому что это делает нечетное число меньшей из сторон прямого угла; затем он берет его квадрат, вычитает единицу и делает половину разницы большей из сторон прямого угла; наконец, он добавляет единство к этому и таким образом образует оставшуюся сторону, гипотенузу.
... Ибо метод Платона исходит из четных чисел. Он берет данное четное число и делает его одной из сторон под прямым углом; затем, разделив это число пополам и возведя половину в квадрат, он добавляет единицу к квадрату, чтобы сформировать гипотенузу, и вычитает единицу из квадрата, чтобы образовать другую сторону под прямым углом. ... Таким образом, получился тот же треугольник, что и другим методом.

В форме уравнения это становится:

а нечетное (Пифагор, ок. 540 г. до н. э.):

${displaystyle { ext{side }}a:{ ext{side }}b={a^{2}-1 over 2}:{ ext{side }}c={a^{2}+1 over 2}.}$

а четное (Платон, ок. 380 г. до н. э.):

${displaystyle { ext{side }}a:{ ext{side }}b=left({a over 2}ight)^{2}-1:{ ext{side }}c=left({a over 2}ight)^{2}+1}$

Можно показать, что все тройки Пифагора могут быть получены при соответствующем масштабировании из базовой платоновской последовательности (а, (а² − 1)/2 и (а² + 1)/2) позволяя а принимать нецелые рациональные значения. Если а заменяется дробью м/п в последовательности результат равен "стандартному" тройному генератору (2млн, м² − п²,м² + п²) после масштабирования. Отсюда следует, что каждой тройке соответствует рациональное а значение, которое можно использовать для создания похожий треугольник (один с такими же тремя углами и со сторонами в тех же пропорциях, что и оригинал). Например, платоновский эквивалент (56, 33, 65) генерируется а = м/п = 7/4 как (а, (а² –1)/2, (а²+1) / 2) = (56/32, 33/32, 65/32). Сама платоновская последовательность может быть получена^{[требуется разъяснение ]} выполнив действия по разделению квадрата, описанные в Диофант II.VIII.

Уравнение Якоби – Мэддена

Основная статья: Уравнение Якоби – Мэддена

Уравнение,

${displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

эквивалентно специальной тройке Пифагора,

${displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$

У этого уравнения есть бесконечное количество решений, поскольку решение для переменных включает в себя эллиптическая кривая. Маленькие бывают,

${displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

${displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$

Равные суммы двух квадратов

Один из способов создания решений для ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$ параметризовать а, б, в, г в терминах целых чисел м, п, п, д следующее:^[34]

${displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$

Равные суммы двух четвертых степеней

Учитывая два набора пифагоровых троек,

${displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

проблема нахождения равных произведений сторона без гипотенузы и гипотенуза,

${displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

легко видеть, эквивалентно уравнению

${displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$

и впервые была решена Эйлером как ${displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134}$. Поскольку он показал, что это рациональный момент в эллиптическая кривая, то существует бесконечное количество решений. Фактически, он также обнаружил параметризацию полинома 7-й степени.

Теорема Декарта о круге

В случае Теорема кругов Декарта где все переменные квадраты,

${displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

Эйлер показал, что это эквивалентно трем одновременным тройкам Пифагора:

${displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

${displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$

Также существует бесконечное количество решений, и для частного случая, когда ${displaystyle a+b=c}$, то уравнение упрощается до

${displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$

с небольшими решениями как ${displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$ и может быть решена как бинарные квадратичные формы.

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Никакие пифагорейские тройки не равнобедренный, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √2, но √2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел.

Однако есть прямоугольные треугольники с неотъемлемыми сторонами, для которых длины стороны без гипотенузы отличаются на единицу, например,

${displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$

и бесконечное множество других. Их можно полностью параметризовать как,

${displaystyle left({ frac {x-1}{2}}ight)^{2}+left({ frac {x+1}{2}}ight)^{2}=y^{2}}$

куда {х, у} являются решениями Уравнение Пелла ${displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$.

Если а, б, c являются сторонами этого типа примитивной тройки Пифагора (PPT), то решение уравнения Пелля дается формулой рекурсивная формула

${displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$ с ${displaystyle a_{1}=3}$ и ${displaystyle a_{2}=20}$

${displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$ с ${displaystyle b_{1}=4}$ и ${displaystyle b_{2}=21}$

${displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$ с ${displaystyle c_{1}=5}$ и ${displaystyle c_{2}=29}$.^[35][36]

Эта последовательность PPT образует центральную основу (ствол) корневое тройное дерево ППЦ.

Когда длинная сторона без гипотенузы и гипотенуза различаются на единицу, например

${displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

тогда полное решение для PPT а, б, c является

${displaystyle a=2m+1,quad b=2m^{2}+2m,quad c=2m^{2}+2m+1}$

и

${displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

где целое число ${displaystyle m>0}$ - порождающий параметр.

Это показывает, что все нечетные числа (больше 1) появляются в этом типе почти равнобедренной ППТ. Эта последовательность PPT формирует правую часть внешнего стебля корневого троичного дерева PPT.

Еще одно свойство этого типа почти равнобедренной PPT состоит в том, что стороны связаны таким образом, что

${displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

для некоторого целого числа ${displaystyle K}$. Или другими словами ${displaystyle a^{b}+b^{a}}$ делится на ${displaystyle c}$ например, в

${displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$.^[37]

Числа Фибоначчи в троек Пифагора

Начиная с 5, каждую секунду Число Фибоначчи - длина гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми сторонами, или, другими словами, наибольшее число в тройке Пифагора.Длина более длинной части этого треугольника равна сумме трех сторон предыдущего треугольника в этой серии треугольников, а более короткая часть равна разнице между предыдущим пропущенным числом Фибоначчи и более короткой стороной предыдущего. треугольник.

Обобщения

Есть несколько способов обобщить концепцию троек Пифагора.

Пифагорейский ппара

Используя простой алгебраическая идентичность,

${displaystyle (x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{0})^{2}}$

для произвольных Икс₀, Икс₁, легко доказать, что квадрат суммы п квадраты сами по себе являются суммой п квадратов, сдавая Икс₀ = Икс₂² + Икс₃² + ... + Икс_п² а затем распространение условий.^[38] Можно видеть, что пифагоровы тройки и четверки - лишь частные случаи. Икс₀ = Икс₂² и Икс₀ = Икс₂² + Икс₃²соответственно, и так далее для других п, с пятерками, заданными

${displaystyle (a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+(2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.}$

Поскольку сумма F(k,м) из k последовательные квадраты, начинающиеся с м² дается формулой,^[39]

${displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

можно найти значения (k, м) так что F(k,м) - это квадрат, например квадрат Хиршхорна, где количество членов само по себе является квадратом,^[40]

${displaystyle m={ frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},;k=v^{2},;F(m,k)={ frac {v^{5}+47v}{48}}}$

и v ≥ 5 - любое целое число, не делящееся на 2 или 3. В самом маленьком случае v = 5, поэтому k = 25, это дает хорошо известную задачу об укладке пушечного ядра Лукас,

${displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+dots +24^{2}=70^{2}}$

факт, связанный с Решетка пиявки.

Кроме того, если в пифагорейском п-температура (п ≥ 4) все добавляет являются последовательными, кроме одного, можно использовать уравнение^[41]

${displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

Поскольку вторая степень п отменяет, это только линейно и легко решается для as ${displaystyle p={ frac {F(k,m)-1}{2}}}$ хотя k, м следует выбрать так, чтобы п является целым числом, небольшой пример: k = 5, м = 1, что дает

${displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

Таким образом, один из способов создания пифагорова п-tuples используется для различных Икс,^[42]

${displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$

куда д = п–2 и где

${displaystyle p={frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$

Пифагорейская четверка

Основная статья: Пифагорейская четверка

Набор из четырех натуральных чисел а, б, c и d такой, что а² + б²+ c² = d² называется Пифагорейская четверка. Самый простой пример - (1, 2, 2, 3), поскольку 1² + 2² + 2² = 3². Следующий простейший (примитивный) пример - (2, 3, 6, 7), поскольку 2² + 3² + 6² = 7².

Все четверки задаются формулой

${displaystyle (m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}=(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.}$

Последняя теорема Ферма

Основная статья: Последняя теорема Ферма

Обобщением концепции троек Пифагора является поиск троек натуральных чисел. а, б, и c, так что а^п + б^п = c^п, для некоторых п строго больше 2. Пьер де Ферма в 1637 году утверждал, что такой тройки не существует, утверждение, которое стало известно как Последняя теорема Ферма потому что доказательство или опровержение любого другого предположения Ферма заняло больше времени. Первое доказательство было дано Эндрю Уайлс в 1994 г.

п - 1 или п пth степеней суммируя пя сила

Основная статья: Гипотеза Эйлера о сумме степеней

Другое обобщение - поиск последовательностей п +1 натуральное число, для которого п-я степень последнего - это сумма п-ые степени предыдущих условий. Наименьшие последовательности для известных значений п находятся:

• п = 3: {3, 4, 5; 6}.
• п = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• п = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• п = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• п = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Для п= 3, в котором ${displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$ называется Ферма кубический, существует общая формула, дающая все решения.

Несколько иное обобщение позволяет суммировать (k + 1) пth степеней равным сумме (п − k) пй полномочия. Например:

• (п = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³, ставший известным благодаря воспоминаниям Харди о разговоре с Рамануджан о том, что число 1729 - наименьшее число, которое может быть выражено как сумма двух кубиков двумя различными способами.

Также может существовать п - 1 натуральное число, пСумма степеней п-я степень (хотя Последняя теорема Ферма, не для п = 3); это контрпримеры к Гипотеза Эйлера о сумме степеней. Наименьшие известные контрпримеры:^[43][44][14]

• п = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• п = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Треугольник Герона троек

Основная статья: Героновский треугольник

А Героновский треугольник обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которых также является целым числом, и мы будем рассматривать треугольники Герона с отчетливый целые стороны. Длины сторон такого треугольника образуют Тройной геронский (а, б, в) при условии а < б < cЯсно, что любая пифагорейская тройка является геронической тройкой, поскольку в пифагорейской тройке хотя бы одна из ног а, б должен быть ровным, чтобы площадь ab/ 2 - целое число. Однако не каждая тройка герона является пифагорейской тройкой, как показывает пример (4, 13, 15) с областью 24.

Если (а, б, c) является тройкой Герона, так же как и (ма, мб, MC) куда м - любое натуральное число больше единицы. Тройка Герона (а, б, c) является примитивный при условии а, б, c попарно взаимно просты (как с тройкой Пифагора). Вот несколько простейших примитивных троек Герона, которые не являются пифагорейскими тройками:

(4, 13, 15) с площадью 24

(3, 25, 26) площадью 36

(7, 15, 20) площадью 42

(6, 25, 29) площадью 60

(11, 13, 20) площадью 66

(13, 14, 15) площадью 84

(13, 20, 21) площадью 126

К Формула Герона, дополнительное условие для тройки натуральных чисел (а, б, c) с а < б < c быть геронианцем - вот что

(а² + б² + c²)² − 2(а⁴ + б⁴ + c⁴)

или эквивалентно

2(а²б² + а²c² + б²c²) − (а⁴ + б⁴ + c⁴)

- ненулевой полный квадрат, делящийся на 16.

Приложение к криптографии

Примитивные тройки Пифагора использовались в криптографии как случайные последовательности и для генерации ключей.^[45]

Смотрите также

• Проблема логических троек Пифагора
• Congruum
• Диофант II.VIII
• Тройка Эйзенштейна
• Кирпич Эйлера
• Героновский треугольник
• Теорема Гильберта 90
• Целочисленный треугольник
• Модульная арифметика
• Число негипотенузы
• Плимптон 322
• Простое число Пифагора
• Пифагорейская четверка
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическая идентичность

Примечания

1. Длинный (1972 г., п. 48)
2. Робсон, Элеонора (2002), "Слова и картинки: новый свет на Плимптон 322" (PDF), Ежемесячный журнал математической ассоциации Америки, 109 (2): 105–120, Дои:10.1080/00029890.2002.11919845, S2CID  33907668
3. Джойс, Д. Э. (июнь 1997 г.), "Книга X, Предложение XXIX", Элементы Евклида, Университет Кларка
4. Митчелл, Дуглас В. (июль 2001 г.), "Альтернативная характеристика всех примитивных пифагорейских троек", Математический вестник, 85 (503): 273–5, Дои:10.2307/3622017, JSTOR  3622017
5. https://oeis.org/A000129
6. Beauregard, Raymond A .; Сурьянараян, Э. Р. (2000), «Параметрическое представление примитивных пифагоровых троек», в Nelsen, Roger B. (ed.), Доказательства без слов: дополнительные упражнения на визуальное мышление, II, Математическая ассоциация Америки, п.120, ISBN  978-0-88385-721-2, OCLC  807785075
7. Маор, Эли, Теорема Пифагора, Princeton University Press, 2007: Приложение B.
8. Серпинский, Вацлав (2003), Пифагоровы треугольники, Дувр, стр. iv – vii, ISBN  978-0-486-43278-6
9. Хьюстон, Дэвид (1993), «Пифагоровы тройки по формулам двойного угла», в Nelsen, Roger B. (ed.), Доказательства без слов: упражнения на визуальное мышление, Математическая ассоциация Америки, стр. 141, ISBN  978-0-88385-700-7, OCLC  29664480
10. Посаментьер, Альфред С. (2010), Теорема Пифагора: история ее силы и красоты, Книги Прометея, стр.156, ISBN  9781616141813.
11. За отсутствие решений, где а и б оба квадратные, первоначально доказанные Ферма, см. Коши, Томас (2002), Элементарная теория чисел с приложениями, Academic Press, стр. 545, г. ISBN  9780124211711. В другом случае, когда c один из квадратов, см. Стиллвелл, Джон (1998), Числа и геометрия, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 133, ISBN  9780387982892.
12. Кармайкл, Р. Д., 1914, «Диофантов анализ», во второй половине Р. Д. Кармайкла, Теория чисел и диофантов анализ, Dover Publ., 1959.
13. Серпинский 2003, стр. 4–6
14. MacHale, Des; Ван ден Бош, Кристиан (март 2012 г.), «Обобщение результатов о пифагорейских троек», Математический вестник, 96: 91–96, Дои:10.1017 / S0025557200004010
15. Салли, Джудит Д. (2007), Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем, Американское математическое общество, стр. 74–75, ISBN  9780821872673.
16. Это сразу следует из того, что ab делится на двенадцать вместе с определением конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. См. Например Коблиц, Нил (1993), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Тексты для выпускников по математике, 97, Springer, стр. 3, ISBN  9780387979663.
17. Барагар, Артур (2001), Обзор классической и современной геометрии: компьютерная деятельность, Prentice Hall, Exercise 15.3, p. 301, ISBN  9780130143181
18. Bernhart, Frank R .; Цена, Х. Ли (2005). «Формула Герона, круги Декарта и треугольники Пифагора». arXiv:математика / 0701624.
19. "OEIS A237518". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
20. Х. Дармон и Л. Мерел. Коэффициенты намотки и некоторые варианты Великой теоремы Ферма, J. ​​Reine Angew. Математика. 490 (1997), 81–100.
21. Розенберг, Стивен; Спиллейн, Майкл; Вульф, Дэниел Б. (май 2008 г.), «Треугольники Герона и пространства модулей», Учитель математики, 101: 656–663
22. Ю, Пол (2008), Треугольники цапли, которые нельзя разложить на два целых прямоугольных треугольника (PDF), 41-е собрание Флоридской секции математической ассоциации Америки, стр. 17
23. Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник». MathWorld.
24. Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Теорема Пифагора и треугольники», Книга по математике, Стерлинг, стр. 40, ISBN  978-1402757969
25. Воулс, Роджер, "Целочисленные решения а⁻² + б⁻² = d⁻²," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
26. Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–317.
27. Ю, Пол. «Развлекательная математика» (PDF). Примечания к курсу, глава 2, стр. 110, факультет математических наук Атлантического университета Флориды (2003 г.).
28. (Альперин 2005 )
29. Стиллвелл, Джон (2002), «6,6 пифагорейских троек», Элементы теории чисел, Springer, стр. 110–2, ISBN  978-0-387-95587-2
30. Gauss CF (1832), «Theoria резидуум биквадратичный», Comm. Soc. Рег. Sci. Gött. Рек., 4. Смотрите также Werke, 2:67–148.
31. «Вывод стандартного уравнения для эллипса из определения геометрического места эллипса» (PDF). nebula.deanza.edu. Архивировано из оригинал (PDF) 5 июля 2016 г.. Получено 18 июля 2016.
32. Препринт 1988 г. В архиве 2011-08-09 на Wayback Machine См. Рисунок 2 на странице 3., позже опубликованный как Фесслер, Альберт (июнь – июль 1991 г.), «Множественные троек Пифагора», Американский математический ежемесячный журнал, 98 (6): 505–517, Дои:10.2307/2324870, JSTOR  2324870
33. Бенито, Мануэль; Варона, Хуан Л. (июнь 2002 г.), «Треугольники Пифагора с ногами меньше п", Журнал вычислительной и прикладной математики, 143 (1): 117–126, Bibcode:2002JCoAM.143..117B, Дои:10.1016 / S0377-0427 (01) 00496-4 в качестве PDF
34. Нахин, Пол. Воображаемая сказка: История √−1С. 25–26.
35. "OEIS A001652". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
36. "OEIS A001653". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
37. "OEIS A303734". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
38. «Сборник алгебраических тождеств: суммы n квадратов».
39. «Сумма последовательных кубов равна кубу». Архивировано из оригинал на 2008-05-15.
40. Хиршхорн, Майкл (ноябрь 2011 г.), «Когда сумма последовательных квадратов равна квадрату?», Математический вестник, 95: 511–2, Дои:10.1017 / S0025557200003636, ISSN  0025-5572, OCLC  819659848
41. Гёль, Джон Ф. младший (май 2005 г.), «Размышления читателя», Учитель математики, 98 (9): 580
42. Гёль, Джон Ф., младший, «Тройки, квартеты, пятерки», Учитель математики 98, май 2005 г., стр. 580.
43. Ким, Скотт (май 2002 г.), "Богглеры", Обнаружить: 82, Уравнение w⁴ + х⁴ + y⁴ = z⁴ сложнее. В 1988 году, после 200 лет попыток математиков доказать это невозможным, Ноам Элкис из Гарварда нашли контрпример: 2 682 440⁴ + 15,365,639⁴ + 18,796,760⁴ = 20,615,673⁴.
44. Лось, Ноам (1988), "На⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴", Математика вычислений, 51 (184): 825–835, Дои:10.2307/2008781, JSTOR  2008781, МИСТЕР  0930224
45. Как, С. и Прабху, М. Криптографические приложения примитивных пифагоровых троек. Cryptologia, 38: 215–222, 2014. [1]

Рекомендации

• Альперин, Роджер С. (2005), «Модульное дерево Пифагора» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 112 (9): 807–816, CiteSeerX  10.1.1.112.3085, Дои:10.2307/30037602, JSTOR  30037602, МИСТЕР  2179860
• Берггрен, Б. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift for Elementär Matematik, Fysik och Kemi (на шведском языке), 17: 129–139
• Барнинг, F.J.M. (1963), "Над pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Математика. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (на голландском), ZW-011: 37
• Эккерт, Эрнест (1992), «Примитивные пифагорейские тройки», Математический журнал колледжа, 23 (5): 413–417, Дои:10.2307/2686417, JSTOR  2686417
• Лось, Ноам, Тройки Пифагора и теорема Гильберта 90 (PDF)
• Хит, Томас (1956), Тринадцать Книг Элементов Евклида Vol. 1 (Книги I и II) (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-60088-8
• Лонг, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: Д. К. Хит и компания, LCCN  77171950
• Мартин, Артемас (1875 г.), "Рациональные прямоугольные треугольники почти равнобедренные", Аналитик, 3 (2): 47–50, Дои:10.2307/2635906, JSTOR  2635906
• Маккалоу, Дэррил (2005), «Высота и превышение пифагорейских троек» (PDF), Математический журнал, 78 (1): 26–44, Дои:10.1080 / 0025570X.2005.11953298, S2CID  1701449
• Ромик, Дэн (2008), «Динамика пифагорейских троек» (PDF), Пер. Амер. Математика. Soc., 360 (11): 6045–6064, arXiv:math.DS / 0406512, Дои:10.1090 / S0002-9947-08-04467-X, МИСТЕР  2425702
• Teigen, M.G .; Хэдвин, Д. (1971), «О создании пифагоровых троек», Американский математический ежемесячник, 78 (4): 378–379, Дои:10.2307/2316903, JSTOR  2316903
• Траутман Анджей (1998), "Пифагоровы спиноры и твисторы Пенроуза" в S.A. Hugget; Л.Дж. Мейсон; К.П. Тод; S.T. Цоу; N.M.J. Вудхаус (ред.), Геометрическая вселенная (Постскриптум)

внешняя ссылка

• Алгебры Клиффорда и параметризация пифагоровых троек Евклидом
• Любопытные последствия обнаруженного квадратичным методом
• Обсуждение свойств троек Пифагора, интерактивные калькуляторы, головоломки и задачи
• Генерация троек Пифагора с помощью арифметических прогрессий
• «Пифагоровы числа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Интерактивный калькулятор троек Пифагора
• Отрицательное уравнение Пелля и пифагоровы тройки
• Параметризация пифагоровых троек одной тройкой полиномов
• Прайс, Х. Ли (2008), «Пифагорейское дерево: новый вид», arXiv:0809.4324 [math.HO ]
• Пифагорейские тройки и единичный круг, гл. 2–3, дюймДружеское введение в теорию чисел "Джозеф Х. Сильверман, 3-е изд., 2006 г., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN  0-13-186137-9
• Пифагорейские тройки в завязать узел Интерактивный апплет, показывающий отношения единичного круга к троек Пифагора
• Пифагорейские тройни
• Замечательная окружность треугольника
• Решения квадратично совместимых пар относительно троек Пифагора
• Теоретические свойства троек Пифагора и связи с геометрией
• Тройное дерево (а), лежащее в основе примитивных троек Пифагора в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Тройной Пифагора». MathWorld.